# 248. (★★★)相加・相乗平均の関係

Рет қаралды 71,788

math karat

Күн бұрын

相加・相乗平均の関係を上手く使えるかです。
0:00 オープニング
0:26　概要と解法の流れ
2:08　気を付ける点
6:10　気を付ける理由
9:53　解法１
12:54　エンディング

Пікірлер: 120

@emilym8614 6 ай бұрын

理解が深まって、好きじゃなかった相加相乗平均、好きになりました😍ありがとうございます！

@mathkarat6427 6 ай бұрын

ご丁寧に嬉しいコメントをありがとうございます。相加・相乗平均の関係式は、かなり重要と思います。お楽しみ下さい。

@user-bo9qz9tm1r 7 ай бұрын

ゆったりと優しい声で途中式の変形なども丁寧で文系の自分にも分かりやすかったです!! いくつか気になる動画視聴してみようと思います!!応援してます💪🔥

@mathkarat6427 7 ай бұрын

「ゆったりと優しい声で・・・」 →　このような温かいお言葉をいただけて、誠に嬉しいです。ありがとうございます。

@Taka-fw5ox 7 ай бұрын

7:30 9:10 10:30 12:37 相加相乗平均、、グラフがひとつあるだけで、理解が断然違います、本当にありがとうございます🙏

@mathkarat6427 7 ай бұрын

そう言っていただけますと、本当に嬉しいです。今回は、0

@user-sz3cz8bt1x 7 ай бұрын

めちゃくちゃタメになった、おもしろい

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。「ぺんのさきっちょ」さんのプロフィール写真が素敵です。お！っと、見てしまいました。

@user-jz3uo1zi4f 7 ай бұрын

相加相乗は変数1つにしたら(i)分母を文字で置く(ii)分子を文字で置いてあとで分子を1にするように割る(どちらも文字の変域に注意)でいつも何とかしてましたが、変数ふたつのままでもできるんですね、為になりました

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。「じぇ」さんのおっしゃる通り、(i)、(ii)と式変形能力でほとんど解決できると思います。

@takakuma0814 6 ай бұрын

単純な問題に落とし穴があるとは。数学の面白さを知りました。

@mathkarat6427 6 ай бұрын

お楽しみいただければ、嬉しいです。

@suraimu-game8933 4 ай бұрын

中２だけど分かりやすくてほんとにありがとうございます！

@mathkarat6427 4 ай бұрын

中2でこの内容を扱っているのですね？凄いです。

@user-mk4me3sr9h 7 ай бұрын

直接出てくる相加相乗は、あくまで左辺の関数と右辺の関数の関係を示しているのであって、左辺の最小値に関する何かを教えてくれるわけではないのですね。右辺を定数にする変形はうまいですね。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

私がお伝えしたかった内容は、まさにそれです。コンパクトにまとめて下さり、ありがとうございます。

@user-mk4me3sr9h 7 ай бұрын

@@mathkarat6427 伝えたいことが伝わるのは良い動画の証拠ですね😌 よかったです

@mathkarat6427 7 ай бұрын

天才的なお返事ありがとうございます。「むめいまる」様、恐れ入りました。

@ToooouK 7 ай бұрын

為になりますねぇ

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。

@dekkai_oppai 7 ай бұрын

面白い！チャンネル登録させて頂きました！

@mathkarat6427 7 ай бұрын

ご登録ありがとうございます。

@user-qi7re8xi3g 7 ай бұрын

後半気になるーーー

@mathkarat6427 7 ай бұрын

気にかけていただき、ありがとうございます。まもなくUPいたします。

@ark4366 7 ай бұрын

x=cos(^2)θ y=sin(^2)θと置くと 1/x + 4/y = 5 + ( tan(^2)θ + 4/(tan(^2)θ) )となるのでこれで相加相乗を使いました。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

そういう考え方もあるのですね。勉強になります。

@ilovemath743 3 ай бұрын

等号成立条件のtan(^2)θ=4/tan(^2)θはどのように捌けばいいですか？

@mathseeker2718 7 ай бұрын

私はコーシーシュワルツを使って解きました。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

それは、お見事と思います。素晴らしいです。

@zaychik1092 7 ай бұрын

コーヒーとシュワルツェネッガー？

@mathkarat6427 7 ай бұрын

恐れ入りました。かないません。

@syamugamesbg_gorikun9207 7 ай бұрын

この流れ好き

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。

@YKawase 7 ай бұрын

相加・調和平均の関係を使って，1/x+4/y=1/x+2/y+2/y≧3*3/(x+y/2+y/2)=9とするのが楽かな

@mathkarat6427 6 ай бұрын

情報をありがとうございます。

@user-rc6du3wl1g 7 ай бұрын

共テのプレテストに誘導付きで載ってました間違った解法と正しい解法の両方を与えられ、穴埋めをしつつ正しい解を求めるというものでしたが、解いてる時はさっぱりでした…

@mathkarat6427 7 ай бұрын

どこの共テプレテストでしょうか？よくご存じですね。

@user-rc6du3wl1g 7 ай бұрын

学校で配られたものなので出版元がわかりませんでした…申し訳ないです

@mathkarat6427 6 ай бұрын

分かりました。ご丁寧にお返事ありがとうございます。

@anythinglab 6 ай бұрын

最小最大問題は脳筋でﾍｯｼｱｰﾝ! 微分!微分!ってしちじゃう... この問題はy=1-xで微分の方が良いかと思ったけど,数オリ対策してるところなのでこういうこともあると頭に入れておきますありがとうございます!

@mathkarat6427 6 ай бұрын

「数オリ対策してるところなので」 →　素晴らしい！

@anythinglab 6 ай бұрын

@@mathkarat6427 応援ありがとうございます！本選行けるよう頑張ります...

@mathkarat6427 6 ай бұрын

応援しています。決まったらお知らせください。

@milupon1 7 ай бұрын

大変分かりやすくどうもありがとうございます。かなりスローな解説なので、倍速で視聴させていただいております。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。ご視聴速度に関しましては、お好みでお楽しみいただければ幸いです。

@user-os5kt8op8i 4 ай бұрын

1/x+4/yに定数であるx+y(=1)をかける発想が出なかったのが悔しい

@mathkarat6427 3 ай бұрын

経験がないと難しいと思います。簡単そうで難しいというものです。

@Sukosuko-no-suchiko-iLoveu 7 ай бұрын

誤答の相加平均相乗平均の不等式の右辺の yを消去して最小値を出すのはありですか？

@mathkarat6427 7 ай бұрын

実は、誤答２として、この動画に入れる予定で作っていました。こちらは、不可です。実際の最小値より小さい値となります。

@user-rg5xm8jf5s 6 ай бұрын

既出かもしれんけど y＝1－xとしてxの範囲を条件から絞った後に求める式をxだけで表して微分が一番速い気がする

@mathkarat6427 6 ай бұрын

個人の強い分野で攻めるとよいと思います。

@kako1448 7 ай бұрын

めちゃくちゃ教育的な動画。ちなみにコーシーシュワルツの方が楽に解けそう。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます。お陰様で後半に取り入れます。ありがとうございます。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

恐らくこれで解けますね。 Kamyu さん素晴らしいです。

@mathseeker2718 7 ай бұрын

私も同じ方法で解きました。むしろ、相加相乗で解く方法が分からないので、これから動画を見せてもらいます。

@kako1448 7 ай бұрын

kamyuさんと一緒です！

@mathkarat6427 7 ай бұрын

相加・相乗平均の関係式を用いる解法は、経験がないとなかなか思いつかないと思います。お楽しみいただければ幸いです。

@Mega11041104 4 ай бұрын

投稿した方の意図とは異なるけども、この問題イイね。変数(x,y)→(x+y,xy)と置くと楽に解けるのがセオリ―だけどそれが絶対ではなく、この問題は→(x+y,x/y)と置くことで楽に解けるようになる例と取れる。

@mathkarat6427 4 ай бұрын

情報をありがとうございます。

@MultiYUUHI 7 ай бұрын

=kとおいてy消してにじほうていしきがx正の範囲に少なくともひとつ解をもてばよい。軸の位置で場合分けした。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

「ひうゆしけーた」さん、さすがです。こちらは、後半動画の解法２で扱います。

@springside40 7 ай бұрын

x>0、y>0なので、正確には「00なので、0

@mathkarat6427 7 ай бұрын

要点の集約をありがとうございます。

@MURAKAMI1958 7 ай бұрын

例のｘ＾２＋１のx＞０のときこの最小値は無しなのですね。。ふーむ考えさせられました。。

@mathkarat6427 7 ай бұрын

例がいまいちだったのかも知れませんね。すみません。

@epsom2024 22 күн бұрын

最小値は x=1/3 ,y=2/3 を代入して求めるのではなく，不等式を使って 1/x+4/y≧4+5=9 で示して欲しい

@user-vx7ki9ul2o 5 ай бұрын

t=y/xとおくと、t>0 逆にtが任意の正の数をとるとき、 y=txをx+y=1に代入して、 x=1/(t+1)>0、y=tx>0より成立する。 1/x+4/y=1/x(1+4/t)=(t+1)(1+4/t) =t+5+4/t t>0、4/t>0より、相加相乗平均の関係から、t+4/t≧2√(t·4/t)=4 等号成立は、t=4/tすなわちt=2 よって、最小値は9で、そのときx=1/3、y=2/3

@mathkarat6427 4 ай бұрын

解法をありがとうございます。

@majojuke 7 ай бұрын

できました

@mathkarat6427 7 ай бұрын

素晴らしいです。

@okonomiyakintama 4 ай бұрын

y=1-x を代入して微分して増減表が一番確実かな？

@mathkarat6427 4 ай бұрын

微分の解法は良いのですが、その知識で苦戦するケースもあります。 # 138. 東大 2011年（理系）などは、そうです。

@JunyaS. 7 ай бұрын

数3の範囲になっちゃうけど、y=1-xを代入して微分して求めた導関数が綺麗になって結構簡単に解けたサムネに相加相乗平均とあったからそれで解いてみようとしたけど上手くいかなかった… 相加相乗平均は奥が深いなぁ

@mathkarat6427 7 ай бұрын

恐らく今回は、数3の解法が最も明瞭です。「Junya S.」さんお見事です。

@user-id5rv8ly6b 6 ай бұрын

aﾍﾞｸﾄﾙ=(‪√‬x，‪√‬y) bﾍﾞｸﾄﾙ=(1/‪√‬x，2/‪√‬y) であり，|a|²|b|²≧(a・b)²だから， 1/x＋4/y≧9 (等号成立は，x=1/3，y=2/3の時) から，最小値は9

@mathkarat6427 6 ай бұрын

情報をありがとうございます。

@user-sl5ky5iv4y 7 ай бұрын

結局試験会場では微分でごり押す方が早いんだよね

@mathkarat6427 7 ай бұрын

この問題に関しては、微分もありと思います。ただ、#138 でご紹介していますが、理系の問題なので、微分を使いたくなるのですが、そうすると手間がかかるということもあります。まあ、どちらでも解ければよいのですが。

@VOALAVOANALA 6 ай бұрын

相加相乗の上手い解法が思いつかなかったので、文字数減らして微分のゴリ押しで解きました

@mathkarat6427 6 ай бұрын

「ゴリ押しで解きました」 →　ゴリ押しであろうと、解けたという事実が素晴らしいです。

@user-mf5dq1fu2y 7 ай бұрын

徹夜ワイサムネ拝見うーん、9です！（結局説明を聞いて正解が10か9かわからない）

@mathkarat6427 7 ай бұрын

申し訳ありません。

@user-mf5dq1fu2y 7 ай бұрын

@@mathkarat6427 眠すぎて説明が読めなかっただけですw わかりやすい説明ありがとうございました🙇 早稲田の問題で見たことがあったのですぐ解けました☺️

@mathkarat6427 7 ай бұрын

「早稲田の問題で見たことがあったのですぐ解けました」 →　素晴らしいです。それにしても、「なちょす。」さんの動画の制作能力は凄いですね。流ちょうな語り口調には、脱帽です。

@user-mf5dq1fu2y 7 ай бұрын

@@mathkarat6427 見ていただいたんですね！ありがとうございます🙇 勉強系ですと，主さんの話し方がより伝わりやすいと思います！！登録させていただきました☺️

@mathkarat6427 7 ай бұрын

ご登録ありがとうございます。あれだけの質の高い動画をお作りなのに、更新していらっしゃらないのですね？それにしても凄い能力と思います。

@MS-gq4gx 4 ай бұрын

ちょっと遊んで、条件からx0, XY=1のときX+4Y+5の最小値を求めれば良い。 XY=1から、 (X+4Y)^2 -(X-4Y)^2=16 X>0,Y>0からX+4Y>0より、 X+4Y≥4 X+4Y+5≥9 等号成立はX+4Y=4, X=4Y X=2, Y=1/2 つまり、x=1/3, y=2/3のとき、最小値9

@mathkarat6427 4 ай бұрын

情報をありがとうございます。参考にさせていただきます。