Exactement, on se dit tout le long que ce n'est pas si infaisable car on a manipulé ce genre de choses il y a (fort) longtemps, mais on a plus la pratique qui donne les bons réflexes pour chercher dans la bonne direction.

Idem, et cette démonstration est très sioux !

il faut regarder avec le petit déjeuner pour te réveiller pour la journée...

T'es pas mauritanien par hasard ?

ça fait plaisir haha ! Très content de savoir que tu continues les maths ;)

Yes j'essaye de trouver des choses originales autant que je peux. Dans le genre exo borderline, j'ai sous le coude une preuve de Cayley-Hamilton par un calcul d'intégrale sur un chemin du plan complexe qui devrait arriver bientôt, j'espère que ça te plaira ! (tombée il y a deux ans à Lyon)

Si t'as la référence de l'exo en question ça m'intéresse, parce bon traiter l'inversion de Moebius juste pour elle-même c'est pas hyper fun, il me faudrait une application un peu sympa pour en faire une vidéo

Oui ça pas à l'air très drôle 😭 C'est dans le cassini analyse 1(moi c 3.25) mais je sais pas si on a la même version

Lebron james

J'en ai une pas trop mal sous la main, je pense la tourner bientôt, mais elle est très classique. C'est le même genre d'arguments, avec des intégrales qui tendent vers 0 mais rationnelles à dénominateur constant.

Effectivement ça a l'air de marcher !

C'est tout à fait normal !

Ce n'est pas une intégrale impropre, tout est continu, fini.

Si tu poses c_n = a_n / n! alors la relation de récurrence sur a_n donne une relation de récurrence sur c_n qu'il est facile de résoudre !

C'est d'abord l'inégalité triangulaire pour les intégrales, puis exp majorée par e sur l'intervalle [0,1] car croissante

C'est plutôt logique on suppose que e est positif (on souhaite juste montrer qu'il est irrationnel)

@@Samtolid Mais le ratio de deux nombres négatif est aussi positif non ?

En fait, je pense avoir trouvé la réponse moi même. C'est soit p et q sont positifs (ce qui est utilisé dans la vidéo), soit ils sont tous les deux négatifs (puisque e est positif). Dans le cas ou p et q sont négatif, alors on a "ap+bq

@@tshaj59170 oui c'est équivalent à dire qu'ils sont dans ℕ² On définit chaque élément de ℚ par x∈ℚ ⟺ ∃(a,b) ∈ ℤ×ℕ* (x=a/n) Donc vu que e est positif alors le ratio de nombre est positif d'où le ℕ²

@@Samtolid vous avez raison, mon raisonnement était idiot on a directement l’équivalence. Merci !

x est une variable muette (variable d'integration). u(n) est juste une fonction de n, donc il ya necessairement (grosse) erreur dans votre calcul.

en gros c'est x qu'on intègre : pas n

Parce que c'est à la fois un entier et strictement positif. C'est donc supérieur ou égal à 1.

@@christophenoirot2494 😱 Merci !

Effectivement c'est très joli !

q étant strictement positif car entier naturel non nul, et u(n) étant strictement positif (car intégrale d'un fonction continue positive non identiquement nulle); on a ap+bq strictement positif. Or a,b,p,q sont entiers par hypothèse, donc ap+bq entier strictement positif, donc >= 1

C'est Daft Punk si ça t'intéresse ;)

@@MathsEtoile Ah merci infiniment. J'entends parler de ce groupe mais je ne connais pas leur musique, et maintenant je découvre! Pourtant je suis un grand "consommateur" de la musique électronique (J.M. Jarre, Tangerine Dream, Kraftwerk, Space, G. Moroder...).

Tout a fait, a et b dépendent de n, mais ça ne les empêche pas d'être des entiers (ce qui est le coeur de l'argument) On pourrait écrire "a_n" au lieu de a, et "b_n" au lieu de b, et on aurait toujours k_n = a_np + b_nq entier pour tout n, et strictement positif (cf argument de la vidéo), et comme k_n = q•u_n, on a k_n > 0, donc k_n est un entier strictement positif, donc >= 1, ce qui permet de conclure.

Ici q est fixé (il ne dépend pas de n)

@@Lexarji merci pour ta réponse, mais tirer une conclusion a partir d'une notion vague comme tend vers zero c un peu léger : pour q = 100 milliard et (p = e * 100 milliard) je peux dire que 1/q tend vers 0. Je pense qu il manque quelque chose, jcp

@@saidzamd1733 alors je crains que tu n'es pas compris le principe de "tendre vers 0" : justement, si un objet mathématique (fonction, suite...) tend vers 0, quel que soit le epsilon (ici 1/q) fixé, il existe un certain moment (rang où antécédent selon si tu travailles avec suite ou fonction) à partir duquel ton objet sera plus petit que ton epsilon, même si celui ci vaut 1/100 milliards. Par exemple, la suite 1/n tend vers 0 mais la suite stationnaire égal à 1/1000 milliards ne tend pas vers 0

@@saidzamd1733 pour de plus amples informations sur ce sujet cf n'importe quel cours sur les limites (celui du cours de post bac je crains qu'en terminale on n'aborde que les méthodes calculatoires et pas la définition)

@@Lexarji Merci pour ton explication.

Pour minorer k = ap+bq par 1, il suffit de remarquer que c'est un entier, et qu'il est forcément strictement positif car u_n est clairement strictement positif, avec k = qu_n. Pas besoin de connaître les signes de a et b, juste celui de ap+bq.

@@MathsEtoile ah d'accord, donc vous utilisez le fait que ap + bq = u_n×q avec u_n et q positifs. Dans ce cas-là, je suis d'accord. Merci beaucoup pour l'explication !

@@chebilya Exactement !

​@@MathsEtoile si je me souviens bien ce critère d'irrationnalité est un lemme élémentaire pour démontrer le théorème de Beatty (un peu plus costaud). Cela rejoint exactement la démonstration classique de l'irrationnalité de pi, peut-être de manière un peu plus claire.

Toujours la même rengaine...(alors qu'on sait que maintenant les étudiants réussaient mieux ulm 1966 qu'à l'époque). Déjà on ne connaît pas la filière, et je suppose que ça peut être vu comme un exercice d'échauffement que le candidat doit savoir rapidement faire. La difficulté est dans les idées, pas dans la technique (et le stress de n'oral n'aide pas). Bien sûr qu'un sup le ferait facilement s'il y avait par exemple la question intermédiaire "montrer que u_n est de la forme a e + b". Il y a 7 ans aux mines j'avais eu un premier exo simple (mais où j'avais fait une bonne erreur de calcul...) puis un exo bien plus dur A X/ENS (en PSI) la 1ere question était simple, mais la suite était terrible pour mon niveau Bref, impossible de conclure juste avec une question...(surtout que les annales des écrits sont souvent accessibles, je ne m'y replonge pas pour éviter des traumatismes, mais il y a souvent des choses loin d'être triviales...)

@@NicolasGin Je suis tombé un peu par hasard sur cette vidéo, et j'ai donné mon avis. Depuis 2016, j'ai entamé des recherches en "astrophysique fondamentale", et depuis près de 4 ans, j'ai réalisé sur YT, 8 vidéos sur le sujet (et une en mathématiques pures), en tentant de faire comprendre une petite partie de ce que je pense être des découvertes [très très dérangeantes], à l'aide d'exercices, dont je ne donne pas les solutions [ou presque pas]. Le constat, c'est que ça n'intéresse pas grand monde, alors que ce que j'affirme est très très grave pour la science dite officielle ! Ces derniers temps, j'ai fini par conclure qu'en dehors de certaines mesures angulaires et de temps, du rayon moyen de la Terre, de celui de la Lune, de la distance moyenne Terre-Lune, de la densité globale de la Terre (celle du Soleil s'est avérée fausse, et celle de la Lune aussi, malgré deux de mes exercices), des valeurs en u.a des demi-grands axes des planètes du système solaire (presque exactes, MAIS celles des comètes, et des astéroïdes à orbites très excentriques, sont archi-fausses); ... ... TOUT est FAUX, voire COMPLÈTEMENT FAUX !! C'est monstrueux, et j'ai peur qu'il soit quasi-impossible d'en faire prendre conscience aux jeunes; les "vieux" s'étant fermés : j'ai récemment envoyé la solution d'un de mes exercices (celui sur Mars, qui affirme que la distance moyenne Terre-Soleil ne peut PAS valoir 149,6 millions de km environ, et qu'en fait elle est inférieure à 80 millions de km, et même, c'est pire, à 68 millions de km !!!), à la plupart des académies des sciences des pays qui "comptent", et à des revues scientifiques françaises : PERSONNE ne répond ! On affirme d'un coté que l'espace n'est pas euclidien, et d'un autre coté, on fait des triangulations pour déterminer de très très grandes distances, en en tenant PAS compte; on prend pour argent comptant une "vieille" affirmation [de simplification] de Newton* concernant une constante [il s'agit de G], qu'il déclarait universelle, ... ... alors qu'elle n'a été calculée QUE sur la Terre (expérience de Lord Cavendish). (*) qui s'était trompé sur l'expression de l'énergie cinétique (corrigé par Leibnitz), ... ... et qui avait vraisemblablement rectifié sa formule de la gravitation (GMm/d² en G(M+m)m/d²), grâce à la correction d'un scientifique [inconnu] : c'était si facile quand on était président [à vie] de la Royal Society, de faire croire en être l'auteur; un peu comme Ptolémée qui s'était attribué, entre autres, la méthode de calcul de la parallaxe [moyenne] de la Lune, dont je suis sûr à 99%, qu'elle avait été trouvée par Archimède; qui avait affirmé [sa deuxième estimation] que celle du Soleil vaut environ 40" (secondes d'arc) : C'est fou, mais j'affirme que s'agissant du Soleil, c'est Archimède qui est le plus proche de la REALITE, plus de 2000 ans plus tard !!!! Salutations distinguées.

@@lecinquiemeroimage vous pensez vraiment que si on était aussi mauvais sur des calculs de distance, on arriverait à poser des modules sur mars ou sur un astéroïde ? 150 millions de km est une distance moyenne, cette distance varie. Il y a quand même plus de chances que vous ayez fait une erreur quelque part plutôt que tous les astronomes se plantent...(et vous n'êtes pas le premier à dire que les fondamentaux sont faux, mais ces assertions sont presque tout le temps fausses)

@@NicolasGin Conclure à partir d'une seule question comme le fait notre ami qui semble sous LSD, certes non, mais ce qu'il dit n'en est pas moins exact. Par exemple, très forte baisse du niveau des candidats (et donc des lauréats) à l'agrégation de mathématiques, ne serait-ce que sur la dernière quinzaine d'années. Je le tiens du précédent doyen de l'IG Maths, mais il suffit de lire les rapports de jury pour comprendre que c'est bien réel. Il reste bien entendu toujours des gens brillants formés par des gens brillants en France, mais le sommet de la pyramide est de plus en plus étroit et la base de la pyramide s'effrite de plus en plus... Il ne faut pas être dans le déni à ce sujet qui est tout de même préoccupant.

Les entiers p et q ne dépendent pas de n, on suppose par l'absurde que e est un rationnel et donc qu'il s'écrit p/q, rien de plus. En revanche déconseiller à quelqu'un de faire des maths j'ai jamais vu, c'est dommage franchement ... Quand bien même il y aurait une erreur, ça ne serait absolument pas une raison pour arrêter de réfléchir.

Tu fais toi-même une erreur, ça n'est pas grave. Par contre ce mépris en fin de message fait pitié.

@@MathsEtoile Super réponse, très bon esprit. Merci pour vos vidéos.

T’as raison il devrait arrêter les exos x-ens maintenant qu’il est a ulm

Là tu t'es planté bonhomme. Contrairement à a et b qui sont des suites d'entiers indexées par n (la notation utilisée dans la vidéo est sur ce point problématique, mais n'induit pas d'erreur dans ce qui est présenté), p et q sont bel et bien deux constantes entières. Du coup, tu devrais t'excuser si tu étais un tant soit peu sérieux. De plus, cet exo est loin du niveau X/ENS, il est très abordable avec de bons terminales.