Merci beaucoup, je ne sais quoi répondre :)

Merci pour les schémas (content qu'ils soient quand même compréhensibles :D) !

Merci !

Haha oui je suis bien d'accord!

En effet on peut voir cette solution comme un autre exemple de conséquence très contre intuitive de l'axiome du choix, et on peut s'en servir comme d'un argument pour le rejeter !

Oui c’est fait pour :)

Oui c'est tellement déroutant qu'on peut penser pouvoir prouver que c'est impossible ! En fait d'une certaine façon on peut, si on n'accepte pas l'axiome du choix alors il y a des modèles de la théorie des ensemble où ce n'est pas possible (voir le lien en description). C'est ce qui fait le charme de cette énigme !

Haha merci, ça c’est un compliment !

Pour le problème final, oui j'ai l'impression qu'il s'agit de la définition standard de fleuve et rivière, non ?

@@antoinebrgt Bonsoir. Merci de m'avoir répondu. Bon, qu'en est-il de ces deux définitions. Elles sont correctes et comme vous l'écrivez standard, mais pour le géographe. Pour le logicien cela ne va vraiment pas. Elles amènent sur des "ensembles" inconsistants. Le mot inconsistant devant être pris dans son sens mathématique, c'est à dire que l'on arrive sur des objets qui ne sont pas biens définis et avec lesquelles les notions comme l'appartenance ne peuvent être énoncées de façon valide. Je vais vous expliquer le problème. Prenez une feuille de papier et un stylo. Sur le bord gauche de la feuille vous tracez une ligne verticale qui représente la côte. A gauche la mer et à droite les terres. Partant d'un point arbitraire sur le côté droit vous tracez une ligne (droite ou sinueuse, peu importe) qui rejoint la côte. Nous avons créé un fleuve que l'on appellera F1. Partant ensuite d'un autre point arbitraire sur la partie droite, vous tracez une ligne qui rejoint le fleuve F1. Nous avons créé la rivière R1. Ensuite partons d'un troisième point arbitraire sur la partie droite et traçons une ligne allant jusqu'à la côte, MAIS en faisant une boucle sur cette ligne. De quoi s'agit-il ? D'une rivière. On pourrait le penser car elle se jette dans elle-même au niveau de la boucle. Or, elle se jette dans un cours d'eau qui n'est PAS AUTRE. Elle se jette à ce niveau dans elle-même. Ce troisième objet n'est donc en fait ni une rivière, ni un fleuve. Pour les deux éventualité il y a un petit point de détail obérant la validité des deux définitions. Vous allez me dire que c'est couper les cheveux en quatre, mais non, car la logique n'admet pas l'ambiguité, même implicite ou par omission. On a de meilleures définitions en écrivant : Soit F l'ensemble des cours d'eau appelés fleuves qui ne se jettent dans aucun autre. Soir R l'ensemble des cours d'eau appelés rivières qui se jettent dans un autre, ensemble tel qu'il existe AU MOINS un tel cours d'eau qui ne se reconnecte pas avec lui-même. Cela suffit, ce simple ajout permet de préciser que qui est un fleuve et ce qui est une rivière. Il n'est pas nécessaire de poser une condition similaire sur la définition des fleuve, car ayant défini ce qu'est une rivière, l'ajout est suffisamment englobant pour qu'il ne soit pas nécessaire de le répéter pour les fleuves. J'espère que cela vous a plu. Comme écrit tout à l'heure, pouvez-vous m'envoyer un mail sur cette adresse : pgfieldzegma&icloud.com afin que j'obtienne une adresse de votre part à laquelle je pourrais envoyer quelques écrits au format pdf. Dans certains cas il faudra que je rédige les documents car le plus souvent j'étudie et énonce le problème entièrement mentalement (comme Tesla, dirais-je si j'étais prétentieux) et ensuite seulement je rédige. Certains textes seront courts car je n'ai pas pu aller plus loin qu'une hypothèse, d'autres occupent quelques pages, mais rassurez-vous je ne vous enverrai pas une "thèse", et rappelez vous que j'aime examiner des petits détails sur lesquels on passe le plus souvent sans remarquer la beauté ou la bizarrerie de ce qu'ils contiennent. Par exemple, si en physique quantique entre deux phénomènes inverses la probabilité est toujours différente de 1/2 ou même de (1/2)+/- h cela signifie que le phénomène est plus complexe que ce que l'on croyait. Je m'intéresse beaucoup à ces petites asymétries, comme celle de la force nucléaire faible, celle de la légère différence de résultats de désintégrations entre les mésons K0 et anti-mésons K0. Parfois on rétablit l'équilibre statistique en introduisant un bon couplage. Au lieu de ne prendre que (P) on va prendre (CP). Dans certains cas cela ne suffit pas il faut approfondir le phénomène. Bon allez je termine par une blague. Vous formez un numéro sur votre téléphone et un répondeur vous annonce : "Le numéro que vous avez demandé n'existe pas. Veuillez tourner votre combiné d'un quart de tour et recommencer. Bonne soirée, et à bientôt j'espère. NEKO

On peut visualiser les résolutions d'équations algébriques (ou plutôt l'ensemble de ses solutions). L'idée est de remplacer une équation algébrique par la courbe, la surface,… à laquelle elle donne lieu. Ainsi, on remplace l'étude de l'équation X^2 + Y^2 - 1 = 0 par l'étude d'un cercle. Dans certains bons cas, on obtient un dictionnaire permettant de passer dans les deux sens de l'algèbre à la géométrie (je renvoie à la vidéo d'il y a 3 ans de cette chaîne, « Le dictionnaire entre l'algèbre et le géométrie (le nullstellensatz) »). On appelle de tels objets des « variétés algébriques », même si ce nos jours l'étude de ces dernières utilisent la théorie des « schémas »… Si l'on voulait avoir des solutions explicites de solutions d'équations algébriques en une variable, cela s'inscrirait plutôt dans la « théorie de Galois », qui là encore, admet une interprétation géométrique (liée à l'étude des « revêtements » et du « groupe fondamental »), à l'aide du « groupe fondamental étale » d'un schéma.

@@blabla4768 Merci beaucoup. Je n'ai donc pas trop pensé de travers. Je vais donc suivre votre cours sur les variétés algébriques. Et d'autant plus que m'étais rendu compte que l'on peut faire de la topologie sans aucun support géométrique. En plaisantant je dirait que je vais noter sur mon cahier de textes : Cours de topologie avec le Professeur Antoine. Bonne journée. NEKO

Je pense qu'en physique c'est assez peu pertinent de parler des conséquences contre intuitives de l'axiome du choix car les problèmes viennent en général de l'infini, ce qui ne se réalise jamais en physique. Après il est possible que dans certains cas mathématiques ça puisse apparaître...

@@antoinebrgt hmmm oui mais en physique on utilise plein de théorèmes dont certains découlent peut être de l'axiome du choix non ? La construction de l'intégrale de Lebesgue, de la géométrie riemannienne etc ça ne requiert pas l'axiome du choix ?

@@chainonsmanquants1630 Pour la géométrie non riemannienne non je ne pense pas, et pour l'intégrale de Lebesgue je ne sais pas mais je ne pense pas qu'on en ait réellement besoin. Je ne crois pas connaître de théorie physique dépendant de l'axiome du choix, mais je peux me tromper évidemment.

@@antoinebrgt d'accord merci, mais si cet axiome n'est utilisé nulle part dans les théories qu'on emploie pour la physique, pourquoi s'ennuyer avec cet axiome ? C'est étonnant non ? Il doit bien apporter plus que quelques paradoxes comme Banach tarski et autres. Pour l'intégrale de Lebesgue il me semble que toute la construction de l'ensemble des boreliens ainsi que l'ensemble des parties mesurables de R ( boreliens + négligeables) est motivée par l'axiome du choix car (dans mes souvenirs) si on retire l'axiome du choix alors toute partie de R est mesurable. Pour construire des parties non mesurables on requiert toujours l'axiome du choix.

@@chainonsmanquants1630 l'axiome du choix peut être utilisé dans la formalisation des théories physiques, mais je pense qu'il n'est pas possible de tester physiquement s'il est vrai ou pas, même en principe. De la même façon je ne suis pas sûr qu'on puisse faire quoi que ce soit de physique avec des parties non mesurables... Mais après oui dans les maths de la physique on ne se prive pas de l'utiliser ! Voir par exemple l'article "The Axiom of Choice in Quantum Theory" par Norbert Brunner, Karl Svozil, Matthias Baaz.

Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi le fait que l'ensemble est indénombrable implique qu'il n'est pas possible de faire un choix... Par exemple si je demande de trouver parmi toutes les fonctions dérivables sur R celle qui est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0, j'arrive à trouver que c'est exp, même si l'ensemble est indénombrable.

@@antoinebrgt merci pour la réponse Antoine. Pour être plus précis, je ne comprends pas comment on peut faire correspondre un élément (vi)j de l’ensemble de départ E indénombrable (j’admets que l’axiome du choix le permet) à une suite partielle d’éléments (hi)j, i>N de l’ensemble d’arrivée H dénombrable lui en ne connaissant. En effet, entre la suite partielle des hi pour i>N-1 et la suite partielle des hi pour i>N, il y a une infinité de suites dont la classe d’équivalence dans E est différente et cet ensemble n’est pas ordonné. J’admets volontiers qu’une telle surjection entre E et H existe, mais je m’interroge sur la méthode permettant d’identifier chaque « élément » de la suite hi à un élément dans vi. Je ne sais pas si j’ai ainsi mieux expliqué ma difficulté, mais si je devais l’illustrer avec un exemple presque similaire, l’entier naturel 2 peut-il légitimement être égalisé avec le réel 2? En informatique par exemple, c’est proscrit, et quelque chose me dit qu’égaliser 2 éléments d’ensembles différents dans mon exemple N et R nécessite des précautions surtout si leurs cardinaux sont si différents (le premier dénombrable, l’autre non), et d’autant plus que contrairement à N et R, il n’est pas donné de relation d’ordre entre les éléments de E qui permette de « classer » les vi de telle sorte que l’on puisse une fois le représentant choisi de déterminer un autre élément qui ne diffère que d’un seul symbole par rapport à la séquence ordonnée vi choisie. En gros par rapport à l’exemple précédent, imaginons que Pi soit un élément de mon ensemble indénombrable de départ, je souhaite savoir comment trouver un rationnel (ensemble dénombrable) qui ne varie que d’un seul digit par rapport à Pi. Je ne suis pas certain que cette opération ait un sens car R est continu alors que Q ne l’est pas (en tout cas l’opération de comparaison symbole à symbole mériterait d’être explicitée). J’ai conscience que ce que j’écris peut sembler confus, aussi je vous remercie par avance si vous prenez le temps de m’expliquer ce point.

@@austin8179 Non je pense que le problème vient de votre compréhension de la définition de E. La valeur de u_i pour i>N détermine un unique élément v de E, et la valeur de u_i pour i>N+1 détermine aussi un unique élément de E, et c'est le même v. En fait on peut prendre la valeur de u_i pour i>M pour n'importe quel M, et on trouve toujours v ! Pour déterminer v, on n'a besoin que d'un segment terminal de la suite u, aussi loin soit-il.

@@antoinebrgt Merci Antoine, donc si par exemple l’élément de ma suite de départ est par exemple les digits de Pi, je peux trouver un rationnel élément de l’ensemble d’arrivée qui diffère d’un nombre fini de digits avec Pi ?

@@austin8179 non on ne peut pas trouver de rationnel, puisque les décimales d'un rationnel ne sont périodiques et celles de pi ne le sont pas. Ou peut-être que je n'ai pas compris la question ?

Oui c'est une excellente remarque ! Et en effet on sent bien comment ça marche avec cet exemple fini !

@@antoinebrgt Non ! Cette solution ne marche pas avec un nombre fini de chambres et le problème n'est sans doute pas soluble dans ce cas. En effet : L'unique suite de E est la suite nulle. Supposons que la chambre N-1 ne contient pas 0. Alors l'algorithme proposé conduit les visiteurs à une prédiction sur la chambre N qui n'existe pas dans cette version du problème !! L'infini joue là-dedans un rôle essentiel...

@@alexandretemkine7866 Ah oui je pense que j'avais mal compris la remarque, il est clair que l'infini joue un rôle essentiel dans la construction. Il y a cependant des versions finies de cette énigme (voir par exemple sur le blog de D. Madore).

Certes, j'imagine qu'on peut dire que l'ensemble E vient avec une fonction f qui a toute suite associe l'unique élément de E en relation avec cette suite. Le calcul effectif de ce f est en effet un problème (qui revient en fait à l'utilisation initiale de l'axiome du choix), je le concède !

@@antoinebrgt Merci pour la réponse et pour toutes les vidéos de la chaîne qui me font regretter de ne pas avoir étudié un peu plus la physique !

Non, ici c'est parfaitement démontrable, justement en utilisant un axiome !

@@antoinebrgt Oui mais il n'y a aucune méthode connue pour construire E. Or il en faudrait une?

@@samuelblarre4522 il n'y a pas de méthode constructive en effet, mais l'axiome du choix permet de prouver que cet ensemble existe, donc avec cet axiome, l'existence est tout à fait démontrable :) Donc oui il y a un problème de construction explicite, mais non ce n'est pas relié à une quelconque non démontrabilité

@@antoinebrgt ok merci!

autrement dit, est-ce que l'on fait intervenir les touristes dans l'hôtel pour que l'on puisse désigner les suites u comme si l'on pouvait les compter, les indexer? Mais peut-on faire intervenir une vue de l'esprit quand ce n'est pas vraiment mathématisable?

Je pense qu'on est tous bien d'accord que cette énigme n'a rien de physiquement réalisable en effet !

Non il n'y a pas de bijection entre R^N et E, il y a une bijection entre R^N/~ et E. R^N/~ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation "terminer de la même façon".

@@antoinebrgt oui je me suis mal exprimé, ça n'enlève rien au commentaire. comment peut on affirmer que quelque chose existe mathématiquement sans s'assurer qu'elle est définie mathématiquement? bref comment démontre t on qu'il y a bijection entre R^N/~ et E sans même définir au moins une bijection? parce que si j'ai bien compris il peut y avoir toute sorte de classes d'équivalence comme {1, pi, 4, cos(pi/3),... etc..} et non uniquement des {1 1 1 1 ....} ou {4 4 4 4 ... } L'axiome du choix (wikipedia) est bien illustré, je trouve, par l'histoire de la paire de chaussette indiscernable qu'on met tous les matins, ça postule qu'il existe une fonction qui détermine sans ambigüité quelle chaussette on met à droite ou à gauche, le pb ne se pose pas avec les chaussures la fonction existe on est sûr de ne pas se tromper, pour les chaussettes j'en mettrais pas ma main au feu, :-) on dirait que seul le hasard peut répondre à ce pb de choix mais c'est non déterminé, par def.

@@GH-li3wj Oui en effet l'axiome du choix dit qu'une telle bijection existe, sans la construire explicitement. C'est la raison pour laquelle cet axiome est controversé, il garantit l'existence d'objets que l'on ne peut pas construire explicitement (si on le pouvait, on n'aurait pas besoin d'ajouter cet axiome!). Donc ici on démontre bien que cette bijection existe (et il faut bien comprendre que c'est très intuitif!), mais on ne la construit pas.

Certes il y a des obstacles pratiques, et on est bien d'accord que de toute façon cette énigme serait difficile à implémenter dans le monde réel ! Cependant mathématiquement il n'y a pas de difficulté à partager un ensemble donné une fois qu'il a été construit par l'axiome du choix.

@@antoinebrgt OK, supposons que les voyageurs ont tous en eux le même "selecteur".

Oui c'est de la branlette intellectuelle, est-ce un mal pour autant ? Quant à la beauté, c'est subjectif, chacun ses goûts !

Sur le fait que ça ne soit pas faisable en pratique, on est bien d'accord, c'est le cas à partir du moment où l'énigme invoque des données infinies. Par contre du point de vue théorique non, il y a bien une bijection entre E et les classes d'équivalences de suites réelles, c'est facile à prouver (c'est la définition!)

@@antoinebrgt j’ai du mal à concevoir que l’axiome du choix permette de transformer un ensemble non dénombrable en un ensemble dénombrable…

@@marcpremium7442 non, les deux ensembles sont bien indénombrables

@@antoinebrgt alors… j’en reviens à ce que je disais: si E est non dénombrable (comme je le pensais), comment après avoir ouvert N portes tombe-t-on sur une seule suite ? Il y en a une infinité….

@@marcpremium7442 Je ne comprends vraiment pas le problème, par définition pour toute suite (u_n) de nombres réels, il existe une unique suite (v_n) appartenant à E telle que u_n et v_n sont égaux pour n assez grand. L'ensemble E est indénombrable, l'ensemble des suites aussi.

Il faut bien garder à l'esprit que cette énigme ne peut pas être réalisée dans le monde réel, ne serait-ce parce qu'il y a une infinité de boîtes :)

@@antoinebrgt ok, jeu maths de raisonnements

Haha oui j’ai essayé de bien expliquer en détail et de donner des exemples, mais j’aurais pu faire bien plus court !