n^5 - n = n*n*n*n*n - n = n(n^4 - 1) = n((n²)² - 1²) = n(n²-1)(n²+1) = n(n-1)(n+1)(n²+1) Si on regarde cette partie : n(n-1)(n+1) Alors au moins 1 des termes est divisible par 3 car c'est une suite de 3 nombres entiers, donc le tout est divisible par 3. De plus comme on a 3 termes consécutifs, il y a forcément au moins un des termes qui est divisible par 2. Résultat, n(n-1)(n+1) est divisible par 2 et par 3, donc divisible par 6. Comme un des termes de l'expression de départ est divisible par 6 alors l'expression complète l'est aussi, d'où n(n-1)(n+1)(n²+1) est divisible par 6. Or, n(n-1)(n+1)(n²+1) = n^5 - n, donc n^5 - n est divisible par 6, si n est entier.

Avec Hedacademy, on ne regrette jamais d avoir cliqué sur la vidéo. Merci bcp. 🙏💪💯

En seconde, cela trois ans que je te suis, toujours autant accroc à tes vidéos, merci. Grâce à toi je suis encore plus content le matin quand je me lève et que je me dis, j'ai maths. Très belle vidéo en tout cas...

j'ai fait prepa et ecole d'ingenieur, j'ai appris les maths en dimension infinie, et pourtant.... ce genre de probleme d'arithmetique j'ai toujours trouvé ça super dur...

Trop fort ! J'adore ! Merci pour es explications !

Merci pour vos vidéos super punchies, très intelligentes, rigoureuses et très bien présentées et j’apprécie bcp aussi le résumé final d’où vous dégagez une méthode d’approche du type de problème que vous venez de présenter Un grand merci !!! Ps , je suis médecin à la retraite je n’ai aucun intérêt pratique à faire des maths, c’est juste la beauté extraordinaire de la discipline qui me passionne… Un grand grand merci !!

Ha ouais vraiment pas mal, j'ai eu bon au début mais après j'avais perdu mon raisonnement c'était assez compliqué, mais c'est comme à chaque fois bien expliqué ! :)

super intéressant 🙂 J'avais le développement, mais là je voyais pas trop. L'indice du réordonnement m'a permis de comprendre ^__^

C'est toujours aussi génial Parfait

C’est top! Très belle pédagogie.

Faisant maths expertes j'aurais fait autrement mais je me demandais comment tu allait faire pour l'expliquer au plus de monde, et je suis pas déçu, c'est génial Félicitations

excellent! 👌🏻 merci

Très bonne vidéo !

Ça se fait en 2s avec le petit théorème de Fermat comme 5 premier, n^5 congru a n mod 5 et n congru à n mod 5 (reflexivité) par différence, le tout est congru a 0 mod 6 voilà

J'ai pas regardé la vidéo mais j'ai factorisé et j'ai trouvé n(n-1)(n+1)(n²+1) et du coup comme on a les 3 nombres n(n+1)(n-1) qui sont consécutifs, un de ceux-ci est forcément divisible par 3 et au moins un d'entre eux est divisible par 2 donc le produit est divisible par 6

merci

#SpéMaths #BackInTime Petite récurrence avant la disjonction de cas 😉 l'exo de fin est bien plus facile que celui de la vidéo 😅 Merci Hedacademy.

Énorme !

Super vidéo. Mis à part, formellement, la déf de "x est divisible par q≠0" est "il existe un entier n tel que x=nq".

monsieur vous etes incroiyable 😳

En Terminale, avec la table de congruence, c'est évident. Et on voit aussi directement que (n^4 - n^2) est aussi un multiple de 6.

Celui là il est là c'est la vie!!!! 😂😅 Tu m'as tué !!

Etape supplémentaire : montrer que c'est forcément divisible par 30 :-p Réponse (non formelle) : Un nombre à la puissance 5 ne change pas de chiffre des unités donc (n^5)-n est multiple de 10, donc multiple de 5. Et s'il est multiple de 5 et de 6, il est divisible par 30

Merci, cela me replonge dans mes années lycée.

Continue comme sa tu es le meilleur ❤🎉

You're the best

J'ai pu la faire direct mentalement celle-là. C'est le genre de démonstration que je kiffais quand j'étais à l'école . Et oui, je flex! 😁

franchement, jamais rencontré un tel problème... (faudrait aussi m'en expliquer l'utilité...???) mais la démontration est chouette... 👍

Merci pour ce petit défi. Moi je n'ai pas fait comme toi c'est ça qui est beau dans les maths. J'ai factoriser en n(n4+1) et j'ai fait les 6 cas pour n (0,1,2,3,4,5modulo6)

n⁵-n = (n⁴-1)(n) = (n²+1)(n²-1)(n) = (n²+1)(n+1)(n-1)(n) = (n-1) × (n) × (n+1) × (n²+1) cette multiplication est notamment composée de 3 entiers successifs, l’un d’entre eux est forcément multiple de 3 et au moins un des trois est pair donc le produit est divisible par 6

Svp cours sur le développement limité

4:09 Critère par 2: parmi les 3 entiers consécutifs figure au moins un nombre pair Critère par 3: (n-1)+n+(n+1)= n+n+n=3n

Hello pour la division par 3 on peut aussi utiliser la règle qui dit qu’un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Ici on constate que n+n-1+n+1=3n donc divisible par 3. CQFD

Je suis en 2ème année de prépa PSI et même si les maths que tu proposes sur ta chaîne ne sont qu’une formalité à mon niveau, c’est toujours super interessant

Avec le meme type de raisonnement, on peut demontrer que si n est impair alors n^5-n est divisible par 24. En effet dans ce cas n-1, n+1 ainsi que n^2+1 sont pair et comme parmi les 3 chiifres n, n+1 et n-1 il y en a obligatoirement un divisible par 3, alors n^5-n esr divisible par 2x2x2x3=24.

génial

Le meilleur ! L'Einstein de la pédagogie..

Le théorème de fermat suffit pour conclure très rapidement l'exercice : n^5≡n×n^2 [3] n^5≡n [3] et n^5≡n×n×n[2] n^5≡n×n≡n[2] D'où comme 2^3=1 6|n^5-n

Bravo

Bonjour, si nous acceptons que tout multiple de 5 à pour unité 0 ou 5, la démonstration ci-dessous est-elle valable ? Si un entier n quelconque : S’il se termine par 0 ou 5, n^5 - n forcément divisible par 5. S’il se termine par 1, alors n^5 se termine par 1, la différence des deux nombres a pour unité 0, donc multiple de 5. S’il se termine par 2, n^5 se termine par 2 aussi, donc la différence se termine par 0. S’il se termine par 3, n^5 se termine par 3, la différence se termine par 0. Si l’unité est 4, n^5 se termine par 4. De nouveau la différence se termine par 0. L’unité est 6, toutes ses puissances se terminèrent par 6. La différence donc encore 0. Pour 7, n^5 se termine aussi par 7. Pour 8, même chose, n^5 se termine par 8. Et cela se vérifie également pour un entier se terminant par 9. À chaque fois, l’entier n^5 et n se terminent par le même chiffre. L’étude différence se termine par 0, donc multiple de 5. Validez-vous cela ?

n^5-n = n(n+1)(n-1)(n^2+1) = n(n+1)(n-1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5(n-1)n(n+1) Le premier terme est divisible par 2,3,5 Le deuxième terme est divisible par 2,3,5 La somme l’est aussi Donc n^5-n est multiple de 30 😊

Le plus rigoureusement possible il faudrait ajouter que 2 et 3 sont premiers entre eux (ce qui est bien sûr évident). Si ce n'est pas le cas on peut avoir des contre-exemples comme 18 qui est divisible par 2 et par 6 mais n'est pas divisible par 12.

n^5 - n = n(n^4-1)= n(n^2-1)(n^2 +1) = (n-1)n(n+1)(n^2 +1) trois entiers consécutifs donc multiple de 2 et 3 , ensuite c'est aussi multiple de 5// en effet modulo 5 tu as n^2 +1 = n^2 -4 donc tu factorises à nouveau

La partie divisible par 2 est triviale, pour la partie divisible par 3 on peut aussi le résoudre par récurrence, Le développement de (n+1)^5 -(n+1) est un peu long mais ça marche très bien

Super vidéo, bravo 👏 tu es le goat comme on dit. En revanche on fait comment pour démontrer que n^5-n est divisible par 10 ??? Quelqu'un sait ?? C'était l'exercice qui avait dans son Manuel ! (Je suis en seconde)

Montrons d'abord que (n-1)n(n+1) est divisible par 3. Si je pose n = m-1 alors (n-1)n(n+1) = m(m+1)(m+2) = m! / (m-3)! =A(m,m-3) qui est divisible par 3 selon le théorème de Schmoluzi-Tranchant. De la même façon on montre que n(n+1) est divisible par 2, donc (n-1)n(n+1) est divisible par 2x3 qui se trouve être égal à 6. Or (n-1)n(n+1) = n(n²-1) qui multiplié pas (n²+1) donne n^5-n, et le théorème est démontré.

Pour aller un poil plus loin: Montrez que n^5-n est divisible par 240 lorsque n est impair. Exemple: 23^5 - 23 = 6436320 qui est divisible par 240 ( = 240 * 26818)

Pour les maths experts, il y avait aussi la possibilité d'utiliser les congruences, et en le faisant on pouvait même prouver que n^5-n est divisible par 30 !

C'est quand même plus rapide avec l'arithmétique modulaire et c'est vrai pour tous les exposants impairs, par exemple n^1789 - n^1515

n⁵-n est pair en tant que difference de nombres de meme parité. Ensuite en discutant selon la congruence de n mod 3 on obtient soit que n⁵-n congrue a 0 mod 3, soit qu'il congrue a 30 mod 3 donc 0 aussi, et on conclue avec n⁵-n divisible par 3 et pair.

Une démonstration par un tableau de congruence n'est-elle pas plus rapide ?

A 0:48, une note ajoutée indique que ça n'est valable que pour les entiers positifs. A quel endroit dans la démonstration est-on contraint d'avoir un nombre entier positif ? La factorisation se fait pour tout réel. La divisibilité se fait pour tout entier relatif (par disjonction de cas). Je n'ai par ailleurs trouvé aucun contre-exemple d'entier relatif pour lequel ça ne fonctionnait pas. Prenons n = -1 : n^5 = -1, donc n^5 - n = 0. Pour n = -2, n^5 - n = -32 + 2 = 6 * 5. On peut démontrer que si, pour tout n entier positif, n^5 - n est divisible par 6, alors c'est vrai aussi pour tout entier k entier relatif. Soit k strictement négatif. Posons n = -k. On a alors n > 0. k^5 - k = (-n)^5 - (-n) k^5 - k = (-1)^5 n^5 - (-n) k^5 - k = -1 (n^5 - n) Comme n est un entier strictement positif, n^5 - n est divisible par 6, donc -(n^5 - n) est également divisible par 6. Donc la propriété est vraie pour tout k entier relatif.

merci 🙂👍.(dailleurs ce resonement marche pour tout les entier. Et non pas seulement pour les entiers positif. je ne sais pas pourquoi en début de vidéo vous préciser que c'est seulement pour les entiers positif)

Je laisse le soin au plus fort de demontrer ou d infirmer la proposition suivante : si n est impair, alors n^5-n est divisible par 48. Pour ma part, je pense que oui.

Dans F_p n^p=n Donc pour F_2 on a : n^5 = (n^2)*(n^2)*n= n*n*n = n^2*n = n*n = n Donc n^5- n = 0 donc n^5-n est divisible par 2 Pour F_3 on a : n^5 = n^3*n^2 = n*(n^2) = n^3 = n Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 3 C'est donc divisible par 6 Bonus : Dans F_5 on a n^5 = n Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 5 Donc n^5-n est divisible par 30.

C'est aussi "simple" de considérer que tout entier non négatif peut s'écrire comme 6m+r avec r dans {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Et alors, n^5 - n == (6m+5)^5 - (6m+r) == r^5 - r [modulo 6]. Plus de m. Et par inspection des 6 valeurs possibles de r, car r n'a que 6 valeurs possibles, cette expression donne 0 on a la preuve que l'expression initiale est divisible par 6 pour tout n.

Oui tres bien

Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on démontre rapidement que n^5-n est divisible par 30 (pas seulement par 6). Pour ça va simplement utiliser les congruences. Soit n est pair, et alors n^5 aussi, soit n est impair, donc congru à 1 modulo 2, et n^5 est alors congru à 1 aussi. Donc la congruence de n et n^5 modulo 2 est la même. n peut être congru à 0, 1 ou -1 modulo 3, et on voit alors que n^5 est alors congru respectivement à 0, 1 ou -1, donc là encore n et n^5 ont la même congruence modulo 3. n peut être congru à 0, 1, 2, -1 ou -2 modulo 5, et on voit alors que n^5 est alors respectivement congru à 0, 1, 32 (c'est-à-dire 2), -1 et -32 (c'est-à-dire -2) donc là encore même conclusion. On déduit de ceci que 2, 3 et 5 divisent tous n^5-n et donc leur produit. Voilà on a fini et on peut regarder le monsieur galérer.

C(n,m)=n!/m!(n-m)! est un nombre entier (combinaison ,n>=m) , (n-1)n(n+1)=C(n+1,3) x 3! =>(n-1)n(n+1) est divisible par 6

petite question on ne peut pas résoudre cela avec de la congruence ? c’est pas beaucoup plus rapide ?

Cela fonctionne avec 3. 3 puissance 5 = 243 - 3= 240 / 6 = 40

En fait, il est facile de montrer que n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).Ainsi, en tenant le même raisonnement, n^5-n est divisible par 2, 3, 5, 10 et 30. De plus, si n est impair, n^5-n est aussi divisible par 4, 8, 120 et 240 (à partir d'un certain rang). Enfin , le petit théorème de Fermat permet de démontrer que n^5-n est divisible par 5 en 3 lignes : n^5-n = n(n^4-1) donc soit n est divisible par 5, soit (Fermat ) n^4 est congru à 1 modulo 5, c'est à dire n^4-1=5k. CQFD.

j'étais arrivé jusqu'à : n (n-1) (n+1) (n2+1) et je me suis retrouvé bloqué. Mais dès que le prof a dit que : divisible par 6 = divisible par 2 et 3, j'ai compris !

n^5-n =n(n^4-1) =n(n^2-1)(n^2+1) =n(n-1)(n+1)(n^2+1) n(n+1) est divisible par 2 Alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2 De plus (n-1)n(n+1) est divisible par 3 et 2 et 3 sont premiers alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2×3=6 D'ou le resultat

Le lemme chinois sur Z/6 tivialise la question (sachant que factoriser un polynôme est une tâche complexe).

En Terminale, avec la table de congruence, ça tient sur quelques lignes... Une évidence élémentaire en Terminale.

n=0 ou 1 mod 2 On vérifie pour les deux que ça fait bien 0 n=0 ; 1 ou 2 mod 3 On revérifie pour les 3 Ex : 2^5=32=-1=2 mod 3 2-2=0 => n^5-n=0 mod 6 n^5-n divisible par 6

Même n^3-n est divisible par 6. n^3-n=(n+1)n(n-1) est le produit de trois nombres successifs, donc nécessairement divisible par 2 et 3, donc divisible par 6.

le produit de 3 facteurs consécutifs est à la fois pair et multiple de 3 car au moins l'un des facteurs est pair et l'un des facteurs est multiple de 3 or 2 et 3 sont premiers entre eux donc ce produit est multiple de 6

Cool

Cela peut aussi se faire par récurrence.

On peut aussi utiliser un tableau de congruence

Sinon on peut utiliser les congruence modulo 6.C'est 6 cas pour la valeur de n mod 6

n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1) = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) On sait que n(n + 1) est pair (du coup n^5 - n est pair, divisible par 2) On sait aussi que (n - 1)n(n + 1) est divisible par 3 Donc, n^5 - n est divisible par 2 et 3, c'est-à-dire qu'il divisible par 6

Merci. >

tableau de congruence ..? simple suggestion, il me semble que ça marche

De mémoire, j'ai du faire ça en quatrième ou troisième non ? (ça fait longtemps)

Pas l'impression que c'était beaucoup plus facile que d'habitude, mais j'ai pourtant réussi à le faire ! Trop content !

Bon j'ai fait un tableau de congruences ta méthode est plus smart, bien joué.

Je defini n = a*6 + b, avec a€N et b€[0,5] En posant, on trouve que n^5-n est congru a b^5-b, b ne pouvant prendre que 6 valeurs differentes, on montre que pour ces 6 valeurs, b^5-b est divisible par 6 en faisant le calcul explicite. Et c’est finie Bon ok c’est la méthode bourrin je réfléchi pas

Si un nombre est divisible par 6 c’est qu’il est divisible par 2 et par 3. n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1) Ici on voit que n^5 - n est divisible par n-1, n et n+1. On est face a 3 chiffres consécutifs. Vue qu’ils sont consécutif, l’un d’entre eux doit être paire (divisible par deux) et l’un doit être divisible par 3. Tout le nombre est donc divisible par 2 et 3 donc divisible par 6. Aussi je voit pas pourquoi sa ne marcherai par pour les chiffre négatifs?

TOP. Si je peux me permettre, il ne te reste plus qu'à renoncer aux périphrases qui contribuent à retarder l'acquisition du vocabulaire. Qui est un des points les plus importants pour progresser. "avoir du 2 !" = "avoir du 2 en toi... brrrr" = " être dans la table de 2" =.... = "ÊTRE UN MULTIPLE de 2". Autant d'occasions loupées pour permettre à l'élève d'acquérir la notion de multiples de 2, pour donner de L'ÉPAISSEUR à cette notion dans L'ESPRIT de l'élève. C'est cette épaisseur qui va développer chez lui le sens de l'intuition. Quand il entend l'expression "multiple de 2", le cerveau va inconsciemment ressortir plein de cas où il a entendu ce mot ( c'est une hypothèse😉), ça ne le fera pas si à la place il a entendu une périphrase, qui, en plus, varie souvent. 😘😘😘😘😘

Fait un tableau de congruence !!!

"0 est divisible par n'importe quel nombre" (phrase entendue au début de la vidéo). Il manque la fin de la phrase... "sauf 0". Car sinon la phrase est fausse dans un cas général puisqu'on ne peut pas diviser 0 par 0. Attention à être bien rigoureux dans les phrases qu'on dit à haute voix... Ha ha ha. J'adore quand un plan se déroule sans accroc. ^^

l'échauffement, c'est facile!! j'avais bon moi :) !!

Là où ça pique un peu plus, c'est pour démontrer que n^5-n est un multiple de 5

Je pense que cette méthode est compliquée. Je pense qu'il y a une solution meilleure, si on considère la suite Un= n5-n et U0 et U1 respecte la règle il faut montrer que si Un= 6×m il faut juste démontrer que Un+1 est multiple de 6

La derniàre partie de la démonstration est un peu floue. un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres est divisible par 3, on (n-1)n(n+1), n-1+n+n+1=3n doncdivisible par trois. l'un des nombre s conséctifs étant pair , le nmbre est donc divisible par 6;

Il est dommage que, formellement, on ne puisse pas écrire (n-1)*n*(n+1)=6x, avec je-ne-sais quoi à la place du x... ;-)

En terminale, les éléves devraient avoir entendu parler des congruences.

Il est aussi toujours divisible par 5 mais c'est moins évident

Bonjour, Et maintenant, montrons que n^5-n est divisible par 30. Je vous aide, on a déjà n^5-n divisible par 6, il suffit de montrer que n^5-n est divisible par 5. A bientôt

La société devrait donner bcp plus d'importance à des gens comme ce prof qu'aux télé réalités

1:17 "Obligatoirement"

On peut utiliser le corollaire de fermat !

On peut aussi sommer n-1, n et n+1, ça fait 3n, donc le nombre n-1)n(n+1) est divisible par 3. Cqfd

n(n+1) est pair car (n(n+1))/2 est un entier. C'est la somme des n premiers nombres entiers.

et prouver aussi que s'est divisible par 5 (le theoreme petit de Fermat)

Quel dommage de ne pas avoir démontré rigoureusement jusqu'au bout...

Merçi pour ce travail , mais vous pouver montrer par recurrence que :n(n+1)(n+2) est divisible par 3 , la démonstration est trés simple.