OD - медиана прямоугольного треугольника ACD, она равна половине гипотенузы, OC=OD=20. В прямоугольном треугольнике KOC по теореме Пифагора KC^2 = 15^2+20^2, KC = 25. Тогда высота из OH в треугольнике KOC равна 2S/KC=2*1/2*15*20/25=12. Из прямоугольного треугольника HOC находим HC^2 = 20^2-12^2, HC = 16. OH - медиана равнобедренного треугольника BOC, т.к. это его высота. BC = 2HC = 32. OH - средняя линия треугольника ABC. Тогда AB = 2OH = 24. Площадь прямоугольника равна AB*BC = 24*32 = 768.

Верхний треугольник площадью 150=20*15/2 подобен половине прямоугольника к=5/8(=25/40) Sabcd=(8/5)^2*150*2=768

1) Треугольник OKC египетский (3, 4, 5) умноженный на 5. Треугольник OKC подобен DCA (по 2 углам, 90° и C накрест лежащие), то есть OCD египетский умноженный на (20+20)/5=8, тогда катеты 3×8=24 и 4×8=32, а площадь прямоугольника S=24×32=768. Решение 2) S(OKC)=150×20/2=150, гипотенуза KC=25, коэффициент подобия OKC и DCA, отношение гипотенуз k=(20+20)/25=8/5. Площадь S(DCA)=kk×S(OKC)=64/25×150=384, искомая площадь S=2×384=768.

Это один из самых любимых трюков, хотя и очень простой. Легко видеть, что красный отрезок и один из зеленых это катеты "египетского" треугольника (15, 20, 25) На самом деле ничего не надо считать (величину гипотенузы я привел для наглядности, она совсем не нужна в решении), потому что отсюда следует, что прямоугольник склеен из двух тоже "египетских" треугольников, только гипотенузы у них 40 (ну, это диагональ). А значит, катеты у них 24 и 32, это стороны прямоугольника, а площадь 24*32 = ... Вся соль трюка в том, что, зная одну сторону и тип Пифагорова треугольника, мы знаем про него все. И - сразу. Без вычислений каких-то. Немного изменив траекторию этих почти тривиальных рассуждений, можно и так посмотреть - площадь простого египетского треугольника (3,4,5) равна 6, а тут таких два, да еще линейные размеры увеличены в 8 раз (с 5 до 40), поэтому площадь 6*2*64 = ... 768, если устная считалка еще не заржавела :) Ну да, 640 + 128...

*Ответ: S = 768.* РЕШЕНИЕ ниже. а) OC = OP = 20. Отсюда находим (теор. Пифагора) KC = √(20² + 15²) = √625 = 25. б) Опишем вокруг □ABCD окружность - R ее радиус; центр окр. будет находится на пересечение диагоналей пр-ка, следовательно R = OC = OD = 20. в) Продолжим OK до пересечения с окружностью R - в т. E и E₁. Так как O - центр окр., то EK = EO - KO = R - KO = 20 - 15 = 5. г) В окружн. имеем две пересек. хорды: BC = BK + KC = x + 25 и EE₁ = 2*20 = 40. По теореме находим: x*25 = 5*(40 - 5). x = 5*35/25 = 7 = BK. д) BC = BK + KC = 25 + 7 = 32. Находим (теор. Пифагора) AB = √(40² - 32²) = √(72*8) = √(8*9*8) = 8*3 = 24. е) S(□ABCD) = AB*BC = 32*24 = (30 + 2)[(30 - 2) - 4]= (30² - 2²) - 32*4 = 896 - 128 = 768. *NB.* Вычисления вполне можно произвести в уме, посему решение даю подробно.

Я решил так: аналогично нашёл КС=25, а потом по подобию треугольников ОКС и АСD легко находятся катеты АСD - они же стороны прямоугольника.

Я другое заметила. Числа 24 и 32 - это хвостики серединки 28. Поэтому 768 можно представить в виде разности квадратов (28-4)(28+4)=4*4*6*8

Альтернативно, после нахождения высоты OH, находим в прямоугольном треугольнике OCH длину катета CH = 16. В прямоугольнике 8 треугольников OCH. Формула площади треугольника уже была, половина произведения катетов. Считаем: 8* 0,5* 12* 16 = 768 😊

Провести с т. О перпендикуляр на АВ , получается тр - к подобный прямоугольному тр - ку по двум угла , гипотенуза его , как египетского тр -ка = 25 , из подобия перпендикуляр на АВ=16 , половина АВ=12 . S=(2х16)х(2х12)=768 .

я прихожу ко мнению, что после решения, нужно дополнительно вертеть параметрами модели. Тут например основа это треугольник КОС. В продолжении его катета ОС отложили еще один отрезок ОА. И это является диагональю прямоугольника. Исходя из этого надо искать что от чего зависит. что чего ограничивает. Это позволит сократить количество решений. Или наоборот показать их множества. Это поможет студентам понять геометрию. Не все в голове вертят модели, а навык не всегда сам приходит. Есть у меня желание найти полигон для отработки объяснений этих задач.

Полуквадрат диагоналей на синус угла между ними, т.е. угла , вдвое большего ВСА. То есть квадрат диагоналей, помноженый на синус и косинус угла ВСА

Можно продлить KO до пересечения с AD в точке M, затем найти площадь ромба AKCM (как полупроизведение диагоналей) и его высоту, которая совпадает с AB, а BK найдём по теореме Пифагора.

Из прямоугольного треугольника OCH по т. Пифагора CH=16. Тогда BC=32, и S(ABCD)=32*24=768.

АВС вроде как подобен ОКС При этом гипотенуза АВС = 40, а гипотенуза ОКС 25 что нашли по теореме Пифагора. Значит 40/25 относятся как АВ/15 Откуда АВ 24. Ну и оттуда же (либо пифагорчиком) можно найти так же второй катед АВС 40/25 как ВС / 20 или 32 и площадь 32*24 = 768

Сразу ясно, что AC=BD=2 OD=40, а BO=OD=20. Проведем высоту BH перпендикулярно AC. Из подобия тр-в HBC и OKC: 15/BH=20/(OH+20), откуда OH=4/3 BH - 20. По т. Пифагора OH²+BH²=BO²=400 или (4/3 BH - 20)² + BH²=400, откуда BH=480/25. S(ABCD)=AC*BH=40*480/25=16*48=768.

по моему АК в принципе не объязательно было достраивать и морочиться с доказательством равенства треугольников, проще НО опустить на АД, понять, что это 1/2 от АВ, то есть 24 в сумме, найти половину АД вообще устно без пифагоровых троек (корень из 400-144, то есть из 256, то есть 16) и дойти до площади 24х32

После нахождения АВ из треугольника АВС сразу находим ВС, а потом площадь. На одно действие меньше.

Показалось, что подобием решить проще. Но Валерий Владимирович и там бы много интересного рассказал... Спасибо! Умеете заинтересовать!

после нахождения КС можно сразу через подобие треугольников КОС и АДС найти стороны прямоугольника

т.е. как я решал эту задачу. начал двигать диагонали вокруг центра. хоть знаем длину, но положение их может быть любое. Что их фиксирует? их фиксирует треугольник КОС. Есть 2 стороны и угол между ними. Это однозначна заданная фигура. АС лежит на катете. Это жестко привязанная характеристика прямоугольника. И далее решать через высоту треугольника КОС или подобие треугольников КОС и АБС. Или др. варианты.

Благодарю. Из точки О опустим перпендикуляры на верхнюю и нижнюю стороны. Получим 2 подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами по 15 и 20 соответственно. Значит коэффициент подобия этих треугольников равен: 15/20=3/4. Поскольку бОльшие катеты этих подобных прямоугольных треугольника равны половинам сторон (боковых и верхних-нижних соответственно),то и стороны прямоугольника относятся: Боковая/верхняя(или нижняя)=3/4. Из нижнего прямоугольного треугольника (у которого гипотенуза=20), его катеты=половинам сторон прямоугольника: Пусть один катет =3х, Другой катет тогда=4х. 9х^2+16х^2=20^2 х=4. Значит половины сторон прямоугольника равны: 3х=12 и 4х=16 А целые стороны: 24 и 32 соответственно. Площадь= 24*32=640+128=768.

углы OCD и OKC равны, как дополняющие угол KCO до прямого... обозначим половину стороны CD за а... тогда sinOKC=a/15... a cosOCD=a/20... a^2/225 +a^2/400=1...a=12... CD=24... AD^2=1600-576... AD=32... S=768

Над красной и зелёной 15 - 20 - Египет 25 Из центра линия вверх. Справа Египет но 20/25 по размеру 12 - 16 - неважно 12*16*4=256*3=768

S = 15 * 20 * (40/25)^2 = 300 * 64/25 = 768 (15*20 - удвоенная площадь треугольника КОС, а 40/25 - коэффициент подобия КОС и СДА)

Не хочу короче, хочу понятней. Половина диагонали =20, это катет. Второй =15. Гипотенуза =25. Половина боковой стороны прямоугольника равна 12. Это катет, гипотенуза равна 20. Второй катет = 16. Это половина большей стороны . 4*(12*16)=768 Ответ:768

Я провел продолжение серединного перпендикуляра ОК, до стороны АД, назовем точку пересечения Ф, Потом начертил ромб АКСФ, доказать, что это ромб очень легко - перпендикулярны диагонали и делятся пополам, равны стороны. Нашел площадь ромба (15+15)*(20+20)=600, представил ромб в виде парралелограма, нашел высоту 600=25*h Получил высоту 24, равную стороне прямоугольника; дальше высота к этой стороне из пересечения диагоналей и дело за малым, вторую стороны найдет и пятиклассник

после того как найдена одна из сторон можно сразу считать площадь потому что диагональ известна. S=a√(d^2-a^2)=24*√(40^2-24^2)=768.

Блин, специально так сложно? Зная АВ, проще было по той же теореме Пифагора найти сразу ВС из треугольника АВС А ещё проще найти АВ можно было из подобия треугольников КОС и АВС И ещё проще можно было вообще не считать ничего по теореме Пифагора, а сразу найти площадь треугольника КОС, по подобию узнать площадь АВС, умножить на 2 и всё.

АК совсем лишняя. После того как узнали ОН легко найти S OHC =96. Весь прямоугольник состоит из 8 таких треугольников. Умножаем на 8 итого 768

что можно лишнего отрезать? Например треугольник АСД. условия не измениться, а решение упроститься.

ОС=20, сл-но, тр-к КОС и АВС--египетские. АС=40, АВ=24, ВС=32. Sabcd=768. Вроде коротко?

м-да..закрутили-маманегорюй. А решается устно - КОС - египетский (гипотенуза КС находится устно), значит, подобный ему СДА - тоже (катеты находятся тоже устно. ). Дальше - элементарно...

Чёт в уме решил. На вскидку....... 3 (ну ладно 4) действия😊

Сложновато. АВС пифагоров треугольник с гипотенузой 40 и катетами 24 и 32. Площадь поямоугольника 24*32 =768

Чуть иначе. Из подобия КОС и АВС: АВ/ВС = 3/4. (3х)² + (4х)² = 40². х² = 64. S = 3х × 4х = 12х² = 768.