не всегда из симметрии следует равенство например для системы ху=2 х+у=3 решение (1;2),(2;1) и модули не равны UPD: я не понял о какой системе говорит автор. Для исходной системы утверждение не работает.

@@user-ik2kd9mb5t потому что модули эквивалентны квадратам, а тут нет квадратов...

@@user-ik2kd9mb5t xy=2 i x + y = 3 где тут симметрия

@@artavazd0 если ты не видишь симметрию - ты слепой

@@artavazd0 можно поменять х и у местами и получить эквивалентную систему

"каждое из x,y принадлежит [-1,1], поэтому сумма квадрата и четвертой степени должна быть не более 1" *не более двух* , если исходить из указанной предпосылки. "Не более 1" по факту верно, но из другой предпосылки (сумма квадратов равна 1).

Два овала образуют крестик. Типа намек такой: не забывайте метод крестика в процентах.

But does the symmetry implies that the magnitudes of the variables are necessarily equal? You simply were lucky to have as big a number as 20 in the rhs of the equations - if it were small enough, you'd get solutions with |x| ≠ |y|.

@@allozovsky Let x^2=a; y^2=b. Then 20= a+b^2=a^2+b; a-a^2=b-b^2; (a-1/2)^2=(b-1/2)^2 =====>a=b

@@tgx3529 But it rather implies that a - a² = b - b² a² - b² = a - b (a − b)(a + b - 1) = 0, so a = b or a + b = 1. And a = 1, b = 0 perfectly fits the latter condition - as well as (1 − ½)² = (0 − ½)² - which gives us the following system: x² + y⁴ = 1 (

зато имеет восемь комплексных :-)

Например x² = t y² = v t + v² = 20 t² + v = 20 Эта система решается легко, потом из неё находим пары (x;y)

-1

И писанины меньше

Нельзя, вроде тут 2 разные переменные, + получится биквадратное уравнение

очевидно, что сразу откидывают. Почём зря.

Это прокачивает логическое и критическое мышление. Прокачивает умение находить 4 ответа, когда может казаться, что ответ один или что одного ответа достаточно. И прокачивает навык проверять ещё пятый вариант решения, даже когда у тебя есть уже 4 варианта решения. Супер прикладной навык для жизни! Зная эту систему уравнений и ее решение - я могу аргументировать свою позицию в любом жизненном споре, когда мне будут говорить, что чей-то единственный вариант решения проблемы единственно возможный и верный.

Почему только четыре-то? В комплексных всего было бы 16 решений (из них 4 полностью действительных по обеим координатам).

Если в этом множестве надо решить, то обычно в условии оговаривается

потому что это уравнение показывает новый странный метод решения, а не метод решения сложных уравнений. Нет смысла просто так себе льстить

Зависит от учителя, конечно, но мне кажется, что это не совсем правильно. Такая запись не даёт однозначного понимания того, что под ней имеется в виду. Может это таким образом записали решения (2; 2) и (-2; -2). Так что всё же лучше полностью записывать ответы в таких ситуациях.

да

Ну, это совсем не обязательно: cos²x + sin⁴x = cos⁴x + sin²x, даже если cos(x) ≠ sin(x), так что если бы справа стояло не 20, а другое число, переменные уже не обязаны были бы быть равны.

Действительно! Но это как-то скучно, не изящно... Чем бы математик не тешился...

Но откуда следует, что в данном случае обязательно |x| = |y| и других решений нет? Для комплексных решений это в общем случае не выполняется, а чтобы доказать, что для действительных достаточно исследовать случай |x| = |y|, нам всё равно нужно провести исследование, что эквивалентно полному решению. Просто можно было остановиться на этапе (x² - y²)(x² + y² - 1) = 0 и сказать, что если x² + y² = 1, то |x|, |y| ≤ 1 и x² + y⁴ заведомо меньше 20, т.е. нам достаточно рассмотреть только случай x² = y². А вот если справа стояло бы не 20, а, скажем, 13/16, нам пришлось бы рассматривать и второй случай - и действительные корни там нашлись бы.

@@allozovsky В комплексном решении это две поверхности. Поэтому решений будет бесконечное множество ;)

@@allozovsky Пусть там и там вместо 20 будет 13/16. Отнимаем (x^4-y^4)-(x^2-y^2)=(13/16)-(13/16)=0 => (x^4-y^4)=(x^2-y^2). И что изменилось?

@@user-xw2zp4cz8n В комплексном случае у нас получается два алгебраических уравнения: 8-й степени относительно одной переменной и 2-й степени относительно другой переменной, что по основной теореме алгебры даёт ровно 16 комплексных решений (с учётом кратности). Но ни в комплексном, ни в действительном случае условие |x| = |y| не обязано выполняться только лишь потому, что правые части уравнений равны и перестановка переменных сохраняет вид системы.

Метод Гаусса для других систем. Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса смотрите здесь: kzfaq.info/get/bejne/mcpdgrtzz9-ZdZc.html

@@ValeryVolkov спасибо 😌

very complex solution

Неделю не мог продать шкаф. Только открыл советский учебник математики - и всё сразу решилось: тут же позвонили, приехали и забрали. Спасибо тебе, мил человек!

Вообще-то, это не ломает мозг, а развивает, а развитый мозг всегда в жизни пригодится.

Неверно, в другом комментарии привели пример: ху=2 х+у=3

@@user-zz5wx4xw1f спасибо

@@user-zz5wx4xw1f Это из другой оперы. А для данной системы легко доказать, что x и y по модулю равны. Хотя это и так очевидно.

@@user-xw2zp4cz8n изначальное утверждение было: "если система симметрична относительно прямой y=x, то y=x"

че

Чё Гевара

мы же вычитаем уравнение из уравнения, таким образом нужно от левой части одного уравнения отнять левую часть второго и с правыми частями проделать то же самое (20-20=0)

@@iessud.s.3797 нет, вопрос не про это. Зачем тащить второе уравнение, если уже произвели операцию вычитания?

@@CRCx86 потому что вычтя из одного уравнения другое, получаем следствие системы а не равносильную ей. При этом могут появляться новые корни. Очень легко привести пример: {х = 2 {х = 2 Очень простая система имеющая единственное решение х = 2. А теперь вычтем одно уравнение из другого. Получим: х - х = 2 - 2 0 = 0 Это равенство достигается при всех х. Получается что ответы не совпадают. Очень важно дописывать второе уравнение системы. Можно, конечно отвлечься от системы, решить отдельно первое уравнение, но потом обязательно нужно проверить верность второго.