Может ли результат возведения иррационального числа в иррациональную степень быть рациональным числом?
Ответ на этот вопрос утвердителен.
Приведём два доказательства этого утверждения.
В первом доказательстве будем использовать число sqrt(2)^sqrt(2) - корень квадратный из постоянной Гельфонда-Шнайдера. Либо это число является рациональным, и тогда из иррациональности корня из двух следует доказательство утверждения, либо иррациональным. В последнем случае возводим это иррациональное число в иррациональную степень, равную корню из двух и получаем рациональное число 2; таким образом, утверждение также доказано.
Отметим, что верной является вторая гипотеза: число sqrt(2)^sqrt(2) иррационально и даже трансцендентно. Это следует из теоремы, доказанной в 1934-м году Гельфондом и Шнайдером независимо друг от друга. Доказательство теоремы послужило решением седьмой проблемы Гильберта.
Второе доказательство основано на рассмотрении уравнения x^x=2. Можно показать, что корень этого уравнения, принадлежащий интервалу (1,2) является иррациональным числом. Таким образом, мы получаем пример, доказывающий наше утверждение.
В ходе доказательства иррациональности корня мы используем утверждение, заключающееся в том, что корень натуральной степени из целого числа является либо целым числом, либо иррациональным. С доказательством этого утверждения, основанным на теореме о рациональных корнях многочлена можно ознакомиться в ролике, опубликованном на канале Бориса Трушина: • ✓ Как доказать иррацио...
(В ролике рассматриваются корни из натуральных чисел, но доказательство легко переносится на случай целых чисел).