저 궁금한게 있는데 인문학에서는 인간을 제한적인 존재로 보는데, 수학쪽에서 자유롭다면 혹시 그 자유로운 것이 뭐죠 ;;'??? 너무 궁금해서 ㅠㅠ;; 수학이 뭔가 절대적으로 맞다하는 쪽으로 가는 것이 아니라 서로 합의하에 맞다고하는 쪽으로 가는건가요 ;;;????

신 선생님, 혹시 참거짓의 이분법을 '참 또는 참이라고 말할 수 없음'으로 더욱 일반화한다는 아이디어는 괴델의 이론을 밑바탕으로 하고 있는 것인가요? 지나가다가 궁금해서 여쭤봅니다.

@@user-oi2hy6yv2n 한 수학이론을 구성할 때 약속을(공리) 어떻게 정하고 시작하느냐에 따라 그 이론이 다룰 수 있는 수학적 대상의 윤곽이 결정됩니다. 아마도 신 선생님께서 '인간 정신의 자유로운 사유와 창조성'을 언급하신 이유가, 직관주의적 철학에만 의존해서 공리를 선택할 경우 우리가 다룰 수 있는 수학적 대상과 속성들이 극히 제한될 수 있다는 사실과 연관되어 있는 것은 아닌지 조심스럽게 추측해봅니다.

@@user-xz7mw8vw6c 오우... 감사합니다 어째 점정 인간이 알아가려고 하는 목적이 추려지는 것 같네요

선생님 러셀의 성과도 형식주의처럼 괴델에 의해 부정적인 영향을 받은 건가요?

합의합니다 ㅋㅋㅋ

칸트의 수학적 직관이 수학적 사물계(물자체)와 유리되었다고 보지는 않습니다. 사실 수개념은 인간만의 인식체계도 아닙니다. 늑대도 굴로 돌아오면 새끼들의 수 또는 양부터 헤아리죠. 결원이 생기면 바로 찾아나섭니다. 오늘날 인간의 정교한 작업들은 거의 수학에 의존합니다. 토지 측량, 마천루 건축, 외계 탐사선궤도 설정등 수학은 우주를 이해하는 가장 정확한 도구로 평가받고 있습니다. 오히려 현대의 양자역학은 우리가 생각을 포기하고 수학에 의존할 것을 강요하는 단계에 와있습니다. "닥치고 계산"이라고 주장하지요. 이것은 그만큼 수학이 외부세계와 면밀이 연결되어 있다는 의미겠지요. 이런 면에서 칸트의 수학적 직관은 형식주의와 구별되어야 한다고 봅니다. 그리고 무한이나 허수같은 개념은 형이상학적 영역으로 인정하고 나름대로 연구하면 되는 것이구요. 그럼 나는 "직관주의자"인건가요? 우리는 칸트와 칸토어의 후기 언명에 주목할 필요가 있습니다. "직관없는 개념은 공허하다", "무한은 신의 세계다".

미친놈 ㅋㅋㅋㅋ 플라톤주의자 말이되냐

@@Doodoo2322 모르는 사람의 감상글에 대뜸 욕설을 밖는 탁월한 어휘 선택과 반말을 찍어 누르는 모습을 실제로 마주한 것같은 느낌의 문체가 매우 인상적인 글이네요~^^

다시 한번 생각해보시길,,,

선생님 덕분에 수학교육론 에이플 받았습니다~

반박해주자면 1. 형식주의랑 자연이랑은 아무상관없음. 형식주의는 수학을 어떻게 연구해야할지의 논의임. 2. 1에 의하여 2번은 이미 다른주제의 근거로 제시됌. 이해가됩니까? 수학은 그냥 아무런 철학적 색깔이 없는 공리로부터 도출되는 게임에 불과함. 그리고 수학이 자연을 잘 설명할수 있는 이유는 님은 수학이라는게 무슨 자연이 수학이고 그걸 인간이 발견한다 이런식으로 이해를 하는데 사실은 그게 아니고 자연은 그냥 혼돈이고 카오스일뿐인데 인간이 똑똑하고 지능이 높아서 이성을 가지고 수학을 통해서 자연을 인간 나름대로 이해한다 이게 맞음. ㅇㅋ?

답은 간단합니다. 공리를 애초에 인간이 자연을 바라보고 해석하는 방식으로 정했기 때문입니다. 수학이 그저 형식이라면 자연과 관련이 없을 텐데 왜 그토록 자연을 잘 설명하는가는 수많은 체계 속 자연을 잘 설명하는 체계를 기반으로 수학을 쌓았기 때문입니다. 자연을 잘 설명하지 못하는 수학 체계도 얼마든지 만들수 있습니다. 가령 모든 사칙연산은 0에 수렴한다는 공리를 받아들이면 눈앞에 있는 사과의 개수가 방금 말한 수학적 결과와 불일치하게되죠.

@@informationphysici 저도 그렇게 생각합니다. 다만 아직까지는 반증가능한 부분이 아니라고 생각해서 거기까지 쓰진 않았습니다.

@@informationphysici 수학이 잘 맞아 떨어지는 이유는 애초에 자연의 해석 수단으로서 수학을 설정했기 때문이였군요

​@@informationphysici 와 이런 미친..........

기호로 표현하면 쉬워져요! a가 집합 A={x|x는 짝수이다}의 원소라는 명제는 곧 a가 짝수라는 명제죠. n이 집합 N={x|x는 자연수이다}원소라는 명제는 곧 n이 자연수라는 명제죠. 마찬가지로 p가 집합 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 p가 p의 원소가 아니라는 명제죠. 문제는 p자리에 B를 대입했을 때 생깁니다. B가 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 됩니다! B가 B의 원소라는 명제와 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 같아져서, 역설이 생기죠.

서울 사람이 말하길 "서울 사람은 거짓말만 한다" 참일 까요 거짓일까요? 참도 거짓도 아니죠. 제가 만든 서울사람 비유입니다. ㅋㅋ

머리가 좋아짐

수학을 잘한다는 것은 수학에서 사용되는 논리과 그 방식을 이용할 수 있다고 전제하고 말하겠습니다. 수학은 여러 규칙들을 엄밀하고 체계적인 논리들을 가지고 있습니다. 이러한 논리성을 통해서 우리는 참인 것과 거짓인 것을 구분할 수 있게 합니다. 좀 간단한 예를 들자면 1+1=2 가 참이며 1+1=3은 거짓이라는 것을 우리는 학습을 통해 배웠습니다. 에이 당연하네 할 수 있지만 이러한 참 거짓의 구분을 통해서 우리는 명백한 답을 찾을 수 있게 되는 것입니다. 좀 과격한 이해이긴 합니다만 우리는 이런 수학적인 논리를 통해서 여러 문제들에서 해답을 찾을 수 있습니다. 한줄 요약:수학을 잘하면 여러 문제의 해답을 찾는데 도움이 된다.

찾아보니 브라우어는 두 명 인데 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 이 사람이 직관주의를 창시한 사람이고 1881년 네덜란드 태생이네요. 영상의 사진은 리하르트 브라우어인데 1901년 태생이 맞지만 직관주의와 관련없는 수학자인듯 합니다. 아마도 김필영 선생님이 잘못 올리신거 같습니다.

괴델의 불완전성 정리는 무슨 조건을 잘못 가정했기 때문에 생긴 거라고 했던 사람이 있었다고 들었었는데, 누군지 생각이 안 나네요. ^^;

존재하지 않는 것에 대해 참과 거짓을 나눌수 없다는 말인것 같습니다

@@ybisang9862 존재하지 않으면 당연히 아닌 거 아닌가요? 뭔가 요상하네요. ^^;

@Asian Film Recommender 글쎄요. 수학자들은 어떻게 이 문제를 처리하는지 모르겠지만, 아무튼 존재하지 않는 것에 대해서 아니라고 하는 말은 맞는 것 같네요. 그리고 유니콘은 애초에 상상속 동물이기 때문에 '존재성을 증명할 수 없는'이라는 표현을 쓰면 안 된다고 생각합니다. 설혹 나중에 유전공학이 발달해서 진짜 뿔 달린 말을 만들어낸다고 해도, 그건 우리가 알고 있는 유니콘이 아니죠.

@Asian Film Recommender ??? 제 말씀을 직관주의적 입장으로 해석하신 듯하네요?

1년전 댓글이지만 답글답니다. 왜 형식주의에서 완전성과 무모순성이 요구되는가는 사실 간단합니다. 수학 자체가 게임에 국한된 것이라면, 오히려 그 게임에 적용되는 룰에 한정해서 완전성과 무모순을 가진다는 겁니다. 형식주의적 입장에서 수학적 앎이란 말그대로 설정된 룰인 공리계에서 완벽히 게임을 실행할 수 있다는 것이지, 그 게임 자체의 참과 거짓을 논하자는 것이 아닙니다. 즉 예시를 들어 어떤 게임에서 승리 조건의 룰이 "죽여야만 한다"는 것은, 죽여야한다는 것의 도덕적 시비나 참거짓과 상관없습니다. 말그대로 게임이고 그 게임상의 룰이 설정된 것에 따라 승리를 쟁취하면 됩니다. 이것이 바로 형식주의에서 말하는 완전성과 무모순성입니다. 만약 수학에서의 공리들이 충돌한다면 이미 수학은 룰자체부터가 충돌하고, 이는 수학 자체가 게임으로써, 즉 학문자체로도 성립할 수 없다는 것을 의미합니다. 룰(최소한의 형식조차)부터가 문제라면 그것은 게임(수학)이 아니다. 덧, 도움이 되셨길...

1. 귀류법이 지닌바 형식논리학적 속성을 오해하신 듯합니다 귀류법은 특정 값(참 내지 거짓)을 증명하고자 하는 규칙이 아니라, 어떤 적형문을 전제하였을 때 형식적 규칙에 의해 그 전제로부터 이끌어낼 수 있는 도출, 증명, 유도과정 내에서, 그 체계 내의 지정값designated value(통상적으로는 참값 T)이 보존되지 못하여 모순이 발생함(비일관성이 발생함, 즉 지정값과 양립 불가한 값의 적형문이 유도됨)을 보여주는 증명법입니다 이에 따르면 어떤 적형문 'P'가 참(지정값)이라 가정하든 거짓(지정값과 양립 불가능한 값)이라 가정하든, 전자('P'에 지정값을 할당함)에 따라 '~P'가 지정값임을(즉 'P'가 지정값을 갖는다고 가정하면 모순된 귀결이 나옴에 따라 '~P'가 지정값입을) 증명할 수도 있고, 후자(~'P'에 지정값을 할당함)에 따라 'P'가 지정값임을(상동) 증명할 수도 있습니다 간단히 말해 추론규칙으로서의 귀류법이란 특정 적형문 내지 명제의 실제 진리값(지정값 내지 양립불가값)을 할당하는 것과는 무관한바, 오로지 무엇을 가정했을 때 모순적인, 양립 불가한, 비일관적인 값을 지니는 적형문이 도출된다는 것을 보이고자 하는 규칙입니다 2. "거짓을 증명하는 것은 가치가 없다"는 말씀은, 일견 직관적으로 받아들여질 만합니다 거짓인 이론의 거짓됨을 증명하고자 하는 학자는 없습니다 하지만 이러한 직관은 논리학을 세계에 대한 존재론적, 형이상학적 학문으로 오해하는 데에서 빚어지는 착종이며, 나아가 순수논리적인 관점에서 보자면 어떤 의미있는 문장 내지 명제의 거짓값을 증먕한다는 것은, 의외로 일상적으로 매우 친숙합니다 예컨대 법정에서 검사가 "피고의 진술 'P'가 참이라 가정하면 그에 따라 'Q'이고 그에 따라 'R'이고 ... 따라서 'S'인데, 이는 받아들일 수 없는(즉 우리가 참이라 받아들이는 믿음의 체계와 모순되는) 귀결입니다 피고의 진술 'P'는 "라고 말하는 경우를 들 수 있겠습니다 이 때 배심원들이 검사의 주장을 설득력있는 것으로 받아들인다면, "피고의 진술 'P'는 거짓이다"라는 말을 받아들이는 것이 아니라, "검사가 제시한바 그러그러한 도출과정이 타당하고 논리적이 피고의 진술'P'는 거짓이다"를 받아들이고 잇는 셈입니다 요컨대 검사가 제시한바 'P는 거짓이다'를 세계에 대한 실제적 명제로서 받아들이는 게 아니라, 그가 논리적 규칙에 의존하여 전개하고 있는 도출과정을 받아들이기에 'P는 거짓이다' 를 받아들이는 셈입니다 '거짓 명제를 증명한다'는 말이 직관적으로 기이하게 여겨지는 이유는, 이렇듯 세계에 대한 명제 자체의 실제 진리값과, 그 명제에 특정 값을 할당했을 때 논리적으로 귀결되는 바의 값을 혼동했기 때문입니다 논리학은 세계에 대해 말하지 않습니다 세계에 대해 말하는 것은 실증과학이고, 논리학은 그 과학들이 말하는 것들 간의 일관성, 무모순성, 양립 가능성만을 다룹니다 말이 길어졌습니다 귀류법에 대한 오해가 풀리셨길 바랍니다

@@user-fs8yg3se9j 헐 감사합니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 논리학공부 열심히해야지!

카츠라 쇼류의 인도인의 논리학 강추!

논리주의자인 러셀 입장에서는 그 역설을 순수하게 논리적으로 해결해야 하는데, 유형론은 논리적으로 참인 명제가 아니기 때문이라고 알고 있습니다 집합을 구성할 때 그 원소가 될 수 있는 대상들의 자격에 일정한 단계에 따라 제한을 둔다는 것은, 분명 세계에 관한 형이상학적 내지 존재론적인 논제인데, 그 논제의 인식론적 성격이 논리적으로 보증되지는 않는다는 겁니다 쉽게 말헤 러셀의 유형론은 수학적으로 자명하지도 않고, 그렇다고 'A는 A이다'처럼 논리적으로 참인 성격의 주장도 아닙니다 그렇다 보니 (적어도 논리주의자로서는)집합론의 문제를 온전히 해결하지는 못한 것으로 받아들여졌습니다

히든 피겨스 아닌가요?

진리를 찾아 헤매시는 것 같습니다 무척이나 고통스러워 보여 안타깝습니다 무지의 지를 설파한 소크라테스를 본받으시는 게 어떠할까요 주제넘게 훈수를 두었습니다...

​@Asian Film Recommender 사람이 해석하고 정립하는건 수학적인 개념이지 수학이 아닙니다... 게임이라는 개념이 있어서 체스도 만들고 바둑도 만들수있는것과 같은것이죠... 모든것의 기초가 될수있는 추상적인 그것을 수학이라는 이름으로 부르고 있을뿐입니다..

@Asian Film Recommender 논리를 맞다 틀리다가 아니라 이상하다고 표현하는게 이상한것입니다... 그리고 모든것의 기초가 수학이라는게 사실인지 아닌지가 있는것이지 편협한 것이 있는것이 아니고 인간 문명이 비중있게 취급했는지 아닌지도 관련이 없죠.

@Asian Film Recommender 단순히 근거가 없다 편협하다 말하는건 플라톤적이 아닌걸까요?

직관주의시군요

공대 학사과정을 1년만에 어떻게 마스터 해요 4년제는 괜히 있너

제가 알고 있는 바하고는 많이 다르네요. 수학이 우주,과학의 언어다라고 수학자들 강연에서 질리도록 들었는데 혹시 말씀하신 정보에 관해 간략하게나마 출처를 밝혀주실수 없나요?

@@informationphysici 강연에서 그런말 하는건 사람들이 그런말 해주길 바라니깐 센스적으로 해주는거지 그걸 믿어버리면 안되죠.

@@informationphysici 수학이 과학의 언어다? 그러면 생물학 화학 지질학 곤충학 이런건 수학 별로 안들어가는데??? 수학이 과학의 언어라고 말하는것도 물리학 한정이고 그것도 고체물리 이런건 많이 들어가지도 않고 천체물리학이나 양자역학 같은 분야들만 주력으로 쓰는거임. 그러면 나머지 과학분야는 뭐가됩니까?