Уравнение прямой AB y=tg75°x, подставим tg75°=2+√3 и для B y=1, то есть 1=(2+√3)x, x=1/(2+√3). Точка C (2;0), расстояние BC=√((2-1/(2+√3))^2+1^2)=2. Так как AC=BC=2 треугольник ABC равнобедренный, угол C=180-75-75=30°

Прекрасно! Так мне нравятся ваши аргументы и логика. Разносторонние подходы к решению одной задачи. Никита вообще красавчик!) Спасибо!

Проекция левой стороны на основание 2-√3, правой 2-(2-√3). Тангенс угла 1/√3. Угол 30°

Вот Вы хитрец!😂😂😂 Не Вы предложили поворачивать, а я: ©*-ну хотя б поворотом.😊 Уотакуот

Можно провести высоту СН,а потом рассмотреть треугольник АНС с углами 75,90,15 градусов.Про него известно, что высота ,проведенная из вершины прямого угла равна четверти гипотенузы.Это легко доказывается проведением медианы из вершины прямого угла.В нашем случае это означает,что Н- середина АВ,то есть треугольник АВС -равнобедренный.Угол С равен 180-75-75=30 градусов.

На прямой содержащей АВ поставим такую точку М что АС = СМ, тогда имеем 2 варианта либо точка М лежит на АВ, либо выше точки В. Из точки М опускаем на АС перпендикуляр, несложно доказать что его длина равна 1. Но тогда этот перпендикуляр будет либо меньше ВН, либо больше, но он равен ВН, такое будет только в том случае если точка М совпадает с точкой В, отсюда следует что АВС равнобедренный и угол равен 30

Отлично!!!

Очень круто!

Красивое решение.. спасибо 👍🏻

С помощью построения (поворот на 90°) и т. Фалеса красивое решение.

Очень сложное решение. Если из вершины угла 75° провести прямую под углом в 60° к стороне длинны 2, и обозначить левый кусочек этой стороны за х (ну, то есть высота длины 1 делит сторону длины 2 на два кусочка, левый, и, соответственно, правый), то там возникает равнобедренный треугольник (с углами 15°), и можно сразу записать x(2 + √3) = 1; x = 2 - √3; то есть правый кусочек стороны длиной 2 равен √3, а искомый угол "разумеется" :) 30° (Прямоугольный треугольник с катетами 1 и √3 это просто "половинка" правильного треугольника со стороной 2. А то вдруг... никакой тригонометрии) Весь треугольник в задаче, кстати, получился равнобедренный, две стороны имеют длину 2. По поводу перпендикулярности отрезков в квадрате я уже высказывался - отрезки BM и AT переходят друг в друга при повороте на 90° (потому что переходят концы, а значит и отрезки целиком). Поэтому "разумеется" они перпендикулярны:). А так как через точку A к BM можно провести только один перпендикуляр , то AK "разумеется" попадет в середину CD. Я же не против, что надо доказывать, вопрос, какие для этого стоит привлекать средства. Вот я использовал определение равенства фигур и две аксиомы. То есть это самое простое доказательство из всех возможных.

Распишем площадь треугольника ABC. С одной стороны это AC*BH/2 = 1*2/2 = 1, а с другой стороны = это AC*AB*sin(A)/2, т.е. AB*sin(A) = 1. При этом sin(A) = sin(5pi/12) = (sqrt(6) + sqrt(2))/4. Тогда AB = 4/(sqrt(6) + sqrt(2)) = sqrt(6) - sqrt(2). Теперь распишем теорему косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cos(A) BC^2 = (sqrt(6) - sqrt(2))^2 + 4 - 2*(sqrt(6) - sqrt(2))*2*(sqrt(6) - sqrt(2))/4 BC^2 = 4 BC = 2 Получается, что в треугольнике BHC напротив угла C лежит катет, вдвое меньший, чем гипотенуза, что возможно, если угол C = pi/6

Читерское устное решение. Угол ABH = 15° Когда видим угол 15°, стоит вспомнить о циферблате часов В циферблате два соседних номера (часа) видны из любого другого номера под углом в 15° Также в циферблате расстояние между двумя номерами, отстоящими друг от друга на 2 часа равно радиусу циферблата. Теперь решение: 1. Продлим BH вниз на длину 1. Полученную точку обозначим, как T₈ 2. Точке A дадим второе имя: T₉ 3. Точке B дадим второе имя: T₁₀ 4. Треугольник T₈T₉T₁₀ - равнобедренный, и из точки T₁₀ отрезок T₈T₉ виден под углом 15° следовательно точки T₈ T₉ T₁₀ - это точки циферблата, с радиусом |T₈T₁₀| = 2 5. По условию задачи длина |T₁₀C| (она же |AC|) равна 2 (радиусу циферблата) Значит точка C находится в центре циферблата Тогда угол ACB = 30° (равен центральному углу одного часа) Ответ: 30°

1. треугольник АВН: АН=ВН*tg75 гр. Данный тангенс вычисляется как тангенс суммы (60+15). Для угла 15 гр. необходимые функции вычисляются как для половинного аргумента. Получив АН, вычисляется ВН. Затем из треугольника СВН определяется тангенс угла С. Задача решена.

А зачем нужен квадрат? Без него всё проще. На стороне АВ строим равносторонний треугольник АВО(стандартный прием). Соединяем точку О с серединой отрезка АС (т. М). Треугольники АВН и ОАМ равны ( АО = АВ, ВН = АМ, ∡АВН = ∡ОАМ = 15°) ⟹ ∡АМО = 90° ⟹ ОА = ОВ = ОС ⟹ ∡С = 30°( вписанный при центральном АОВ = 60°).

Самый прямолинейный и универсальный способ: зная отношение катетов в прямоугольном 90/15/75°, вычисляем АН. Отнимаем от АС, получаем СН. Видим оба катета оставшегося ΔВСН, по ним доказываем, что перед нами линейка и равнобедренный, т. е. ∠С=30°.

Введём систему координат: начаало в точке А, ось ОХ вдоль АС. В ⊿ АВН, АН=ВН/tg75◦; AH=1/(2+√3); AH=2-√3. B(2-√3; 1); C(2; 0)-координаты точек В и С. ВС=√((2-√3-2)²+(1-0)²)=√(3+1)=2; ВС=2. АС=ВС, ∆ АВС-равнобедренный; ∠А=∠В=75◦; ∠С=180◦-(∠А+∠В); ∠С=180◦-(75◦+75◦)=30◦; ∠С=30◦. Ответ: ∠С=30◦.

Зная любовь составителей задач к красивым углам, на секундочку предположим, что С=30°. 😄✌️ Но... Тогда В=15°+60°=75°=А, АС=ВС=2, ВН=½ВС=1... Но! Действительно, по условию ВН=1, то есть предположение правильное, и С=30° Если бы получилось, что ВН≠1, пришлось бы искать более сложное решение 👌

Проводим из С перпендикуляр на АВ.Пусть его основание точка Т. Треугольник СТА с углами 75 90 15 Про него известно,что высота, проведенная из вершины прямого угла равна четверти гипотенузы.Доказывается этот факт проведением медианы из вершины прямого угла.То есть если мы проведём высоту из точки Т на АС то она равна четверти от 2,то есть 0,5.Пусть эта высота Т Х.Очевидно что ТХ равна половине ВН и параллельна ей .То есть ТХ средняя линия в треугольнике АВН.То есть Т - середина АВ.Значит треугольник АВС равнобедренный.Угол С равен 180-75-75=30 градусов

Продолжим ВС до пересечения с перпендикуляром из т .А в т. К , получим тр. АКС . Из т. К проведем линию параллельно АС , из т.С поднимем перпендикуляр , обозначим т. пересечения Д , проведем диагональ АД . Диагонали равных тр. пересекутся по их половинкам , обозначим т. О . Проведем окружность R=OK=ОД . Через т. О проведем вертикаль до пересечения с окр. в т. М и N . Все точки на окр. соединим хордами , получим правильный шестигранник. Задача решена @=30.

Из точки В отложить отрезок равный 2 на пересечении с АС, получим точку Р. Тогда угол ВРА будет равен 30 град, угол НВР равен 60 град, угол АВР 60+15=75 град, треугольник АВР равнобедренный со стороной АР=ВР=2. И тогда АР=2-РС, так как АР=2, то 2=2-РС, отсюда РС=0, значит точка Р совпадает с вершиной С. Угол ВСА=30 град.

Решение: С одной стороны, S=0,5*2*1=1, а с другой стороны, S=2²/2(cot(75°)+cot(α)) откуда 1=2/(2-sqrt(3)+cot(α)) cot(α)=✓3 То есть α=30° Ответ: 30°

Я согласен, что повторять прошлые задачи - это замечательно. Но вопрос, это всё таки ОГЭ 2024 или олимпиада Африки?)

это кокое то колдовство!!! )

Я ведь уже решал такую задачу ...у вас. В ∆АВН проводим АМ так, чтобы угол МАН был =60°. Получаем один треугольник равнобедренный ( два раза по 15°), а другой 30-60-90°. Пусть АН=х. Тогда ВН=х*(2+√3)=1. Откуда х=1/(2+√3)=2-√3). Кроме того, в треугольнике ВНС второй катет равен 2-х=2-(2-√3)=√3 Ответ: 30°

На BH возьмём точку Z, такую, что AZ = BZ,

Круто.Я все понимаю.Ура.Мой лайк номер 8.😉

Можно на АС выбрать точку С' такую что

Чисто интуитивно видно, что подойдёт 30° - и ΔАНС получается линейкой 2 к 1, и ΔАВС равнобедренный, 75/75/30°. Но как доказать, что этот вариант единственный - вопрос!

Незамечательное, ломовое решение (как догадка или подглядка), нечто типа вбрасывания: Допустим, этот тр-к равнобедренный, тогда угол С = 30 грд., а угол В = А = 75 грд. Это совпадение подтверждает гипотезу. Если более ортодоксально, то из В в сторону С откладываем отрезок ВС', равный 2, так чтобы С' попало на АС либо на его продолжение, Тогда угол ВС'А = 30 грд., а углы при основании (АС) были бы равны 75 грд. Но поскольку угол А и так равен 75 грд,, то в силу однозначности условия, С' попадает в С.

Про ДЗ (в середине ролика) никто не вспомнил, я это исправлю. Если АМ : МD = 1 : 2, то КD : КВ = 1 : 3.

В уме решил, но не так красиво, как Автор.. Точку (D) кладём на (BH), угол(DAC)=60. Тр-к (ADB): углы 15*2 => (AD)=(DB). Составим (BH) из отрезков (BD)+(DH)=1 => (AD)=2*(2 - sqrt(3)) => определим (AH) = (AD)/2 => (HC) = sqrt(3) => Ответ: угол(C) = 30