Все способы понятны. Третий самый «красивый и привлекательный»

Ответ очевиден, так как логарифм x+1 по основанию x убывает при x>1.

Я решил 4-ым способом. f(x) = log(x, x+1) (логарифм числа x+1 по основанию x), где x > 1. Через производную видим что критических точек функция не имеет (когда x > 1), а значит она монотонна. Подставляем 2 например в производную, видим что f'(2) отрицательное число. Значит функция убывающая. Из этого следует, что т.к. 11 < 12, то f(11) > f(12), т.е. log(11, 12) > log(12, 13).

Способ 3 самый простой. Спасибо за все 3 решения.

Все способы понятны, но 3 самый простой, на мой взгляд. Спасибо БОЛЬШОЕ

Спасибо за 3 способа !

Спасибо вам большое очень интересно я многое узнала ВЫ МОЛОДЕЦ!!!

Ну это и так понятно, что логорифм 12 по основанию 11 больше, но сам ход решения- это что-то нечто)

Очень круто, спасибо!

Very nice ! I looked at the function y= log base x of (x+1) and found it decreasing for x>1

Третий способ хорошо еще и тем, что в уме можно быстро решить. Если конечно догадался прибавить то что нужно))). Класс!

Что больше, log(2, 3) (число, в которое нужно возвести 2, чтобы получить 3) или log(3, 4) (число, в которое нужно возвести 3, чтобы получить 4)? Что происходит с логарифмом, когда оба его аргумента a и b возрастают так, что b остаётся равным a+1? Решил в уме за несколько секунд, но вряд ли такой способ удовлетворил бы нашу систему образования =/ 3-й способ из представленных мне понятен, вроде, больше остальных (если бы я ещё знал про неравенство "a + 1/a ≥ 2 при a > 0" - спасибо за него и за другие неравенства и преобразования, кстати).

Волшебство

Ещё один простой способ: Пусть Х это произведение левой и правой части , тогда оно равно log(основание 11)13 . Пусть У это произведение правой части на правую часть , тогда оно равно log(основание 12)13 . log(11)13 > log(12)13 => x > y. Это значит что если мы умножаем левую часть на правую , то получаем больше чем когда умножаем правую саму на себя , а значит в левой части число больше чем в правой . Checkmate

Спасибо!

3 способ самый красивый и короткий. лайк.

Спасибо.Мне с токи зрения простоты понравился 3-ий.

Еще один, шестой или седьмой способ) Рассмотрим функции f(x) = log11(x) и g(x) = log12(x), тогда: log11(12) v log12(13); f(12) v g(13); 11>1, f(x) возр., 12>1, g(x) возр., а так как основание первого логафирма меньше основания второго (110. Пусть a = 1, тогда: f(11+1) > g (12+1); f(12) > g(13); log11(12) > log12(13).

Первый способ хорош своей не очевидностью.!!! 👍

Третий способ наиболее красивый

Если рассмотреть как функцию и найти производную, то при x>1 функция будет убывать, т.е Первое значение больше Второго.

Я решил иначе. Переходим к основанию e, то бишь к натуральному логарифму. Получаем Ln12/Ln11 и Ln13/Ln12. Возводим e в эти степени. ПОлучаем e ^Ln12*e^(Ln11)(^-1) и e^Ln13*e^(Ln12)-1. Так как экспоненты степень в степени (-1), то просто перемножаем эти степени, то есть -1 переносим к самому логарифму и умножаем, получаем 12*e^(-1*ln11) и 13*e^(-1*ln12). Так как e^-a=1/e^a, то получаем 12/e ^ln 11 и 13/e^ln12 или 12/11 и 13/12. Первое число больше.

Спасибо...

Можно решить в общем виде, где 11-это х, а 12-это х+дельта, а 13-это х+удвоенная дельта. При этом х>1, а дельта >0

Спасибо

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, для чего в первом способе нужно вычитать единицу, если можно сразу ввести вспомогательный логарифм с основанием и подлогарифмическим от первого и второго соответсвенно?

3-м способом доказывается общий случай: log[a](a+1) >= log[a+1](a+2), a>0

Мне понравился 2 и 3 способ.

Последний способ самый изящный))

Валерий, во мне сидит вопрос - зачем все это. Сейчас берем таблицы Брадиса, современные калькуляторы и, не напрягая мозги и память, все решаем секундно. Только после получения ответа можно засучивать рукава. Заранее спасибо.

12/11 > 13/12 :) , т.е. возвести 11 надо в большую степень, чтобы получить 12, чем та в которую надо возвести 12, чтобы получить 13.

Третье решение гениально

Третий супер!

TheoremIİf b/a>d/c, then log(a)b>log(c)d.

Подобные задания наталкивают на следующие рассуждения. Закономерность записи сравниваемых чисел очевидна. Мысленно продолжим её "раньше" первого из них, пока не увидим очевидно, к чему ведёт последовательность: log10 11, ... log2 3, log1 2. Мы чувствуем, что логарифм по основанию 2 числа 3 гораздо больше логарифма по основанию 11 числа 12, а последнее - логарифм по основанию 1 числа 2 вообще не существует, он "бесконечно большой". Значит, в эту сторону значения этих логарифмов идут на увеличение, а в том порядке, как сравниваются числа в задании, должно быть log11 12 > log12 13. Такое "плавное логическое продолжение в виде последовательности в какую-либо сторону вплоть до очевидного" мне нравится и рождается в уме за секунды. Это описывать долго, а задача такая, что данной любимой логикой ответ даётся через несколько секунд. Но еще дольше будет, если строго доказывать математически :(

2й способ интересен с т.Коши. Спасибо.

Вообще можно представить логорифм числа 12 по основанию 11 как логорифм этого числа по основанию 12 деленного на логорифм по новому основанию старого основания. Проще говоря log¹¹12=(log¹²12)/(log¹²11)

а можно ли было решать это через предел? например при n стремящемся к бесконечности Log(n-1)n стремится к 1. И чем больше n тем он ближе к единице, соответственно, Log(11)12 > Log(12)13

Здесь числа отличаются на 1.Но я не смог сравнить log(основание 4)5 и log(основание 6)8, кстати ,эти логарифмы очень близки и совпадают до нескольких знаков.

хорошо

Первый способ более интересен

Слева больше чем справа, потому что логарифм представляется как деление натуральных логарифмов. Ну и последовательность ln12/ln11; ln13/ln12 ; ... ; ln1001/ln1000 ; ... ln(N+1)/lnN ; ... стремиться к 1 сверху, значит чем левее, тем больше.

3 способ более понятен

Можно использовать только базовые знания про логарифмы: log11(12) or log12(13); log11(12)-log12(13) or 0; log11(12)/log12(13) or 0; Преобразуем и в итоге получаем, что log11(13) >0. Следовательно ЛЧ больше ПЧ, и следовательно log11(12)>log12(13) чтд

Первый хороший, тк не требует доп. знаний , что часто у учеников встречается.

Мне больше понравился третий способ,хотя понятны все.

Все том понятны

Привет можно ваш номер патсап или имо.

Я не понял как мы от сравнения логарифмов с целыми числами на логарифмы с дробными..

Можно ли(?) дать "более общее" доказательство , распространённое на все числа : логарифм n-1 по основанию n-2 всегда больше логарифма n по основанию n-1(почему бы и график не построить(?): логарифм 2 по основанию1--- бесконечность ; логарифм 3 по основанию2 ---1.584...; логарифм 4 по основанию3---1.261... ......................................; логарифм 11по основанию 10---1.041... (впрочем хотя бы до этого построить все точки(включая "пропущенное автором" ) и "увидится" "всё" : например , даже : логарифм 2 по основанию 1.5(1.7095...) больше логарифма 2.5 по основанию 2(1.3219...)---"резко падает" сразу же , а затем---"почти нет) . Автором сего комментария (совсем "не математиком") выпущены несколько видеороликов (просмотров почти нет ввиду отсутствия опыта выпускающего , однако специалисты( хотя бы по вышеупомянутой теме) могут дать "общее доказательство" ?(когда n не только целые числа , а также всякие иные возможные числа (по возможности---"с приведением ясной графической картины")...

Ок

Из определения степени тут и дурачку понятно, что в 11^x=12 и 12^у=13. x должен быть больше, чем y. Без всех этих сложных преобразований. Это все равно что сравнивать 12/11 и 13/12 или еще нагляднее 2/1 и 3/2

Где ещё узнаешь, что (a+1/a)>=2?

Третий способ

2и3!

3 способ

А чисто логически нельзя понять, что раз отношение 12 к 11 больше отношения 13 к 12, то и логарифм первый больше второго, так как большее соотношение говорит не иначе как о большей степени, в которую нужно возвести основание логарифма, что получить данное число. Повторюсь, это чисто логическое суждение и доказательство лежит на поверхности. Для любого окончившего школу хотя бы с 4 по математике, по идее, должен быть очевиден данный факт (сам я по образованию не математик и не технарь, закончил школу более 10 лет назад и не имею к математике никакого отношения).

И как определили, что их значения между 1 и 2

Три

Если подумать, то где числа меньше, там логарифм больше

Третий

Очень страшно! Мы не знаем что ето такое! Если бы мы знали что ето такое - мы бы знали что ето такое!) Использовать джедайские штучки в математике! - ето нечестно!)

Все способы хороши, но второй благороднее что-ли.😊

Естественно log11(12)>log12(13). Moжно убедиться с помощью калькулятора. Так Ваше решение понравилось.

Здравствуйте, очень люблю смотреть ваши видео и с каждым из них становлюсь только умнее. Но я не могу решить один неопределённый интеграл и очень надеюсь что вы мне сможете помочь. ∫√(b-√(a^2-x^2))dx. Тут a и b некоторые числа. Просто мне нужно в общем виде. Буду рад любой помощи, спасибо!

Способ 1 - неверной...

13+11=143 чтоооооо....

Все способы понятны, но 3 самый простой, на мой взгляд. Спасибо БОЛЬШОЕ

Третий