👇畢導影片在這裡~大家都來看看！ kzfaq.info/get/bejne/f9SbmM-Jz6-2Zo0.html 這期影片一方面是填很早的時候火柴人複數的坑，剛好藉畢導影片的機會講一講數學史和數學的“意義”，雖然知識大家可能都明白，但有些脈絡感覺還是有必要講一講。此外，這期影片也是重啟我們影片團隊的暑假合作的磨合，接下來的幾週我們將會出神經網絡、分形之類的硬核影片，（做起來挺麻煩的不知道要多久），請大家期待一下哦~

真有趣，要是我年輕時看過這樣的影片就好了 可見我們所生活、並且感受到的現實 其實只是所有現實中的一小部分 數學可以幫助我們繞出去解決問題後，再回到這個世界應用

高中只背公式沒搞明白的複數 竟然十幾年後在這裡悟了...

負債是負數的實際應用，還有地面上和地面下也可以

字幕问题很大。对于初学者有很强的误导。开头的绝大部分fu4数其实是负数。但字幕上全是复数。很容易造成初学者的误解。这对于一个科普视频来说是很不利于传播正确思想的。请博主更新自己的字幕。哪怕扒下现在油管给出的自动字幕修改后再上传回去啊

感謝老師願意去深入探討這類型的問題，本人也是從小就很好奇這種問題，但是每次要發問總是會被以“其他人都沒問題就你有問題”，或者“你就照著公式或者前人定義好的東西做下去就行了，問題那麼多幹嘛”，導致我從小天生具有的旺盛好奇心因此被澆熄。 我是不曉得除了亞洲教育認為好奇心毫無價值，其他地方是否也一樣把好奇心不當回事，但是我個人認為西方可能好一些

[幾個重點說明] 1. 談談除以0 0:14 並沒有打死不能接受 1÷0，除了畢導說的用 ℂ∪{∞} (會拿ℂ補上北極點，是因為 extended real numbers 會有正負∞)，在代數上有 Wheel theory，在 wheel theory 上面 1/0=∞, 0/0=⊥，都是有定義過的符號。 2. 談談根號-1 這影片提到一個極重要觀點，是當今課本以及課堂上不講的，我用一句話概括就是「釐清為什麼需要這個定義」。 我改天再來用親身經歷呼個應。 關於 根號(-1) 的問題，我上個月才在自己的yt社群裡聊過，課本裡的理由，寫了也只有傻子才信，但老師們代代相傳，講得不亦樂乎。 認真的孩子問了只會被罵，求助無門， #什麼時候追根究底成為了一種罪過？ 3. 談談負數 0:45 小學二年級就知道負負得正！ 好強，我小學三年級才自己想到解釋方式。但若是從理論的發展現來看，負數，也許是因為複數的需要，而被迫重要起來了。 基於這個出發點，我會說，負數在 #17世紀初 其實就已經過關了。 至於數系發展的一些門檻，如果你有考證過，會發現它湊巧就是學校裡學生特別容易考差的章節。 理由也很簡單，因為課本講的都是大結論，抽象的結論特別難搞懂，學生自然普遍搞不好，所以會考差。 詳細理由我將在我自己的社群描述，這要扯一堆東西， #有可能還有上中下三集。 所以 6:52 講的結論，說對也對，說不對也不對。 4. 談三次方程 三次方程有超級多科普公眾號的盲區，7:13 就是一個。 簡單來說，關於卡丹與塔塔利亞之爭，野史是站在塔塔利亞一邊，而正史則是站在卡丹，並對塔塔利亞表示「理解」。 正史跟野史的立場會對立，是因為研究並考量過當時的社會背景。 『塔塔利亞想要用三次方程公式解跟卡丹換得社會地位，他暴怒並不是因為卡丹「偷走」他的著作，而是之後並沒有換到他想要的社會地位。』 至於卡丹「偷走」的這個所謂懸案，又可以談個一兩集了。 對了， 7:15 應該有人以為那個公式是塔塔利亞發明的吧？ #可惜的， #不是。 5. 我來自己挑戰自己 看過14:37 的論述之後，那麼 wheel theory 究竟是自爽，又或者是有大用呢？ 有，在computer science ，只是沒有太有名。 總歸一句，會寫進課本的，一定是大主流。 一旦退主流，即使曾經穩如泰山，一樣會被砍，例如數論。 #有時候我真的不知道教育部在想什麼， 當密碼學開始蔚為風潮，我們卻把它給砍了。 說到底，教育，究竟是為誰築夢？

分子不為零的時候，也不是不可以。黎曼球面的北極就是複平面的無窮點。將一個局部緊緻拓撲空間全部緊緻化最簡單的方法

字幕好几个位置都把负数写成了复数

如果數學課會說這些數學歷史, 應該更多人對數學感興趣

講解的太好了！ 只是字幕中有些「負數」被打成「複數」

有点好奇，古人肯定有借贷和记账，收入支出欠钱还钱必然是很常见的，他们为什么这么长时间里都没把这些概念和正负数联系起来呢？

当然可以定义了 用无穷大即可 而且有一门数学分支叫非标准分析 就是把无穷大加入实数集合研究微积分

太精彩了, 感谢 OP 做这些视频. 小白流下了弱者的眼泪.呜呜呜.

负号不管是在数学还是在现实中所代表的一直都是一个方向的矢量，数学和现实世界中不只是一味的想一个方向不停的加减更重要的是还有能够往相反方向推导到前者的过程，就是负号存在的意义，当然在然后形式中都不可能存在小于零的事物，而数学和物理上的负号它也并不代表小于零而是相反矢量的推导，零代表的本身就在一切的开始和始点，而在人们的认知中所谓的零其实都并不是真正的零（当然如果你坚定的认为这个起点是宇宙大爆炸的那一瞬间的话那么那一刻就是零的起点）数学最讲究的就是逻辑推导，但是逻辑应该有一个最初的起点这就是零，包括所有的目前的物理规律的发现其实都是在尽可能的找到那个起点，就像是一颗大树你只发现了它末梢的几个枝叶就认为那是全部了并且也会自然的认为这些枝叶都没有什么联系都是独立的，但是当你找到那个最粗的树干的时候再往逻辑上推导自然也就会发现之前的那些找到的枝叶其实都是相互关联密不可分并且必须存在的

以下任何數不能除以0的原因是哪個？ 1.數學家不願意研討無限符號倒數的意義。 2.數學家求微分時，只求單向收斂的解，忽視微分其實是雙向收斂的解。 3.數學家懶得跟數學麻瓜解釋這麼多。 4以上皆是。

你說: 他們一方面彆扭的不願意承認負數 另一方面呢，卻在為了方便的計算 被迫的使用他們 聽起來好像: 美國一方面彆扭的不願意承認中華民國 另一方面呢，卻在為了方便的經濟和政治需求 被迫的使用中華民國

又更新啦～～

有點小缺失，跳過(略過)了兩個重要的點 一、在負整數出現之前，是先發明出0這個數 二、要先定義根號負1=i，i為虛數，其他原本的為實數，實數+虛數=複數

其實問題是為什麼要定義？ i 是因為沒有它，有些合理的事解釋不到。 我們學的一元二次方程 ax^2+bx+c=0 它的求根公式和以前不一樣 是因為以前數學一切都和圖形有關 它們不接受x

用這影片講解向量圖形，感覺會讓學生們省很多時間 當年高二我花了1個多月才理解

数学所有的推论都是有前提的，追溯到尽头就是公理， 标准分析里0.9循环等于1是显然的，但引入超实数等号还能成立吗？ stein复分析教材里就介绍了扩充复数的概念，将复平面加上一个无穷远点的扩张就是一个黎曼球面，在此上定义z/0=infinite

有了复数，我就再也不知道开方和对数运算的结果里该用哪一个了 😂 其实 1/0 还好啦，可以定义为 +∞，和 -∞ 一起加进来，变成扩展实数。但是 0/0 就没办法了。我更希望从代数结构的角度，来讨论一下零元的特殊性，以及接受 1/0 会破坏哪些性质、留下的东西又有哪些性质（我已经看到有些非常好的性质了）。

3:03終於知道如何解決貸款😂

負數是ㄧ維的另一個方向 複數是二維的90度的那個方向 跟負數一樣，當你不接受另一個方向的量時，負數不存在 當人們還不接受90度方向的量時，複數不存在

在拓撲學中也許真的有其定義這我不知道，不熟 但好多人就把高中唸完就覺得1/0就是無限大... 大概是誤會了lim x->∞ 1/x 這類型的問題所致..... 首先這類型的問題從來沒有定義X是無限大，是趨近於無限大 其次 影片中的b=1/0 一堆人認為b就是無限大 在這個等式中，兩邊都是數 b想要成立，他必須是個數 就如同5=10/2，5是個數 也就是說b是那個無限大的數 假設真有個那麼個數好了 如果2/0=2*(1/0)=2b 那2b就是無限大數的兩倍（？） 講正經的 無限大只是一個概念而不是數，我相信你們的數學老師肯定有提到，只是你們更願意相信自己的想像力 至少到i為止他都還是有運算能力的「數」

数学的发展伴随着实际应用的需要，负数复数的运算体现了一种借的思想，并被实践证实其正确性。思想总是沿着一个方向发展碰壁后，再换个方向继续发展😏

11:02 式子有漏字 3+3i+4i+4i²

我觉着矛盾并不是出在1/0，而是在你推导的第二步，将1/0的结果b再去乘0。也就是说，这里的问题不在于1/0，而在于0x(1/0)，或者说在于0/0。

複數對物理人來說是常打交道的朋友😂

因為1/0無法帶來其他公式的解法中

以前怎麼可能沒有負數存在, 欠錢這種事情有了人就會發生XD

我从我4岁时就知道数学中是有负数的，我当时的理解是假如2-3等于多少，我当时认为就是我有2颗苹果，我欠了某人3颗苹果，我还差多少苹果可以还完所有苹果，也就是x+2=3 就得到了1+2=3，在调转顺序就得到了2-3= -1。

看完這則視頻，我不禁淚流滿面，科學總有一股力量，讓我們淚流滿面。

9:59 數學大廈沒有崩塌，只是挖了個地下室

负数的概念在商业上应该很早就出现了吧，虽然我没有证据，但熟谙商业史的人应该可以在古希腊和古代腓尼基的商业记录中发现类似的概念

b= 1/0 b=無限 無限x0=任意數 任意數可以等於1 任意數也可以等於0 但1不等於0

0不存在乘法逆元是由环或域的性质所自然推导出来的，可分别证明其左右乘法逆元不存在；以右为例，首先证明用环或域的性质推导出0乘以任何元素等于0；然后假设0存在某个（右）逆元，右乘以任何一个非幺元a，就像视频中所说的，就可以推出矛盾，从而证明x/0不存在。但是，话也不能说死，我们假定所研究的代数结构是环或域，未来人类是否会发现一种代数结构，在其上定义了某种除以0的运算且赋予了意义，也犹未可知。只不过这套体系不兼容环和域罢了，整个数学大厦不一定会崩塌，非欧几何不兼容欧式几何，也没见几何大厦塌掉嘛~ 一切都是人类对于世界的局限性认知罢了。

时间11:00等式有点瑕疵~~

我覺得你真的講得太好了..

谢谢！非常有趣！我想了解这方面知识更多，有入门书籍推荐吗？

四元数的引入同样也破坏了原有的规则

非常有趣的主題!

根號負一很重要啊！因為他真實的存在，以電學來說是虛功

好像除以0就是个黑洞，一切变得虚无，成为了0维，没有变换。 正负数开创了一维的数学，在数轴上变换。 复数i开创了二维数学，在二维平面上变换。 好奇三维的数学是什么样的呢？什么能在三维平面上变换呢？

16:04 為什麼直角不是90度? 有些人說直角是平角的一半, 90度的角是直角 但不能說直角是90度, 為什麼?

Tan (90°) = 1 ÷ 0 Tan (270°) = (-1)/0 Both are No Meaningful...

古代人不會下樓梯? 2樓往下走3層樓會到幾樓?答案是地下一樓 (我覺得古人沒有負數不太合理，或是被頻道主誇大了)

非常好的频道

我一直以为是因为除以 0 删除了所有信息

1除以0的数学意义就是把数轴变成一个球面，所有球体表面的点相对球心来说不就正好是意义完全相同的同一个数了吗🎉🎉🎉

如果说一维是复数体系的特例，二维是复数体系的正常运算，马上好奇了，那三维坐标的数学体系是什么样的？

最后并不认同诶，数学中，直接把公理改掉的案例都是有的，比如非欧几何。 另外，负数好像有实际的应用相对应--赊账；而复数在物理学中的应用对应挺多的。而且，2-3+4这种东西，在日常中也并不会造成困扰，因为可以有明确的生活场景进行对应。 至于1/0这个东西也并不是完全没有对应的场景，因为这个东西与无限、无穷之类的概念是有相关性的。需要研究非平直空间的结构的时候，还是会触碰到它。只不过，目前说来，微积分已经可以满足现有计算需求，所以，还不需要把1/0这么极端的东西抬出来而已，但如果有需求的时候，祭出1/0及其配套规则也不是没有可能。

如果接受 b=1/0 ☞ b*0 =1 导致 0乘以任何数都等于0 这个公里不成立 b*(0*a) 这个式子中 0*a就不等于 0。 也就没办法导出 最后的 任何数都等于1这个结论了 大神们怎么说？？

數學不是定義i=√-1，而是定義i^2=-1

11:06 第二行算式是否筆誤, 應=3+3i+4i+4i^2😅

好像有個盲點 如果0能乘以b後不為0 ( bx0=1 ) 那把0xa理所當然的合併成0不就有問題了嗎 應該照0xb=1的比例 得到0xa=a/b才對

簡單來說 就是暫且用不到 用到後在去做定義

这个讲解实在精彩

否定負數的話,資本家永遠不虧!!!

除0在力學上會有很多問題

根號-1本來就沒有定義，+-∞一樣，根號-1*根號-1=-1這個只是數學上計算的定義，因為太多物理運算可以這樣用虛數做推導

講得實在是太好了! 配服~

這集解開我多年的疑惑

黎曼球面（扩充复平面）里面就定义了1除以0的意义

因為貓咪會生氣

實際場景的應用像是記帳不是也需要負數嗎？怎麼可能古人不會有開銷大於收入時

如果允许除0，然后重新定义出一整套全新的数字数学体系，说不定黎曼猜想就解决了😝

好幾次字幕把負數寫成複數了

簡單來說就是它現在用不到，但如果有天用得到就有意義了。

說不定哪天為了某些目前未發現/明的數學問題 我們也得定義一個/0也說不定

建議直接跳到 14：19

看得似懂非懂！

除以0是把一个数分成0份，强行把 有 这个概念变成 没有，这是不合逻辑的。 而-1开根可以视为无解，并没有不合逻辑。 个人浅见

非常棒！

“没有意义”，应该更正为 “没有定义”， 更确切为 “中学教纲内 没有定义”。

古代否定負數，那商人要怎麼計算盈虧？這個月生意賠錢要怎麼表示？

因為你問的問題是佛法⋯就像要找到1/0的解釋，彷彿要找到色即是空的數學或物理定義⋯

就“一個是定數，一個是無定形”，又不像 ∞ 這種可定義它

小學二年級 跟著畢導學壞了😂😂

還有什麼無意義的式子是可以被賦予意義的？

那該怎麼解釋黎曼球的應用?

可以說說建構式微積分嗎? 我一直搞不懂微積分要怎麼算

1/0不敢说没有意义 只能说目前人类没找到

0在數學中是很特殊的

古代也有欠債 虧蝕吧

重新定義除法也行，然後就會走向wheel theory

除以零不是无穷么。如果根号 -1进入复平面，那么根号 -i 是不是进入复立体。

11:07 第二行的i少*3

負數可以代表欠東西的概念

謝謝解說。把我高中數學不懂的部分，老師也沒講過的部分補上了。

小数减大树引出了负数，对负数开平方引出了复数，还有没有什么操作作用于复数，引出新的数的？

因為複數有用，所以定義。但除以零沒意義、也用不到

08:19 你是怎樣解下去的... 11:49你也是怎樣操作出來的....

我們現在國民義務教育裡面的數學體系是很殘缺很落後的 實際上我們能理解XY的平面圖型，就應該注意到實際上數學運算是多維的 為甚麼很多看似直線的算術結果不是直觀的等比放大縮小，其實是可以轉換成這個直線進入其他維度 然後根據新的維度有一個新的角度變化來移動，拓展到二維平面上看起來才是非等比增加減少的 然而我們的國民義務教育也如同影片裡面說的一樣 正在規避這種一系列有關於多維數學，概率，拓譜，數論，集合論這種可以用來屌打政治邏輯的東西 唯一的問題就是現代政治統治害怕物理邏輯跟數學運算 因為很多話在不具備這些能力的人眼裡可能成立 但是在有了這些訓練後獲得工具的人眼中卻顯得特別刺眼 這就是為甚麼過去大多數政體的執政人員都為理科 而度過黃金時代後的現在幾乎都是文科人員擔任行政或者政府要職 我們現在正在人類文明中最黑暗的時代中而不自知 我們用著將近過時兩百年以上的數學還有科學教育 試圖封閉現代人超脫於過去的政治統治邏輯的模型 現在全世界的理科教育 真的是整個二十一世界的最大悲歌

零環就處處trivial不好玩啊

哈哈是最后变成万物归一定律了

一即是全 全即是一

0:46 我那個年代到中學才開始有負數...現在小學就學負負得正???

看完之後對於複數的執念也放下了