KORREKTUR: Bei Aufgabe c) kommt heraus, dass r=8,5cm sind. Dann rechnet man weiter mit 160°/360° mal 2pi mal 8,5cm und entsprechend kommt raus, dass b = 23,7cm sind.
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Wählt man einen Kreisausschnitt, so kann die Kreisbogenlänge b anteilig zum Umfang und in Abhängigkeit des Winkels α berechnet werden:
b= α/360° ∙2 ∙ π ∙r= α/180° ∙ π ∙r
Für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts gilt entsprechend:
A= α/360° ∙ π ∙r²
Ein Kreis mit dem Radius r = 1 wird Einheitskreis genannt. Am Einheitskreis ist die Kreisbogenlänge ein direktes Maß für die Größe des Winkels. Dies wird auch als Bogenmaß x bezeichnet. Man gibt es oft als Vielfaches von π an.
x = α/360° ∙ 2 ∙ π= α/180° ∙ π und α= x/2 ∙ π ∙ 360° = x/π ∙ 180°
Steffen: „Ich habe mit meinem Vater eine kreisrunde Sonnenterrasse mit einem Radius von 3 Metern in unserem Garten gepflastert.“
Jonas: „Wie lange habt ihr dafür gebraucht?“
Am ersten Tag hat Steffen mit seinem Vater einen 160°-Grad-Kreisausschnitt geschafft. Am folgenden Tag haben sie den Rest geschafft. Welche Fläche haben die beiden also an den jeweiligen Tagen gepflastert?
Als Erstes überlegen wir uns, welche Fläche die Terrasse insgesamt hat. Man rechnet:
A_Terrasse=π∙r²=π∙3 m²=28,3 m²
Jetzt berechnest du die jeweiligen Kreisausschnitte der beiden Tage. Dafür musst du die übliche Formel für den Flächeninhalt lediglich durch einen Quotienten erweitern, der den Anteil des Kreisausschnitts zur Gesamtfläche angibt.
A_Kreisausschnitt= Winkel Kreisausschnitt/360° ∙ π ∙ r²
Nun kann man die Kreisausschnitte berechnen, indem man die Gradzahlen und den Radius einsetzt.
A_Tag 1 = 160°/360° ∙ π ∙ (3 m)² = 12,6 m² A_Tag 2 = 200°/360° ∙ π ∙ (3 m)² = 15,7 m²
Zur Überprüfung rechnen wir:
A_Terrasse=A_Tag 1 + A_Tag 2 = 12,6 m² + 15,7 m² = 28,3 m²
Steffen: „Am ersten Tag haben wir 12,6 Quadratmeter gepflastert, am zweiten Tag die restlichen 15,7.“