Функция f(x)= (x+2)^4+(x+1)^4 симметрична относительно оси x=-1,5 из-за того, что она представляет собой сумму двух одинаковых четных функций, которые сдвинуты относительно друг друга. Взяв середину между точками x=-2 и x=-1, находим ось симметрии x=-1,5.В этой точке x=-1,5 функция f(x) достигает минимального значения f(-1,5)=1/8. . Функция f монотонная и возрастающая.Таким образом, горизонтальная линия y=17 и график f(x) пересекаются дважды. Очевидная точка пересечения x=0 (расстояние 1,5 в положительную сторону от оси симметрии x=-1,5) , значит и x=-3 (расстояние в отрицательную сторону от оси симметрии x=-1,5) точка пересечения. Других корней (точек пересечения) нет в действительных числах.

Может проще полученное кубическое уравнение разделить на х+3?

Постановка задачи бессмысленная. Если нельзя раскрывать скобки, можно сделать наоборот, т.е. собрать в скобки, но в действительности это то же самое. (x+2-x-1)^4+4(x+2)(x+1)(x+2-x-1)^2+2(x+2)^2(x+1)^2=17, обозначим (x+2)(x+1)=t, получим 2t^2+4t-16=0, откуда t=2 или t=-4. Без раскрытия можно и (x+2)(x+1)=-4 решать. Столь простое уравнение обычно сводят к биквадратному. Если знать два корня, то по теореме Виета x1+x2+x3+x4=-6, x2x3x4=-18, значит x3+x4=-3, x3x4=6. По обратной теореме Виета x3 и x4 находятся из x^2+3x+6=0.

Есть стандартный метод решения подобных уравнений.

Нераскрывая скобок 16 и 1 . Зная значения смотрим, что в скобках получиться.

Сумма коэфф при нечетеых степенях =-1, а при чётных=1. Х=1

Получаем биквадратное уравнение и наступает удовлетворённость: (t +1/2)^4 + (t-1/2)^4 = 17, где t = x+3/2

спасибо! прошу объяснить почему вы подставили -1 во втором случае (в начале) спасибо заранее.

Аналогично если вторая производная функции будет равна 0 в точке пересечения функции с осью x, то очевидно будет корень кратности 3.

X^3 + 1 = 0 проще просто кубический корень из минус единицы взять. Это известно что в комплексных числах три значения одно из которых вещественное. Зачем раскладывать?

Подобрали x=1.

Есть другой способ, мне кажется более простой, когда всё отчетливо видно. Надо просто переписать -1, как -2+1, потом перенести х в левую часть и разложить на множители (х-2)(х+1). Ну а дальше до множить на (х-3) и получается простое уравнение, из которого и получается (х+1)(х^2-4х+6)=0 Причем квадратное уравнение лучше решать через формулу корней квадратного уравнения, где получается отрицательный дискриминант, показывающий отсутствие действительных корней. Ученикам так более понятно. Если некорректно написала термины, то извиняюсь, я преподаю на английском.

«Если локальный экстремум касается оси Икс, то в этой точке всегда будем иметь два кратных корня.» - Неверно, не два кратных корня, а корень кратности два (или четыре и т.д.)

Какой учитель, такие и ученики

Разве можно извлекать корень четной степени из отрицательного числа?

можно было сразу представить 1 как -i^2. И дальше аналогично - разность квадратов.

Класс, просто и красиво как в школе.

Второй вариант за пять минут в уме. Первый вариант тоже интересный. Спасибо за задачку, побеждаем старость и склероз треннируя мозг.

Второй вариант очевидно проще: полный квадрат, разность квадратов, раскрыть скобки - 2 квадратных уравнения.

Автор совершенно правильно нашёл ОДЗ.

(x^2+5)^2 = x+5 > x^4+0x^3-10x^2-x+20 = 0 > (x^2-x-5)*(x^2+x-4) и решаем...

8x^3+8x^2 +0x-1=(4x^2+2x-1)*(2x+1) > разложить и решать.

Разложение (x^2+x-6)*(2x-1)

(x^2-6x+1)*(x+6)=x^2-35x+x+6

(x^2-2x-4)*(x^2-2x-1) = x^4-4x^3-x^2+10x+4

Подскажите, пожалуйста, а если у меня стоит задача такая: есть набор двумерных координат и соответствующий ему набор других двумерных координат (ну т.е. например у меня 100 точек вида (x,y) и 100 соответствующих им других точек тоже вида (x,y)) и мне нужно восстановить функцию отображения точек из первого набора во второй набор, мне стоит копать в сторону двумерных сплайнов? Или оно мне не поможет? Я уже нейронку обучил на это дело, но хотелось бы именно как-то аналитически решение получить

Симметрическая парабола x^2-5 и график возрастающей функции sqrt(x+5) пересекаются дважды, значит, у уравнения два реальных корня. Первый корень на интервале (-5, -sqrt(5)), второй корень на интервале (sqrt(5), inf). x^2-5=sqrt(x+5) <=> x^4 - 10 x^2 - x + 20 = (x^2-5x-4)(x^2+5x-5)=0. Решаем 2 квадратных уравнения и из 4 корней выбираем те, что подходят для интервалов выше. x = -1/2 - sqrt(17)/2, x = 1/2 + sqrt(21)/2.

√(x + 5) = u => x = u² - 5 x² - 5 = u u² - 5 = x (x² - u²) = - (x - u) (x - u)(x + u + 1) = 0 x - u = 0 => u = x x² - 5 = x => x² - x - 5 = 0 *x = (1 + √21)/2* x² - 5 = (1 + √21)/2 x + 5 = (11 + √21)/2 x + u + 1 = 0 => u = - (x + 1) x² - 5 = - (x + 1) => x² + x - 4 = 0 *x = (-1 - √17)/2* x² - 5 = (-1 + √17)/2 x + 5 = (9 - √17)/2

Все эти ролики с уравнениями - баловство. В жизни таких задач не бывает. В жизни у вас будет уравнение с произвольными дробными коэффициентами. И решать его или по формуле Кардано, или численно. Но как головоломка - почему бы и нет?

За новое решение лайк, за "примерное" нахождение корня дизлайк. Всё-таки обычно требуется более строгое нахождение значений корней. Либо ограничиваем двойным неравенством, либо сравниваем каждый корень с ОДЗ.

если у тебя есть x^3 то чтобы точку ничего не отличало от кривых надо и 3ю производную приравять имхо а не останавливаться на 2й потому что и так кажется дофига ;)

в википедии написано что апроксимация это когда предсказывается поведение функции вне интервала в котором есть данные а интерполяция это не выходя из него...

Графики взаимообратны, а значит первый корень на прямой y=x и больше 0. x^2-5=x x^2-x-5=0 x=(1+корень(21))/2 Второго корень меньше 0 и мы его получаем поделив уравнение 4 степени на уже решённое квадратное уравнение. x^2-5=корень(x+5) x^4-10x^2+25=x+5 x^4-10x^2-x+20=0 (x^4-10x^2-x+20)/(x^2-x-5)=x^2+x-4 (Деление многочленов в столбик проходят в 9 классе) x^2+x-4=0 x=(-1-корень(17))/2

Не надо группировок. Ищи корень среди делителей свободного члена и старшего коэффициента. Это 2 Далее делим углом. Получаем (х-2) (2х^2+5х-3) =0 Х(1.2.3) = 2;-3;1/2

Единственное: перед 2,6 автор запяметовал поставить знак отрицателтный

а чего гадать. 2 угадывается, делим многочлены и решаем квадратное

Автор совершенно правильно нашёл одз. Это вам надо поучиться.

4:08 Разве -5 там?

1. ОДЗ автор нашёл неправильно. ОДЗ - это X >= -5 2. А для решения просто отнимаем X от обеих частей: X^2 - (X+5) = sqrt(X+5) - X (в левой части разность квадратов)

Путаете ОДЗ и множество решений

0:27 - Попробуем разделить на (2x - 1)? На эту мысль наводят отношения между коэффициентами при кубе и квадате (2:1) и при первой степени и без икса (13:6 ≈ 2:1) Если поделится, дальше будет сильно проще решать

Пристально смотришь, группировку не видишь? Значит смотришь не туда. Я сразу нашёл 2 корня: x=2 и x=-3. Сразу надо разбить уравнение на скобки: (x-2)(x+3)(2x-1). Приравнять последнюю скобку к 0 и найти оставшийся корень.

а что если разложить в A^2 - B^2 представив +4 как -(2i)^2 тогда исходное уравнение примет вид : (x^2)^2 - (2i)^2

О́й,! (а-в)(а́+в,)

Приводить к общему виду не только необязательно, но вообще не нужно. Только хуже будет. Именно в таком виде как есть - сразу же виды оба предлагаемых вами способа решения (фактически один).

если надо найти только действительные корни: x^4=(2x-8)^2 (2x-8)^2=0; ±(2x-8)=0; x=2; x=-4 если все то проще всего привести к стандартному виду и поделить на найденные корни (деление многочленов): (x^4-4x^2+32x)-64)/(x-2)(x+4)=x^2-2x+8 х=1±i√7.

Можно ещё через разность квадратов

Я разложил так : x(x2-9)-10(x-3) x2-9= (x+3 )(x-3) и выношу х-3 за скобки

А я вижу. После прочтения заголовка специально нашёл за две минуты. На x+2 всё делится.

Пусть автор при помощи группировки решит подобное уравн. x³+6x+2=0.