Excellente vidéo ! J'aurais aimé la voir il y a 13 ans en cours sur la théorie des groupes de Galois. Je me demandais quels logiciels tu utilises pour faire tes animations ?

Une autre vidéo sur la théorie de Galois s'il vous plaît.

J'ai vu ça à la fac. Il y a longtemps. Enfin je commence à y voir plus clair. Merci merci. Peut-être vais je approfondir. Encore merci. Chapeau bas.

You all prolly dont give a shit but does someone know a tool to log back into an Instagram account..? I stupidly forgot the password. I would love any assistance you can offer me!

@Mack Aaron instablaster ;)

Hehe, for this one there are eng subs in case of doubt :) If I managed to explain Galois fundamental theorem in 20 minutes only visually that's quite an unlocked achievement :)

Ramanujan, Einstein, Von Neuman

@@kalgon57 En effet, mais comme la liste est hyper longue...

@@fornlike tant que ça ? un génie par définition c'est exceptionnel. il doit y en avoir ... genre 2 ou 3 tous les 10 ans.

@@kalgon57 Après avoir pas mal creusé la question, je dirai qu'il y en a bien plus fréquemment qu'on ne pourrait le penser. ... Isaac Newton, Leonhard Euler, Leibniz, Niels Henrik Abel, Gotthold Eisenstein, Georg Cantor, Henri Poincaré, Nikola Tesla, David Hilbert, Kurt Gödel, Marie Curie, Emmy Noether, Ettore Majorana, Grigori Perelman, Terence Tao, Maryam Mirzakhani,... Lequel de ces noms selon toi ne mériterait pas le titre de génie? Et cette liste est très courte. L'Asie notamment a aussi des génies très peu connus.

@@fornlike Je ne les connais pas assez bien et certains même pas du tout. Mais je dirais qu'il ne suffit pas d'avoir fait avancer la science, fait une découverte ou d'avoir obtenu un prix Nobel pour être qualifié de génie. Une personne douée avec de la chance et de la persévérance peut faire une découverte. Parfois il faut de nombreuses petites contribution pour arriver à un résultat intéressant. Parfois il faut aussi beaucoup de subventions. Tout chercheur en mathématiques est susceptible de faire une découverte et de donner son nom à un théorème par exemple. Sommes-nous d'accord sur cela ? Par exemple Perelman ne se qualifie lui-même pas de génie, il a eu de bonnes opportunités tout au long de son parcours pour l'amener au plus haut niveau, il a consacré sa vie entière à ses recherches et a donc maximisé ses chances. Il est très doué, peut-être surdoué, mais de là à dire génie je dirais qu'il y a un cran en plus. Je ne sais pas si j'ai pris le bon exemple, mais tu as compris l'idée. Quand tu dis que tu as pas mal creusé la question, c'est quoi ? Tu as fait une thèse, un article, un mémoire sur ce sujet ? Si oui, j'imagine que tu en sais plus que moi et que tu pourras me donner une définition consensuelle du génie ?

Merci! je suggere la playlist en anglais dans la description, très complete.

Hello, merci, oui c'était volontaire de tricher ainsi, justement pour ne pas avoir à expliquer l'aspect contravariant de la correspondance (c'est déjà chaud à suivre pour le novice). C'est aussi pour cette raison (tricherie) que j'ai choisi une hiérarchie qui a une symetrie de renversement. :p

@@PasseScience Aaah, bien joué, c'était sûrement le meilleur choix d'un point de vue pédagogique en effet ! 👍

S'il y a d'autres sujets qui vous intriguent depuis longtemps je vous invite à les évoquer!

Je parle du théorème de Noether dans cette video la autour de 7:00 kzfaq.info/get/bejne/g6-VjN1nxrOmkp8.html et je reparle un peu de Noether dans la video "espace temps masse energie". Ca ne repond pas totalement à ta question mais c'est fortement lié ca te montrera le rapport entre une invariance des lois physiques et une loi de conservation (energie ou quantite de mouvement). Et tu peux chercher d'avantage sur le theoreme de Noether sur youtube. Lorsque Klein il dit "symetrie" cest dans le meme sens que invariance dans ma phrase precedente, les particules en quantiques sont represente par des champs (des valeurs en tout point de l'espace pour faire court) ses champs ont des invariances particulieres et des mathematiques de la meme famille que Noether implique des lois de conservations et d'autres proprietes. En effet je ferais peut etre une video dessus un jour :)

@@PasseScience Merci pour ta réponse. En effet j'avais déjà vu le théorème de Noether et le lien entre invariance des lois et conservation de l'énergie. Je pensais que le propos de klein désignais une réalité mathématique plus profonde. En tous cas merci beaucoup pour toutes tes videos, je les regarde toutes ;)

@@jadiswb654 oui ca désigne une mathematique plus profonde a cause du type de symétrie qui implique des choses plus riches, on parle de symétries de jauge local (on ne dit jamais le "local" mais c'est quand c'est local que c'est important). Une symetrie de jauge globale cest lorsque par exemple tu peux ajouter une constante partout et ca change rien (un champ de potentiel), une symetrie de jauge local c'est lorsque tu es encore plus libre, tu peux ajouter un certain champ (donc pas partout pareil) et avoir encore une situation formelle qui decrit la meme situation physique. ET ce type particulier d'invariance implique pas mal de chose (que je maitrise mal)

@@PasseScience merci encore. en trois mots j'ai deja l'impression de mieux comprendre. J'attends le prochain episode avec impass-science

@@jadiswb654 Pour la route tu as un exemple "simple" d'invariance de jauge ici concernant V et A le potentiel electrique et le potentiel vecteur: fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_vecteur_du_champ_magn%C3%A9tique Tu peux voir que V tout seul a une invariance globale, mais l'ensemble V,A (qu'il vaut mieux voir comme un object unique un quadrivecteur potentiel, voir video physique et perspective) a une symétrie de jauge et est donc defini a un champ de jauge pres. le phi dans le paragrape "Potentiel vecteur et invariance de jauge" sur la page. Ca permet deja de saisir ce que c'est une invariance de jauge avec des objets courants avant d'entammer les objet exotique et les consequence de l'invariance :)

@Valchap Ils ont pas de bol, quand même ! Mettre au point un truc pareil et tomber sur des cerveaux comme nous !

@@AtheosAtheos De toute façon, ce qui compte, c'est les valeurs.

Tempora mori, tempora mundis recorda. Voilà. Et bien ça, par exemple, ça veut absolument rien dire, mais l’effet reste le même

Merci beaucoup, oui comme ce sont des sujets très fertiles qui ont eu le temps d'arriver à maturité on a souvent énormément d'indirections de "définition" et faut souvent maîtriser 10 mots de vocabulaire pour comprendre un truc pourtant assez "simple". C'est le genre de chose ou parfois je me demande si l’idéal ce n'est pas de lire directement les travaux de Galois :). En tout cas je suis content d'avoir réussi à le présenter clairement, c’était pour moi aussi un sujet qui a pris énormément de temps à saisir.

@@PasseScience Pour le vocabulaire, c'est exactement ça. On a aussi des concepts dont on ne voit pas trop la finalité au départ, comme le noyau, les classes d'équivalences, l'ensemble quotient. 3B1B a aussi proposé une vidéo très sympa il n'y a pas longtemps... Je crois qu'il y a pas mal de monde qui rêve d'une "series" entière du sieur sur le sujet! Merci encore, et je suis presque _"soulagé"_ d'apprendre que le sujet vous a résisté un bout de temps, car c'est vraiment le genre d'expérience qui peut vous faire dire : _"ok, là, c'est la preuve qu'il me manque un truc pour faire des maths..."_ .

Les mathématiques sont pleines de liens insoupçonnés !

Tu serais pas à l'ENS Lyon par hasard ? Et en effet, incroyable cette vidéo !

@@victorcaudan6783 Si, le monde est petit xD

Les gars comment vous avez travaillé les maths? Je suis a bac+2 et je me sors bien mais je vois pas comment progresser... J'ai une intuition correcte mais sens plus(en gros pas l'intuition d'un mec de l'ens mais plutot ccp/mine et encore)

@@phixi7417 Si t'es en prépa, je te dirais de faire des annales de concours, comme ça tu seras pas trop surpris le jour J et ça te fera surtout bosser ce qui tombe souvent. Fais en qui soient à ton niveau, si c'est trop simple ça ne sert à rien, si c'est trop compliqué ça va te désespérer. Et surtout taffe tes points faibles, l'intuition c'est pas magique, ça vient avec l'entraînement

Pour désigner la même chose? parce que en effet "champ" ca aussi aussi en terme mathématique francais, mais pour désigner autre chose que la structure algebrique dont on parle ici, on parle de champ vectoriel ou de champ de scalaire par exemple pour parler de l'association d'un certain object (vecteur ou nombre ou autre) en chaque point d'un espace. "Corps" c'est plus précis, ca désigne un ensemble dans lequel certaines opérations sont permises sans en sortir.

@@PasseScience Oui chez nous votre corps c'est un champ N, Z, R sont des champs (à moins que celà ai changé ce siècle ci mais ça m'étonnerait!)

En France, les champs sont les "stacks" anglais (des sortes de généralisations des faisceaux).

@@alainvaneghem6755 En français N et Z ne sont pas des corps, seulement Q et R. Z est un anneau, comme les matrices ou les polynômes, mais il faut avoir tous ses éléments inversibles pour la loi x pour être un corps.

Alain Vaneghem, je pense que votre mémoire vous taquine. J'ai grandi dans les années septante et je n'ai jamais entendu appeler N ou R des "champs" . Mais bien, en primaire, des ensembles, et en humanités, des corps ou anneaux.

J’ai travaillé dans le CD-DVD. Chaque disque contient 5 fois le code de lecture (5 fois la vidéo, par exemple). Cinq fois car c’est l’equation max en (x) puissance 5 dont on sait tirer les racines en cas d’erreur liée à une rayure, une poussière ou un problème de matriçage du disque.

Merci! si ce genre de sujet maths velues plait j'invite avoir l’épisode sur l'equidecomposition: kzfaq.info/get/bejne/e76bqsZz3sCcZ30.html

Haha, it was a joke, I'm a mathematician anyway XDD your points were clear thanx!

J’ai fait le même constat malheureusement :-(. Un site web existe encore : www.mathweb.fr/ avec des vidéos disponibles mais la playlist sur la théorie de Galois n’y est pas :-/.

@@fabienleguen et @roglo, il a remis l’intégrale en ligne ici: kzfaq.info/get/bejne/f9ZxpZWTytnKY3U.html

Hello, c'est normal que tu ne le comprenne pas, ce n'est volontairement pas detaillé. Dans la video ce que je veux dire c'est "admettez que c'est le cas qu'il y a une propriete homologue aux bon chemin coté corps mais coté groupe". Ce choix de ne pas détailler ce point est volontaire biensur (comme beaucoup d'autres points ou étapes passé sous silence) Si tu veux qq details technique: dans la chaine de groupe la propriete qu'on veut c'est que chaque sous groupe de la chaine (sous groupe du groupe qui le suit dans la chaine) soit des sous group normaux. Definition ici: en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup Ca c'est ce qu'on cherche à démontrer lorsqu'on veut utiliser la machine de Galois sur un polynome donné, mais biensur dans les travaux de Galois il a falut à la base demontrer que la propriete cote corps de bon chemin se traduit par celle ci cote groupe, et pour cela il faudrait rentrer d'avantage dans les details :)

Oui j'ai ajouté le mot "satisfaisante" :) j'ai pas dit le premier à donner une réponse, mais le premier à donner une réponse satisfaisante :P (avec tout le floue subjectif que ca implique sur ce que chacun considère ou non satisfaisant) justement pour me protéger contre cette remarque sur le théorème d'Abel :) mais oui j'avoue que cette pirouette c'est aussi pour vendre la star de l’épisode, car l’épisode est sur les groupes de Galois.

Merci beaucoup pour les encouragements. Oui je pense objectivement que cette video et qq autres de la chaines méritent d'avantage de vues, mais c'est le fameux "algo" qui veut cela. Avec un peu de chance le partage touchera une chaine plus influente qui en parlera :)

Hello, je conseille cette playlist: kzfaq.info/sun/PLwV-9DG53NDxU337smpTwm6sef4x-SCLv La question est détaillée dans le 6.6 (et du coup faut fouiller un peu avant en fonction), de memoire et si j'ai bien compris, lorsqu'on a une suite de groupe N1 N2 N3..... pour que ca soit un "bon chemin" il faut que les "groupes quotients" fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_quotient des maillons consécutifs dans la chaine (donc N2/N1, N3/N2, etc...) soient abéliens fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien (c'est a dire commutatif, on peut composer leur elements dans n'importe quel ordre, ca ne change pas le résultat).

Je vais essayer d'expliquer comment fonctionne l'existence et la recherche d'un bon chemin. L'avantage, c'est que la vidéo a déjà parlé des sous-groupes et des graphes de Caylay. L'idée, c'est de d'abord comprendre qu'est-ce qu'un sous-groupe normal. En fait, on peut voir un sous groupe comme un ensemble de transformations stable, c'est à dire dont la compositions d'éléments produit des éléments uniquement dans ce sous groupe. Prenons alors un sous-groupe que l'on va appeler N. Maintenant, si on prend une transformation au hasard (que l'on va appeler k) en dehors de ce sous groupe, et que l'on forme l'ensemble des transformations de la forme k.n (la transformation n puis la transformation k, où n est une transformation quelconque du sous groupe N). Cela va nous créer un autre ensemble de transformations, que l'on peut appeler k.N. Et, l'ensemble de ces k.N forme une partition du groupe de départ, c'est à dire que le groupe peut être séparé en un ensemble de parties égales, de même forme, disjointes et dont l'union constitue le groupe de départ. Mais aussi, on peut réaliser la même construction, avec cette fois-ci les N.k (c'est à dire l'ensemble des éléments de la forme k, avec ensuite une transformation n de N). Il se peut que l'on obtienne une autre partition du groupe de départ, mais il se peut aussi que l'on obtienne la même permutation. Dans le second cas, on dit que le sous groupe N est normal. En résumé, un sous-groupe est dit normal quand transformant l'ensemble de ses éléments dans un sens où dans l'autre, on parcours la même partition. Enfin, quand on a un groupe G ainsi qu'un sous-groupe normal N, l'ensemble des permutations que l'on peut réaliser avec ce sous-groupe normal et ses images par les transformations est lui même un groupe de permutations. On le nomme le groupe quotient entre G et N, noté soouvent G/N. Et bien, les bon chemins correspondants à des racines n-ièmes (les faaaameux bons chemins) sont ceux passant par un sous groupe normal dont le quotient est un groupe dit commutatif (c'est à dire dans lequel les résultats par les opérations ne dépendent pas de l'ordre des éléments, contrairement au cas du rubik's cube) ! Et donc, selon Galois, une équation est résoluble avec les quatre équations fondamentales et les racines n-ièmes si, en partant du groupe de permutation de ses racines, on peut y touver un sous-groupe normal au quotient commutatif, puis un sous-groupe normal de ce sous-groupe au quotient commutatif, et ainsi de suite, jusqu'à l'identité elle-même (la transformation qui ne change rien).

@@aaaa8130 Oui !

@@aaaa8130 Oui. D'ailleurs, un tel groupe s'appelle un groupe résoluble !

@@QuadriviuumTremens Waouhhh je ne pensais pas trouver une explication aussi claire aussi rapidement. Merci

@@QuadriviuumTremens Ahhh si j'ai bien compris les différents sous-groupes de la chaîne doivent être distingués et abéliens pour pouvoir respecter les règles de l'arithmétique ???

É bé, t'es motivé...

j'ai eu la même réflexion, je sais pas si c'est moi qui n'ai pas compris qqchose ou s'il manque réellement qqchose

Hello, oui le point n'est pas détaillé volontairement! (comme beaucoup d'autres points ou étapes) Dans la chaine de groupe la propriete qu'on veut c'est que chaque sous groupe de la chaine (sous groupe du groupe qui le suit dans la chaine) soit des sous group normaux. Definition ici: en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup Ca c'est ce qu'on cherche a demontrer lorsqu'on veut utiliser la machine de Galois sur un polynome donné, mais biensur dans les travaux de Galois il a falut à la base demontrer que la propriete cote corps se traduit par celle ci cote groupe.

Une autre vidéo de vulgarisation serait la bienvenue

@@PasseScience Heu... Super vidéo, mais là je dois corriger ce commentaire ! La condition, c'est que le groupe doit être résoluble (fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_r%C3%A9soluble). Donc on veut un chemin où, en effet, chaque sous-groupe est normal dans le suivant (ça existe toujours), mais surtout on veut qu'à chaque étape le quotient soit un groupe commutatif. On peut l'expliquer autrement. Le grand théorème dans il est question à la fin de la vidéo, c'est la classification des groupes finis simples (fr.wikipedia.org/wiki/Classification_des_groupes_simples_finis), qui sont en quelque sorte les constituants élémentaires des groupes finis : il y a toujours des chemins où chaque sous-groupe est normal dans le suivant, et où chaque quotient est simple ; de plus s'il y a plusieurs tels chemins, la collection de groupes simples obtenus sera la même, avec les mêmes multiplicités, mais si l'ordre peut être différent (théorème de Jordan-Hölder). Les groupes finis simples abéliens sont faciles à classifier : ce sont les groupes cycliques d'ordre p avec p premier. Les groupes finis simples non abéliens sont les groupes alternés A_n avec n >=5, les groupes finis de type de Lie, et 26 groupes sporadiques. Un groupe fini résoluble est un groupe fini dont tous les constituants simples sont cycliques d'ordre p. Nous aurons besoins de savoir ce qu'est le groupe alterné. Déjà, le groupe symétrique S_n, c'est le groupe de toutes les permutations de {1,2,...n}, il y en a n! = 1x2x3x...xn. Le groupe alterné A_n est constitué des permutations paires, i.e. qui s'obtiennent comme composition d'un nombre pair de transpositions (une transposition échange deux éléments et laisse les autres invariants) ; il y en a n! / 2. Le sous-groupe A_n est normal dans S_n. Prenons maintenant un polynôme P irréductible de degré n, à coefficients rationnels. Le groupe de Galois est un sous-groupe de S_n (il permute les n racines), pour P "générique" il est égal à S_n. La question est donc de savoir si S_n est résoluble. C'est le cas si et seulement si n = 5, et est donc un constituant simple non abélien de S_n pour n >= 5. Ce point-là n'est pas très difficile à montrer. En tout cas merci pour ce travail de vulgarisation, j'aimerais tellement que tout le monde en entende parler au lycée !

Vidéo brillante à tout niveau, magnifique ! Après je dois avouer que je suis un peu choqué que (dans un souci de ne pas trop compliquer les choses j'imagine), ne soient retenues dans les fameuse opérations élémentaires que +, -, x, /, et racine carrée. Ce qui ou sous-entendrait que ne sont concernées et suffisantes que ces opérations lorsque la détermination exacte des racines d'un polynôme est possible (en particulier les polynômes de degré 4 ou inférieur) : que dire de racine cubique de 2 ? N'y avait-il pas moyen de vulgariser sans trop compliquer l'ensemble des nombres définis par radicaux, les racines énièmes ne sont-elles considérées comme si atroces ;)

c'est tout de même fascinant. il y a quelques années je me demandais si ce que l'on appelle parfois le « talent » existe réellement. il faut croire que certains sont dotés d'une intuition beaucoup plus forte que les autres. se dire que des merveilles se produisent (sans effort)*, c'est profondément élégant.

@@patrickhorlaville En disant ça, tu présupposes que cette intuition est causale de sa seule personne... Il a vécu pour sortir cette théorie, il a échangé avec des gens, il a étudié des notions déjà élaborées, etc. Et surtout, le problème lui a été posé, que ce soit lui qui l'ait posé ou quelqu'un d'autre, ce problème posé lui a été extérieur. C'est l'ensemble de toutes ces choses, plus son intuition propre effectivement, qui ont amené à produire une théorie pertinente. Je pense pas qu'on puisse parler d'intuition plus forte quand les facteurs environnants sont multiples .

Si Kronecker me dit merci, c'est tout un symbole! :)

Hello, merci. La représentation que j'utilise se nomme graphe de Cayley (en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph), oui c'est un bon outil et dont on parle paradoxalement peu. Ne pas oublier qu'un graphe de Caley va dependre du choix des générateurs que tu prendras pour ton groupe (un même groupe aura potentiellement donc plusieurs graphe de Caley), une des raisons pour lesquelles on utilise peu cet outil, est, je pense, le fait qu'en dehors des groupes triviaux avec très peu d’éléments, un graphe de Caley est intracable (beaucoup trop gros).

Hello, hum je ne sais pas mais je ne suis pas sur d'avoir saisi la question

Hello, merci pour votre réponse ^^ J'ai appris à résoudre ainsi les équations différentielles (ED), en particulier celles de la forme : f ' ' + af ' + bf = 0 avec a et b deux réels En gros, on peut réécrire l'équation ainsi: [ d² + ad + b ] (f) = 0 avec d l'opération de dérivation, donc on applique cet opérateur à f. C'est ce qu'on appelle le polynôme caractéristique d'une ED. Alors on peut trouver les racines du polynôme, disons r et s, et le factoriser ainsi : [d-r][d-s](f) = 0 Ce qui nous donne 2 ED simples à résoudre : f ' =sf et f ' = rf Maintenant si j'ai une ED de la forme suivante : f ' ' ' ' ' - 3f ' + f =0 Son polynôme associé est: d^5 - 3d +1 = 0 qui est le polynôme que vous présentez à 20:53 , comme il n'est pas possible de trouver ses racines à l'aide de + - * / et racine-nieme, alors la méthode que j'ai décrit pour trouver les solutions d'une ED n'est plus applicable. A moins qu'il n'y ait d'autres méthodes pour trouver les solutions d'une ED. Et donc en supposant qu'il n'y ait pas d'autres méthodes, ce qu'a démontré Galois implique l'impossibilité d'avoir des solutions analytiques pour certaines ED. Après je ne connais pas grand chose aux ED, c'était une simple question de curiosité ^^

Effectivement, dis comme ça, si l'équation caractéristique n'a pas de solution que l'on peut écrire de manière "conventionelle", il doit en être de même pour la fonction solution de l'équation différentielle associée.

@@bazounet32 En supposant que la méthode que j'ai énoncée est la seule méthode, ce qui est une hypothèse assez douteuse ^^

@@fractalphilosophorum9405Il y a plein d'autre méthodes, cela dépend beaucoup de la forme de l'EqDiff originelle. Mais en effet, pour celles qui reposent sur un polynome quintique, il n'y aura pas d'expression analyitque. Toutefois vous pourrez l'écrire en chiffres (coupés assez précis pour votre besoin technique).

Premièrement, il faut noter que ce polynome est irréductible (ce qui peut se montrer par l'absurde) et qu'il possède trois racine réelles (calculer f(-2), f(à) et f(1) et conclure avec le TVI). Il y a 5 racines, donc le groupe de Galois (celui qui permute les racines) est un sous-groupe du groupe de permutations de 5 éléments. Comme le polynome est irréductible, l'image de n'importe quelle racine peut être n'importe quelle racine, et on dit alors que l'orbite de chaque racine est l'ensemble des 5 racines. Une conséquence de ceci est que le nombre d'éléments du groupe est divisible par 5 et donc qu'il contient un élément d'ordre 5 (une transformation qui, répétée 5 fois, revient au point de départ). De plus, vu qu'il y a deux racines complexes conjugués, alors il y a aussi une transposition (l'échange des ces deux racines) dans le groupe des permutations. Or, tout sous-groupe du groupe de permutations de 5 éléments contenant une transformation d'ordre 5 et une transposition contient toutes les transpositions de 5 éléments, groupe que l'on appelle S5. Du coup, le groupe associé à cette équation est S5, qui ne contient pas de "bon chemin".

@@QuadriviuumTremens Alors ça m'interesse énormément mais je suis en 3e, tu peux mettre des liens pour que je puisse un peu mieux comprendre ce que tu dis ?

@@godefroidelaguinguette7554 Est ce que tu comprends bien l'anglais ?

@@QuadriviuumTremens oui

@@godefroidelaguinguette7554 Je rajoute que sur le wiki fr ici fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois tu peux cliquer sur "Détails de l'exemple X5 - 3X - 1" dans la page. Tout ne sera pas clair mais ca te donnera un point de depart.

@@gmangman9363 Ah, mais elles existent toujours ! Le théorème, enfin le résultat de Galois, ce n'est pas du tout une question d'existence de ces solutions, il y a toujours des solutions complexes pour un polynôme de degré qcq. Le résultat de Galois concerne l'expressibilité de ces solutions via des opérations précises. Et en effet, si on change l'ensemble d'opérations utilisées, on change potentiellement jusqu'à quel degré on peut exprimer ces solutions avec le nouvel ensemble d'opérations. Quand on y réfléchit, le résultat de Galois est bien plus fou qu'une démonstration de non-existence, parce qu'il y a plein de manières en maths de démontrer des non-existences de solutions, alors que réussir à démontrer que, malgré leur existence, on ne pourra jamais les exprimer de manière générique avec un ensemble donné d'opérations, c'est beaucoup plus subtil et assez vertigineux.

Hello, a priori il l'a supprimée. Du coup voir celle en anglais, plus détaillée.

@@PasseScience Stéphane Pasquet l'a très gentillement republié l'intégrale ici kzfaq.info/get/bejne/f9ZxpZWTytnKY3U.html Merci à lui

@@damiennicolas4645 Merci, description et fiches mises à jour.

@@aaaa8130 sauf que je viens de faire les deux manips sur un cube et les résultats sont différents. C'est l'associativité quand ce n'est pas commutatif qui me pose problème.

minirop Tu dois appliquer les deux manips R(FU) et (RF)U dans le même sens : soit de gauche à droite, soit de droite à gauche (en général, par convention, le sens de lecture est de gauche à droite). Par exemple, de gauche à droite, la manip R(FU) revient à appliquer R, puis FU. (RF)U revient à appliquer RF, puis U. Ce que nous dit l’associativité c’est que faire R(FU) ou faire (RF)U revient au même, donc on peut simplement noter RFU. Cependant, le groupe défini par l’ensemble des manips que l’on peut faire sur un Rubik’s Cube n’est pas commutatif : c’est pour ça que le sens de lecture est important. Pour deux manips A et B, on n’a pas forcément AB=BA. Ton erreur vient du fait que tu considères R(FU) comme égal à (FU)R (implicitement, sans t’en rendre compte). Ce qu’il y a entre parenthèses ne doit pas forcément être appliqué en premier, juste « calculé » puis « remplacé » par le résultat obtenu c’est tout. Si, habituellement, dans les calculs avec des nombres réels (ou complexes) on « applique » ce qu’il y a entre parenthèses en premier, c’est juste car R (ou C) muni de l’addition usuelle est un groupe commutatif.

Je comprends mieux, [supprimé, je mélange] par contre, l'associativité a-t-elle un intérêt seule ? car ça revient à rien du tout j'ai l'impression. si on prend les opérations de base : + et * sont associatives et commutatives. - et / ne sont ni l'une ni l'autre. est-ce qu'il existe des groupes/opérations qui soient l'un ou exclusif l'autre ?

Ça dépend du niveau de précision auquel tu veux comprendre. (Et de ton niveau). Je t'invite à poser une question à partir du premier moment de la vidéo ou tu ne comprend plus ( dans un autre commentaire et non en réponse ici comme ça tout le monde en profitera). L'age n'est pas un facteur important ici (Galois avait 16 ans lorsqu'il a découvert cela) c'est plutôt une questions des outils mathématiques que tu connais déjà et maîtrise bien.

J'ai compris , la chose qui me bloque et que cella ne m'aide pas dans la phrase que je cherche qui est

Hello, dans la video je dis racine mais en fait il est bien question de racine n-ieme. Lorsque ce n'est pas résoluble par radicaux on utilise des fonctions assez étranges. Si tu rentres l'exemple que je donne dans wolfram alpha et clique sur "exact forms" pour les "real roots" tu vas voir la fonction F_3: www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-3x%2B1 qui est une "Appell Hypergeometric Function" c'est defini ici: mathworld.wolfram.com/AppellHypergeometricFunction.html Donc tu peux constater que ce ne sont plus des opérateurs triviaux :)

Hello, dans la vidéo je n'explique pas ce qu'est un bon chemin totalement, je l'explique côté corps et côté groupe je dis juste que c'est une "autre propriété" en correspondance avec la propriété côté corps. (en gros je demande de l'admettre car le point n'est pas facilement vulgarisable). Dans la hiérarchie coté corps, un "bon chemin" c'est une suite de corps inclus les uns dans les autres et telle que chaque corps englobant ceux plus petits puisse être obtenu en ajoutant une racine nième d'un des éléments de ces corps plus petit, et ce qui vient avec pour en faire un corps. (Ca je le montre dans la vidéo, vers 13:56). De mémoire je crois qu'on dit que cette chaîne de corps est telle que chaque corps de la chaîne soit une "extension Galoisienne" des corps avant dans la chaîne. Dans la hiérarchie coté groupes en correspondance avec la hiérarchie coté corps, un bon chemin est une suite de groupes inclus les uns dans les autres et tel que de l'un au suivant on vérifie une "certaine propriété" (que galois a démontré être la propriété équivalente dans le monde des groupe à celle d'extension Galoisienne dans le monde des corps), il y a une histoire de sous groupe quotient mais malheureusement je ne m'en souviens plus très précisément. Je t'invite à consulter la playlist que je conseille en description pour avoir les propriétés rigoureuses, tu peux commencer par l'épisode de conclusion et revenir en arrière pour éclaircir les concepts qu'il utilise et que tu dois éclaircir. Voici la playlist, pointant vers la "lecture 6.6" qui aborde le point relatif à ta question, la "conclusion" de Galois: kzfaq.info/get/bejne/btebmbpkmqfVooU.html&ab_channel=ProfessorMacauley et comme il risque d'evoquer des concepts qu'il a introduit avant dans cette conclusion; il faudra remonter en arriere. Ou tout voir dans l'ordre ça marche aussi évidemment; mais il y en aura pour des heures. :)

@@PasseScience merci pour votre temps !

Hello! c'est non au 3 questions :p mais du coup c'est idéal car ça veut dire que les réponses seront très utiles! :) Je détaille donc pour chaque question: 1/3) C'est le corps des racines d'un polynôme donné, celui de notre choix qu'on considère et pour lequel on souhaite savoir si ces racines sont exprimables avec +-*/ et racine (exprimable par radicaux). A chaque polynôme on a donc potentiellement un corps différent.2/3) Les sous ensembles de couleurs dans le corps des racines ne représentent pas ce qui est accessible par les opérations usuelles, et le fait que les r1 r2 r3 soient inclus dedans ou pas ne nous aide pas. Les corps de couleurs représentent tous les sous corps du corps des racines, pour cela il faut juste que ça soit des sous ensembles de point du corps des racines ET que ça soit des corps; c'est a dire que ça soit stable avec les opérations usuelles +-*/. Stable ça veut dire qu'en combinant des valeurs de ces corps avec les opérations tu obtiens toujours des points qui restent dedans, mais ça ne veut pas dire que les points du corps sont exprimables par radicaux. Par exemple si tu prend l'ensemble de toute les fractions et que tu y ajoute l'ensemble de toute les fractions multipliées par le nombre Pi; tu as bien un corps: celui de l'ensemble des valeurs de la forme p+q*Pi et si tu ajoutes ou multiplies entre elles de telles valeurs elles ont toujours cette forme p+q*Pi (ERRATA voir EDIT); c'est stable avec les opérations usuelles et pourtant ça contient Pi entre autre; que tu ne peux pas exprimer par radicaux (EDIT ha non mauvais exemple c'st pas stable par multiplication; faudrait pendre les polynomes en Pi, enfin bref j'espere que meme avec le mauvais exemple tu saisiras :p) Pour les bon chemin il faut 2 choses: que ça soit un chemin, c'est a dire une suite de corps inclus les un dans les autres; et qu'il soit bon, ça c'est illustré a partir de 12:15 dans la vidéo, en plus de l'inclusion il faut que les corps successif dans cette chaîne d'inclusion vérifie qu'on puisse obtenir le suivant en ajoutant une racine d'un élément du précédent. En regardant la hiérarchie seule rien ne te permet de savoir si un chemin est bon ou pas, pour le savoir il faut regarder d'autre choses, vérifier cela: que chaque corps de la chaîne s'obtiennent par l'ajout d'une racine d'un élément du précédent. Sous l'hypothèse que les solutions soient exprimables avec +-*/ et racine ce qui est dit en 12:15 implique l'existence d'une chaîne de corps partant de Q. La hiérarchie du corps des racines représentant tous les sous corps de celui ci; ça veut dire que si les solutions sont exprimables par radicaux alors cette hiérarchie contient qq part un bon chemin. 3/3) Il s'agit de regarder l'effet des transformations du groupe des symétries du corps des racines (le truc au centre) sur que ces points la que sont les racines. L'exemple que je donne est assez parlant: tu imagines que le corps des racines (l ensemble de ses points) est un triangle et que les racines du polynômes sont les sommets de ce triangle; les transformations que je donne (toutes les symétries du triangle) si tu ne regardes leur effet que sur les sommets du triangles ça ne fait que les permuter entre eux. Voila voila; je te suggère de te repasser toute la seconde partie de la vidéo avec ces éléments, n’hésite pas si tu as d'autres questions, idéalement dans un autre commentaire (c'est plus facile à détecter et les autres en profiteront)

Au cas ou tu aurais deja lu la reponse ci dessus je precise que j'ai dit une annerie dans mon exemple de corps avec pi qui n'est pas bon.

@@PasseScience Pas de problème, même si cette histoire de pi perturbe un peu la définition qu'il me semblait avoir compris de la notion de corps. Cela signifie t-il qu'un corps peut-être basé sur autre chose que uniquement sur le corps des rationnels en leur coeur que l'on étend ensuite successivement par des racines énièmes, les autres opérations +-/x devant garder stable par définition les corps intermédiaires? Par exemple, peut-on adjoindre un autre nombre transcendant au départ au corps des rationnels pour l'étendre? Dans l'idée que je m'étais faite d'un corps, on ne partait à la base que des rationnels et la construction successive des différents corps intermédiaires, à l'aide de racine énième, ne pouvait mener qu'à la construction de nombres et même uniquement de nombres pouvant se représenter en mêlant nombres rationnels,+,-,*/ et racine("exprimable par radicaux"). Ce qui me perturbe, je me rends compte maintenant, c'est aussi la définition du "corps des racines". Si certaines racines du polynôme ne sont pas exprimables par radicaux, le fait d'appliquer la même méthode de construction que pour l'exemple du corps contenant √2 mais pour trouver dans ce cas "le plus petit corps contenant les racines du polynome" conduit effectivement à y inclure beaucoup d'autres nombres qui ne sont pas représentables exprimables par radicaux... Mais peut-être est-ce cela que l'on cherche à faire, voir si le corps des nombres exprimables par radicaux se confond en partie ou non avec celui des racines du polynome? S'il ne se confond pas du tout, c'est qu'il n'y a pas de "bon chemin" pour pouvoir exprimer les racines sous forme de radicaux ? Après, pour ce qui est des permutations, ma précédente question était plus en rapport avec le schéma à droite, celui du groupe de permutation des racines, je pense avoir bien réalisé que permuter les différentes racines entres elles(en faisant varier par exemple lentement leurs valeurs pour le faire) dans la forme factorisée du polynôme laisse effectivement invariant sa forme développée, en fin de compte, alors que les transitions ainsi effectuées ne sont pas du tout les mêmes. Pour ce qui est du corps des racines et de son lien avec son groupe de symétrie, je crois avoir sinon juste compris qu'il s'agit du coeur de cette grande découverte qu'avait fait Galois(et que là réside sans doute le gros de la complexité de son oeuvre). C'est vraiment incroyable quand on réalise que sa théorie a ensuite eu dans le temps des développements aussi énorme alors que lui-même aura eu une existence si brève. L'expression "passer à la postérité" dans son cas a vraiment un sens très juste. Merci à toi encore à toi, tes vidéos abordent souvent des notions assez complexes mais ta façon de les présenter permet d'en avoir une vision profonde qui les démystifient vraiment, c'est admirable.

​@@bazounet32 Oui un corps ça peut être autre chose que juste une extension avec des racines, je te suggère de voir la définition formelle sur wiki ca sera très clair mais en gros c'est juste un ensemble stable par les opérations usuelles +-*/. Tu remarqueras que qq soit ton corps, s'il contient un élément disons q alors par définition il doit contenir 1=q/q et 2=q/q+q/q et en fait tous les rationnels. Donc dans notre contexte un corps a toujours les rationnels comme sous corps. Et pour avoir un exemple de corps non trivial il te suffit d'ajouter Pi et "tout ce qui vient avec" aux rationnels (c'est ce que j'ai voulu faire maladroitement ci dessus). Essentiellement la démarche de Galois sert en qq sorte à faire la différence entre les corps un peu exotiques comme mon exemple et des plus triviaux à base de racines. Et oui lorsque le corps contient au moins un element un peu merdique il en tire beaucoup d'autres avec lui. Oui je sais que ta seconde question est en rapport avec le schema de droite et ma reponse est quand meme la meme, on parle des permutations des racines au sens permutation par les transformations du groupe du symetrie du corps des racines, et comme je le disais tu peux voir que si on fait faire une symetrie a un triangle; on est bien en train de pertumer entre eux ses coins. Ba la c'est pareil, dans le groupe de symetrie du corps des racines les actions si on en regarde les effets que sur les racines, reviennent à les permuter entre elles. Je ne pense pas que ca implique ce que tu decrives. Pour les symetries du corps des racines on parle plus precisement d'automorphisme, on cherche des transformations qui envoie chaque point du corps sur un autre et qui en preserve la structure dans la sens suivant: si tu as par exemple dans le corps a b et c tel que a + b = c on aimerait que dans la transformation f(a)+f(b)=f(c) on veut preserver toutes les relations algebriques par la transformation en plus d 'envoyer tous les points du corps sur un autre point du corps. Un exemple simple (mais du coup ca peut en pratique etre beuacoup moins clair) si tu prend le corps des nombres x = p + q racine de 2 alors une telle transformation est par exemple une fonction qui transforme un nombre x = p + q racine de 2 en y = p - q racine de 2 tu pourras constater que ca envoie bient tous les points du corps sur un autre point de lui meme et que ca preserve les relations algebriques (celles entre les elements dans l 'image de la transformation sont les meme que celles entre les elements dans le corps de depart) c'est en ce sens qu'on parle de symetrie, le mot est "automorphisme" c'est le groupe des automorphimes du corps des racines du polynomes. :). Tu peux aussi constater que dans cette exemple si tu ne regarde que racine de 2 et - racine de 2 la transformation que je donne les permute. Et c'est exactement de cela qu'on parle avec nos permutations dans la video.

@@PasseScience Merci beaucoup pour cette explication. Je vais essayer approfondir cela même si mes souvenirs basiques d'algèbre linéaire sont assez loin.

Hello, on a des fonctions spéciale pour exprimer les racines, et je serais étonné qu'elles ne soient pas développable, surtout "jamais", donc j'aurais tendance à répondre oui avec une bonne certitude que forcement ya beaucoup de cas ou on peut donner la réponse sous forme de série. Mais à verifier.

@@PasseScience merci j'ai toujours voulu en savoir plus sur ce théorème. C'était vraiment une très bonne esquisse !!

En fait je viens de me rendre compte betterment que certaines fonctions spéciales utilisées pour exprimer les solutions exotiques sont en fait définies sous forme de series. Si tu rentres l'exemple que je donne dans wolfram alpha et clique sur "exact forms" pour les "real roots" tu vas voir la fonction F_3: www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-3x%2B1 qui est une "Appell Hypergeometric Function" c'est défini ici: mathworld.wolfram.com/AppellHypergeometricFunction.html Donc oui définitivement tu peux, au moins parfois, exprimer les solutions avec des sommes infinies.

Je me posais la question parce que je me demandais si cette demonstration de Galois qui utilise les corps et les groupes part du principe que les racines s'expriment justement a partir de sommes finies. Et si c'est le cas y a t il une demo qui etend le theoreme au cas des sommes infinies?

N'exagère pas , surtout vu à quel point le programme insiste sur le second degré, c'est un des points les plus faciles et répétitif du programme, la majorité maîtrise ça.

ifeeltrader maîtrisé par cœur la méthode qui te donne la bonne réponse au bac, oui, dès lors que le sujet sort des modèles qu’ils ont bêtement appris, ils sont perdu, les maths ne sont pas comprise au lycée mais toujours plus méthodisé et ça fait des ravages

C'est toujours le cas. Perso j'ai appris la résolution des équations du second degré et le discriminant en seconde (il y a bien longtemps), maintenant c'est en 1ère avec spécialité Maths.

Au cas par cas (du polynome) oui. Au cas par cas (du degre du polynome) probablement oui, wolfram alpha si tu lui donne mon polynome exemple et que tu lui demande la solution exacte il te l'exprime avec des fonctions etranges. QQ soit le degré: je sais pas et je penserais plutot que non :)

@@remigaborit2486 Oui, a priori, du vivant de Galois et pendant ses écrits, le concept de nombre complexe était déjà bien établi. Mais je ne suis pas du tout expert de la partie histoire des mathématiques. J'ai juste été googler rapidement.

@@PasseScience Mais du coup, ont pourrait donc avoir des formules qui utilisent les nombres premiers?

@@remigaborit2486 Pas totalement certain de comprendre cette remarque, peux tu développer ?

@@PasseScience Pourrait on trouver des formules qui utilisent en plus des opérateurs cités, des nombres complexes?

@@remigaborit2486 Ha des formules pour exprimer les racines de polynômes ? en fait on réfléchit déjà sur le corps des complexes (ou une structure équivalente à l'époque) dans la démonstration de Galois. (vous aviez écrit nombres premiers, et la questions d'avant sur les complexes je considérait qu'elle concernait ce qui avait fait par d'autres que Galois) Ce qui changerait quelque chose c'est d'ajouter des types d'opérations possibles. Si vous voulez sentir la raison fondamentale de l’impossibilité, avec une approche moins puissance que celle de Galois et focalisé sur les polynômes de degré 5 (et que l'anglais ne vous derange pas) je vous suggere cette très bonne video: kzfaq.info/get/bejne/eLl4qZx20dGVfYk.html