折角これまで「平方数はmod3, mod4に弱い」と教えてきたのだから、その流れで「pはmod3でも4でも±1」→「p＝6k±1とおける」と導いた方が良いのでは思いました。

最初に右辺が24以上(or48以上）なので、少なくともpは5以上であることがわかります（そのため最初にp≠2,3と範囲を絞ってから使ってみてください！）

仮に誘導なしでこの書き始めだと、◯にはしにくそう。 最初の式からpの範囲を絞らないと、一応pは2or3の可能性も残ってて、一概に動画の通りには、文字で置けないと思いました。

2でも3でもない素数は6m±1とおけるのは便利ですね pが奇数となることを示してp=2n+1とおき、n(n+1)=2×3×qとしてnとn+1が互いに素であることを利用するのを最初に思いつきました

【別解】 補題 q≧29のときは、24qは24より大きくqより小さい約数を持てない。 略証 あるqに対して反例が存在すると仮定して、それをrとおく（つまり、rは24

p,qがそれぞれ偶数の時を考えて、それ以降はp+1とp− 1がともに偶数であることを利用する。 24qを素因数分解してそれぞれ当てはめて、p+1とp− 1との差が2になるような組み合わせを見つければ10分掛からず終わりました

6を法として合同式にしても何にもならないので実際に文字で置いて代入する！っていう慣れも必要ですね！

裏技を強調する構成だったと思うのですが、p,qともに素数よりq≧2⇒p≧7を最初に述べておくべきかと。(コメントで補足はあったものの、そこまで読まない子もいるかと思うので)

スバルさんの数学って見ていてとてもわくわくしてきます…！！なので数学辛くなったら楽しそうに解いてくれるスバルさんを見にくるとやる気がでてきます😊💪

2,3を除くすべての素数は6m±1で表せるって、教科書に載せてもいいレベルに思うんだけど数学科に怒られるのかなあ

動画はまだ拝見しておりません。 p^2 - 1 = 24q 1)p = 2のとき、条件をみたすqは存在しない。 2)q = 2のとき、p^2 - 1 = 48よりp = 7, (p, q) = (7, 2)は条件をみたす。 3)以下、p, qともに奇素数の場合を考える。p ≧ 3, q ≧ 3 (p + 1)(p - 1) = 24q = 2^3・3・q p + 1, p - 1はともに偶数であるから、右辺の2^3の振り分けは「p + 1に2個, p - 1に1個」または「p + 1に1個, p - 1に2個」でなければならない。 3-1)2をp + 1に2個, p - 1に1個振り分けるとき 右辺の残りの素因数3qの振り分けは i)p + 1に3q, p - 1になし p + 1 = 12q, p - 1 = 2, p = 3, 条件をみたすqは存在しない。 ii)p + 1に3, p - 1にq p + 1 = 12, p - 1 = 2q, p = 11, q = 5, (p, q) = (11, 5)は条件をみたす。 iii)p + 1にq, p - 1に3 p + 1 = 4q, p - 1 = 6, p = 7, q = 2, (p, q) = (7, 2)は2)で議論済み。 iv)p + 1になし、p - 1に3q p + 1 < p - 1となるので不適。 3-2)2をp + 1に1個, p - 1に2個振り分けるとき 右辺の残りの素因数3qの振り分けは v)p + 1に3q, p - 1になし p + 1 = 6q, p - 1 = 4, p = 5, q = 1, qが非素数のため不適。 vi)p + 1に3, p - 1にq p + 1 < p - 1となるため不適。 vii)p + 1にq, p - 1に3 p + 1 = 2q, p - 1 = 12, p = 13, q = 7, (p, q) = (13, 7)は条件をみたす。 viii)p + 1になし、p - 1に3q p + 1 < p - 1となるため不適。 以上より、(p, q) = (7, 2), (11, 5), (13, 7) と出ました。

はいどうも！みんなで浸かるバスタブに花王のバブです！って挨拶どういう意味ですか？

ちょっと言い方が数学が苦手な人にとっては勘違いされそうかも 当たり前ですがp＝6k±1は素数となるための必要条件でしかないので答案には素数となるための必要条件はという言葉が必要ですよ！

もしp=6m±1という発想が浮かばない場合自分はこうしました (1)24q≧48だから、そすうpがあるとすればp≧7 (2)7以上の素数pを、p=2m+1(mは3以上)とおく (3)代入場合分けすると、3つの候補があるのでそれらは全てpが素数であることを満たす

強引にやってみた。 p=2のとき左辺＝2^2-1=37の場合、差が1になる組み合わせは存在しない。 以上より (p,q)=(7,2),(11,5),(13,7)

「pは素数かつ2でも3でも割り切れないため」って記述すれば、ぎりぎりセーフかな？と思いました。ただし、論理の飛躍と言われるかは大学次第。 まぁでも、5以上の素数はp=6m±1とおける...とか、2,3は題意を満たさないためp=6m±1とおける...とかの方が紛れないですね。

これちゃんと理解してないと細かい記述のところに減点ポイントめちゃありそう コメ欄でよく言われる範囲のことについてもそうやし、(m,q)の値出すところもqが素数だから2×qか1×2qのパターンしかないよねっていうのも記述でしっかり書けるか気になる

裏ワザすごい 色んな引き出し増やしたい

最初が思いつかんので別解みたいなあるんですかね…

p - 1 と p + 1 の偶奇が一致して、p^2 - 1 = 24 q は偶数だから、p - 1 と p + 1 はともに偶数。 {(p - 1)/2}{( p + 1)/2}= 6q (p - 1)/2 と (p + 1)/2はともに自然数であり、偶奇が一致せず、(p - 1)/2 < (p + 1)/2 (1) q = 2 のとき p = 7 (2) q ≠ 2のとき、qは奇数であり、 ((p - 1)/2, (p + 1)/2) = (6, q), (2, 3q), (q, 6) 以下略

本人コメントにもありますが 2,3を除外しないと使えないので最初にそれについて言及しなきゃですね あとこの問題に関してはq>=2からp>=7であることと (p-1)(p+1)=24q、qは素数であることからq

(p-1)(p+1)=24qについて、左辺が差が2の数の積になっていて、 qが素数であることを考慮するとq≦22となるしかない。 そのうち、5で割った余りを考慮した場合を考えると、 qを5で割ったあまりは0か2にしかなり得ない。 だから、q=2,5,7,17の4通りを試せば終わりです。 q≦22など、上から抑え込めれば、あとは適当に絞ればよいですね。

表技なら p奇数から　p=2m+1 m^2+m=6q m(m+1)=6qだけど、3*2*qの組み合わせになるけど　qが素数で２以上であることを考えると　振り分けそんなに難しくないよ。

最後にp=2 ,3のとき確認する？？

解いた後に解のペアを観察して、qがpよりも大きくなってはならない理由、pとqがあまり離れてはいけない理由を考えると新しい解法が見つかると思います。

整数で、2でも3でも割り切れない数は、5以上の数になるので、2と3を組み合わせた数の±1が素数になるんですよね。 もっと言えば、素数は6の倍数の±1に出てくる可能性があって、後半に出てくる素数との組み合わせで出てきたりててこなくなったりするんで、予測が難しいんですよね。

左辺≧48からp≧7がわかるので、pが5以上の素数ってことがわかりますね。

pを奇数とおいたらすんなりできました

p≧7と絞った上で p=2k+1(k≧3) とすれば十分解けるのに、わざわざ6k±1持ち出すのはどうなんだろう。

pとqの差をaとでもして、q=p+aをp^2-1=24qに代入し、解の公式を使ってp=の形になおした式を眺めると、pが正の素数になるためのaの条件がわかり、作問の仕組みがわかると思います。この問題と同じ方法で解ける-1,24以外の係数をいくらでもつくれるようになればなお良いです。

{左辺}=(p+1)(p-1)で素数pの連続する前後の数の積だから、{右辺}を(n+1)(n-1)　(nは整数) の形になるパターン考えて適・不適を吟味するかな～。 24は小さい数字だし、q素数だから素因数分解できないし範囲絞られるからごり押しちゃう笑 6m±1は発想いるね。

Pが素数のとき2or3のときは確認しなくていいのですか

検算のプロセスは正解してて安心しました。 p^2=24q+1で(13,7)(11,5)(7,2)が思い浮かび, 他に無いかの確認兼ねた解答記述の折に 6m±1とおく手法を使ったので……

今回例えば4m±1とかではなく6m±1を使う必要性は、右辺が24以上だからp≧5になる所から来てるのかな

愚直ーに解きましたw Pが5以上になる(もっと言うと7以上)こと、P=7条件満たして唯一の偶数の素数を弾いてくれるのであとは偶数奇数の組み合わせを考えればいけましたw

スバルさんが答え間違えかけたところでゾッとした

鈴木貫太郎さんの動画にもありました！

p=6m±1で表せるのはp≧5のときですよ

ありがとうございます。裏なんかじゃない、表通りを堂々と歩ける解法ですね。最後求められた解が素数かどうかの確認だけはひつようです。

今回の裏技を聞いて、最初の(1)は「5以上の素数は6m±1の形で表せる事を示せ」なのかな、と想像しました。

ごめんなさいなんか首もとがめっちゃ気になっちゃいました😅とても有意義な動画ありがとうございます！

余りで分類して全探索って数論の土台といっていいほど基本なのでは？？？？？？？？？？

素数は2と3で割り切れないというのは正しくないので、2と3は別にチェックしなければならない

貫太郎さんの動画のコメント欄でも6n±1でいいことあるって言ってました

p＝6m±1とおけるのはp≧5のときであるため、p＝2の場合とp＝3の場合は個別に判定しなければならないと感じたのですが、やらなくていいのでしょうか？

pが6未満のケースは、24q ≧ 48 だから p≧7 と書いて潰しておけば大丈夫か

私は左辺を因数分解したあと、左辺のカッコの中身がいずれも偶数である(∵p≧7)から、右辺の2をカッコに振り分けて見ました。解法がいろいろありそうですね。

素数ならば6m±1 は真だけど 6m±1ならば素数　は偽ってことだよね? 反例　m=9

6k±1参考になる 2,3は別に検証ね

備忘録70V" p, q ∈素数 【 ( p＋1 )( p－1 )＝ 2³・3・q ･･･① 】 p ≠ 2, 3 ( ∵ ①に 代入不成立 ) だから、☆ p＝ 6m ± 1 ( m ∈自然数 ) と 表すことができる。 〖 これは 必要条件であることに注意する 〗 ( ⅰ ) p＝ 6m＋1 のとき、① ⇔ m・( 3m＋1 )＝ 2・q m < 3m＋1 に注意して、 ( m, 3m＋1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q ) これより、( p, q )＝ ( 7, 2 ), ( 13, 7 ) ( p, q ∈素数 を満たす )■ ( ⅱ ) p＝ 6m－1 のとき、① ⇔ m・( 3m－1 )＝ 2・q m < 3m－1 に注意して、 ( m, 3m－1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q ) これより、( p, q )＝ ( 11, 5 ) ( p, q ∈素数 を満たす )■

今年の京大文系数学第5問で6m±1使ったけどmod3で全然いけたらしくてちょっと無駄した気分になった

わお、メカウロ！

こんなの思いつく人いるん？

かんたろーの得意技

別解です、p>=5としたあとにp=2m+1とおいて変形するとm(m+1)=6qになるので、連続する自然数である事を使って示せました

これ学校で同じのでた！

そういえば貫太郎の動画で同じような問題あったな。冒頭のトークが印象に残ってるわ。

これ小学生の時に使ってたなぁ

MODをわかりやすく解説してほしい

(ⅰ)ができた時点で見直そ

2,3を除く素数は6n±1に含まれるって割と自明 だけど、経験してないとこの置き換えは出てこない かも? 型を覚えるのはやっぱ大切

再度ここに来てみましたら、再生回数が8888回でした。末広がりが4つ！

素数なので2でも3でも割り切れないっておかしくね

まず根本から分からなくて、例えば25だったら6×4＋1で表されるのに、素数じゃ無いんですけど、なぜでしょうか？

他の裏技は、ｐ＾２　の等差数列：つまり　２４ｑ＋１に着目

これちょうど学校でやった！！！笑笑

p,qがそれぞれ偶数の時を考えて、それ以降はp+1とp− 1がともに偶数であることを利用する。 24qを素因数分解してそれぞれ当てはめて、p+1とp− 1との差が2になるような組み合わせを見つければ10分掛からず終わりました