ABC - равностроний, точка M удалена от C на \/2, от B на 2. Угол AMC=15. Найти сторону равностороннего.
Пікірлер: 130
@AlexeyEvpalovАй бұрын
Отличная задача на закрепление темы поворота. Спасибо за подробное решение.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Согласен.
@user-ow7jz2nc6hАй бұрын
Спасибо! Будем держаться!
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Правильное решение!
@user-ow7jz2nc6hАй бұрын
Спасибо, что прилагаете столько усилий, чтобы дети могли познавать сей прекрасный мир через математику.
@SB-7423Ай бұрын
*Г.М.Т., из которых отрезок АС виден под углом 15°, представляет собой дугу окружности: (x-a/2)^2+(y-a/(2p))^2 = (a^2/4)*(1+1/(p^2)), где p=tg15°= 2 - √3 , а = АС.* Ещё два уравнения получаются из данных расстояний точки М от точек В и С: (x-a)^2+y^2=2, (x-a/2)^2+(y-a*sqrt(3)/2)^2=4. Решая систему, получим: а = √2. Этот подход хорош тем, что задавая р = tg∡AMC и расстояния ВМ и СМ, можно быстро получить сторону треугольника!
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо.
@sergeykitov2760Ай бұрын
Мне на днях в голову пришла такая задача, кое-чем (но это совсем отдалённая деталь) схожая с этой: AB = 5, AC = 3, BC = 4, AD = 5sqrt(3), BD = 10. Через центры окружностей вписанных в треугольники ABC и ABD проходит окружность w с центром O, лежащим на прямой AB. w пересекает луч AO в точке E. требуется найти длину AE.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Замечательная.
@adept7474Ай бұрын
А разве после установления того, что ВМ - биссектриса в ▲АММ₁, ещё не ясно, что тр-ки АВМ и ВММ₁ равны по двум сторонам и углу, ⇛, АВ = ВМ₁?
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Концовки там любые могут быть, мне важна задача, чтобы т. синусов и т. косинусов вместе.
@adept7474Ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Вопросов нет.
@constantinfedorov2307Ай бұрын
Я так думаю, что в Японии проходят точку Торичелли, поэтому эта конструкция им хорошо знакома и не вызывает шока. Я довольно легко (хотя и не так изящно, как в ролике) решил, достроив эту картинку до полной "торичелливой". Если кратко, не доказывая то, что есть в учебниках. На сторонах треугольника BM и CM тоже строятся правильные треугольники BMN и CMP, их описанные окружности (все три, вокруг правильных треугольников ABC, BMN и CMP) которые пересекаются в одной точке T, а также BP и CN, равные AM. Получается всем известная полная картинка про точку Торичелли. Вся сложность была в том, как соединить значение угла и отношение сторон. Там возникает угол ∠MCN = 45°, то есть известно отношение MT/MC = √(2/3) Я попробую объяснить это так, хотя на бумаге это "сразу видно". Это отношение длин сторон вписанного квадрата и вписанного правильного треугольника в окружность (CMP) (и все из за этого угла :)) Но MT - хорда и в окружности (BMN), у которой размеры в 2/√2 = √2 раз больше, то есть MT/MN = 1/√3, то есть угол TMN прямой, что сразу заканчивает решение - там мгновенно находятся все нужные углы. Кто заинтересовался, я очень рекомендую найти книжку Зетеля С.И. "Новая геометрия треугольника", Лучше издание 1962 года, а не 1940. Название популярное, ищите по автору. Там на двух страницах (144-145) очень ясно, просто и подробно изложена вся теория точки Ферма-Торичелли. Ютуб вроде теперь будет позволять делать шорты к комментам, надо будет попробовать.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Гениально! Спасибо. Торичелли не проходят, тольок на крутом факультативе, или в лицее. Но очень замечательно.
@SB-7423Ай бұрын
Можно слегка расширить рамки задачи. Пусть треугольник будет не равносторонний, а равнобедренный с заданным углом при основании. Используя ГМТ , из которых АС виден под заданным углом АМС (это решение я приводил 4 дня назад), удается решить в общем случае и эту задачу. Так, если ∡АМС =15°, ∡ВСА = 65°, МС = √2, МВ = 2, то основание равнобедренного треугольника равно 1.32705... . Решение проверено построением в графическом редакторе. Если задать условия исходной задачи(∡АМС =15°, ∡ВСА = 60°, МС = √2, МВ = 2), то получается равносторонний треугольник со стороной ровно √2.
@SB-7423Ай бұрын
@@user-fz9be1yb8q При -15( поворот от АМ к СМ по часовой стрелке) действительно 0,495427... .
@SB-7423Ай бұрын
@@user-fz9be1yb8q Нет проблем решить для произвольного треугольника, только нужно задать уже два угла при основании.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, я просмотрел ваши идеи, они отличные. Спасибо.
@alexnikola7520Ай бұрын
не, первый способ мне не понравился... я даже расстроился немного.... Маэстро начал предполагать... рассуждать... окружность... я тоже это заметил - и что... но вторая часть - супер! рэмбо вернулся! полный разгром противника по всем правилам ведения боя... спасибо
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Такой приемчик был.
@user-so3nu5rl9xАй бұрын
Напугали первым способом решения! Вот если бы Вы сказали: задача решается элементарно! Моим любимым поворотом. Сморите и учитесь! А так возникают сомнения о невозможности пробить сию стену))
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Как же выпускная задача для целоя Японии суперматематической может решаться элементарно. И так красиов получилось, думаю.
@ncrean66Ай бұрын
Задача для профессионалов, продолжающих в 21м веке выжимать все соки из Евклида).
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, геомтерия очень пластиная и позволяет практически бесконечно придумывать красивые задачи на базе семи нот! Музыка геометрии вечна. Думаю, Евклид был бы рад.
@SB-7423Ай бұрын
Удалось решить задачу для произвольного треугольника. В качестве тестового примера взяты данные: ∡BAC = 45°, ∡ACB = 120°, ∡AMC = 15°, CM = √2, BM = 2. Основание этого треугольника при этих данных должно быть *√(10 - 5∙√3) = √10∙(√3 - 1)/2 ≈1.15747… .*
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Отлично.
@SB-7423Ай бұрын
@@user-fz9be1yb8q Тоже подходит. а = √(2 -√3) = (√6 - √2)/2 ≈ 0,517638… . Я просто опираюсь на рисунок и беру ответ, при котором АМ пересекает ВС.
@SB-7423Ай бұрын
@@user-fz9be1yb8q Два решения. 1) а = 7.2186... , АМ = 14.3905... 2) а = 6.77007... , АМ = 1.30588... . Во втором случае точка слева от треугольника, близко к А.
@SB-7423Ай бұрын
@@user-fz9be1yb8q Проверил только 5.763926... . Подходит точка М слева, внизу. Но это -18 градусов. Эти случаи я не рассматриваю. Проверил и 2.481598656. Тоже угол -18. При правильной ориентации не подходит.
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
Большое уважение автору канала! Похоже, что он взял паузу (отпуск/каникулы), и это - правильно... Во-первых, зрители уже «подсели» и ждут новых задач, но, не имея таковых, они продолжают разбирать последний ролик, увеличивая его рейтинг) Во-вторых, предложенная задача действительно оказалась очень непростой, несмотря на свою кажущуюся простоту и очевидность ответа… только все требует доказательств, а с ними при заданных условиях, возникают большие проблемы… Поэтому решение, предложенное автором, (судя по комментариям) все же является самым оптимальным: коротко, аргументировано, красиво геометрически. В-третьих, повисает вопрос: как натаскивают японских школьников, чтобы они в ограниченное время нашли полностью обоснованный ответ к задаче? Подозреваю, что не менее половины экзаменуемых должны были «побороть» эту задачу… Кстати, есть ли у автора статистика? Очень длинным получается комментарий, но нужно же предложить и что-то свое) Предлагаю: использовать теорему синусов для тр-ка ВСМ (у которого обозначим угол при вершине В - β, при вершине С - γ, при вершине М - α), тогда имеем: 2*sin(β) = √2*sin(γ), что преобразуем в вид sin(90)*sin(β) = sin(45)*sin(γ). Вот тут я не уверен, нужно ли доказывать, что такое тождество выполняется только при значениях углов β = 45, γ = 90? Подозреваю, что строгая тригонометрия даст только такой ответ (с учетом заданных чертежом условий). Тогда угол α = 45, и мы имеем рассматриваемый тр-к как прямоугольный и равнобедренный.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@SB-7423Ай бұрын
Ни строгая, ни нестрогая тригонометрия ничего подобного не дадут. Возьмите β =44.5. Получите γ = 82.41... . И на это никакие, заданные чертежом, условия повлиять не смогут. Доказать, что β =45, а γ = 90 можно, конечно, но для этого нужно решить тригонометрическое уравнение с одним неизвестным углом. Или систему. Вот одно из возможных уравнений: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙(sin15°/sinα)∙cos(105° - α) = 1. Я его решил и отметил это ещё 4 дня назад, α= 15, но решение довольно сложное. Приведенное Вами соотношение само по себе ничего не даёт. Нужно ещё одно уравнение.
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
@@SB-7423 Спасибо, согласен, что без второго уравнения никак не обойтись… протупил, каюсь)
@yuriyyuriy9202Ай бұрын
Да, задачки огонь. Но в идеале хотелось бы чуть другой формат, который в рунете практикуют некоторые математики - даем задачу и неделю любопытным на ее решение. А потом уже выкладываем варианты решения.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@@yuriyyuriy9202 Мы раньше так и делали иногда. Неделя очень - много, у нас куча олимпиадников, они за 1-2 ч все рвут. Но спасибо за идею.
@user-it6rm7cx6xАй бұрын
Как говорится: "Вот это поворот!"
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, уж.
@youtubeuser6895Ай бұрын
Перенесем отрезок ВС так, что точка С попадет в точку М. Получится параллелограм со сторонами \|2 и х и диагональю 2. Начинают появляться подозрения, что это прямоугольник и, даже более того, квадрат. Если АС=СМ=\|2, то треугольник АСМ имеет углы 150° (60 + 90) и 2х15. Получается-таки это был квадрат...
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо за идею. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
@sergeykitov2760Ай бұрын
Единственность есть только если угол ориентированный, есть второе решение, когда AM пересекает прямую BC вне отрезка BC, тогда угол равен (-15) если рассматривать его как ориентированный. Но так как в условии не было сказано про ориентированность и про то, что отрезки AM и BC пересекаются, то решения два. Я второе не искал, вероятно там ничего красивого, хотя кто знает.
@AndreyDanilkinАй бұрын
при -15 BM не равно 2
@sergeykitov2760Ай бұрын
@@AndreyDanilkin 1. Если условие задачи не запрещает такое решение, то доказательство его отсутствия обязательная часть решения. Попробуйте доказать. 2. Доказать не получится, потому что оно всё-таки есть. Но поскольку там всякая дрянь вылезает, то надо формулировать так, чтоб это решение было запрещено условием.
@sergeykitov2760Ай бұрын
Второе решение: сторона треугольника = 2sqrt(2)/sqrt(7+3sqrt(3)+sqrt(60+34sqrt(3))). Действительно, не очень красиво,нужно формулировать так, чтобы это решение не подходило. Как это найдено: 1. Селекционируем попугая равного половине AB, дальнейшие измерения производим этим попугаем. 2. Пусть P - центр окружности p, из точек которой AC виден под углом 15 нужной ориентации, в тругольнике PBC
@SB-7423Ай бұрын
@@sergeykitov2760 Такое решение, конечно, есть. Вы его позже привели. Я его проверил и даже построил. Всё сходится. А формулировка для запрета такого решения проста: АМ пересекает ВС.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Ну, вы блин, крутые все. Нужно обязательно второй канал для группы А. или по 2 задачи шпарить: А и В.
@user-wj5vx7og4hАй бұрын
Существуют две точки М. Они лежат на пересечении окружностей с центром и радиусом СМ и ВМ. Найдем эту точку.Из точки С проводим перпендикуляр СМ, а из точки А прямую под углом 15°. М точка их пересечения.Угол АМС=30-15=15. АС=СМ=√2 =ВС, ВМ=2. А вторая симметрична М по АС.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо.
@SB-7423Ай бұрын
Вторая точка не годится! В этом случае угол между АМ и СМ будет 75°, но НЕ 15°.('Это если точки симметричны относительно ВС). А если симметрия по АС (как Вы написали), то тогда ВМ = 2.732..., а не 2. Если Вы переориентируете угол на -15, то изменится сторона треугольника, теперь она будет 0.588... .
@user-wj5vx7og4hАй бұрын
Да, Вы правы. Действительно 75° и симметрия по ВС. К стати и доказательство хорошее. Спасибо.
@YardenVokerolАй бұрын
Предположим, что ∠BCM=90° Тогда... BC=AC=√[2²-(√2)²]=√(4-2)=√2=CM, ∠MAC=15°, ∠ACM=180°-2•15°=150°, ∠ACB=150°-90°=60°, что соответствует условию задачи. Вывод: AC=√2
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо. На экзамене, конечно, идею не зачтут. Это версия, гипотеза. Дальше нужно доказывать все, двигаться от вашего предположения. Все же понятно, что прямой угол и \/2. Вопрос, как к этому прийти? Я же в ролике об этом как раз и рассказал (см. 1 -й способ).
@YardenVokerolАй бұрын
@@GeometriaValeriyKazakovхмм.. А почему не зачтут, если прямота угла доказана? Не доказано отсутствие/наличие других решений
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@@YardenVokerol Преставьте, что задача звучит так: "Доказать, что угол BCM - прямой". Если задача с выбором ответа (без решения), то ваше предвиденье - гениальное, а если с решением, то "угадывания" не проходят. Но угадывания - это гипотензы, понятно куда двигаться, они очень полезны.
@zawatskyАй бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov я тоже подумал о треугольной линейке 90°/45°/45°. Действительно всё сходится.
@YardenVokerolАй бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov В общем виде доказательство можно сформулировать так: 1) предположим, что выполняется некое условие 2) в этом предположении, опираясь на аксиомы/теоремы предметной области, должно быть справедливо такое-то утверждение 3) если в постановке задачи это утверждение не выполняется, то исходное предположение ложно. 4) если же утверждение подтверждено условием задачи, то предположение доказано. 5) из доказанного предположения формулируется ответ задачи. Не вижу противоречий в этой цепочке... Или они все же есть? PS конечно, при этом ничего не говорится о наличии/отсутствии других решений, то есть решение может оказаться частным.
@user-rh6mm6mz9dАй бұрын
То. АВМ расположен под углом к горизонтальной пл., довернем его по стороне АС , т. В займет новое положение в т. В1 ( она выше В) то. АВ1С будет иметь натуральный вид , линия СМ также лежит в гор. Плоскости .Построим тр.СМВ2 симмметрично тр.СМВ1 с общим катетом СМ . Тр.В1МВ2 равнобедренный и прямоугольный , т.к.СВ1=СВ2=^из 2 по т. Пифагора .
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Отлично.
@user-rh6mm6mz9dАй бұрын
Выражаю Вам огромную благодарность за Вашу благородную работу на поприще Геометрии , почерпнул много нового . А Фудзияму , я думаю, с Вашей помощью, покорят многие любители Геометрии . Ученые утверждают , что за последние 10000 лет мозг человека не изменился , поэтому Пифагор и Евклид могли бы дать нам фору . Еще раз спасибо .
@user-yq4jh7sw1yАй бұрын
√2=2√2sin180*/n → R=a=√2 → т. С - центр окружности с R=√2 и стороной шестиугольника равной √2,
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Отлично.
@x_raysАй бұрын
Я думаю, что в Японии решали по вашему первому способу.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Возможно, я взял услвоие без решения.
@arbo1219Ай бұрын
Поворот не поддается. Решаю по старинке. Опишем окружность вокруг тр-ка АВС.
@SB-7423Ай бұрын
Ваша первая строчка: "
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо.
@arbo121928 күн бұрын
@@SB-7423 Уважаемый коллега! По объективным причинам сразу ответить не смог. Но лучше поздно, чем никогда. Дополнительные построения: 1. Опишем вокруг тр-ка АВС окружность. 2. Из т.В тр-ка АВС опустим перпендикуляр на основание АС и продолжим его до пересечения с окружностью в т.D. BD - диаметр описанной окружности. Дополнительные обозначения: т.Е - точка пересечения отрезка АМ с дугой ВС; т.Р - точка пересечения отрезка ВМ с дугой ВС. Соединим точки D и С отрезком прямой. Проверка на легитимность отрезка DM (вертикаль из т.С вниз). Угол DCM =
@armyant6187Ай бұрын
Не надо теорему синусов. В треугольнике M1BM провести высоту. Её длина будет 1. BM = 2. Значит, BMB1 = 30 градусов.
@OlegVlChАй бұрын
Да тут и теорема косинусов-то тоже лишняя...
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@@OlegVlCh Мне кажется и я тут лишний?
@vladimirkirov5279Ай бұрын
Когда нашли два угла по 30 градусов, далее треугольники AMB и BMM1 одинаковы по первому признаку.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, можно и так. Спасибо.
@user-kd9wl9mt5kАй бұрын
не уверен на 100% :) Может стоит достроить треугольник ACM1 равный ACM с общей стороной AC Далее проводим окружность с центром в точке С и радиусом СМ МС пересекает ее в какой-то точке К Угол АСК равен 30 градусов так как угол АМС равен 15 градусов, значит угол КСВ равен 90, а следовательно угол ВСМ=90 ну и Пифагор. ВС=СМ
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Интересная идея.
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
только один вопрос: будет ли т.А принадлежать этой окр-ти?
@KotzauglomАй бұрын
Я, может, глупость скажу, но разве одна сторона не является квадратом другой? У нас одна сторона 2, вторая корень из 2. Это возможно только в том случае, если треугольник прямоугольный. Следовательно, искомая сторона корень из 2.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо. Есть много треугольников с такими двумя сторонами, угол между ними может быть любым. Разве все треугольники со стронами 2 и 4 прямоугольные?
@KotzauglomАй бұрын
Нет, конечно. Речь идет конкретно о 2 и корне из 2. Ваш пример - это натуральные числа, для них такого решения не существует. А вот для иррационального числа корень из 2 как раз такое решение есть.
@user-ei6rd7ei7xАй бұрын
Предположим, что угол MAC больше 15°. Тогда он больше угла AMC и CM > AC = BC, BC^2+CM^2 2CM^2 = 4 = BM^2, угол BCM острый, сумма углов в треугольнике AMC меньше 15°+15°+60°+90°=180°, противоречие. Значит, угол MAC равен 15°, и AC=CM=sqrt(2).
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо.
@user-vm4sz1qn2sАй бұрын
👍
@user-Sergei-KashnikovАй бұрын
Класс
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Согласен, хорошоая задача.
@user-lc4ib4qb3qАй бұрын
В начале ролика вы сказали о КНДР и Ю.Корее. Сегодня читала статью, оказывается в КНДР рабочий день 8ч 5дн в неделю + субботник по уборке вокруг своего дома, дворников нет. В Ю.Корее рабочий день 11--13ч 5--6 дн в неделю. В Ю.Корее большая безработица особенно среди молодёжи с высшим образованием. Образование дорогое, чаще в кредит. В КНДР нет безработицы, образование, в т.ч. высшее, бесплатное. Почему же тогда считают, что в Ю.Корее жить лучше, чем в КНДР? Ну да, зарплата выше, но зачем она, если до 13ч в сутки вкалываешь, на развлечения времени нет. В Ю.Корее высокий % депрессий и самоубийств, а в КНДР это редкие явления.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, везде свои сложности.
@second3160Ай бұрын
// Отличная последняя задача у Земскова. Там и т. косинусов и cos30°=3½/2 и построения дополнительные. Только решение неполное и поворотов нет. Стесняюсь спросить, а как бы вы решили? Геометрически? //
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
И нам что до этого? Своих хороших 1000 штук.
@second3160Ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Ну да, ну да. Свои драники девать некуда, японьски. У самих на 75см книжек найдётся, не считая хороших. Ну да, ну да
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
@@second3160 Земсков - действительно харизматичный учитель, и задачи, подбирает интересные. Тут я согласен. Просто не понял вашего предложения: а) разбрать эту задачу на нашем канале; б) просто посмотреть ее; в) парадоваться, что наш зритель такой информированный. Радуюсь, чесно. А хвастаться я не сибирался, действительно, несколько зрителей спрашивали. Есть разное кинно разных режиссеров, и то, и другое может быть интересно. P.S. На пишите условие той задачки, если нетрудно.
@second3160Ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо. Я без претензий. Вы зайдите на последний ролик Земскова - там делов-то на 10 минут. "... и всё поймёшь и всё увидишь там, ... и всё увидишь сам". Там тоже треугольник с хорошим углом, тоже нужно сторону найти, тоже некая точка определяет линейные размеры. В общем, ваше мнение?
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
Существует множество задач «хороших и разных»… Право каждого автора канала делать свою подборку. Пересекать авторов - дело неблагодарное… тем более, что под последним видео Земскова ему уже «насовали» в комментариях... Мое личное мнение: хочешь «чисто поржать» и почувствовать себя «самым умным» - смотри Земскова. Хочешь чему-то научиться - заходи к Казакову. Здесь я никоим образом не сравниваю Петра Земскова и Валерия Казакова. У каждого из них огромный опыт и свое видение математических проблем. У каждого из них свой взгляд на решение таких проблем, и на подачу своих вариантов решений… Дальше - выбирают зрители…
@vkr122Ай бұрын
Построил 12угольник где АС грань , А=А1 С=А12 , центральный =30 , значит точка М на окружности , точка В пересечение диагоналей (оказалось А11,А3) значит М на вершине 12 угольника , ставим М в точку А11 и отношение МС/МВ=√2/2 , других вершин с таким отношением недолжно быть, значит АС=СМ=√2!
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
"не должно" - ключевое. Проблема в д-ве пересечения трех диагоналей в одной точке.
@vkr122Ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен , каотинка красивая , доказательство не строгое...
@yuriyyuriy9202Ай бұрын
Решил проще, не глядя Ваше решение. Проведем высоту CD из вершины С на основание BM. Докажем, что DCM и BCD - равнобедренные прямоугольные треугольники, как и треугольник BCM. Если это справедливо, то 1. CD должно быть равно CМ = 2/2= 1. Это верно, т.к. в прямоугольном треугольнике DCM основание DM = 1 а гипотенуза корень из 2. Если верить Пифагору, то катет СD тоже равен 1. 2. Аналогично с треугольником BCD. Т.е. и BCD и DCM - прямоугольные равнобедренные. 3. Соответственно BC = СМ (это уже ответ но нужно еще доказать, что BCM прямоугольный равнобедренный, доказывается множеством способов). Напр. углы CBD и CMD по 45 гр. , то BCM 90. Или, по Пифагору - две стороны треугольника BCM по корень из двух, а третья - 2. значит она гипотенуза прямоугольного треугольника. Решение окончено. Юра, 48 годиков. Подсказкой должны были служить числа 2 и корень из 2, тогда задача решается в уме и не нужны никакие плоские перемещения.. И да, условие задачи избыточно. Можно опустить любое из чисел (величина угла, или длина любой из сторон) и задача все еще решается...
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
при всем уважении, но доказательств я не увидел... все - только предположения, которые "не противоречат условиям"... а где же единственность ответа? По моему автор канала пытается донести именно эту идею: при кажущемся очевидным решении необходимо привести "железобетонную" аргументацию... а в этой задаче при таким образом заданных условиях, это и есть проблема...
@SB-7423Ай бұрын
Измените угол с 15 на 20, и Вы получите сторону треугольника уже 1.61... , но не √2 ! При тех же длинах отрезков! В задаче нет ни одного избыточного данного! Измените длину отрезка с 2 на √3, и Вы получите сторону треугольника уже 1.11... , но не √2 !
@yuriyyuriy9202Ай бұрын
@@sergeybezhenov7174 Ну так если "предположения" - то будьте добры опровергнуть. Докажите, что медиана из С на BM не совпадает с высотой. Делов то )) А Вам мое решение показалось очевидным ? И не смутило, что я назвал условие избыточным и не использовал одно из данных ?
@SB-7423Ай бұрын
@@yuriyyuriy9202 Ваше "решение" таковым не является. Поскольку не опирается на теоремы геометрии. Об избыточности данныхя уже Вам привёл примеры. Кстати, если угол не равен 15, то треугольники не будут ни равнобедренными, ни прямоугольными.
@sergeybezhenov7174Ай бұрын
@@yuriyyuriy9202 Не нужно так эмоционально, на этом канале зрители просто общаются) Я не отношу себя к «гуру» математики, но попробую ответить на Ваши вопросы. 1) доказывать свою правоту должен автор решения, а не те, кто это решение анализирует, тем не менее отмечу, что медиана из С на BM будет совпадать с высотой только при условии равнобедренности тр-ка ВСМ, что никоим образом не следует из условий задачи (стороны с величинами 2 и √2 могут иметь место в тр-ке любого вида) 2) любые варианты доказательств, которые начинаются со слова «предположим», должны содержать аргументацию единственности решения… и тут начинаются основные проблемы, преодолеть которые, порой, сложнее, чем найти прямой метод решения 3) и об избыточности условий: если Вы на канале недавно, то посмотрите другие ролики и почитайте комменты под ними, если же Вы регулярно следите за каналом, то можно сделать вывод, что автор избыточных условий не задает, не тот у него уровень… хотя попадаются и задачи на «релакс»… с избыточными данными и кучей вариантов решения, но здесь не тот случай, здесь - выпускной экзамен! И тут я, практически впервые, абсолютно согласен с названием ролика: «харакири какое-то»…)
@SB-7423Ай бұрын
Поскольку даже после поворота применялись теоремы синусов и косинусов, то можно решить эту задачу при помощи тех же теорем напрямую.Обозначим АС = х, ∡МАС = α. Из треугольника АМС по теореме синусов: х = √2∙sin15°/sinα. Из треугольника ВСМ по теореме косинусов : x^2 - 2∙x∙√2∙cos(105° - α) = 2. Подставляя х из первого равенства во второе, получим тригонометрическое уравнение: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙sin15°/sinα∙cos(105° - α) = 1. Это уравнение можно свести к виду: (√3 + 1)/2 = 2∙sin15°∙cos(2α - 15°) + cos(2α). Слева - прямая линия, справа - функция, убывающая в положительной области . При этом, в точке α=0 график находится выше прямой. Поэтому в допустимой области есть только один корень! Как легко увидеть, это α = 15°. Поэтому х = МС = √2. Точное решение уравнения смысла не имеет. Тем не менее удалось точно решить тригонометрическое уравнение, а также, исключив угол α, удалось получить биквадратное уравнение относительно х. *P.S. Приведу биквадратное уравнение относительно стороны треугольника: x^4 - (10 - 2∙√3)∙x^2 + 16 - 4∙√3 = 0.* Его решения: x^2 = (5 - √3) ± √(12 - 6∙√3). Корень легко извлекается, откуда получим: *x^2 = (5 - √3) ± (3 - √3) ⟹ (x^2 = 2) или (x^2 = 8 - 2∙√3).* *Удовлетворяет условиям задачи только x^2 =2 ⟹ x = √2 .*
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Супер.
@user-lc1uq4qy2iАй бұрын
Как только вышли на угол 45 градусов нужно обратить внимание на ВМС, это половина квадрата, а значит сторона треугольника равна корень из 2
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Да, продолжений там много, это хорошее.
@user-lc1uq4qy2iАй бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov а можно как-то сразу выйти на этот квадрат?
@user-zo8zo3cg9bАй бұрын
Новых задач так не хватает(((
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Услышал.
@user-lc1rh8kw1dАй бұрын
А не проще достроить м1с и доказать, что ам1с=мм1с?
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Думаю, не проще.
@illarionpak1607Ай бұрын
Единственность: 1. Пусть сторона треугольника ABC равна a 2. Построим окружность S₁, проходящую через точки A,C с центром O, расположенным выше линии (AC) такую, что угол AOC = 30°. Тогда точка M находится на этой окружности, т.е. M ∈ S₁ 3. Построим множество точек S₂ = {X: |BX|/|CX| = √̅2} Это окружность Аполлония. Центр окружности находится на прямой (BC) ниже точки C, радиус этой окружности R=a√̅2 (радиус не важен, главное что окружность единственна). Очевидно, что точка M находится и на этой окружности, т.е. M ∈ S₂ 4. Точка M, во-первых, находится на пересечении окружностей S₁ и S₂ и во-вторых, судя по чертежу, точка M находится выше линии (AC) и правее точки C Отсюда следует единственность точки M. Таким образом получается, что любой угаданный частный случай (если его угадали), является единственным решением. Но решение, приведенное автором, на мой взгляд является наилучшим.