Ξεκίνησε την ποδοσφαιρική καριέρα του στις ακαδημίες του Παναθηναϊκού και την περίοδο 1995-96 μεταπήδησε στην πρώτη ομάδα των "πρασίνων". Τις τρεις πρώτες του χρονιές στην πρώτη ομάδα δεν είχε ιδιαίτερη παρουσία, ήταν από τους λίγους της ηλικίας του όμως που δεν δόθηκαν δανεικοί σε κάποια μικρότερη ομάδα, δείγμα ότι είχε εκτιμηθεί το ταλέντο του.
Την τέταρτη χρονιά του στον Παναθηναϊκό ο τότε προπονητής του, Βασίλης Δανιήλ, τον εμπιστεύθηκε δίνοντας του φανέλα βασικού. Από τότε και για όσο έμεινε στην αθηναϊκή ομάδα ήταν βασικότατο στέλεχος. Μάλιστα στην πρώτη του χρονιά ως βασικός του δόθηκε η ευκαιρία να αγωνιστεί και σε προκριματικό όμιλο του Champions League. Στη συνέχεια της παρουσίας του στον Παναθηναϊκό έφθασε 4 φορές κοντά στην κατάκτηση του πρωταθλήματος (1999-2000, 2001-02, 2002-03, 2004-05) ενώ την περίοδο 2003-04 κατέκτησε το νταμπλ.
Με τους "πράσινους" πήρε μέρος και σε εξαιρετικές ευρωπαϊκές παρουσίες. Η αρχή έγινε την περίοδο 2000-01 όταν ο Παναθηναϊκός προκρίθηκε στους 16 του Champions League, καθώς στον προκριματικό όμιλο απέκλεισε το Αμβούργο και τη Γιουβέντους του Ζινεντίν Ζιντάν. Μάλιστα στον τελευταίο και καθοριστικότερο αγώνα για την πρόκριση εναντίον της Γιουβέντους, που διεξήχθη στο ΟΑΚΑ και στο οποίο οι δύο ομάδες ήθελαν πάση θυσία τη νίκη, ο Παναθηναϊκός επικράτησε της σπουδαίας αντιπάλου του με το επιβλητικό 3-1 σε μία βραδιά που ο Μπασινάς πραγματοποίησε την καλύτερη ίσως ευρωπαϊκή του εμφάνιση, σκοράροντας με πέναλτι στο 59' και σφραγίζοντας στην ουσία την πρόκριση επί των Ιταλών.
Την επόμενη χρονιά (2001-02) ο Άγγελος Μπασινάς κατάφερε να φτάσει με τον Παναθηναϊκό μέχρι τα προημιτελικά. Στον πρώτο προκριματικό όμιλο το "τριφύλλι" ξεπέρασε το εμπόδιο των Άρσεναλ, Σάλκε και Μαγιόρκα, ενώ στους "16" κληρώθηκε με Ρεάλ Μαδρίτης, Πόρτο, Σπάρτα Πράγας και οι "πράσινοι", με τον Μπασινά βασικό τους στέλεχος, πήραν την πρόκριση για τα προημιτελικά. Εκεί αντιμετώπισαν την Μπαρτσελόνα των Ριβάλντο και Κλάιφερτ και παρότι ο Μπασινάς σκόραρε με πέναλτι στον πρώτο εντός έδρας αγώνα (1-0), στον επαναληπτικό ηττήθηκαν με 3-1 και αποκλείστηκαν.
Την περίοδο 2002-03 στο κύπελλο UEFA ο Μπασινάς, που πλέον είχε καθιερωθεί στη βασική ενδεκάδα, έφθασε έως τα προημιτελικά αποκλείοντας την τουρκική Φενερμπαχτσέ και τη βελγική Άντερλεχτ. Εναντίον της τουρκικής ομάδας σκόραρε με μακρινό σουτ στον πρώτο αγώνα της Πόλης (1-1) και άνοιξε τον δρόμο της πρόκρισης που ήρθε με το επιβλητικό 4-1 στον επαναληπτικό της Αθήνας.
Το 2005 αποκτήθηκε από την ισπανική Μαγιόρκα.