Уравнение прямой AB y=tg75°x, подставим tg75°=2+√3 и для B y=1, то есть 1=(2+√3)x, x=1/(2+√3). Точка C (2;0), расстояние BC=√((2-1/(2+√3))^2+1^2)=2. Так как AC=BC=2 треугольник ABC равнобедренный, угол C=180-75-75=30°
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично! Это для крутых.
@user-ul6zb5zb1o2 ай бұрын
Прекрасно! Так мне нравятся ваши аргументы и логика. Разносторонние подходы к решению одной задачи. Никита вообще красавчик!) Спасибо!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@user-wj5vx7og4h2 ай бұрын
Проекция левой стороны на основание 2-√3, правой 2-(2-√3). Тангенс угла 1/√3. Угол 30°
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Нужно искать простое. Трига не катит - 8 кл. ABC равнобедренный, 75,75,30. Должно быть устное
Можно провести высоту СН,а потом рассмотреть треугольник АНС с углами 75,90,15 градусов.Про него известно, что высота ,проведенная из вершины прямого угла равна четверти гипотенузы.Это легко доказывается проведением медианы из вершины прямого угла.В нашем случае это означает,что Н- середина АВ,то есть треугольник АВС -равнобедренный.Угол С равен 180-75-75=30 градусов.
@zawatsky2 ай бұрын
Ничего не понял. СН и АН по имеющему рисунку на одной линии, это не треугольник. Что ты имел в виду?
@user-nl2ex6xn4u2 ай бұрын
Я имел в виду высоту,проведенную из с на АВпусть это точка Т.Тк высота на АСтреугольник .Вот она в треугольнике АТС в четыре раза меньше АС.значит ТК средняя линия в треугольникеАВН
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо. Ищите без sin75.
@user-jr4vz1gc2kАй бұрын
На прямой содержащей АВ поставим такую точку М что АС = СМ, тогда имеем 2 варианта либо точка М лежит на АВ, либо выше точки В. Из точки М опускаем на АС перпендикуляр, несложно доказать что его длина равна 1. Но тогда этот перпендикуляр будет либо меньше ВН, либо больше, но он равен ВН, такое будет только в том случае если точка М совпадает с точкой В, отсюда следует что АВС равнобедренный и угол равен 30
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Отлично.
@Григоров_Алексей2 ай бұрын
Отлично!!!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@user-us2pb1pv4g2 ай бұрын
Очень круто!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Тут соглашусь.
@user-gt6hj7ex5yАй бұрын
Красивое решение.. спасибо 👍🏻
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Согласен.
@user-vn1wj3qq1j2 ай бұрын
С помощью построения (поворот на 90°) и т. Фалеса красивое решение.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@constantinfedorov23072 ай бұрын
Очень сложное решение. Если из вершины угла 75° провести прямую под углом в 60° к стороне длинны 2, и обозначить левый кусочек этой стороны за х (ну, то есть высота длины 1 делит сторону длины 2 на два кусочка, левый, и, соответственно, правый), то там возникает равнобедренный треугольник (с углами 15°), и можно сразу записать x(2 + √3) = 1; x = 2 - √3; то есть правый кусочек стороны длиной 2 равен √3, а искомый угол "разумеется" :) 30° (Прямоугольный треугольник с катетами 1 и √3 это просто "половинка" правильного треугольника со стороной 2. А то вдруг... никакой тригонометрии) Весь треугольник в задаче, кстати, получился равнобедренный, две стороны имеют длину 2. По поводу перпендикулярности отрезков в квадрате я уже высказывался - отрезки BM и AT переходят друг в друга при повороте на 90° (потому что переходят концы, а значит и отрезки целиком). Поэтому "разумеется" они перпендикулярны:). А так как через точку A к BM можно провести только один перпендикуляр , то AK "разумеется" попадет в середину CD. Я же не против, что надо доказывать, вопрос, какие для этого стоит привлекать средства. Вот я использовал определение равенства фигур и две аксиомы. То есть это самое простое доказательство из всех возможных.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо. Свое всегда кажется легче.
@closer_to_the_unknown2 ай бұрын
Распишем площадь треугольника ABC. С одной стороны это AC*BH/2 = 1*2/2 = 1, а с другой стороны = это AC*AB*sin(A)/2, т.е. AB*sin(A) = 1. При этом sin(A) = sin(5pi/12) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4. Тогда AB = 4/(sqrt(6) + sqrt(2)) = sqrt(6) - sqrt(2). Теперь распишем теорему косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(A) BC^2 = (sqrt(6) - sqrt(2))^2 + 4 - 2*(sqrt(6) - sqrt(2))*2*(sqrt(6) - sqrt(2))/4 BC^2 = 4 BC = 2 Получается, что в треугольнике BHC напротив угла C лежит катет, вдвое меньший, чем гипотенуза, что возможно, если угол C = pi/6
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично.
@illarionpak16072 ай бұрын
Читерское устное решение. Угол ABH = 15° Когда видим угол 15°, стоит вспомнить о циферблате часов В циферблате два соседних номера (часа) видны из любого другого номера под углом в 15° Также в циферблате расстояние между двумя номерами, отстоящими друг от друга на 2 часа равно радиусу циферблата. Теперь решение: 1. Продлим BH вниз на длину 1. Полученную точку обозначим, как T₈ 2. Точке A дадим второе имя: T₉ 3. Точке B дадим второе имя: T₁₀ 4. Треугольник T₈T₉T₁₀ - равнобедренный, и из точки T₁₀ отрезок T₈T₉ виден под углом 15° следовательно точки T₈ T₉ T₁₀ - это точки циферблата, с радиусом |T₈T₁₀| = 2 5. По условию задачи длина |T₁₀C| (она же |AC|) равна 2 (радиусу циферблата) Значит точка C находится в центре циферблата Тогда угол ACB = 30° (равен центральному углу одного часа) Ответ: 30°
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Отлично. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
@user-nr9cs8fd5q2 ай бұрын
1. треугольник АВН: АН=ВН*tg75 гр. Данный тангенс вычисляется как тангенс суммы (60+15). Для угла 15 гр. необходимые функции вычисляются как для половинного аргумента. Получив АН, вычисляется ВН. Затем из треугольника СВН определяется тангенс угла С. Задача решена.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично!
@SB-74232 ай бұрын
А зачем нужен квадрат? Без него всё проще. На стороне АВ строим равносторонний треугольник АВО(стандартный прием). Соединяем точку О с серединой отрезка АС (т. М). Треугольники АВН и ОАМ равны ( АО = АВ, ВН = АМ, ∡АВН = ∡ОАМ = 15°) ⟹ ∡АМО = 90° ⟹ ОА = ОВ = ОС ⟹ ∡С = 30°( вписанный при центральном АОВ = 60°).
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Затем, чтобы свести к известной (ДЕКАРТ)
@zawatsky2 ай бұрын
Самый прямолинейный и универсальный способ: зная отношение катетов в прямоугольном 90/15/75°, вычисляем АН. Отнимаем от АС, получаем СН. Видим оба катета оставшегося ΔВСН, по ним доказываем, что перед нами линейка и равнобедренный, т. е. ∠С=30°.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично. Правда tg суммы 10 класс. Девятки не решат так.
@user-hf7ki7bz1i2 ай бұрын
Введём систему координат: начаало в точке А, ось ОХ вдоль АС. В ⊿ АВН, АН=ВН/tg75◦; AH=1/(2+√3); AH=2-√3. B(2-√3; 1); C(2; 0)-координаты точек В и С. ВС=√((2-√3-2)²+(1-0)²)=√(3+1)=2; ВС=2. АС=ВС, ∆ АВС-равнобедренный; ∠А=∠В=75◦; ∠С=180◦-(∠А+∠В); ∠С=180◦-(75◦+75◦)=30◦; ∠С=30◦. Ответ: ∠С=30◦.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@YardenVokerol2 ай бұрын
Зная любовь составителей задач к красивым углам, на секундочку предположим, что С=30°. 😄✌️ Но... Тогда В=15°+60°=75°=А, АС=ВС=2, ВН=½ВС=1... Но! Действительно, по условию ВН=1, то есть предположение правильное, и С=30° Если бы получилось, что ВН≠1, пришлось бы искать более сложное решение 👌
@user-nl2ex6xn4u2 ай бұрын
Проводим из С перпендикуляр на АВ.Пусть его основание точка Т. Треугольник СТА с углами 75 90 15 Про него известно,что высота, проведенная из вершины прямого угла равна четверти гипотенузы.Доказывается этот факт проведением медианы из вершины прямого угла.То есть если мы проведём высоту из точки Т на АС то она равна четверти от 2,то есть 0,5.Пусть эта высота Т Х.Очевидно что ТХ равна половине ВН и параллельна ей .То есть ТХ средняя линия в треугольнике АВН.То есть Т - середина АВ.Значит треугольник АВС равнобедренный.Угол С равен 180-75-75=30 градусов
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
ОТличное решение.
@user-rh6mm6mz9d2 ай бұрын
Продолжим ВС до пересечения с перпендикуляром из т .А в т. К , получим тр. АКС . Из т. К проведем линию параллельно АС , из т.С поднимем перпендикуляр , обозначим т. пересечения Д , проведем диагональ АД . Диагонали равных тр. пересекутся по их половинкам , обозначим т. О . Проведем окружность R=OK=ОД . Через т. О проведем вертикаль до пересечения с окр. в т. М и N . Все точки на окр. соединим хордами , получим правильный шестигранник. Задача решена @=30.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично.
@sergeylopanov18292 ай бұрын
Из точки В отложить отрезок равный 2 на пересечении с АС, получим точку Р. Тогда угол ВРА будет равен 30 град, угол НВР равен 60 град, угол АВР 60+15=75 град, треугольник АВР равнобедренный со стороной АР=ВР=2. И тогда АР=2-РС, так как АР=2, то 2=2-РС, отсюда РС=0, значит точка Р совпадает с вершиной С. Угол ВСА=30 град.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо. Вы всегда хорошо решаете.
@Mathematician3.142 ай бұрын
Решение: С одной стороны, S=0,5*2*1=1, а с другой стороны, S=2²/2(cot(75°)+cot(α)) откуда 1=2/(2-sqrt(3)+cot(α)) cot(α)=✓3 То есть α=30° Ответ: 30°
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично!
@user-zo8zo3cg9b2 ай бұрын
Я согласен, что повторять прошлые задачи - это замечательно. Но вопрос, это всё таки ОГЭ 2024 или олимпиада Африки?)
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
За лето всю классику повторим. Это они у нас похитили!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
P/S/ Мне уже лень лазить по своим 1000 задачам, так что как сел за комп, что в голову придет, то и рисуем! А 25 лет шпарю эти задачи на лекциях, так что без разницы какие запускать. Можно было обратку сделать: /ABC = 75, высота 1 и осно. 2. Найти альфа. Посмотрите, сложно ли?
@sacredabdulla56982 ай бұрын
это кокое то колдовство!!! )
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Так я колдун, геометрический
@sacredabdulla56982 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov я так и знал!!! я чувствовал !! ))
@pojuellavid2 ай бұрын
Я ведь уже решал такую задачу ...у вас. В ∆АВН проводим АМ так, чтобы угол МАН был =60°. Получаем один треугольник равнобедренный ( два раза по 15°), а другой 30-60-90°. Пусть АН=х. Тогда ВН=х*(2+√3)=1. Откуда х=1/(2+√3)=2-√3). Кроме того, в треугольнике ВНС второй катет равен 2-х=2-(2-√3)=√3 Ответ: 30°
@sergeykitov2760Ай бұрын
На BH возьмём точку Z, такую, что AZ = BZ,
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@user-fn7li8kx9t2 ай бұрын
Круто.Я все понимаю.Ура.Мой лайк номер 8.😉
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Сп
@AndreyDanilkin2 ай бұрын
Можно на АС выбрать точку С' такую что
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
@zawatsky2 ай бұрын
Чисто интуитивно видно, что подойдёт 30° - и ΔАНС получается линейкой 2 к 1, и ΔАВС равнобедренный, 75/75/30°. Но как доказать, что этот вариант единственный - вопрос!
@user-vm4sz1qn2s2 ай бұрын
Длина АВ определяется однозначно, как гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетом 1и углом 75°напротив катета. АС=2; угол ВАС=75°. По двум сторонам и углу между ними треугольник АВС определяется однозначно.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
@@user-vm4sz1qn2s да, если 10-й класс. В 9 нет суммы tg(30 +45)
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Cогласен, вы верно мыслите, если так все красиво, то BC = AС =2 и должно быть "десткое" из 8-го класса решение. Ученики 10 кл знают синус суммы sin75=sin(30+45) = sin30cos45+cos30sin45= ...далее AB и т. косинусов.
@user-is8pj2rt8qАй бұрын
Незамечательное, ломовое решение (как догадка или подглядка), нечто типа вбрасывания: Допустим, этот тр-к равнобедренный, тогда угол С = 30 грд., а угол В = А = 75 грд. Это совпадение подтверждает гипотезу. Если более ортодоксально, то из В в сторону С откладываем отрезок ВС', равный 2, так чтобы С' попало на АС либо на его продолжение, Тогда угол ВС'А = 30 грд., а углы при основании (АС) были бы равны 75 грд. Но поскольку угол А и так равен 75 грд,, то в силу однозначности условия, С' попадает в С.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@adept74742 ай бұрын
Про ДЗ (в середине ролика) никто не вспомнил, я это исправлю. Если АМ : МD = 1 : 2, то КD : КВ = 1 : 3.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо за ДЗ.
@user-Alexander-1950-Ufa2 ай бұрын
В уме решил, но не так красиво, как Автор.. Точку (D) кладём на (BH), угол(DAC)=60. Тр-к (ADB): углы 15*2 => (AD)=(DB). Составим (BH) из отрезков (BD)+(DH)=1 => (AD)=2*(2 - sqrt(3)) => определим (AH) = (AD)/2 => (HC) = sqrt(3) => Ответ: угол(C) = 30