The Dojo of Integrals

Пікірлер

@kussynijntje 6 күн бұрын

1/cos^2 - tan^2 を乗じて開いた後に，与式の2倍の積分値を求める方法もあります

@froggggggggggggggggggg 10 күн бұрын

一様収束しないのはﾀﾀﾅｲ!

@yarukinonaineko 25 күн бұрын

ちなみにですが、ウォリス積分の数列{a_n}をa_n=∫_(x=0→π/2)(sinx)^ndxとすると、a_n/nの総和は定数に収束して、その値は2G+πlog(2)/2≈2.49になります。ここで、Gはカタランの定数という、奇数の平方逆数の交代和(1-1/3^2+1/5^2-…)であり、未だ無理数か分かっていません。

@sekibun_dojo 19 күн бұрын

カタラン数は以前から聞いたことあったのですが、まさかウォリス積分と関係してくると思いませんでした🤔コメントしてくださった、a_n/nの総和にカタラン数が含まれているとか… 初めに計算した人はどうやって見出したのでしょうかね、とても不思議。貴重なコメントありがとうございました、色々と勉強になりました👍 （そして返信が遅くなり、申し訳ないです）

@yarukinonaineko 19 күн бұрын

@@sekibun_dojo 非常に細かいですが、カタラン数とカタランの定数は別ですね。オイラーの定数が、ネイピア数eともう一つ、調和級数と自然対数の差の極限であるオイラー・マスケローニ定数を表すこともあるように、紛らわしい名前がつくことはよくあります。

@5ds_Komol29_sg5 Ай бұрын

積分道場さん！！質問です！ ∮0→π sin nx / sin x dx この問題を教えて欲しいです！

@sekibun_dojo 28 күн бұрын

まぁまぁ、ここは積分の事は忘れてウクレレでも聞いていってくださいな😘 …ってそれだけではあれので、簡単に解説してみましょうか！ただ詳細に書いていると、このコメント欄では大変なので、手短になることをお許しください😇 とりあえず今回計算したい積分を I[n]=∮0→π sin nx / sin x dx とする。それで、今回のような自然数nを含む積分の場合は、漸化式で解けないかなと方針を立てる。まずは、nが小さいときに試しに計算。 n=0のとき、I[0]=0 n=1のとき、I[1]=π n≧2のとき、sin nxに加法定理を適用すると I[n] = ∮0→π {sin(n-1)x * cos x}/ sin x dx + ∮0→π cos(n-1)x dx = ∮0→π {sin(n-1)x * cos x}/ sin x dx ここで∮0→π cos(n-1)x dx = 0 に注意👍 さらに、sin(n-1)xに加法定理を適用し、積分を式変形していくと I[n] = ∮0→π {sin(n-2)x * cos x + cos (n-2)x sin x}* cos x/ sin x dx = I[n-2] - ∮0→π sin(n-2)x * sin x dx + ∮0→π cos(n-2)x * cos x dx = I[n-2] ここで、∮0→π sin(n-2)x * sin x dx = 0，∮0→π cos(n-2)x * cos x dx = 0 に注意。これらの積分計算は、三角関数の積和の公式を使えば出来る。良く分からない場合は、積分道場第30問を見てみて！これで、漸化式 I[n]=I[n-2] が得られたから、n=0,1の結果と合わせれば、I[n] = 0 (nが偶数)，I[n] = π（nが奇数）やっぱりコメントで積分解くのは大変ですね。こんなもんでご勘弁を！クマ！

@5ds_Komol29_sg5 28 күн бұрын

@@sekibun_dojo クマさん有難うございます。いつも動画を拝見させてもらって勉強になってます。今回の方針だとI(n)=∮sinx^n dxと似てると思いました！漸化式の場合は大抵この方針なんですね。

@sekibun_dojo 28 күн бұрын

@@5ds_Komol29_sg5 同じこと僕も思いました、sinx のn乗積分😳問題として出題される場合は、やはり漸化式に持ち込む方法が王道なのかなと思いつつ…、正直そこまで多くの問題を網羅しているわけではないので、間違っていたらごめんなさい。逆に、何か気づいたことあったらコメントで教えてくれると嬉しいです。いつも見てくれているということで、ありがとうございます👍

@user-gv9xb3sn7q Ай бұрын

逆ゆうり化してから分母分子に1-sinxを掛けたら上手く行きました

@sekibun_dojo Ай бұрын

逆有理化ですか！更に分母分子に1-sinxかけたら、分子にはcosxの二乗が出てきそうですね😀その次はどうするか… 少し考えてみます。ありがとうございました👍

@fuwanis Ай бұрын

nの極限をとったら0に収束するのですか？

@sekibun_dojo Ай бұрын

nを大きくしていたったグラフの様子からも、恐らく極限をとったら0に収束すると思うのですが…… ちゃんと証明したことはないですね、どうなんだろう🤔

@boson_string Ай бұрын

直感的にも動画のグラフを見ていただいても分かりますように常にI₏>I₏₊₁が成り立ちます(もちろんちゃんと示すこともできます)。すなわち、nの増加に伴いI₏は単調減少します。 I₏は常に正かつ単調減少なのでn→∞のときに極限値を持ちます。これをCとおくと、 lim [n→∞] I₏=C です。また、Wallis積分の結果の一般項は n:oddのとき I₏=(n-1)!!/n!! n:evenのとき I₏=(n-1)!!/n!!×(π/2) のようになります。これを用いるとI₏とI₏₊₁の積は I₏×I₏₊₁=(π/2)/(n+1) です。これの両辺に対してn→∞の極限をとると C²=0 ∴C=0 となります。したがって、Wallis積分はn→∞の極限で0になります。

@sekibun_dojo Ай бұрын

@@boson_string なんとなんと証明が！？有益な情報ありがとうございます。自分でも少し考えてみたのですが…残念ながらサッパリでした😇 偶数項と奇数項の積を考えて、その極限をとる。そんな方法があるのですね、勉強になりました👍

@user-md4ig8ij5t Ай бұрын

待ってました！！

@みふゆもあ Ай бұрын

ありがたい🙏

@user-td5jx5bm2r Ай бұрын

新シリーズ待ってました！

@user-os7pf7fn8l Ай бұрын

文系でもこの程度は扱えたほうがⅡBの三角関数で応用しやすくなりますか？

@sekibun_dojo Ай бұрын

あまり高校数学について詳しくないので、間違ったことを言ってたら申し訳ないです。この動画内容について、数学ⅡBの三角関数の範囲では、そこまで必要ないのかなと、個人的には思っています。たしか三角関数の積分は数学Ⅲでしたかね？とはいえ文理限らず、余裕があれば知っていて損はない内容なのかなとも思っています😄

@qwqw-ki2se 2 ай бұрын

ちょうど答を見たいと思ったらこのチャンネルでやってた。ありがたい

@sekibun_dojo 2 ай бұрын

おおお、なんと！お役に立てて光栄です。他にも気になる積分あったら是非とも👍

@user-lw2cz5fe5d 2 ай бұрын

いつか移動中の暗算用の積分リスニングとか出して欲しい

@sekibun_dojo 2 ай бұрын

積分リスニングですか。なるほどなるほど、面白そうなアイデア、ありがとうございます😄でも英語リスニングみたいに耳だけだと、それはなかなか辛そうですね…要検討でしょうか👍

@user-lw2cz5fe5d 2 ай бұрын

部分分数分解、またの名をBBB

@sekibun_dojo 2 ай бұрын

BBB！？これから使わせてもらいます🤣

@user-jq2xi6yc4o 2 ай бұрын

疲れてる

@user-ld4lp3ek8j 3 ай бұрын

これは解けないクマ。

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

今回の積分は…、なかなか難しいかもですね😅 ただ面白い性質というか、噛めば噛むほど味のある積分だと思うので、全部は理解しようとせず、少しずつでも読み解いてくれると良いのかなと、思ったり思ったり👍

@gda-uz9ng 3 ай бұрын

初めて見させていただきましたが、とても可愛らしくてわかりやすい動画ですね。対話形式の数学解説は作るのがかなり大変かと思いますが、応援しております。

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

おおお、ようこそ積分道場へ！！ゆるゆると運営しているチェンネルですが、興味持ってもらえるような動画が投稿できるよう頑張ります👍

@user-td5jx5bm2r 3 ай бұрын

新シリーズ、20分超えでボリュームあって今までと違う満足感があっていいですね！

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

コメントありがとうございます。20分越えのボリューミー動画、しんどくないですかね？😅もう少し続けてみようと思っているので、良ければ見てみてください👍

@yosiakifukuhara1255 3 ай бұрын

後無沙汰してます。せっかく積分を勉強したのに忘れていってます。復習しよう。

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

ご無沙汰しております。久しぶりの積分計算だと、色々忘れちゃいますよね。また面白いなと思う積分ありましたら、コメントで教えて頂けると嬉しいです😄

@yosiakifukuhara1255 3 ай бұрын

@@sekibun_dojo ありがとうございます。

@MultiYUUHI 3 ай бұрын

キャラにHomo臭が凄い

@user-ow6jv7rh5z 3 ай бұрын

積分のレベルとしては一つ上の段階に上がりましたね！これからも見ます！

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

ありがとうございます。本当嬉しいです😄 今回は慣れていないとなかなか難しい積分でしたね。

@SY-wf6lx 3 ай бұрын

投稿お疲れ様です🍵 いつも見てます( *¯ ꒳¯*)

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

嬉しいコメントありがとうございます😊 今回は少し長めの動画なので、見る際はお気をつけて！

@qwqw-ki2se 3 ай бұрын

0〜π/2でやると綺麗になった気がする

@sekibun_dojo 3 ай бұрын

ウォリス積分ってやつですね！せっかく今回不定積分計算したので、今度はウォリス積分もやりたいなぁと👍

@user-md8dx6vg8m 4 ай бұрын

第二弾をお願いします。丁寧で分かりやすかったです。

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

そう言って頂けて嬉しいです😄 第二弾も見てもらえるよう、動画作成頑張ります！

@Hayase496 4 ай бұрын

第100回おめでとうございます🎉

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

ついにここまで来れました！いつもありがとうございます😊

@user-gb9nd1vq4w 4 ай бұрын

習ってないけど積分おもしろそう

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

積分面白いですよ！計算はパズルみたいで、理論は色々と役立つ😄

@user-zp4pj2mv8h 4 ай бұрын

100問目はこの問題が来ると前から思っていたら本当に来た

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

なんと…予想されてた… 予知能力者！？！？

@user-lu4py6jb1l 4 ай бұрын

②,④は√(1+x²)=tとおく。

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

おおお、その置換はなかなか思いつかないですね。 ②④ですね、試しにやってみます。ありがとうございました👍

@qwqw-ki2se 4 ай бұрын

サムネ見てすぐ、100問目にふさわしい満足感感じた

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

サムネに収まりきらない、迫力ある積分ですよね。ただ見た目に反して、落ち着いてやればそこそこ計算できる所はいい問題なのかなと。満足感を感じてもらえたなら嬉しいです😄

@user-td5jx5bm2r 4 ай бұрын

100問お疲れ様です！第100問にふさわしい問題でしたね自分はもう学生ではないですが100問を通して良い積分の復習ができました次回作も楽しみにしています

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

コメントありがとうございます。最後はラスボス感漂う積分でしたが、なんとかゆっくりとですが、100問解くことが出来ました。同じくもう学生ではないですが、積分するのに年齢は関係なし！次回も興味持ってもらえる動画作れるよう、頑張りたいと思います😊

@user-md4ig8ij5t 4 ай бұрын

次回作楽しみにしております！！！

@sekibun_dojo 4 ай бұрын

コメントありがとうございます！次回の動画、興味持ってもらえるよう頑張りたいと思ってます😊

@user-ot2qw1mh3v 5 ай бұрын

積分道場を沢山やったことが一因となって、名大工学部に現役で合格することが出来ました！ありがとうございました！これからも頑張ってください！！！

@sekibun_dojo 5 ай бұрын

おおお、嬉しいコメント！！そしてそしておめでとうございます🎉その合格に、少しでも積分道場が貢献できているのであれば嬉しいですが、それにしてもおめでたいです☺ という事は、4月からは大学生なんですか！工学部なら（学科によるかもですが）まだまだ積分使いますかね（謎）勉強や遊びも含め、充実した大学生活が送れることを祈っています👍

@hisanaosuzuki63 5 ай бұрын

5^logx=x^log5 　→　(e^log5)^logx=(e^logx)^log5=x^log5 したがって、log5は定数となるから直ちにこの積分は、x^(log5+1)/log^(5+1)となる。

@sekibun_dojo 5 ай бұрын

5^logx = x^log5 ←この式変形出来たら、かっこよく＆サラリと積分できますね。僕もこの式変形できるように精進します👍

@user-io5lf4yl9b 5 ай бұрын

対称性より絶対KPだと思って分子的に積分区間を0→π/2に変更したら良さげと思って置換したら、被積分関数がsint/2(1+cos^2t)になって何故か上手く行った。

@sekibun_dojo 5 ай бұрын

なんとなんと！KPで上手くいったのですが！動画内でもチャレンジしていますが、上手くいかずだったので🤔 三角関数の場合は、積分区間0→π/2が相性良さそうなんですかね。改めて考えてみます！（そして返信がかなーーーり遅くなってしまいました、申し訳ないです😓）

@MrrclbzMrrclbz 6 ай бұрын

グラフ(積分の視覚的表現)がwolframalphaででます。計算結果も。不定積分? integral_1^3 (x - 1) (x - 2) (x - 3) dx wolframalphaの自然言語です。貼り付けで。 wolframalphaの数学入力あり。手入力はラク。式は、結果のプレーンテキストより

@MrrclbzMrrclbz 6 ай бұрын

グラフ(積分のプロット)がwolframalphaででます。計算結果も。不定積分? integral_0^(π/4) sqrt(tan(x))dx wolframalphaの自然言語です。貼り付けで。 wolframalphaの数学入力あり。手入力はラク。式は、結果のプレーンテキストより＞積分の結果を使って、wolframalphaをもう一回。入力。 (π + log(3 - 2 sqrt(2)))/(2 sqrt(2)) 対数関数の展開された形 (sqrt(2) π)/4 + 1/4 sqrt(2) log(3 - 2 sqrt(2))

@Hayase496 6 ай бұрын

そろそろ100回かぁ…

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

大台の100回！長いこと見てくださり、感謝感謝です😊

@user-gn6ws1qx3i 6 ай бұрын

sinx=cos(π/2-x)=cos(x-π/2)で他の分野だとcos(π/2-x)を使うことが多かったので最初それで置換したら、マイナスが多くて間違いました。cos(x-π/2)の方が上手い置換だと感心しました。sinをcosに変換するときの1つの方法として頭に入れときます。

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

分野によっては、どっちの表記の方が使われるってのがあるんですね🤔動画内では特に意識せずやってましたが、そういう話聞くと今後は少し意識したほうがいいのかなとも思ったり。面白い話ありがとうございました😄

@sharkps 6 ай бұрын

キングプロパティのキの字も出なかった… 難しい！

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

いやぁ、これは本当慣れてないと思いつかないですよね。言われてみれば確かに！ってなるんですけどね、僕もなかなか…無理😅

@tusu8062 6 ай бұрын

分母を (cosx)^4+(sinx)^4=((cosx)^2+(sinx)^2)^2-2(cosx)^2(sinx)^2=1-2(cosxsinx)^2 と変形し、解けました。

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

この変形… 言われたら理解できるのですが、自分ではなかなか思いつかない🤔 でも、この変形できれば、色々と見えてきますね！勉強になりました、ありがとうございます👍

@tenkudo5339 6 ай бұрын

t=cos2x と置いても出来ました。

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

t=cos2xって…一体どこから？って暫く考えていました。なるほど確かに出来ますね！被積分関数が sin(2x)/1+cos^2(2x) と変形できるということですか😲なかなか自分では思いつかない置換だったので勉強になりました、ありがとうございます👍

@user-gu3ix5wh8x 6 ай бұрын

部分積分して与式を2回出しても出来るね

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

部分積分ですか、なるほど試しにやってみよう！てか色々解き方あって面白いなぁ、ありがとうございます😄

@user-fk9ib2fw5l 6 ай бұрын

お疲れ様です。サムネを見て、第70問の問題に似てると思ったので、分母分子をcos⁴xで割ってみたらいい形になりました。後は置換するかArctanの微分形を考えるかですかね。

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

やっぱり似たような問題を解いているかって大切ですね！今回の積分は、僕も第70問解いてたから出来ましたが、ノーヒントだったら…😅

@user-gn6ws1qx3i 7 ай бұрын

分母の有理化を考えると、分母は1。分子は(2-√2)^2となるが、logだから指数はlogの前にだすことを優先することを意識したらできるようになりました

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

最後のところですよね。この(2-√2)^2と変形するところが、僕は結構見落としてしまいます… 答えにlogが出てきたら、少し意識しないとですね😅

@user-fk9ib2fw5l 7 ай бұрын

cos³なので３倍角で次数下げか、cos²をsin²で表して微分形の接触ができてることに着目するかですかね

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

この積分、sin^2で表してからの微分系の接触使う方が、解答としてはスマートですよね。でも3倍角からのごり押しも嫌いじゃないです👍

@user-fk9ib2fw5l 7 ай бұрын

分母分子にe^xかけて式を眺めてたら、これarctan(e^x)の微分したやつじゃねって思ったので1発で原始関数までいけました。ヤッター

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

色々式変形して原始関数が見えてくるの、積分してて楽しい瞬間かなと思ったり！僕もそのヤッターを味わいたいです😄

@user-fk9ib2fw5l 7 ай бұрын

ワイエルシュトラス置換しか思い浮かばなかった… cos²x でくくって tanx を置換…流石に難しい😓 途中の式で arctan の微分形に tan を合成したような形が見えるのでなんかもっと簡単に出来ないかなと考えたけどよくわかりませんでした。

@sekibun_dojo 6 ай бұрын

このtan置換にもっていくための式変形、言われてみたら分かりますが、なかなか思いつかないですよね…🤔 もっと簡単に出来たらいいんですけどね、どうなんだろう。

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