【奇跡の１問】１分で解ける京大入試

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3 жыл бұрын

京都大学の2021入試数学の良問なのですが、実は・・・
奇跡的に３年前にほぼ同じ発想の問題がありました。
（PASSLABOで解説してます！）
「mod3」に気付けるか？だけだとあまり面白くないので
少し改題して「２通りで示せ」という縛りをつけました。
modを使う方法はもちろんですが、最後に紹介した
「因数分解的な発想」も、数学の魅力を感じました！
■PASSLABOの過去問題（整数）
【奇跡の１問】１分で解ける”京大入試”｜数学の勉強法を学べ。
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Пікірлер: 113

@user-bi3su6tq1s 3 жыл бұрын

国立医医受かってました！数学でMOD使える問題でてそこだけ完答できました！パスラボのおかげで整数だけは自信持っていけました！1年間ありがとうございました！

@user-zy7qz8np5l 2 жыл бұрын

5以上の素数は必ず6k±1になるっていうのは凄い使えますよね～

@user-mg8kv2bs3z 3 жыл бұрын

mod3の解法でやって初見簡単だなーって思って放置してたけど式変形からも示せる解き方を見て感動しました、別解を載せてくれるのありがたいです😭

@user-kk1uq1ei4e 3 жыл бұрын

因数分解のやつ思い付いたらめっちゃ気持ちいいやんもっと色んな解答作れるように頑張ろ

@user-cf1go9kd2r 3 жыл бұрын

この問題、面白いですよね。3の倍数か否かという着眼点にさえ気付ければpは必ずしも素数である必要はないねってやつですね〜 p=3の時に5の倍数になるというヒントから、下1桁のみに注目すると、 (pの下1桁)=1,3,7,9の時に(p^4の下1桁)=1 であり、 (pの下1桁)=2,4,6,8の時に(p^4の下1桁)=6 であることから、 pが5の倍数でなければp^4は5の倍数になることまで分かりますね。 pの3の倍数か否かの条件も合わせると、15の倍数でない限りp^4は絶対に素数にはなりえませんね。ちなみに、15の倍数(正しくは15×奇数)についても調べましたが、少なくともp=15,75,105,135の時は素数ではなく、p=165,195でやっとp^4が素数になるものを見つけました。感動しました。(p=225の時は残念ながら19で割れます)

@user-qs2zc5bj1p 3 жыл бұрын

これ本番で解けなかったヤツが合否発表前のタイミングで動画見たら割と発狂モノで草

@Meidai240 3 жыл бұрын

問題文がシンプルでかつ、解き方が複数あるのは面白い。

@riho7025 3 жыл бұрын

夢で京大のオープンキャンパス行く夢みて、目覚めて勉強しなって思ってる時に通知来たので勉強させていただきます。

@KH-zd8hm 3 жыл бұрын

俺も行きてぇ！

@user-pi9bk7oz5n 3 жыл бұрын

整数問題苦手だったから本番これでてマジで助かった

@user-hk1ke9di4f 3 жыл бұрын

今年の問題ざっと見たけど割と難易度は落ち着いてたよね論述でいかに減点されないかが大事かな

@-TOMORROW- 3 жыл бұрын

最近このチャンネル見ていたおかげで解けた！文系数学とはいえ京大の問題解けたんだ！嬉しい！

@shjturtle 3 жыл бұрын

貫太郎さんのとこで瞬殺だったやつだ。平方数はmod3 mod4に弱いが、4乗になるとmod5にも弱くなるんですよね。なので、p=5の時を個別で検証して残りをmod5を使って解くこともできます。mod3のほうが簡単なので意味ないけど！！

@user-ki7ns4dk2m 3 жыл бұрын

整数を制するものは受験を制する

@oktanuma2758 3 жыл бұрын

解答予想 ①pの偶奇 p＝2の時、与式=30 out p>2の時、与式=偶数　右辺素数より2しかなくout ②mod5(フェルマーの小定理) p^4≡0、1 14≡4 p^4≡0のとき p素数よりp＝5 5^4+14≠素数　out p^4≡1のとき p^4+14≡0 右辺素数より5しかなくout ですかね…？

@mathseeker2718 3 жыл бұрын

私は式変形には気が付かず、一つ目はmod3を使った方法、二つ目は対偶命題を示す方法で解きました。対偶、すなわちp^4+14が素数⇨pは素数ではないを示して解きました。

@user-zq5ki1zc4c 3 жыл бұрын

今年の入試で某暴力大学では昨年とおなじ問題を出題してしまったそうですが、京大ではこの手の問題が何回か出題されているとはいえ雲泥の差です。

@user-fn4um9fv2e 3 жыл бұрын

整数問題苦手なので練習します😣

@cottomizuki 3 жыл бұрын

自分がこれから示すことを解答に書くこと忘れがちな私

@user-nm3fg7hf3m 3 жыл бұрын

昨日学校で解いてまさに感動しました

@KH-zd8hm 3 жыл бұрын

因数分解して、因数のあるものの足し算ができた時点で、3,5,15のどれかで括れる見通しができるから、mod3から試してみれば良いというわけだ！

@YouTuber-rn6wy 3 жыл бұрын

面白いなあ

@Bomb_Alice Жыл бұрын

なんだこれは。たまげたなあ

@poteton 3 жыл бұрын

因数分解できたらかっこいいな✨

@isalegendduramente8404 2 ай бұрын

①p=2と5のとき合成数であることを示す ②上記以外は10と互いに素な数なので、1の位は 1,3,7,9 のいずれか 1^4=1, 3^4=81, 7^4=2401, 9^4(=3^8)=6561 でいずれの場合も1の位は"1" →(pが素数の場合)15を超える1位"5"の数になるので、5の倍数であることを示すサムネを見たときこんな感じに解いていました。よくよく思えば、14≡2≡-1 (mod 3)ですね。

@user-gs7rj6mg2f 3 жыл бұрын

京大だからとりあいずmod3とって出来んかったら実験しようってら発想になっちゃった。

@user-fi4qp7of6i 2 жыл бұрын

初見で解いてみた。 Pが素数のとき ①p=2とすると、 P^4+14=30で素数ではない ②P=3とすると、 P^4+14=95で素数ではない ③P>3とすると、Pは3の倍数ではない。(∵3を素因数にもつ素数は3のみ) よって、mod3では P≡±1(mod3)となり、 P^4≡1(mod3)であるから P^4+14≡0(mod3)となり 3の倍数であるから素数ではない。よって、 Pが素数のとき、P^4+14は素数ではないことが示された。

@user-tg2lr4bg9j 3 жыл бұрын

p=2.p=5を調べたあと、その他はpの1の位が1.3.7.9で、全部p^4の1の位が1だから14を足したら5の倍数になったのでおしまい。でもmod使った方がはやいか？

@user-ss3dv9sx5f 3 жыл бұрын

フェルマーの小定理よりで簡単に書けます

@user-yp9re8wq4h 3 жыл бұрын

pが5の倍数でない奇数の時、p^4≡1(mod5) よってp^4+14≡0 (mod5) pが上でなく素数であるのは2,5 2^4+14=30,5^4+14=639で共に合成数

@user-tv6px1fq9v Жыл бұрын

フェルマーの小定理で瞬殺よね

@teten9862 3 жыл бұрын

2,5以外の素数はp^4の一の位が1になるので14を足したら5の倍数。2,5は別途計算して検証。おわり

@user-uj1qz1mm7h 3 жыл бұрын

おはよーございまーす

@user-fx3ru4hw8w 3 жыл бұрын

京大mod3好きだなw

@user-kl7mk3dw3r 3 жыл бұрын

鈴木貫太郎さんもやってていましたね。

@user-ki7qu7ms5j 3 жыл бұрын

まず素数の1の位の数字としてあり得るのは1、3、7、9［2、5だけは例外］なぜなら偶数や5の倍数だと2か5を除き絶対素数にならないから 2の4乗は偶数なのでこれに14足しても素数にならない。 5の4乗に14足すと639だがこれは71かける9と表せる。 1の4乗は1なので、1の位が1の数の4乗は必ず1の位が1になる 3の4乗の1の位は1なので1の位が3の数の4乗も必ず1の位は1 7、9も同様に1となる。 1の位が1の自然数＋14は必ず5の倍数なので素数とならない。故にこの証明は成り立った。

@user-ki7qu7ms5j 3 жыл бұрын

ごめん1の位が1の数を1の位が1の自然数に直してね

@the7jump 3 жыл бұрын

①p≥5の時、p=6n±1と置くとmod6で与式≡3となるから、p^4+14は3の倍数。あとはp=2,3を代入してOK ②mod5で1+14≡0,0+14≡4なので、素数となるpは5のみ。 p=5のとき、25^2+14=639=9*71 ②は、4乗だとmod5で0,1のみになることを利用しました。

@user-jo7uj7oi4t 3 жыл бұрын

僕はpが素数だと5の倍数になることに着目(p=5の時は場合分け)してmod5出ときましたが、もっと簡単なやり方があったんですね…

@darksw20 3 жыл бұрын

数値実験したら，「2以上の自然数nに対し，nとn^2+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ．(06年京大)」と同じタイプやんと思いましたね(^^;

@tmfiber3235 2 жыл бұрын

MOD3とMOD5の2通りで、どだ！！（わかる、求めてる２つ目はそれじゃないw）

@user-kd2mw8jn3d 3 жыл бұрын

スクショタイム欲しいです

@hulegaut123 3 жыл бұрын

mod6でやっちゃった♡

@rask-ck9uu 3 жыл бұрын

掛けて割るより足して引くの発想の難しさ。。

@YouTubeAIYAIYAI 3 жыл бұрын

備忘録70G"【実験スル→ 素数 p＝ 2, 3, 5, 7, ･･･】 Y＝ p⁴＋14 とおく。 ⑴ p＝ 2 のとき、Y＝ 30＝ 2･3･5 ≠ (素数) ⑵ p＝ 3 のとき、Y＝ 95＝ 5･19 ≠ (素数) ⑶ p＞ 3 のとき、mod 3 の合同式を用いると p ≡ ± 1 と表すことができる。このとき、Y ≡ ( ± 1 )⁴ ＋14 ≡ 1 ＋ (－1) ≡ 0 だから、Y＝ ( 3の倍数 )＞ 3 ⑴ ⑵ ⑶ を合わせて、 p ∈素数ならば Y＝ p⁴＋14 は素数でない。■

@YouTubeAIYAIYAI 3 жыл бұрын

〘参考〙フェルマーの小定理より👏 p と 5 が互いに素のとき p⁵⁻¹ ≡ 1 ( mod 5 ) ⇔ p⁴ ≡ 1 だから p⁴ ＋14 ≡ 15 ≡ 0 ⇔ p⁴＋1 ＝ ( 5の倍数 ) > 5 よつて、p⁴ ＋14 は素数でない。■

@user-dj2vq5ol2j 3 жыл бұрын

スクショタイム毎回あると助かります

@anasuit1111 3 жыл бұрын

フェルマーの小定理を使って解いた

@stv9970 3 жыл бұрын

俺は一の位が5、0になってくからmod5でやった

@GRCReW_GRe4NBOYZ 3 жыл бұрын

因数分解ねー、たしかに！！復習ですね笑

@is-wn1zp 3 жыл бұрын

過去動画の問題とそっくり

@user-db5hr5ju9b 3 жыл бұрын

岐阜県公立高校入試の数学のラス問解いてみてほしいです！

@user-gh1sk9jx1j 3 жыл бұрын

ずーと素数だけ考えてたけど全ての数をしめすって思いつかなかった

@YY-nf3ys Жыл бұрын

定義を書かないと減点どころか点が貰えないかもね。

@GooMorita 3 жыл бұрын

京大の問題はいい問題が多い

@ketorata2695 3 жыл бұрын

鈴木貫太郎式で素数を6n+1 or 6n-1としてガチ展開しても解けますけど、動画の因数分解する方法がエレガントですね。

@avekawa_kimihiro 3 жыл бұрын

高校生でmodなんてやったっけ？うち習った記憶ないのだが…。というか、京大の入試問題やっぱレベル高いのな。初見で絶対解けんわ。

@user-mp1oo7ml5e 3 жыл бұрын

確か、必修範囲ではなかった気がします。

@user-kd2mw8jn3d 3 жыл бұрын

頭いい人に質問です。modって何のことですか？まだ習ってないし、高校の教科書も買ってないので教えてください！

@user-kd2mw8jn3d 3 жыл бұрын

@@user-vm1fl9pm1n どういう時に使うんですか？

@Kyoui_Kannouchou 3 жыл бұрын

@@user-kd2mw8jn3d 自分も上手くは説明できませんが、modは「ある数を何かの数で割った時に余りがどうなるか。」という事を調べる際に使います。例えば、25や31を7で割ると、 25＝7×3＋4 31＝7×4＋3 と書けますよね？これをもう少し書く量を減らすと、 25≡4(mod7)，31≡3(mod7) という風に表します。(例えば、25の場合、「25は7を法として4と合同」と言います。) これを用いる事によって、今回みたいな和の形に書かれた数が何の倍数かを容易に調べたり、ある数の集合を何かの数で割った時の余りの規則性について容易に調べる事ができます。

@user-nf3eo5yz7i 3 жыл бұрын

p≡q(moda)(すなわちaを法としてpとqが合同である)というのは pとqをそれぞれaで割った余りは等しいということですここで言う余りは0以上a未満の数ですつまり、ある整数m,nを用いて p+ma=q+naと表されます例)26≡ｰ2(mod7)

@user-collagen 3 жыл бұрын

合同式は発展扱いとして、たしか数Aに載ってはいるはず。けど受験だと多用するから、発展だからと避けてはだめですよ

@user-qe9lz2xs3j 3 жыл бұрын

おはようございます٩(*´꒳`*)۶

@user-rp8wl8kl6p 3 жыл бұрын

6k+1、6k −1を代入

@user-yx4ke2bn6u 3 жыл бұрын

n=5のとき　素数でないそれ以外　フェルマーの小定理　でも良いですね

@user-yx4ke2bn6u 3 жыл бұрын

フェルマーの小定理を証明無しで使うのは賛否あるみたいです。証明書くと時間使うので今回の問題は普通にmod3でやった方が良いですね。

@user-hikoyuzu 3 жыл бұрын

パッと見で浮かんだのがフェルマーの小定理

@user-rl8vu1gw7h 3 жыл бұрын

実験していったらまさかのmod3… これはやさしすぎる京大受験者なら全員解けてそう

@user-kn7xk1nb8m 3 жыл бұрын

今年の京大数学はボロクソに言われてますね…簡単すぎと…

@user-dz7md2rm1v 3 жыл бұрын

0:34感動じゃなくて完答じゃないですか？

@user-pg1bd2it2g 3 жыл бұрын

中3です。mod3に注目したのですが、p=3を除くのを考えられませんでした。

@user-dv9vk9iy4p 3 жыл бұрын

僕も中3です。僕もmod3でやりました。

@user-nl7ns7db2z 3 жыл бұрын

僕も小3です。僕もmod3でやりました。

@anasuit1111 3 жыл бұрын

年齢言いたい気持ちは分かるけど、絶対必要ないよね。言うほど凄くはないし。

@taichi4877 3 жыл бұрын

スバルさん新高2なんですけど塾通った方が点数が安定すると思いますか？

@user-collagen 3 жыл бұрын

主ではありませんが一言。塾に行くと良い点は、あくまでも色んな問題に触れて演習する機会が増えるということ。だから塾に依存してはダメで、上のコメントにもありますが、学校の授業や自分の努力に＋αするものとして捉えるべきです。

@taichi4877 3 жыл бұрын

なるほどありがとうございます笑

@taichi4877 3 жыл бұрын

ありがとうございます。

@zasty0816yo 3 жыл бұрын

p=3k+1っておくときにkが整数って書かないと減点だろうから、授業ではしっかり言及して欲しい

@nu__shun6281 3 жыл бұрын

サムネ河野玄斗に寄せてない？w

@user-ch6sn8nf8q 3 жыл бұрын

最初河野玄斗の動画だと思った笑

@welfare1282 3 жыл бұрын

逆に自分これができなかったんだけど

@grassykusa 3 жыл бұрын

そのタイトルは焦って解けなかった俺に刺さる

@grassykusa 3 жыл бұрын

落ちたわ

@user-xd4dj1hf4w 3 жыл бұрын

@@grassykusa ；；

@naka_suke9718 3 жыл бұрын

p=2,3のとき、p^4+14は素数でない。nを自然数として、 6n→6の倍数 6n+2→2の倍数 6n+3→3の倍数 6n-2(or6n+5)→2の倍数より、5以上の素数pは、 p=6n±1 と表せるから、 p^4+14=(6n±1)^4+14 =3N(Nは2以上の自然数) となり、素数でない。

@kakko_kari 3 жыл бұрын

合同式が数学の中で1番好き

@YP-cv8xr 3 жыл бұрын

質問です！ p^4+14が3より大きい数になるということがわかりません。

@welfare1282 3 жыл бұрын

pは素数であるからp^4は必ず自然数ですのでp^4+14は必ず3より大きくなります

@YP-cv8xr 3 жыл бұрын

@@welfare1282 質問の仕方を間違えました💦 p^4+14が3より大きい数になると素数でなくなる。というのが分かりません!

@kuro6736 3 жыл бұрын

@ぴよぴよ　p^4+14≡0(mod3)やからpは3の倍数って言えるやん？3の倍数のうち素数なのは3だけやから、p^4+14が3より大きい(3じゃない)って言えるとp^4+14が素数じゃないってことが証明される。

@YP-cv8xr 3 жыл бұрын

p^4+14は3以外の3の倍数になる→素数ではないことがわかる。こういうことでしょうか!?

@user-uv8tf9dx5h 3 жыл бұрын

この問題と積分だけできた…w

@user-fz4wt4gs9q 3 жыл бұрын

一番もできたら、、

@mgn2377 3 жыл бұрын

問題とはそれるかもしれませんが、pが3の倍数だったら、p^4+14はどうなるんでしょうか…？

@user-tp8fx1md3d 3 жыл бұрын

pは素数なので、3の倍数なら条件満たすpはp=3のみになります。なのでp^4+14にp=3代入するとあたいは95となり5で割り切れるので素数じゃないと言えます

@user-nf3eo5yz7i 3 жыл бұрын

pが素数でない場合、ということでしたら p≡3(mod3)のとき p^4+14≡95≡2(mod3)より p^4+14は3で割ると2余る自然数となります

@hhshima 2 жыл бұрын

この問題、どうして４じゃなくて１４なのかなと思いました。まず４だとmod6は使いにくくて、mod5の方が良さそう。それからP=5のとき、P^4+4=625+4=629となって、629=17x37が素数かどうか判別がしにくい。つまり、１４にしたのは純然たる親切心なんですかねｗ

@shk7939 3 жыл бұрын

2と3調べてmod3で終わり？

@user-nf3eo5yz7i 3 жыл бұрын

例外処理は3だけでokです p≡±1(mod3)はp=2も含みます

@shk7939 3 жыл бұрын

あざす

@yulieskigourrielcastillo35 2 жыл бұрын

あ、俺が解けなくて落ちた問題だ…

@ys-xl9ft 3 жыл бұрын

標問に同じの載ってた

@_pfoxo 3 жыл бұрын

え？これって結局素数の絶対条件が下一桁が1.3.7.9である必要があるから(2は除く)どんな数でも4乗したら全部下一桁が1になり+14は必ず下一桁が5になり素数でない。はダメなんか？そんなmodとか実験使うより楽やろ。なんなら全ての奇数の4乗に14足したら全て素数ではないっての踏み台みたいな気がして。実際15とか25の4乗に14足しても 15^4+14=79×641 25^4+14=16203139→503×32213 だしなあとよく考えたら下一桁が0.2.4.6.8でもぜーーんぶ結局偶数になるやんな