Отдельное спасибо за вопрос/ответ про олимпиадную движуху!

Только это не модель Пуанкаре. В модели Пуанкаре прямые это дуги окружностей перпендикулярные границе круга. А то, что описывается тут, где прямые хорды, называется модель Клейна (или Бельтрами - Клейна, или Кэли - Клейна). Это разные модели. См. в Википедии ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Модель_Клейна и ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Модель_Пуанкаре.

савватееву давно на лекции со стаканом спирта надо приходить! )

Ура, я в телевизоре :)