Вы понимаете, как изучали математику философы древности. Когда не было егэ, марьванны-математички и даже декартовой системы координат.

Если взять отношение двух произвольных натуральных чисел и построить путь до начала дерева (на каждом шаге вычитая из большего меньшее), то в конце мы получим x : x, где x - НОД всех отношений, построенных в этом дереве (в том числе первоначальных чисел). Возможно, благодаря этому, Евкид придумал алгоритм Евклида.

​@@4eLoVeK653даже и не припомню, сколько раз за последние 60 лет мне приходилось искать НОД😅

@@4eLoVeK653 это кажется называется великий антанаиресис, алгоритм взаимного вычитания

А чего ещё ждать от людей, которые хотят, чтобы от вс6го была "польза"? Как поступил когда-то в схожей ситуации Евклид, когда молодой человек, только начавший изучать геометрию, спросил у него, какая польза (лучше перевести "выгода") будет ему от этой науки: он подозвал раба и сказал "дай ему два обода, несчастный хочет извлекать выгоду из изучения геометрии". (И это была первая стипендия.)

@@schetnikov неужели Калкин и Уилф занимались схоластикой? Или всё-таки они предложили алгоритм, позволяющий занумеровать все рациональные числа? То есть, поставить в соответствие каждому натуральному числу несократимую рациональную дробь? It is well known that the rationals are countable. However, the standard presentations of this fact do not give an explicit enumeration; rather they show how to construct an enumeration. In this note we will explicitly describe a sequence b(n) with the property that every positive rational appears exactly once as b(n)/b(n + 1). Так что какая-никакая "польза" присутствует.

@@Murlakatam42 Так и пифагорейцы это же сделали в своё время. Просто люди, читавшие тексты с описанием этого алгоритма, уже не понимали, в чём смысл результата. А вообще-то он указывает на глубокую роль алгоритма Евклида в пострении теории чисел.

@@schetnikov и этих людей нельзя винить -- знания, оторванные от потребностей современности, имеют тенденцию забываться, и их приходится переоткрывать снова и снова. Как случилось, например, с Больцано: "При жизни Больцано опубликовал только пять небольших работ по математике. Они значительно опередили научный уровень того времени и не привлекли внимания научной общественности. Только в конце XIX века, когда эти идеи независимо переоткрыли Вейерштрасс и Дедекинд, историки обнаружили и оценили по заслугам сочинения Больцано". Вот и Платону не повезло. Может, на той лекции он рассказывал про обобщенные функции и трансфинитную индукцию. А слушатели не въехали, не оценили -- и не записали... Так что Евклид, сдаётся мне, всё же был не совсем прав со своими ободами. Кстати, это дерево напомнило вот этот ролик: kzfaq.info/get/bejne/b5qdiZp30sjcaGw.html (Там тоже бинарное дерево, но с пифагоровыми тройками -- наверно, оно хорошо бы смотрелось в этом контексте...)

Философия - наука обо всем, в том числе о математике

Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Спорный вопрос, но сегодня становится очевиден факт, наука без математики это просто треп обо все и ни о чем.

Все- таки, это скорее еще одно доказательство счетности положительных рациональных чисел. А иррациональные числа здесь существуют только как пределы.

Почти, но не совсем. Дерево Штерна-Броко так же выдаёт все несократимые дроби, но расставляет их в другом порядке.

Тут возникает интересньій вопрос - как описать порядок на рациональньіх числах задаваемьій 3тим деревом. С деревом Штерна-Броко все просто - меньшее из чисел встретится раньше при центрированном обходе дерева. Интуитивно кажется, что должно бьіть замешано представление в виде цепной дроби

Если взять отношение двух произвольных натуральных чисел и построить путь до начала дерева (на каждом шаге вычитая из большего меньшее), то в конце мы получим x : x, где x - НОД всех отношений, построенных в этом дереве (в том числе первоначальных чисел). Таким образом можно искать НОД двух чисел

​@@4eLoVeK653реально все наоборот, конечно. С помощью алгоритма Евклида уже искали наибольшую общую меру двух величин и наибольший общий делитель двух натуральных чисел - а потом поняли, что все рациональные отношения можно упорядочить в такую структуру.

Ну это следует из того, что a ⫶ c и b ⫶ c (a + b) ⫶ c и a ⫶ c

@@4eLoVeK653 ну, это я к тому, что надо обосновывать и доказывать все утверждения. Кстати Вашу запись "a ⫶ b (a + b) ⫶ b" тоже следует доказывать.

Потому что алгоритм Евклида добирается от них всех до отношения единиц. А если бы имели общий делитель m, добирался бы до пары m : m.

Математика, в которой усматриваются и доказываются некоторые теоремы. Как говорил об этом сам Платон, "арифметика - это учение о четных и нечетных числах безотносительно к их величине".

​@@schetnikovАндрей, вот интересно ваше мнение. Теоремы доказываются при помощи логики. А законы логики - это что? Они более фундаментальны, чем законы физики, или менее, или такие же?

@@user-by5hi8uj6o Теоремы доказываются с помощью воображения и рассуждений, "законы логики" (силлогистика и проч.) здесь вообще ни при чём. Конечно, мы приговариваем, что теорема Пифагора справедлива для ВСЕХ прямоугольных треугольников, но это ничего не добавляет для доказательства самой теоремы.

@@schetnikov Ну, а доказательство от противного, например. Если мы хотим доказать утверждение А, мы предполагаем, что верно утверждение не-А и приходим к противоречию, значит, не-А ложно. Но чтобы доказать истинность А, используем закон исключенного третьего "Либо А, либо не-А".

Даже спустя 2500 лет всё ещё непонятно, какое применение этой теореме может быть.

@@Vordikk это древний инфациганский вебинар.

Доказательство теорем тоже было бесполезным делом, в Египте практические вычисления прекрасно выполняли без теории. Сциентизм и благоговение при столкновении с математизируемым естествознанием - плод современности. Это сейчас философ может добавить в диссертацию графики и формулы, чтобы подмазаться к авторитету позитивных наук подражая им, а в пятом веке таким заниматься было бы абсурдно. Вообще между математикой и философией гораздо больше общего, чем между математикой и "прикладными" дисциплинами - они занимаются несуществующими (или наоборот, по-настоящему сущими) объектами, независимыми от нашего опыта.

Пифагорейцы считали, что доказательство математических теорем облагораживает человеческую душу, и изучать математические науки следует в первую очередь именно ради этого.