《火柴人vs数学》深度解析（一）欧拉公式
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视频内容：
《火柴人vs数学》的视频看懂了吗？我会用两期节目解析这个视频。在第一期节目中，我重点讲了欧拉公式，通过欧拉公式，你将会理解为什么e^(ipi)=-1，为什么负负得正，以及如何计算复数的指数、对数和三角函数。我还在视频中找到了一个错，你之前发现了吗？点开视频看看吧！
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章节内容：
00:00 火柴人vs数学
00:47 复数的乘法
01:25 什么是复数
08:42 欧拉公式及其证明
14:58 欧拉公式的应用
16:26 负负得正
17:15 复数的运算
20:42 内容总结
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@ou8895 Жыл бұрын
从初中到现在高中毕业 ，从以前什么都不懂 ，默默看完 ，到现在大半部分都能理解但仍然震撼与数学的转换魅力 😂只能说 李老师太神 通俗易懂 .
@TchLiyongle Жыл бұрын
谢谢您的肯定
@gangwang8150 Жыл бұрын
只有站在更高的高度看所学的东西，才能融会贯通。李老师显然就这样的神人了~
@derekmak6204 Жыл бұрын
16:26 謝謝老師，我可以跟小學生解釋為甚麼負負得正了
@jcw-5993 Жыл бұрын
好狠XDDD
@user-uz1pk9bq6l Жыл бұрын
笑死 小學生會哭吧
@user-gq1hk6kq7u 11 ай бұрын
國小生聽完就去做8+9了
@donyma1672 Жыл бұрын
其实，欧拉公式最让人迷惑的是e^iπ的含义，欧拉擅自将e^x的级数展开用ix取代了x，再对比sinx与cosx的的级数展开，就简单得到了欧拉公式， 结论虽然正确，但本质上回避了一个更基础的问题，即在实数域内推导成立的公式，凭什么认为在复数域内一样适用？（其实复变函数论有这个定理，但证明需要的前置定理很多） 欧拉公式严格的证明，需要先定义出e^z（z为复数）的含义，实数域下，e的含义极为明确，即自然常数，数值为2.71828…… 但复数域下，很多人大概不知道，也最容易出现认知误区的，是e作为底数以e^z形式出现时，是没有2.71828这个数值含义的，它甚至不是一个数， e^z在复数域下仅代表了一种关于z的运算法则，维基百科的欧拉证明定义e^z=lim（1+z/n）^n，同济高数下册定义e^z为一个类似e^x展开式的无穷级数， 不管哪种定义，目的只有一个，即推广实数域的e^x到复数域的e^z时，其优秀的求导和积分性质要保持住，（毕竟复数的重要应用留数，是为了解决实域复杂积分的） 初等函数从实域推广到复域，为了保持微积分性质，都多多少少付出了代价，丧失了一些原本的性质， 如e^z丧失了e的含义，只满足加法定理，不满足乘法定理，sinz，cosz丧失了有界性，而根值，对数，反三角，甚至变成了恼人的多值函数！ 曾经，我也惊叹于最美公式，e^iπ+1=0，但当我知道这里面的e其实根本就不是e时，我其实很失望……
@charlesraymond3168 Жыл бұрын
你应该感到庆幸在这个时空里e是e
@loriwan4635 Жыл бұрын
没错！我听李老师推导时就卡在那一步了！就是欧拉假设实数的求导法则适用于复数的话，我就满脑子问号:为什么符合？感觉那才是问题的关键，不然就相当于构造了一个方便的性质继续往下推了。。。
@yingbohe2417 10 ай бұрын
欧拉感觉是用半径为1的这个圆周运动加上假定复数也是实数运算规则 这两条凑出来的欧拉公式。
@user-wn1oq6xg5h 5 ай бұрын
我的看法是，e的定义，就是一个指数函数，它的指数无论是实数，虚数，还是复数，这个函数的导数都是它本身，这个底就是e。 这个世界就是复数定义的，所谓实数只不过是一种特殊的复数。所以不存在扩展，只要复数世界的运算法则没有矛盾，那就是真相。所以你不需要怀疑各种公式为什么扩展到复数域还能成立。
@user-wn1oq6xg5h 5 ай бұрын
@@loriwan4635 可以看3blue1brown的视频 群论与欧拉公式。 指数函数相乘，就是指数相加。于是相加群和相乘群构成了一个对应关系。指数的实数指数就是这个定义的。 然后复数的相加群和复数相乘群，同样有一个对应关系。指数函数的复数指数就是由这个定义的。 所以数学底层逻辑是群论，实数复数的各种计算公式是由群定义的。
@muzhu4160 Жыл бұрын
我就说李老师一定不会放过这个题材，感动！
@TchLiyongle Жыл бұрын
哈哈懂我
@Ryan100c Жыл бұрын
我就说这个火柴人视屏会引起轰动😂
@yingbohe2417 10 ай бұрын
12分钟讲解图像和圆周运动那段 虽然不是推理 但还有个漏洞 就是 SEI TA(发音)的含义从自变量变成了夹角。 而且那个圆周的横坐标也不是SEI TA 是函数值 纵坐标是导数值 这样才能画成一个圆。
@user-hu4uf4jp2p 5 ай бұрын
😂😂😂
@23599890916 Жыл бұрын
終於等到李老師講解這影片了~~真的是千呼萬喚始出來
@wangjeff755 Жыл бұрын
李老師：小朋友@我說有兩個地方看不不懂...... 我：我幾乎全部都看不懂怎麼辦.....
@界安 Жыл бұрын
最前面還是很好懂的
@ninjahey Жыл бұрын
第一次这么前，蹲着李永乐老师来解释火柴人这个视频了哈哈。这可以说是数学科普类的一场狂欢了
@user-oi3wf6up1j Жыл бұрын
尊敬的李老師🍀🌸👋
@pikapika9687 Жыл бұрын
哇！！果然来了！！辛苦老师了！
@Y1M03 Жыл бұрын
上課老師教的：-1=0-1我會了😊❤ 考試考的題目：證明-1=e^in 😢💔 男同學的快樂：歐拉歐拉⋯ ✊🗿
@ymj5161 Жыл бұрын
木大木大木大！
@snorlaxmunchlax1886 Жыл бұрын
e ^i（pi）+ 1 = 0，== 泰勒展開（簡單科普：用這個來讓這個東西有個實際的數字（估計值））的那個東東
@user-inodara2427 Жыл бұрын
想看這個主題好久了，還特地去找其他數學老師。 一定看完！
@icyghast1168 Жыл бұрын
感謝分享和講解
@michaelliu6323 9 ай бұрын
讲得简单明了！我最喜欢的数学老师，没有之一！
@user-ry2ck8bx2s Жыл бұрын
李老師這個髮型好帥，這視頻不分國界，還蠻感動與熱血。
@richricherrichestthefirst Жыл бұрын
高中物理老师总是画火柴人和小方块什么的，那时候开始就想做个高中物理或者数理化相关的火柴人动画。但，十几年过去了，连画画都不会呢😂。唉，从这件事上我悟出来三个道理：1，我的大部分想法并没有那么特殊那么万中无一。2，只要我拖延拖得够久，曾经的幻想都会被别人一一实现。3，今天是星期一……😮
@user-xe2kj2gb3q Жыл бұрын
4.明天是星期二
@jedywei Жыл бұрын
@@user-xe2kj2gb3qn. n 天後 是星期 n mod 7
@abc-by1kb Жыл бұрын
希望李老师多出这种深析,看得很过瘾
@user-ic3uu8fm5t Жыл бұрын
謝謝老師治好我的失眠
@chi6547 Жыл бұрын
我找回上數學課的眼淚了(快睡著還努力撐著的眼淚)
@xun6150 Жыл бұрын
高中的时候学三角函数超级头疼，而且觉得没用，感觉代数应用得好就够了。结果第一份工作跟几何设计有关，发现三角函数在几何方面的应用非常广泛，然后就蒙圈了！因为三角函数真的需要理解记忆，而不是死记硬背能记住的！😅
@user-yb5uv6pu3d Жыл бұрын
温故而知新。 每次听李永乐讲解，无论是否曾经执导，再听一遍，总是有些新的收获。
@suhuan5951 Жыл бұрын
酷哦，看着动画和解析都非常过瘾
@user-ed1dd4pd5p Жыл бұрын
第四點也可以看作是雙曲正弦和雙曲餘弦（sinh&cosh）
@kuri7154 Жыл бұрын
感觉重大的数学突破很多时候都起源于 "但是仔细看X, 这不正好就是Y吗?" 这样一个简单的发现; 感觉突破性的人才很多时候不是一个领域一个科目里资历最深厚的人, 而是在不同专业, 或者同个专业不同科目里都有一定钻研的人, 这些人有突破条条框框, 看透事物本质和内在联系的能力和机会.
@whisperwind9905 Жыл бұрын
个人水平有限, 完全听不懂, 但还是津津有味完整看完. 这是一种很神奇的体验....数学之美.
@JJ-hk7iy Жыл бұрын
感谢李老师一直以来的授业，and 头发似乎有点长了~
@user-user-user-user-user-888 Жыл бұрын
讚啦 學數學就該搭配可視化與良師
@user-cw5pj7qy1k Жыл бұрын
我根本不知道讲什么，但是就喜欢听。❤❤❤
@user-ci6dm9os5j Жыл бұрын
amazing!
@user-ei2ms5yw8b 11 ай бұрын
李老师太强了，比西交和华中那两个ppt课强太多了，什么时候能够出一期复变函数的课程😍
@Hao-yp7mg 11 ай бұрын
喜歡數學公式拆解分析
@user-us4er5wz2o 11 ай бұрын
用歐拉公式來解釋負負得正，太狠了
@newsgo1876 Жыл бұрын
It's worth noting that the meaning of multiplication has changed here. Think about it unless you are lucky enough not to realize that.
@travelerlifedhw 11 ай бұрын
李老师能详细的介绍下哪个火柴人动画吗，我觉得里面将抽象数学和其演变过程形象化的做了演示，算是触碰到了原理层面吧，比如为什么会有乘法和除法，又为什么没有其他什么x法等等。
@_xxxxx_xxxxxxx Жыл бұрын
这个好
@LimitX29 Жыл бұрын
支持李永樂老師
@Botakagi Жыл бұрын
从中间开始跟不上，仿佛回到了高三的课堂，老师的每个字都听得懂但是连在一起就是不知道什么意思😂
@leemerce330 Жыл бұрын
👌
@user-ym2yc6pn4e Жыл бұрын
帥
@yuchen749 Жыл бұрын
动画中并没有少写一个i，那里的i在分母。分子分母同时乘以i即可
@springkiang Жыл бұрын
I learned so much to prove negative*negative equals positive.
@lovetaiwan911 Жыл бұрын
李永樂老師可以講解看看臺灣房價永不跌落穩賺不賠的原因嗎？
@UncIeFrog Жыл бұрын
這系列原來是複變線上課程
@user-xf5xd1ug4h Жыл бұрын
李老师好☺️
@reprint6598 Жыл бұрын
1:02 我只是打個瞌睡 醒來畫面就變成 20:00 難怪有人說數學學到後面 整個黑板上會沒有幾個數字
@yys1yys741 Жыл бұрын
對不起我又彭漲了，竟以為能聽得懂…🙏🙏🙏老師威武🎉
@xwluo5124 Жыл бұрын
老师，请讲一下如何画E^（a+bi)，觉得又不会画了。
@itisme8972 Жыл бұрын
请问，e的i*theta次方的模，也就是那个圆的半径为什么是1？
@kwoksumyau6406 Жыл бұрын
老师讲解清楚，易明，到位！感谢老师❤
@TchLiyongle Жыл бұрын
感谢老铁
@ytpmeeb Жыл бұрын
話說我在看激光武器一直射來射去的時候一直想到李老師之前交的視頻😅
@hanyt1215 Жыл бұрын
这个好，当时学物理时候就没学明白😊
@pingxu6025 9 ай бұрын
I like the geometry proof. There are 2 small errors: Z=(i theta) should be Z=e^(i theta). Also [delta e^( i theta)] should be iZx(delta theta), not iZ .
@mamaya2000 Жыл бұрын
來了來了 大家立正坐好(?)
@user-xr7gp6gy9h Жыл бұрын
5个数学自然常数构成一个公式，独一无二的公式
@shinjiikari1021 Жыл бұрын
就在等着种解析了
@mc_squre2830 Жыл бұрын
没上过高中，初中的也忘记了，听着跟不上~唉~不过还是感谢李老师用心做的视频。
@weandus5098 Жыл бұрын
這邊從一開始就是高中的了，甚至以上，不過肯放心思還是可以明白的
@Jungle0818 11 ай бұрын
原來老師也有看3bule！🤣
@yulongwu3919 Жыл бұрын
正在上大学的小朋友听懂了🤩
@chanpakhong4703 Жыл бұрын
科研管理，或應多學華為
@user-rh4nr7zb8g Жыл бұрын
我剛抽塔羅牌占卜：化學身.愛.生產.整合.協議（逆位），看準不準？？只有協議這張是逆位，代表...............電影：92人皮燈籠+王牌神棍的騙法也出來了
@imallen175 Жыл бұрын
想知道天坑是如何形成的
@33jiu9 Жыл бұрын
靠前开心
@user-ci9vb7gw4p 10 ай бұрын
這種題目能看完的人都不簡單啊！
@charles88 Жыл бұрын
數學課真是複雜
@vipismez Жыл бұрын
热爱数学的美
@sp004697 Жыл бұрын
如果李老師是我的高中數學老師的話，我高中數學一定會很好。
@shunzhiluo6745 Жыл бұрын
实数是物体，虚数是影子
@user-ml4dx3fq3o 6 ай бұрын
30年前，这些我都会！
@pjtakers4470 Жыл бұрын
老師或各位朋友 有人能協助解釋為何√2e^i(π/4+2kπ)=1+i or 1-i
@eric2015hsu 24 күн бұрын
現在有火柴人vs幾何
@shanpoyang Жыл бұрын
咦，新发型
@lhv520046 Жыл бұрын
复分析基础
@TheAacharge Жыл бұрын
a*e^(i*b) 就是 a 绕原点旋转角度 b
@user-ht1qd8uy4p Жыл бұрын
國中來講解釋負負得正應該是相反數的概念
@isaaclearningtominecraft4751 Жыл бұрын
個人認為，用泰勒展開證明歐拉公式，沒有什麼不對，甚至比較理想。在這視頻，我們用這句話開始說明為什麼把 e^it 定義為 cos t + i sin t：假如 e^x 的微分公式用在複數時還是對的。這裡有個假設，所以得到結論是我們該把 e^it 作這定義。 但為什麼我們要做這假設？如果用泰勒展開開始，我們便會先說如果 x 是實數，e^x、sin x 和 cos x 有這樣的泰勒展開公式。之後我們就可以做這樣的假設：假如 e^x 的泰勒展開對於複數是對的。後面的事便可以想像：e^ix 的展開跟 cos x + i sin x 的展開一模一樣。 畢竟，在我們作定義之前，e^x 對於複數 x 並沒有意義，所以我們沒有理由說我們只能對實數的 e^x 作某種擴展。實際上，就是因為用不同的方式擴展 e^x，大部分時間結果都是同樣的歐拉公式，所以這個公式才會被信服。 最後，為什麼我比較喜歡用泰勒展開定義複數冪函數？因為這明顯不會出現矛盾。我就是把 1+z+z^2/2+z^3/3!+... 說是 e^z 的定義，你總不能說我錯，只能看我之後可以導出什麼結論。相反，說假如 e^x 的導數在 x=it 的情況下成立，我們還要想怎麼自圓其說，保證這樣不會在什麼奇怪的地方出現矛盾。 話雖如此，我跟我家（當時）十一歲的小孩說這事時，是先用導數定義的，因為當時他未懂泰勒展開！
@isaaclearningtominecraft4751 Жыл бұрын
突然發現實際案例，原來這不只是個人喜好。數學不會停在複數，我們進一步拓展到四元數。這裡加法和乘法都有合理定義，而且都有identity，就是正常的0和1。加法和乘法都有逆，只是乘法沒有交換律：不同的四元數相乘不可對調，同樣除法要指明逆是在前面還是後面乘。這樣把實數的泰勒公式拓展，是可以定義冪函數的，而且非常有用，旋轉公式用的都是這個冪函數的結果。但是這函數微分是沒有意義的，因為你不知道所需的除法（除以delta x）是在前面還是在後面除。 當然，四元數還可以繼續拓展，那些什麼克里福德數、甚至矩陣，都可以用實數的泰勒公式造出冪函數，而且相當有用，只是沒法當成實數微分。
@hakkiwong3155 Жыл бұрын
一脸懵逼的我确定，当年的我上的是虚拟高中
@user-qz3bh6tt5d 11 ай бұрын
高中的回憶又回來了
@remdaisuki Жыл бұрын
第一次这么靠前
@liyisu 7 ай бұрын
李老师还看3blue1brown 哈哈……
@a8m1_reppuu Жыл бұрын
有木大木大公式麽？
@YufengWang Жыл бұрын
李老师一度时间减肥效果很明显 最近反弹了
@user-nw6wv6tq4w Жыл бұрын
阿呀！原本還以為老師會當作沒這件事的， 畢竟一個畫火柴的懂啥算數，大概率是經不起驗證的。 都別勸，我得跪著看兩期。
@GEESE0522 Жыл бұрын
我都看不明白, 要來上課了 😅
@ecy4333 Жыл бұрын
我就知道李永樂一定看這個
@loki7716 Жыл бұрын
每次看都嘆為觀止
@user-tm5yz7id4o Жыл бұрын
這集很好睡.
@user-bp8qv4ph1m Жыл бұрын
看完之後再也無法專心看動畫了
@xdimplendidx Жыл бұрын
3b1b 大推~
@willie333b Жыл бұрын
20:15 第1次看到
@matthewdiao6075 Жыл бұрын
高中当年觉得非常简单，20多年没碰了，跟听天书一样😂
@zerotoinfmath Жыл бұрын
i 就是 imaginary的缩写
@yesfast1895 Жыл бұрын
李永乐老师，求求您讲一集飞蚊症吧，被折磨的快死了。而且对于这个病，整个科学领域没有什么求证的原理和有效的措施，您有如此强大的知识储备，汇集和搬运能力。求求您讲一集飞蚊症吧，救救孩子！救救孩子吧！
@user-ln5vm9dw1v Жыл бұрын
突然想到李老師之前的拉普拉斯妖還沒講😂😂
@user-ln5vm9dw1v Жыл бұрын
有點好奇那到底是什麼，麻煩老師了
@user-ro8yz7vc3l Жыл бұрын
有的书写了，i不是根号-1
@benedict205 Жыл бұрын
我第一排 人有點多我就坐地上了不好意思
@redsail4168 Жыл бұрын
植发了😂
@user-cr9xf2io4w Жыл бұрын
如果只是为了证明exp(iθ)是个圆的话，通过共轭是不是更简单？ 模exp(iθ)是exp(iθ)*exp(-iθ) = exp(0) =1，所以exp(iθ)是个圆。
@xwluo5124 Жыл бұрын
请教e ^ （a + b i）如何画？
@user-cr9xf2io4w Жыл бұрын
@@xwluo5124 exp(a)exp(bi)， exp(a)是个常数，所以应该就是一个以exp(a)为半径的圆。
@snorlaxmunchlax1886 Жыл бұрын
@xwluo5124 我記得是： 長度 = (根號 a ² + b² ) , 由cos 、 sin 得出角度，cos(?)= （a / 長度）, sin （?） = (b / 長度），剛剛查了大概是這樣沒錯
@oilliooillio Жыл бұрын
3Blue1Brown梦幻联动
@oneofthetopcintheworld Жыл бұрын
被你发现了！
@jeremychan1210 11 ай бұрын
李永乐要是当我当年高中老师,我应该可以拿90分以上🤣
@renewang8056 Жыл бұрын
我是第一个观看和评论欸！！！！
@user-yz4wo9kq6h Жыл бұрын
李老师可否讲一下日本排放核污水的影响。是不是真的海产品不能再吃了？
@user-xf5xd1ug4h Жыл бұрын
我也想了解
@jptuangoujptuangou7108 Жыл бұрын
@@user-xf5xd1ug4h 日本廢水經過東芝的過濾設備，當初的64種放射污染物最後只剩一種無法除去。按現在人類對這種放射性物質的認知，是沒有影響的。 即使以後證明極其微量也會造成傷害，這個鍋也不應該由福島來背。 中國每一座核電站放出來的，都是福島的幾十倍，而歐美更是高達百倍。 當然前面説這些的前提，是日本公佈出來的數據是真實的。我個人傾向於認爲他們的數據是可信的，因爲這東西沒法造假，很輕易被監測到。他們不會愚蠢到造假。
@奇妙故事局 Жыл бұрын
@@jptuangoujptuangou7108 日本相關部門的負責人只要當眾喝一杯，所有質疑也就迎刃而解了，然而這麼簡單回應質疑的方式，就是沒人站出來做
@snorlaxmunchlax1886 Жыл бұрын
@@奇妙故事局 當眾喝一杯，除非劑量太大馬上死，不然看不出來有沒有長期影響
@奇妙故事局 Жыл бұрын
@@snorlaxmunchlax1886 當場死不死不重要，喝一杯主要是展現態度，就跟路邊攤小商販做的食品如果她自己小孩也吃你就不會覺得不乾淨一樣
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