Что такое комплексное число, смотрите здесь: kzfaq.info/get/bejne/rs91ea6qz9PQlqM.html Тригонометрическая форма комплексного числа здесь: kzfaq.info/get/bejne/qcpgq8qT16fYc2g.html Умножение и деление комплексных чисел здесь: kzfaq.info/get/bejne/ncmeh7WLs7jJqps.html Формула извлечения корня из комплексного числа здесь: kzfaq.info/get/bejne/ZrZzZdZynNSue58.html

"Предположим что мы не знаем никаких формул" думаю что это лучшая цитата для любого школьника и не только

Какой классный канал!!! Подача материала - именно такая как надо - рукописная и появляется вовремя и с объяснениями!!! Это лучшее, что может быть!!! Спасибо огромное!!! Надо больше таких каналов! И лекции бы ещё добавить!!!

Корень третьей степени из i может принимать три значения: 1) √3/2 + (1/2)i 2) -√3/2 + (1/2)i 3) -i

Офигенная задача! Весь вечер вчера голову ломал над ней. А оказалось все куда проще)

_Спасибо Вам за видео. Вот что такое советское образование на практике. Молодец!_

Спасибо за оба способа нахождения корня.

Спасибо Вам, за эти замечательные просветительские видео, благодаря Вашей работе математику может осилить любой ученик, даже с незначительным уровнем подготовки. Вы делаете большое и важное дело!

Приятно наблюдать, как повысился уровень изложения материала за год.

Все формулы забыл, решал вторым способом, он, кмк, наиболее интуитивен. Спасибо Вам большое.

Доступно, ясно и понятно

Очень хорошее объяснение, красиво!

Это сейчас в школе проходят? По-моему, для нахождения степеней мнимых чисел проще использовать формулу Эйлера.

I have never thought of what √i would be! Thank you ... hey, in 1980 I came up with this formula for derivatives... dy/dx = d/dx(Ln y).y ... really useful for solving derivatives of equations such as y = x^x.

Толково!

Второй способ мне больше понравился

Корни третьей степени из мнимой единицы имеют вид: -i; 0,5*(3^0,5+i); 0,5*(-(3^0,5)+i) и представляют собой точки расположенные на единичной окружности в форме правильного треугольника одна из вершин которого находится на оси мнимой единицы в значении -i. Это есть геометрическая интерпретация корня 3-ей степени из комплексного числа. Таким образом можно сказать, что кубический корень из 8 имеет три решения. Одно вещественное и два комплексных и все находятся в вершинах правильного треугольника. А корни n-ой степени в вершинах правильного n-угольника.

Лайк за темную тему

СПАСИБО

Супер

Математика тогда становится интересной, когда ее учат применять к решению конкретных задач! Так у нас было когда я учился в вузе и окончил его в 1976 году А комплЕксные числа для решения задач в электротехники применяются. Решать задачи с комплЕксными числами нас учили тогда на ЛОГАРИМИЧЕСКОЙ линейке. Это очень упрощает решение. в школе надо изучать математику с применением решения конкретных задач! Иначе толку ни какого не будет! И дело тут не в ЕГ. Не зря есть хорошая поговорка: " Теория без практики ГЛУПА, а ПРАКТИКА без теории СЛЕПА":) Интересно что думает автор по этому поводу и все кто учит математику. Напишите, пожалуйста.

Есть ещё простой геометрический способ. На комплексной плоскости видим |i| = 1, α = π/2 -модуль и аргумент. φ = α/2 = π/4 - начальный угол. Строим окружность R = |i| = 1 и отрезок, проходящий через центр окружности, с углом π/4 к действительной оси. Координаты концов отрезка (√2/2; √2/2) и (-√2/2; -√2/2). Поэтому корни √2/2 + i√2/2 и -√2/2 - i√2/2.

А если знать, что при извлечении корня из комплексного числа его вектор оказывается повёрнут на угол, меньший исходного в число раз, равное показателю корня, то задача решается в уме. Только надо не забыть, что исходный угол не только 90 градусов (я уж в градусах выражу, так мне, инженеру-электрику, привычнее, мы углы "пями" не считаем), но и плюс-минус 360*k градусов. Получается два вектора... тьфу, комплексных числа: 1L45 и 1L225. L в этой записи означает угол вектора, у нас так принято, чтобы не писать числа каждый раз в экспоненциальной форме: A*e^(jф). Опять же в электротехнике символ мнимой единицы - не i, а j, чтобы с током не путалось. PS. Собственно, это лишь интертрепация первого способа, просто геометрически представленная.

C'est PARFAIT !!!!

Учусь в 10. Перемотал в середину. Мое время ещё не пришло))

Спасибо!

Если минус используется как указатель напраления, то есть оси чисел с направлением в одну сторону и чисел с направлением в другую сторону, так же как и в реальных задачах, например в компьютерной графике, тогда действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней для отрицательных и положительных чисел должны быть одинаковы, отличие только в направлении. И если кв. корень от 1 будет 1, тогда кв. корень -1 будет -1 так как минус это только лишь противоположное направление

однако если забить болт на то, что а и b из действительных и посчитать их в комплексных, т.е. просчитать как есть а=-b , то значения в итоге получатся ровно те же самые, просто у а вырастет i, тогда как у b мнимая i схлопнется умножившись на еще одно i. В итоге те же самые ответы получатся окей.

Это проще на плоскости показать: i это поворот 1ки на 90° а корень значит на 45° и не забыть что поворот на 360° даст то же. То есть i это поворот 1ки на 90° или 90°+360°. А корень это поворот на 45° или на 45°+180°

годно

В уме: по формуле Эйлера под радикалом е в степени i*90град. корень - угол пополам, обратное по той же формуле - результат аналогичный.

Вопрос, а работают ли степенные преобразования с комплексными числами? Ведь если да, то тогда берем: ---корень степени n это степень 1/n ---1/3 = 1-2/3 ---a^(b - c) = a^b / a^c и получаем: куб.корень из (i) = i^(1/3) = i(1-2/3) = i^1 / ( i^(2/3) ) = i / ( куб.корень из (I^2) ) = i / ( куб.корень из (-1) ) = i / -1 = -i А с другой стороны - почему бы и нет, ведь если -i возвести в куб это -i * -i * -i = -1 * i * -1 * i * -1 * i = -1 * i * i * i = -1 * -1 * i = 1 * i = i значит обратная операция дала тот же результат. Вопрос теперь в том, единственный ли это ответ или есть еще ответы.

2 способ сработает только с квадратным корнем, с корнями высших степеней там получатся большие выражения, систему из которых невозможно решить.

А всё-таки, как правильно: кОмплексное или комплЕксное? 😀

Второй способ интересней год

Кубический корень из i равен -i

Долго я спал? Вроде только вчера ЕГЭ разбирали

i^(1/3)=exp(i*pi/(2*3))=cos(pi/6+2*pi*k/3)+i*sin(pi/6+2*pi*k/3) k=0; 1; 2

blackpenredpen вроде бы разбирал этот пример. Но у него гораздо интереснее видео с решением уравнения sin(x)=2

В чем смысл (откуда ноги растут) , и философия этого числа?

второй способ более интуитивно ясен и без тригонометрии

А второй способ только для корней небольших степеней?

Давайте теперь i в степени i

Не думал что ты таким занимаешься :)

Здравствуйте, Валерий Волков, это Александр из столицы Белоруссии, из города Минска. Все три корня третьей степени из мнимой единицы находятся на вершинах равностороннего треугольника на единичной окружности комплексной плоскости с центром в начале координат. Одна из вершин этого равностороннего треугольника находится на мнимой оси в точке с координатами ноль, минус единица, так как число -i (минус "и") - это одно из трёх значений корня третьей степени из мнимой единицы. Правильно ли я решил задачу? Напишите мне, пожалуйста, ответное сообщение. Александр, г. Минск.

Я не понял как осуществился переход от 1/sqrt(2) к sqrt(2)/2. Пожалуйста, объясните. Если правую часть умножили на корень из двух, то почему левую не умножили?

Второй способ интересней

Так ничего и не понимаю. Например мнимая единица в степени мнимая единица - вполне себе вещественное число (хоть и иррациональное) три с чем-то. НО ОНА-ЖЕ ЕДИНИЦА! (Хоть и мнимая). Не понимаю также триплексов и выше, где i^2=J^2=k^2=-1 но это разные числа. Ну какие-же они разные, если одинаковы?

Интересно, значит на векторной плоскости вектор v-i идёт под 45 град, значит вектор корень бесконечной степени из i ляжет на действительную ось, я никогда не задумывался. И это школьная программа.

У blacjpanredpan много подобных "фановых" задач и их решений :)

кОмплексное или комплЕксное?

Корень из мнимой единицы -2 способа... Фак йю реальность...

Нет, Фурье и переменный ток - это уже известно, а в чем еще они полезны?

12:40 ну видео же про комплексные числа, разве можно говорить, что квадрат числа всегда неотрицателен?)

Ничего не понял, но очкнь интересно. Я вообще не знаю что здесь делаю, я в 9 классе(

Формулу Эйлера Вам в руки...

А чему равен корень i- й степени из i ?

это Вы так придумали. ноль и один Вы сами подставили. А если представить,.. что там может быть бесконечное множество чисел?

(+-)45 градусов

Корень 3 степени из i = -i

А интересно, какой толк в комплексных числах, если они не имеют точного значения для проведения расчетов? Это чисто математический пример.

(Я пока не смотрю видео) Корень из мнимой еденицы? надо подумать, я решал так: корень из мнимой единицы это корень из корня отрицательной единицы = корень с основанием 4 из отрицательной единицы = корень с основанием шестнадцать из корня отрицательной единицы в четвёртой степени = корень с основанием шестнадцать из 1 = 1

Спасибо)) p.s кОмплексные числа!

У меня получилось Z1=0-1=-1; Z2=0+1/2=1/2

Это по химии задача или куда я попал?😧

Ответ на домашку: Да

А мнимая единица применяется в жизни, технике, промышленности? Терпеливо прочитаю самый длинный ответ.

Вторым способом нашел и решал уравнения 4-й степени в 8-м классе. Когда показал формулу учительница возмутилась откуда я ее взял!? Этого не было в программе. Уравнения 4-й степени получалось решать в одну-две минуты вместо целого урока (45 мин).

Второй вариант это не решение, а подгонка под известный ответ

Один будет!!!!или вообще бесконечное мнимое число любое!

в материальной физике ~ пириТ.

Мало что в этом смыслю,но почему нельзя сказать,что тк i=√-1 то √i=√(√-1)) То есть 3√-1 а это -1 ,не бейте если совершил какую либо грубую ошибку)

В чем то остаётся неудовлетворительность. Все верно, но расуждения школярские. Во первых. Число i чисто мнимое или комплексное? Число i здесь должно рассматриваться как число комплексное, а не как чисто мнимое. 0•a+i•1, то есть реальная часть не отсутствует, что даже проговаривается в объяснение, а равна нулю. Ноль тоже число, а не отсутствие числа. Это по моему очень важно. Во вторых. Ограничения, что а и b только действительные весьма условное. Они, a и b, тоже могут быть чисто мнимые или комплексные. Все рассуждения при этом окажутся верными, все формулы будут верными. Но в случае комплексных a и b, мы всегда можем найти такие выражение комплексного числа, в котором мнимое и действительное составляющие будут действительными. Таким образом, первая система тоже будут иметь решения. И они совпадут с решениями второй системы как их приведём к обычному представлению комплексного числа. Я знаю, что в школе избегают этих простых и самих собой напрашивающихся выводов. Думаю зря. Ведь, так у школьников творческое мышление. Правда, тогда развивается вера в авторитеты. А авторитеты не терпят неопределенности и многозначности.

i^(1/3)=-i правильный ответ? Решать не охота

Второй способ проще,а значит лучше.

Оба метода математику в страшном сне не приснятся! Это способ навсегда поставить барьер между школьником и математикой и отдалить школьную математику от настоящей науки. Действительно есть ситуации, когда необходимо извлекать корень из комплексного числа. Но те, кому это необходимо, знаю, что такое «экспоненциальное представление комплексных чисел» и у них проблем не возникает. Если у вас таких знаний нет, то не занимайтесь глупостям.

K=0;1;2 Z1=корень из 3/2+i1/2 Z2=-корень из 3/2-i1/2 Z3=1/2+i (корень из 3/2) Такие ответы должны были получиться? Заранее спасибо за ответ☺️ Ролики супер, все очень понятно🙌

с какого болта два ответа? Ответ один. А вращать единичный вектор можно хоть до бесконечности

Беда в том, что мнимой 1, 2, 4, 7 - не бывает! Более того: число с любыми математическими операциями, включая максимум - логарифм, не существует! Хотите окараться? ВОПРОС! Где? Максимум моего утверждения? Будучи, математиком, который может морочить людям мозги, не откажите, и, мне - лично: применить любой, даже мнимый и полярный аппарат! Повторю! Беда в том, что мнимой 1, 2, 4, 7 - не бывает! Более того: число с любыми математическими операциями, включая максимум - логарифм, не существует! Хотите окараться? ВОПРОС! Где? Максимум моего утверждения?

Редкий случай когда можно смотреть видео на скорости 2. Жаль что нет большей!

i^2=-1. А b^2 не равно. Логично

Лайкаем если вы согласны с тем, что заменив все словосочетания «комплексное число»на «девушка» видео не потеряет смысл:)

Очень медленный разбор. Это видео можно было уложить в 3 минуты.

Ну зачем не ээээтттоооооо

Чем красивее решение, тем оно интереснее и появляется желание изучать математику. Вот посмотрите! Есть простая формула Эйлера: Exp( ix) = cos x + i sinx. Соответственно i = exp(ix), где x = Pi/2+2Pi*n sqrt(i)=sqrt(exp(ix))=exp(ix/2)=cos (x/2)+i sin(x/2) где x = Pi/2+2Pi*n sqrt(i) = cos(Pi/4+Pi*n)+i sin(Pi/4+Pi*n) 1) sqrt(i) = cos(Pi/4)+i sin(Pi/4) = sqrt(2)/2+i sqrt(2)/2 2)sqrt(i) = cos(5Pi/4)+i sin(5Pi/4) = sqrt(2)/2 -i sqrt(2)/2

10:27 wrong a*a-2ab+b*b not a*a+2ab-b2

i=-1, как мы знаем, из отрицательных чисел можно извлечь непарный корень. 3√i=3√-1=-1.

Чому просто не скористатись формулою Ейлера? e^(ia) = cos(a) + i sin(a) Примітивши, що при a = π/2; i = e^(iπ/2), а значить: і½ = е^(іπ/4) = 1/√2 + і/√2 = (1 + і)/√2. Задача усна

хорошее число, жаль, что для 99,99999% людей оно значения не имеет.

обожаю математиков...допустим вы ничего не знаете о формулах...представим корень из мнимого числа, как сумму:)))

А кто сказал, что такая запись вообще правомерна?

Эт! Понятно! Сколько ???? И, это - Вам: поле\на множество плюс МНИМОСТЬ! Правильно? Один Придурь ИЗВРАТИЛСЯ! А! Все СТАДО Математиков будут решать до УСРАЧКИ! Есть - число, которое, само по себе ничего не Значит, есть -МАТЕМАТИК, который, при условии ПОЛЯ??? - РЕШИЛО?????????????????????? Признайтесь: нет чисел вне комплекса смотрите на ДАНО: корень! ИЗ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ!

Мне одной стало страшно?

√i=x i=x² -1=x³ x³=(-1)³ x=(-1) Я походу новую математику открыл 🥴

ерунда какая-то.... как можно определять корень из чего-то, если аргумент функции присутствует ОДНОВРЕМЕННО и в правой части равенства и в левой ?.... это называется бесконечная рекурсия и она не вернёт значения функции никогда.

Супер