定年した老医師ですが、先生の整数問題楽しみにしています。しかし、今回はどうしても解けず、解答見てしまいました。次回も楽しみににしております。

備忘録👏80G"【 整数問題 (素数) mod6 】2²･3･p(p＋1)＋1＝k² ･･･① mod6 において 1≡k² だから k＝6n ±1 と表すことができる。⑴ k＝6n＋1 のとき、① ⇔ 2²･3･p(p＋1) ＝ 2²･3･(3n＋1)n p(p＋1) ＝ (3n＋1)n ･･･② ここで p∈素数 だから、 3n＋1＝pm または n＝pm ( m,n ∈自然数 ) (ⅰ) 3n＋1＝pm ⇔ n＝(pm－1)/3 これを②に代入して、p について解くと p＝(m＋3)/(m²－3) ･･･③ p ≧ 2 だから、(m＋3)/(m²－3) ≧ 2 ⇔ m(2m－1) ≦ 9 よって m＝1, 2 (∈自然数) ③と合わせて、 m＝2, p＝5 ∴ n＝3 よって k＝19 他の場合も同様にすると、(m, p)＝(自然数, 素数)は存在しない. 以上より、p＝５ ( k＝ 19 )■

もう既に大学受験が終わり数学の勉強なんて必要無い身ですが、毎回難しい問題を楽しませてもらってます！。解説のテンポもよく理解し易いです。

この問題を作った先生も解いた生徒も どちらも凄いと思います！

やっぱ作問者ってすごいんだなと思いました。

これ解けたら1人やばい気がする笑笑 スゴすぎ！！！

判別式で瞬殺だろって思ったらうまく因数分解出来ない数字でした…

色んな解き方が考えられそうで面白い問題ですね！ kは奇数なのでk=2a+1とすると、3p^2+3p=a^2+a ここで 3(p^2+p)=a^2+a より明らかに p0、よって a

同じ解き方でしたが、分数形も解の公式も使いませんでした。 3(p+1)=b(bp+1) は b=1 は明らかに不適。b=2 は p=1 で不適。b≥3 は明らかに右辺のほうが大きいから不適。 p(a²-3)=a+3 は 0

別解::(6p+1+k)(6p+1-k)=24p^2で積の形を作成してpは素数なので約数を割り振って解くこともできますね！！

【補足】 3p(p+1)=m(m-1)の部分で p=3を先に考えて代入して、自然数kが存在しないこと(p≠3)を示しておいた方が良さそうです。 そうすると 「pとp+1が互いに素だけでなく、3とpもそれぞれ互いに素だから、左辺は因数pを1つだけもつ」 上記が示すことができます🐼

全く解らない😱けど…仕事行く前の頭の体操にはなりました。ありがとうございます😌

パスラボの動画が毎朝の楽しみになってるんだけど、同じ人いる? い る よ ね ?

これが解ける人がクラスに一人でもいるって結構な進学校ですよね？ 気になります

k+1 とk-1　の差は　2 　であり、 p　素数であり、p+1 とは互いに素なので、左辺の形に合わせるには　12 を二つに分けるしかない。 1/12 , 2/6, 3/4 の数を　p, p+1 にかけて　( 6 通り) それぞれを　引き算をして差が　2 になるものは　4p と 3p +3 　のみで後は不適。 よって　p=5 と分かる。

前半まではついていけるけど、後半からの考え方が難しい〜

私が自分の学校の教師から出されて解けた英雄です。 自分しか解けてなくてビックリした

途中まで解いてみて『うん、そうだよね』ってなったんだけど、3xPx(p+1)=m×(m-1)でm=pa,m-1=pbの考え方が少し出来なかった……。 この数学の先生面白い問題作るんだね （自分がこの数学の先生の教え子だったら、苦手にはならないけどやりたくなくなる www）

眠い目を擦りながら見てたらなんも考えてなかったわ

明日が楽しみだ～。応援してます！

別解考えました。以下に大雑把に書きます。既出だったらすみません 12p(p +1)＝(k-1)(k +1) 右辺に注目すると、(k +1)-(k-1)＝2なので、左辺もこうなっていなければいけない。 12＝1・12＝2・6＝3・4の3パターンのためこれを用いて吟味を行う。 1)1・12p(p +1)とみると、1p・12(p +1)か12p・1(p +1)のどちらかに分解できる。ところが、後者は12(p +1)-p＝11p+12なので、＝2とすると明らかにpがマイナスになり不適。以下同様に考えられるのは(大きい数)×pと(小さい数)×(p +1)だけである。 12p-1(p +1)＝2はp＝3/11より不適 2)6pと2(p +1)は 6p-2(p +1)＝2よりp＝1で不適 3)4pと3(p +1)は 4p-3(p +1)＝p-3＝2よりp＝5 このとき18・20＝(k-1)(k +1)よりk＝19であることがわかる。(kが自然数になってる) 以上よりp＝5のみが答え。

pを因数分解する発想はなかった、、、。覚えます！！

おはようございます。 素数の集大成って感じで、もしテストで解けたら気持ち良さそう。

絶対明日早くおわりそうだな～笑間違えた問題の解説も少なく終わりそうだな🤔🤔

pはp^2にならないとおっしゃいますが、p=3のケースが抜けませんか？

こういうお互いが刺激になる動画はとても良いと思います。

今日の動画楽しみだった

良問だと思います。 6:40位の二次方程式は解きませんでした。 3p(p+1)=m(m-1)の時点で、2≦pからp

共通テストの対策方法見たいです。 コロナで模試が中止ばかりでとても不安です！

k^2≡1 (mod p) から k≡±1 (mod p)なので k=np+1、k=np-1 (nは自然数)を代入して整理したら、同じ形の式にたどり着けました 結局やってることはほぼ同じですが

kは2の倍数でも3の倍数でもないから、k=6m±1(mは自然数)を代入しても出来ました！

自分の考え方 12p(p+1)=(k-1)(k+1)ということは k+1とk-1の差は2である。 つまり12の素因数である2の２乗、3 の組合せを(a,b)としたときap-b(p+1)=2となる。a>b>0であるから (a,b)=(12,1),(6,2),(4,3)の３通りとなる これらをap-b(p+1)=2に代入するとそれぞれp=3/11,5,1となる。 この中でpが素数なのは5のときのみである。よってp=5 k=19と分かる。

素数のエッセンスが詰まった良問ですね！しっかり復習しておきます！

初見で解けた子凄い。。。

整数余程やってないとこんな考え浮かばないよね。正解した人いるってことは相当頭いい学校だったんやろなぁ

カタカナでハンイw くまたん好きやわまじで笑

12p(p+1)=(k+1)(k-1)から、(k+1,k-1)の組を24組書き出し、 k+1>k-1≧0,　p≧2,　(k+1)-(k-1)=2 を利用して12組に絞りながら解いたけどくっそ時間かかったから倍数の考え方身につけたいなぁ

12p(p+1)=(k+1)(k-1) pとp+1は互いに素であることに着目して、12の約数、p、p+1で差が2になるような組を探す。 Ex.12pとp+1は差が2であるとき、pは素数ではない こうやってpが素数となるものを探していくと、4pと3(p+1)のくみでp=5のとき、差が2となる。 よってp=5が答え

むしろパスラボのポイントフルに応用した問題ですごい。

聞いたら分かるのにいざ手を動かすと・・・

無理やり(6p+1)^2を作って24p^2=(6p+1)^2-k^2の右辺を因数分解し、素因数分解の方法でも解けます。 項の偶奇で場合分けは6つに絞れ、項の和により4つまで絞れこめます。 あとは二次方程式が出てくるので4つに代入して終了 この方法でも解けます。

12p(p+1)=(k+1)(k-1)にして左辺を差が2になるように分解していく場合分けのほうがスマートな気がします

やっと6じはんに起きれたぞ いちこめじゃないけど

自力で解いたら正解しました。あまり効率的なやり方ではありませんが、僕はこのやり方もありではないかなって思いました。

24p^2=(6p+1+k)(6p+1-k)と変形して解きました

素数は処理の仕方が限られてるから慣れたら簡単ですよね

解けたーーやったーー！

おはようございます❗️

数弱すぎてこの発想に持っていけない...

かなり数学的で面白いですね！ この問題なんかで出た時にpass laboと同様に受けて立てるようになりました！笑 教員目指してるので、すばるさんに納得のいく問題を作りたいです！🤗

同値性を明確に。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 　与式　⇔　12p(p+1)=(k-1)(k+1)…①。 ・k-1, k+1の積が素数pの倍数であるから、その少なくとも一方はpの倍数。 ・k-1, k+1は偶奇をともにし、かつその積が偶数であるから、ともに偶数。 ・p=2のとき与式の左辺=73は平方数ではないので不適。 よってpは3以上の素数ゆえに奇数。 ゆえに　k-1, k+1の少なくとも一方は2pの倍数。 また題意より、k^2>25　∴k>5 ---------------------------------- 1°）k-1=2ap（aは正整数）のとき： ①より 　12p(p+1)=2ap(2ap+2) 　∴3(p+1)=a(ap+1)　【∵4p≠0で割った】 　∴(a^2 - 3)p = 3 - a　…② ところが 　a=1　⇒　(a^2 - 3)p < 0 < 3-a 　⇒　②は偽, 　a≧3　⇒　(a^2 - 3)p > 0 ≧ 3-a　⇒　②は偽 であるから、②であるためには　a=2かつp=1　が必要。1は素数ではないから不適。 ---------------------------------- 2°）k+1=2ap（aは正整数）のとき： 　①⇔　12p(p+1) = 2ap(2ap - 2) 　　⇔　3(p+1) = a(ap - 1)　【∵4p≠0で割った】 　　⇔　(a^2 - 3)p = a+3　…③ 。 ところが 　③⇒　(a^2 - 3)p >0　⇒ 　a≧2 …④。 ∴③⇒　④かつ③ 　　⇒　④かつa^2- 3 < a+3　【∵p>1】 　　⇒　④かつa^2 - a - 6

解けたけど、動画と比較するとちょっと遠回りしちゃった感もあるなー ただ、異なるアプローチでも最終的に似たような議論になって面白いなと思いました。（数学は専門でないので偶然なのか何か背景があるのかはわかりませんが。わかる人いたらおしえてください。→自己解決 よくみたら順番が違うだけで実質的に動画と同じような文字の置き換えをしてた） 断りがない場合、合同式の法はpとする。 補題：自然数kと素数pに対して、k^2≡1ならばk≡1 or p-1である。 補題証明 k≡q（qは0≦q≦p-1を満たす自然数）とするとき、q≠1, p-1と仮定する。このとき (q+1)(q-1)=q^2-1≡0 よって(q+1)(q-1)はpの倍数であり、pを素因数に持つ。 よってq+1, q-1のどちらか一方はpを素因数に持ち、pの倍数である。 しかしこれはq≠1, p-1に反し矛盾。よって仮定は示された。 解答 12p^2+12p+1≡1 より k^2≡1 補題よりk≡1 or p-1なので自然数nを用いてk=np±1とおける。（動画と同様にしてk≧9であることに注意する） 12p^2+12p+1=(np±1)^2 ⇔（中略） ⇔(n^2-12)p=12±2n ...(#) ここで、p=2のとき12p^2+12p+1=73となり平方数でないので不適。 よってpは奇数である。これと、(#)の左辺が偶数であることよりn^2-12は偶数。 よってnは偶数であり、自然数aを用いてn=2aとおくと ((2a)^2-12)p=12±4n ⇔（中略） ⇔(a^2-3)p=3±a i)(a^2-3)p=3+aのとき 左辺が正なので右辺も正。よってa≧2が必要。 p≧3（この解法ではp≠2を示したのでp≧3としますが、p≧2として解き進めると動画と同じ2次不等式が出てきます）とa^2-3≧0より (a^2-3)p≧(a^2-3)3 ⇔3+a≧3a^2-9 ⇔3a^2-a-12≦0 これとa≧2をあわせてa=2が必要である。このときp=5となりたしかに素数である。 ii)(a^2-3)p=3-aのとき 両辺の正負が一致する条件は、両辺0にならないこととp>0に注意して (a^2-3)(3-a)>0 ⇔a

初見です。pointでまとめられていて、さらにそのpointが分かりやすい+すばるさんの神解説という。。 皆さんからするとこんなことでと思うかもしれませんが、この動画を見て凄く感動しました！次の動画楽しみにしています🙇‍♂️

現役数学者でKZfaqで大学数学を教えてる方(登録者数が先日10000人超え)が、「高校までは素数に1は含めないと教えているが、一般的な数学(大学以上の本当の意味での数学)の世界では素数に1は含まれる」と言っていました。 つまりp＝1とすることは、受験数学では×となるけど、一般的な数学(大学以上の本当の意味での数学)では間違いではないことになります。 もちろん、この動画のように解いてp＝5を求めなければいけませんが。

連続整数が互いに素を聞いた所で思考が解れて何とか場合分けに成功、その後の不等式評価は2以上と置かなくても整数条件だけでも一次式を二次式で割っているので範囲はたかが知れている（2通り+1通り）なので後はそのまま根性算で

①最初の等式の左辺と右辺を見比べてkは明らかに奇数。②左辺は3を法として1と合同より、右辺k^2も3を法として1と合同、つまりkは3を法として±1と合同(3では割り切れない)。この2つからk=6m±1と表せて…として色々計算していくと、結局素数となるpが出てくるのはk=6m+1の時だけ、と解きました。

高校の先生がツイッターやってるイメージないからどんな投稿してるか気になる木

4：55～のpを素因数分解したらp^2にならない云々の部分がよく分かりません！どなたか教えてくださいませんか？

この解答例はダメでしょうか？ ダメなところがあれば、ご指摘お願いします。 解答例) 12p^2+12p+1=k^2 12p(p+1)=(k+1)(k-1) ・・・・・① 4p×3(p+1)=(k+1)(k-1) p=2 のとき k^2=73 となり不適。 p=3 のとき k^2=145 となり不適。 p=5 のとき k^2=361=19^2 となり、k=19 は自然数なので、条件を満たす。 k-1 とk+1の差を取ると、2だから、①の条件式を満たすためには、 　p(p+1)=10,14 または 　4p-3(p+1)=2 を満たす必要がある。 　 p≧7 のとき、 　p(p+1)≧56, 　4p-3(p+1)=p-3≧4 より、これを満たす素数pは無い。 よって、求める自然数pは5のみ。

整数問題にどうやって対処していくかに関してのポイントがまとまってていい問題だけど解法が見えすぎるから大学入試向けではないな

本当に解き方、試行錯誤の仕方が頭良い

最初の式を見て、左辺は偶数でも3の倍数でもないから、k=2m-1ではなくて、 k=6m±1と置けばp(p+1)=m(3m±1)となってもっと簡単になる気がする…

3p(p+1)=pa(pa-1)のときに両辺をpで割っていいか不安になったけど、p=0はあり得ないから割っていいってことかな？？

そんな発想思いつかなかったです。

こんなやり方でやった人いますか? 与式を変形して 12p(p+1)=(k-1)(k+1) 左辺がmを整数としてm×(m+-2)の形になれば良い ①12p+-2=p+1の時..... ②6p+-2=2(p+1)の時.... というふうに確かめるやつです 答えは出ましたが減点されますかね🤔

12p2乗+12p2乗=(k+1)(k-1) 左辺は右辺より偶数にしかならないことから 右辺=p(12p+12)、12p(p+1)、2p(6p+6)、4p(3p+3)、6p(2p+2)の組み合わせしかありえない。 左辺のカッコないがk+1とk-1であり2差であることをかんがえると1個目、２個目、3個目、5個目は具体的に考えなくてもかける数どうしが2以上の差があるのは明白でありありえない。 4個目は4p=3p+3+2と考えればp=5、4p+2=3p+3と考えればp=1となる この中で素数は5のみであり答えは5となる。以上 あまり美しくない解き方ですがこれでも一応解けます。

ちょうど出されて困ってたのでありがとうございました。

落とし穴にたどり着けなかった男

別解作りました。良ければご覧下さい。 12p^12p+1=k^2より 12p(p+1)=(k+1)(k-1) ここで、pとp+1は互いに素であり、k+1とk-1は、共通因数を2以外に持たない。よって、左辺をap×b(p+1)(a,bは12の約数であり、ab=12となるような自然数)と置くと、(ap,b(p+1))=(k+1,k-1)または、(k-1,k+1)となり、故にap-b(p+1)の絶対値は2である。この時(a,b)=(4,3)の時、p=5であり、他の(a,b)は、pの条件から不適 ∴p=5

3p(p+1)＝m(m+1) (m＝2k+1) の形にしてから同じことしました。 m＝ap-1など代入して試しますが全部しっかりpについて因数分解出来たトントン具合に気持ちよくなりかけましたが理性を抑えて (p,k)＝(5,19)を導出しました

5:57 pは2以上 mは5以上 したがって、paは、5以上 すなわち aは3以上じゃないんですか？？

2:48のところから、総当たりで解きました。 ほとんどの場合がpが素数であるのでpは２以上という条件で消せるので、 意外とすぐに答えがわかりました（具体的には１分ほど）

整数問題の解説ってなんでこんなに見てて面白いんだろう。

すばるさんの整数問題の教え方,感動するわ笑笑

移項ミスで時間かかった･･･気を付けます･･･

ほんとに良問ですね

あぁー最後まで辿り着かんかった〜泣

あんまりいい解法思い付かないなぁと思ってたけど、解き方大体一緒だったんで安心した❗ ところで、自作問題なんですが、解き方が分からなくて困っています。 m^2+343＝2^n（m，n：自然数） もし良かったらやってみて下さい。宜しくお願いします。

連続する２つの整数の性質って、「どちらかが奇数でどちらかが偶数」のイメージ強くて、「互いに素」の発想が出来なかった。

この問題楽しい

流石、わかりやすいです

aの範囲求めるとこ、解の公式使わなくてもaでまとめちゃえばa(2a-1)-9≦0とするとaは3より小さくないとダメ、って出る気がする。

久しぶりに見返したら、一番の落とし穴のところで詰まりました。また復習します。 素数pを素因数分解すると、1とpしかないことが重要ですね。

学校の先生とかもパスラボ見てるんだ

できた！！！！

文系が見ると何語喋ってるか分からなくなる。

ユーモアのある教師だなあ 授業うけてみたいw

今日のパスチャレのグラフの考え方、東大の過去問にあったなあ

超良問だなあ

整数問題楽しいけど苦手だぁ

とけましたー

pに注目すればよかったのか… 3p(p+1)=m(m-1)で、mまたはm-1が3の倍数ってやってしまった

1番に絞るのは条件が厳しいものをまとめる！ どーゆー意味でしょうか？？？？

mod P をとったとき、左辺はあまり0 だから右辺もあまり0にならないかん そのためにはm か m-1がPの倍数じゃないといかん

これ、結果は違ったけど、 p=3の時とか因数にp^2でるけどどうするんだろ。

12p^2+12p+1=k^2 ⇔3·4p(p+1)=(k−1)(k+1) とした方が速く解けはする

パスラボといえば整数みたいなところあるんですよね。僕だけですか？笑笑

うちの学校の数学教師と違って、数学を楽しんでいる感じがあっていいな。DMを送ってきたような先生が増えればいいのに。

これって、最初にp≠kの証明しなくていいんですか？解説を聞いて意味はわかったのですが、一応すべきなのかどうかが分からないです。 (問題にはpは素数、kは自然数とあるので、p=kの場合も一応考えられます。その場合を検証すると、結局 p=k=-1又は-1/11になり、条件から不適にはなりますが。これって余り意味ないですかね。)

連続する二つの整数が互いに素になるのはどうしてですか？