Et ça forme un hexagone parfait dans le plan complexe !

2 et -2 ok, je les ai trouvé. Les 4 autres solutions, malgré une boite de Doliprane et 28 cafés, j'ai rien compris, tu m'as perdus 😁. Continuez les gars, je progresse quand même après chaque visionnage d'une de vos vidéo. Meilleurs voeux à tous les deux et à vos familles ! 🍾

Excellente vidéo comme toujours. Perso je ne connaissais pas l'identité remarquable, donc j'ai trouvé les racines évidentes des 2 polynômes 2 et -2 et après j'ai utilisé la factorisation des polynômes pour revenir à l'identité remarquable (je vais essayer de la retenir car elle fait gagner du temps). Continu comme ça ton travail est top.

Vous êtes trop forts. Vous me sauvez la vie 👍👍👍

En toute honnêteté, je ne connaissais pas cette identité remarquable. Superbe exercice !

Une beauté !!... Qui ne plaira sûrement qu'aux matheux, mais qu'importe 😅 la propriété en milieu de vidéo semble être un inédit pour moi. Du coup la tâche était ardue, mais je tenais une piste intéressante. Enfin comme je le disais plus tôt, avec vous l'année commence fort 😊

Beau développement. J'ai beaucoup appris. Merci.

Avec les racines de l'unité, l'exercice aurait été plié, mais il faut se souvenir alors des cosinus et sinus en multiple de π/3 donc votre méthode est bonne.😀

Ce serait chouette de tracer les 6 solutions sur le cercle trigonométrique et voir qu'il s'agit de 6 points "symétriques" à 60 degrés les uns des autres

Excellente vidéo comme d'habitude ! Continuez ainsi, le million d'abonnés sera votre plus belle récompense ! J'aime cette approche simple mais efficace, pour toujours se rappeler que dans le corps C, les polynômes sont TOUJOURS scindés en éléments irréductibles de la forme (X - a)^k, où a est une racine du polynôme et k = m(a), sa multiplicité.🎉

vous êtes vraiment top comme prof merci pour tout

J'avais déjà vu cette équation sur KZfaq, j'avais bien aimé m'entrainer sur des équations de ce type là, mais j'avais utilisé une autre méthode avec la forme polaire. Sinon super vidéo comme toujours !

Super !!! Je découvre les complexes

Super ! Hâte que le niveau monte encore 😁

Hédacademy j'aimerais que tu nous fais une vidéo sur la démonstration des formules: Cos(a+b) jusqu'au sin(a-b)

Salam merci pour les info

Impossible à trouver tout seul MAIS j'ai tout compris. 👍

Bonjour, j'ai déjà posté un commentaire similaire sous une autre vidéo, mais je pense que pour ce genre de calcul, il serait peut être bien de voir les formes exponentielles des nombres complexes. De cette façon ces calculs deviennent a la fois plus simple et beaucoup plus rapide. Si on prend X^6 = 64, on a egalement les 6 formes equivalentes : 64 e^(i0pi)/e^(i2pi)/e^(i4pi)/e^(i6pi)/e^(-i2pi)/e^(-i4pi) et on peut calculer facilement les 6 résultats. ça permettrait également de refaire un petit rappel sur la trigonométrie, avec notamment le cercle trigonométrique, pour les repassé sous forme algébrique Merci pour tes vidéos! :)

Super sympa !

Trouver que 2 et -2 sont des solutions n'est pas du temps perdu, cela signifie que les polynomes de degré 3 sont factorisable par (x-2) et (x+2) respectivement, et on a que des équations du 2e degre pour trouver les racines manquantes

Bon, je serais également passé par les racines nièmes de l'unité, pour faire un petit 'x6 = 64" => posons y = x/2 => y6 = 1 => y appartient à U6 = {e(0),(exp(ipi/3),exp(2ipi/3),exp(ipi) = -1, exp(4ipi/3), exp(4ipi/3), exp(5ipi/3)} => Nos solutions sont donc x appartient à {2,...) (flemme de réécrire). Mais on peut également se battre pour obtenir la même réponse, sans passer par l'écriture polaire des nombres ;)

SUPER:)

On peut aussi utiliser les racines n-ème d'un complexe ?

Si les élèves ont appris les nombres complexes, alors ils devraient savoir résoudre à partir de (2^6)×e^(i×2kpi). Ceci dit, je trouve l’exemple génial.

Ah, bah moi j'ai vu que 2 était une solution évidente, donc j'ai factorisé par (x - 2) dès le début, ça a fait apparaitre des x5, x4, etc., et j'ai été bloqué direct 😅

x = 2*exp(2*i*k*Pi/6) où k varie de 0 à 5.

Très bien

Je me suis arrêté a 2 et -2. Les nombres complexes c'est trop ancien 😂😂

En divisant par 64 on aboutit à l'équation (x/2)^6 =1 on trouve alors rapidement les solutions en traçant l'hexagone régulier sur le cercle trigonométrique. D'où x/2 = e^(i k pi/3) avec k entier variant entre 0 et 5

Je l'ai fait une première fois. Je suis allé directement à la fin de la vidéo : je me suis complètement planté. Je l'ai donc refait avec une nouvelle méthode. 1) J'ai posé a=x³ et 64=8² a² - 8² = (a+8)(a-8) alors 1) a=8, et si x³=8, alors x=2 2) a=-8 et si x³=-8, alors x=-2 A partir de là mon équation à 6 inconnues (dont 2 viennent d'être trouvées) peut donc s'écrire (x-2)(x+2)(....) Or (x-2)(x+2)=(x²-4) Donc je peux écrire mon équation x⁶-64 = (x²-4)(x⁴+4x²+16) Reste donc à trouver les 4 inconnues de x⁴+4x²+16=0 qui fleure bon l'identité remarquable. Manque de pot ce n'en est pas une, mais on n'est vraiment pas loin de (x²+ 4)² Car si on développe (x²+4)² on trouve en effet x⁴+8x²+16. Or Il suffit de retrancher -4x² pour retrouver notre équation x⁴+4x²+16. On la tient notre identité remarquable, de la forme a²-b² ! On peut donc écrire x⁴+4x²+16 = (x²+4)² - (2x)² x⁴+4x²+16 =(x²+4+2x)(x²+4-2x) Soit x⁴+4x²+16 = (x²+2x+4)(x²-2x+4)=0 Ne reste plus qu'à retrouver les deux valeurs de x pour chacune des deux équations mises en facteurs. Mais ce n'est alors pas très ... complexe 😉

Si je vous avais eu en prof de math, mon parcours scolaire aurait été surement différent 😵‍💫 Excellent !!!

Il y’a une méthode beaucoup plus rapide : Remarquer que 64 = 2^6, donc on vérifie facilement que l’équation est équivalente à : « (x/2)^6=1 ». Et il suffit de regarder l’ensemble des racines 6-ième de l’unité, à savoir {e^(2ikpi/6)| Lorsque k parcours les entiers de 0 à 5}

Comme x⁶ - 64 = 0 => x⁶ - 2⁶ = 0 on peut aussi appliquer l'identité remarquable: (a⁶ - b⁶) = (a + b)·(a - b)·(a² + ab + b²)·(a² - ab + b²). 🙂

Monsieur identité remarquable est toujours aussi remarquable 😅❤

comme 64 = 64*exp(2iπ) et que 2 est la racine 6ème de 64, on peut aussi dire que les solutions sont de la forme x = 2*exp(2kiπ/6) avec k entier entre 1 et 6. les solutions dans C sont donc x1 = 2*exp(2iπ/6) = 2*exp(iπ/3) x2 = 2*exp(4iπ/6) = 2*exp(2iπ/3) x3 = 2*exp(6iπ/6) = 2*exp(iπ) x4 = 2*exp(8iπ/6) = 2*exp(4iπ/3) x5 = 2*exp(10iπ/6) = 2*exp(5iπ/3) x6 = 2*exp(12iπ/6) = 2*exp(2iπ)

Commentaire de référencement

Quand on est informaticien on a sait immédiatement que 2 est une solution 😄. Dans l'anecdote, les puissances de deux qu'on connaît très rapidement par coeur il y a : - 6 => 64 (ça commence par 6) - 8 => 256 (c'est l'octet, faut vriament le savoir celui-ci) - 10 => 1024 (ça commence par 10) Avec ça comme repères on arrive à sortir facilement les 11 ou 12 premiers exposants de 2.

Belle belle !

comme t'as compliqué! au début: x^6=2^6, donc x=2 ou -2 puis plus loin x^2 +2x+4=0 donc x^2+2x+1=-3 donc (x+1)^2=-3, donc ... mêmes solutions mais plus rapidement

Bravo pour la pédagogie en utilisant une méthode et un exercice abordable pour une notion qui ne l'est pas. Par contre, je trouve dommage, pédagogiquement parlant, que vous n'ayez pas été plus loin. Une fois déterminé les racines algebriquement, vous auriez pu les reporter dans le plan Complexe, montrant ainsi les relations géométriques des racines, ce qui expliquait qu'il n'existe que six racines distinctes, puis retrouver la forme trigonométrique, simple , des racines complexes avec son module et les arguments et terminer par le passage à la forme exponentielle qui permet de conjecturer le théorème des racines n-iéme des complexes.😉 En tout cas, continuez avec cette pédagogie qui met les subtilités des maths à la portée du plus grands nombres 👍

C'est simple. Ce polynôme n'admet que 2 racines dans IR mais 6 dans C vu que C est algébriquement clos, les solutions de cette équation sont donc 2, 1+i√3, -1+i√3, -2 -1-i√3, 1-i√3.

Hello, j'adore vos vidéos et votre cheminement intellectuel. 😊. Mais dans la vie de tout le jours, cela apporte quoi ? 😅. A quoi servent dans la vie, les racines carrés ou identité remarquable ? Continuez malgré tout, j'adore

tu factorises : x^6 - 2^6 = (x^3 + 2^3)(x^3 - 2^3)= (x+2)(x²-2x+2²)(x-2)(x²+2x+2²)=(x+2)(x-2)[(x-1)²+1][(x+1)²+3] = 0 d'où les 6 racines (2 réelles et 4 complexes conjuguées par paire) : x = 2, x = - 2, x = 1 + i, x = 1 - i, x = 1 + irac(3) et x = 1 - irac(3)

C'est drôle de voir comme ça devient compliqué dans les complexes. Je regarde aussi des vidéos de math en anglais (américain) et j'ai remarqué qu'ils ne passent pas par Delta pour les polynôme de second degré mais écrivent x = (-b ± √(b²-4ac))/2a ce qui donnerait x = {±2; ±1 ± i√3}

Vive les maths !!!!!!!!!!!!!!!!!!(!!!!!!!!!!!!!!

Je ne dirai qu'un mot : waouh !

Hello, j'ai essayé en factorisant après les 2 solutions réelles faciles : (x+2)*(x-2)*(x^4+4x²+16) et en posant X=x². Mais j'obtiens sqrt(-2 +/- 2i * sqrt(3)) et j'ai vérifié via calculatrice, c'est équivalent à 1 +/- i * sqrt(3) mais je ne comprends pas comment on pourrait passer de sqrt(-2 +/- 2i * sqrt(3)) à 1 +/- i * sqrt(3) ? Merci pour toutes ces chouettes vidéos, vive les maths :)

Dans quel ensemble ? R ? C ? Un autre ?

on pouvait utiliser la forme exponentiels et en 2 min les 6 solutions

Elle est costaud celle-là ! Mais explication très pédagogique comme d’habitude. C’est très clair au final. Ça paraît même facile quand on a la réponse… 😅

Je comprends pas, comme x^3-2^3 possède une soustraction au lieu d’une addition il ne faudrait pas inverser les signes? Je parle de (x-2)(x+2x+4) sa serait pas -4 au lieu de +4.

Ha ! Je vois que j'ai eu la même idée que Vercingétorix 😂😂

Franchement j'ai rien compris. 😢 Il faudrait une playlist avec toutes les vidéos nécessaires pour comprendre les complexes (il y en a une mais elle date de 6 ans 😅). J'espère que je comprendrais la prochaine ! Merci à toi !

Mais les solutions de cette équation... 2; 1+√3; -1+√3; -2, -1-√3; -1+√3.... C'est sur un cercle de rayon 2 ! cos(0) = 1, cos(π/3)=1/2, sin(π/3)= √(3)/2 etc. En fait, les solution de cette équation sont les 2.(cos(α)+i.sin(α)), avec α=n.π/3 Et ça marche avec x^8-2^8=0 Les solutions sont 2.(cos(α)+i.sin(α)) avec α=n.π/4 (Je découvre cette propriété que je conjecture être que x^n-2^n = 0 à pour solution 2.(cos(α)+i.sin(α)) avec α=2π/n )

X⁶ = 2⁶ De tête, je dirais e^(iπk/3) avec k dans {0,1,2,3,4,5} soit en coordonnées cartésiennes : 2, 1/2+i√3/2, 1/2-i√3/2, -2, -1/2-i√3/2, -1/2+i√3/2 Edit : oups, je suis parti sur les racines de 1 ±2 (2 solutions réelles) et ±1±i√3 (4 solutions complexes)

Je suis en classe de 1er je me contentais de trouver deux solutions dans R

Ça revient à chercher les racines complexes de l'unité après avoir remarqué que 2^6 =64 et fait le changement de variable u=(x/2) 🎉

Il y a bien d'arutres solutions : x= Racine car.rée de 4 , ou racine cubique de 8.............

0:25 une equation de degre 6 n'a pas toujours 6 solutions distinctes. x6=0 par exemple n'a qu'une solution unique.

Sympa et intéressant, mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? J ai trouvé que x=2 en 5 secondes de tête, mais décidément, les maths et moi, c est une histoire d allergie ;)😂

Tiens, je me demande si une écriture des 4 solutions complexe sous la forme unique « ±1 ± i√ 3 » pourrait être acceptée ? 🤔

Est-ce qu'on est d'accord que les racines des polynômes qui impliquent un nombre complexes sont conjuguées que si les coefficients sont réels ?

Savez vous ce qu'est le discriminant réduit lorseque b est pair?

Acub moins b cub et à cub plus b cub

X6 et 2 puiss 3

7:51 : quand tu es en galère factorises ;) . Pour comprendre : c'est pas plus simple de parler de factoriser par le terme en commun ? Au temps pour moi : il parle après de la factorisation.

Il manque pas aussi la racine de 4, et moins racine de 4 comme solutions ?

Mon probléme est relation trigonometrique dans un triangle

Bonjour, ca marche pas avec 2i et -2i?

X^2-8^2 =(X+8)×(x-8)

Cette vidéo me rappelle la mienne 🤔

x^6 - 64 = (x^3 + 8)(x^3 - 8) = 0 (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x -2)(x^2 + 2x + 4) = 0 x = +/- 2, 1 +/- i✓3, -1 +/- i✓3

J'ai tracé la courbe. On voit deux points d'intersection seulement. ????????????????

Moi je me suis arrêté à x = 2 ou -2

"non non non je les veux toutes"

a^n-b^n=…

Beaucoup trop compliqué comme méthode, j'imagine que ce serait pour des élèves qui ne maitrisent pas la notation exponentielle des complexes...

P(z)= z^6 -64 est un polynôme à coefficients réels, donc si z est racine complexe de P, sa conjuguée z* est aussi une racine de P. P(z)=0 z^6=64*e^2iπ les solutions sont [racine 6ièmes de 64]*e^(2ikπ/6) pour k variant de 0 à 5 du fait de la remarque initiale il suffit d'en trouver 3 et de les conjuguer pour trouver toutes les racines. soit pour k=0 z0=2 pour k=1 z1 = 2*[cos(π/3) + i sin( π/3)] = 2*[0.5 + i*√3/2]= 1 + i*√3 et sa conjuguée z1*=1-i*√3 pour k=2 z2 = 2*[cos(2*π/3) + i sin(2*π/3)]=-1+i*√3 et z2*= -1-i√3 pour k=3 z3=-2 d'où S= {-2 ; 1 + i*√3 ; 1-i*√3 ; -1+i*√3 ; -1-i√3 ; 2 }

Les 2 solutions réelles ça prend genre 2 secondes pour les trouver quand on connait les puissances de 2 ^^ 2^6 = 64, merci, au revoir. 🤣 Wow, ça fait beaucoup de 2 d'un coup 🤔

J'ai trouvé immediatement de tête..c'est normal??jsuis pourtant plûtôt mauvais en math..enfin,pas plus que 99%des gens quoi..

Trop gros pour moi

Il y avait plus rapide: résoudre z³=c dans les complexes se fait très vite avec l'écriture sous forme |z| e( i @)

J’imagine, et je sais que c’est beaucoup plus dure, mais quand j’ai vu la miniature j’ai pensé directement à 2 puissance 6, mais j’imagine qu’il faut justifier. 🥲