【高校数学(発展)】合同式①(modとは何か)【整数】

No video

【高校数学(発展)】合同式①(modとは何か)【整数】

Рет қаралды 539,056

Күн бұрын

整数問題を解く上で非常に強力な武器となる「合同式」を全２講で詳しく解説します。
動画の内容に関する質問はコメント欄へどうぞ。また、今までの質問についての回答をまとめたQ&Aは固定コメントにあります
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
整数問題に強くなるためにおススメの参考書はこちら↓
「マスター・オブ・整数--大学への数学」
amzn.to/2CMAuHM
→ここまで(有用で)マニアックな本、他にあるかな？
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」のチャンネルでは
①大学講座：大学レベルの理系科目
② 高校講座：受験レベルの理系科目
の授業動画をアップしており、他にも理系の高校生・大学生に向けた情報提供を行っています
【お仕事のご依頼】はHPのContactからお願いします
【コラボのご依頼】はHPのContactからお願いします
【講義リクエスト】は任意の動画のコメント欄にて
【チャンネル登録】はこちらから(今後も楽しく授業を受けよう！) / @yobinori
【公式HP】はこちらから(探している講義が見つけやすい！) yobinori.jp/
【Twitter】はこちらから(精力的に活動中！！) / yobinori
【Instagram】はこちらから(たくみの日常が見れます(?)) / yobinori
【note】はこちらから(まじめな記事を書いてます)
たくみ(講師)→note.mu/yobinori
やす(編集)→note.mu/yasu_y...
〔今日の一言〕
マンゴーラッシーってどうやったら家で作れるの
※上記リンクURLはAmazonアソシエイトのリンクを使用しています

Пікірлер: 780

@yobinori 5 жыл бұрын

【補足】負の剰余の導入で話しているように、性質の証明で現れるr+r', r-r', rr'などの"余り"は広い意味での"余り"であり、割る数よりも大きくなったり負の数になることがあります。

@ugoku 4 жыл бұрын

宮田結舞さん modulo：法 modulus：1 率、2 絶対値 modulus of a congruence：合同式の法 McGraw-Hill DICTIONARY OF MATHEMATICS (日本語版は数学用語辞典／日刊工業新聞社) からの抜粋っす。

@user-sh6wb6qd8w 3 жыл бұрын

休校で習ってなかったからありがたいです（見に来るの遅いけど）

@msnkw528 5 жыл бұрын

このチャンネルって黒板書くときに早送りしてくれるのすっごくありがたい

@yobinori 5 жыл бұрын

やす君に感謝

@komekome.j.h 5 жыл бұрын

高校でmodを知った時、感動した。無限個の整数が、有限の集合に分類出来きて、割り算以外の演算が普通に出来るのが凄い

@komekome.j.h 5 жыл бұрын

受験での1番のメリットって、解答が短くなるのでかいよね

@komekome.j.h 5 жыл бұрын

負の剰余を導入すると、x剰やらする時に、絶対値を小さくできて、楽に出来ていいですよね

@supoot.r.445 5 жыл бұрын

学校で習わなかったけど整数問題の別解ですげぇ早く終わる道具なんだなぁと憧れてたmodの世界を解説してくれて感謝の言葉しか浮かばないよ…！

@user-wz3rg3xj5k 5 жыл бұрын

先生が合同式の説明をこの動画に全振りしてた。わかりやすかった

@GoldenPoker4869 5 жыл бұрын

1年を7を法とした剰余類で考えたのが曜日だゾ〜

@user-rd3vj6bn6v 4 жыл бұрын

100いいねゲット

@user-vq6lt3hw4g 4 жыл бұрын

184いいねゲット

@user-yb1jb5zq7h 4 жыл бұрын

189いいねゲット（しょうもない）

@nono0999 3 жыл бұрын

249いいねゲット

@user-oz6cj3uu4z 3 жыл бұрын

ちょっと何言ってるかわからない

@user-cp9ov7np8w 5 жыл бұрын

modってフェルマーの小定理とか平方剰余の相互法則とか剰余郡とか代数学ではめちゃくちゃ有用な考えだから好き

@er-sj6ft 2 жыл бұрын

今年高1でいきなりmodが出てきてこんがらがってたけど一発で解決できました！！2年前の先生に感謝です♥来年再来年もこの動画が生きるはず！！

@mitakanobenkyooooo 3 жыл бұрын

高校生の時、全くわからなかったけど、めっちゃ分かりました🙄 生徒側としても教える側としてもとても参考になります！

@hikaru6329 5 жыл бұрын

たくみ≡C60≡0(modular アンパンマン)

@ddx64 5 жыл бұрын

Hikaru アンパンマンで割り切れてて草

@9cmParabellum 5 жыл бұрын

たくみとフラーレンが合同で草

@user-jq4lu5dx9s 5 жыл бұрын

例えが逸材

@user-wp3or1xq5h 5 жыл бұрын

C₆₀ですか

@sion3697 5 жыл бұрын

これは≡じゃなくて＝でいいのでは…？？

@map1e93 4 жыл бұрын

こういう発展事項で、入試によく出る所の授業動画もっと出してほしいです！うちの高校はこういう発展的な内容全部飛ばして授業するので…お時間あればお願いします🤲

@user-uv1lj8bn9f 5 жыл бұрын

某東大医学部生のセンター1Aタイムアタック動画みてmod気になってたからありがたい。

@user-yr4bu3rs7m 5 жыл бұрын

ちかっち推しあれは速すぎた

@sodepyoe 5 жыл бұрын

あれは… 処理速度がダンチなんやなってワイは時間足りなくて悲しかった（小並感）

@EMMA-eq4iu 3 жыл бұрын

いや、あれはmodの眼鏡つけてるから速いんだよ

@user-iq3ps7bh1q 5 жыл бұрын

0:53 書く音が気持ちいい

@ff-el3lq 5 жыл бұрын

名簿順37番だったから、modでクラス内の班分けするときいつも1班だったわ

@user-gz2qi7xf7t 4 жыл бұрын

Mod6は？

@user-kb4hc5po3r 4 жыл бұрын

MR.K 123 37＝6×6＋1

@aakuseku 4 жыл бұрын

36の約数が多いからか

@marketsuper7334 4 жыл бұрын

知的なコメ

@yello.w816 4 жыл бұрын

おおお意味わかってめっちゃスッキリした！

@user-cl8po5wc2r 5 жыл бұрын

サマーウォーズの主人公が得意なやつやな💛

@ab-mw3lg 3 жыл бұрын

なるほどだな。

@mm-ri1vs 5 жыл бұрын

4:45 薬やってる

@yobinori 5 жыл бұрын

おいこら

@user-lg4yo5tj4l 5 жыл бұрын

@@yobinori かわいい

@Mr-oe6hd 4 жыл бұрын

吹いたw

@user-wp7li4mo1l 5 жыл бұрын

学校の授業では分かんなかったけど、この動画でめっちゃ頭に定着しました感謝してます

@user-qx1dr4im8f 5 жыл бұрын

これを授業でやってくれた数学の先生は相当センスが良かったんだなぁ(詠嘆)

@user-tz5py8bd5y 4 жыл бұрын

数学の先生がこれ見とけと言って、授業放棄してます笑

@user-nx3lr6wv4y 3 жыл бұрын

賢明な判断ですわ（）

@Julian-Nakaura 3 жыл бұрын

給料泥棒でくさ

@user-sv5cf7kk7x 3 жыл бұрын

下手な授業されるよりはマシだな。

@user-vw7zq2dr1z 3 жыл бұрын

ヨビノリの声は２倍速でも全然聞きとれるから好き

@piro-nin 5 жыл бұрын

合同式に初めて出会った小学4年生の時、その世界の不思議さに魅せられましたが、僕はついていけませんでした。今ではこんなに立派に成長しました。

@user-og7yh9fo2y 4 жыл бұрын

これ先生が適当に説明しやがって、全く本質を話してくれなかったからマジありがたすぎる！！！

@user-gu8ub8tt8z 5 жыл бұрын

楕円曲線暗号という暗号を習ったときmod使いました。その時、性質などの証明はすっ飛ばしたので助かります。

@user-cl3xw8uu2o 5 жыл бұрын

たくみさん炭素の同素体のマネうまいですね

@tatsumi3261 5 жыл бұрын

時計の世界では1時と13時が同じ時間であるように、例えば3を法とした世界では1と4は同じ。時計の世界は12を法とした世界と言えるってことだね。動画で同じように見えるって言ってるのは時計の1時と13時が同じと考えれば自明だね。

@jalmar40298 5 жыл бұрын

そっちの説明のほうが分かりやすいね、数学ガールでもそんな感じの説明だった

@ordinary_overlaps5585 5 жыл бұрын

wikipediaであったー

@himajinnoyu 5 жыл бұрын

25時とか26時とか言っちゃうと、キモヲタと思われるんだよな確かに24を法として1時・2時と合同ではあるんだけど、一般的じゃないしアニヲタ界でしか通じない用語

@user-zz4op5cr6j 5 жыл бұрын

luzs え、賢ない？笑驚いた

@ordinary_overlaps5585 5 жыл бұрын

@@himajinnoyu それは貴方の先入観でしょう。

@TonyStark_85 5 жыл бұрын

4:53 一番編集大変そうだったところ

@yasu_yobinori 5 жыл бұрын

気づいてくれてありがとう笑

@user-ht9wy5bj2j 5 жыл бұрын

@@yasu_yobinori やすさんだ！

@yobinori 5 жыл бұрын

大変そう笑

@user-ht9wy5bj2j 5 жыл бұрын

@@yobinori たくみさんだ！

@user-wt1pb2fo3d 5 жыл бұрын

たくみ眼鏡にあうやん

@privateprivate6754 5 жыл бұрын

初めて合同式知ったけどめっちゃ分かりやすかった！だが冒頭のボケがない－5点

@yobinori 5 жыл бұрын

きびし

@eeeee-dr1wv 5 жыл бұрын

1次不定方程式を合同式で解く方法も解説してほしいです

@kazuhisanakatani1209 5 жыл бұрын

発展的内容のところの「互いに素が条件」というのは、暗号化アルゴリズムで大きな素数を法とした mod がよく出てくる理由でもありますよね。

@user-vb1pr8qv8h 5 жыл бұрын

mod便利ですこ、まぢで整数瞬殺できる

@yobinori 5 жыл бұрын

modいけめん

@by-td7hr 4 жыл бұрын

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」お前の方いけめん

@user-fv1uv2vw3y 5 жыл бұрын

MODは法のもとに平等である

@user-ki2oo8qd5o 5 жыл бұрын

ss書き下ろしている方ですよね？

@mg-tq1tu 4 жыл бұрын

GODは平等じゃないけどな、

@reviazaktval 4 жыл бұрын

@@mg-tq1tu 🐎

@user-user-diffuser 5 жыл бұрын

0:52 午前4時に動画見てたら急にBGMで煽られた

@yobinori 5 жыл бұрын

ひひひ

@user-pd5hv7dt3w 5 жыл бұрын

板書の音最高〜〜今日もわかりやすかった

@yobinori 5 жыл бұрын

えへへ

@user-ou6hb8vb8e 4 жыл бұрын

mod2として整数を分類したのが奇数と偶数ってことですね！

@aozora1003 Жыл бұрын

ずっと気になっていたけれど、学べないまま大人になってしまってた今、ここで合同式を学べて幸せです。取り扱って下さってありがとうございます。

@ss-sf4ih 4 жыл бұрын

はなおでしかみてなかったけど、めっちゃわかりやすい！

@user-co6vx9kr4q 5 жыл бұрын

無限の整数を有限で考えられるって言うところを学校の授業で教えてほしいんだよな。なんでこれ勉強したほうがいいんだってところで勉強は9割つまづく(わたしです)。

@yobinori 5 жыл бұрын

スッキリするよねー

@sodepyoe 5 жыл бұрын

4STEPだけ渡されて繰り返しやれば出来る（脳死）みたいなのがマジでキツかったもしかしたら数学好きになってたかもしれんダメな先生はすぐに見限ったほうがいいホントに…

@user-vg9ge6lm6o 4 жыл бұрын

Uno IppeL それを合同式使うと一瞬なんだよね、、、

@user-pp7ws1yo1i 4 жыл бұрын

んぱちゃーん書く手間を省いてるだけでやってることは一緒じゃね？なんか裏技チックに語られるの違和感ある

@user-vb2gl2cc1b 4 жыл бұрын

@@user-pp7ws1yo1i 書くのが簡単になると考えるのに時間が使えたり、答案がスッキリするので今まで見えなかったものが見えるようになったり、問題の本質が見えたりするものかと

@user-oy2de5yu2g 4 жыл бұрын

今コロナで授業数が減ってしまい、先生のプリントと教科書で予習して授業で小テストという進め方で、予習しても分からなくて小テストがヤバいので助かってます！入学したばかりなのに授業のスピードも早いしで大変で💦 本当に分かりやすいです！ありがとうございます！

@user-by8yl8ol4u 5 жыл бұрын

たくみ、目にくま出来てるぞ。ちゃんと休めよ！これからも応援してるぞ！

@yobinori 5 жыл бұрын

やさしい

@user-qh8uw7zx5h 5 жыл бұрын

分かりやすいご説明ありがとうございました・・・ 1つ気になったのは、合同式の性質①の証明で、a＋c＝(q₁＋q₁')p＋(r＋r'), b+d＝(q₂＋q₂')p＋(r＋r')となって、それぞれ余りをr＋r'としていた点です。この2式から、余りが等しいことは確かに言えますが、その余りがr＋r'になるとは限らずr＋r'－pとなることもあります。

@AZrum 5 жыл бұрын

r＋r'－p≡r＋r' (mod p)

@jalmar40298 5 жыл бұрын

補題としてa≡b(mod p)⇔p|(a-b) を示せば ①,②の証明はもっと簡単だ

@user-es4ug4gl8b 5 жыл бұрын

ypp oka 右側の縦棒は一体、、

@user-qh8uw7zx5h 5 жыл бұрын

@NTR姉貴はい、まとめるとr＋r'(mod p)となります。

@user-qh8uw7zx5h 5 жыл бұрын

@user-kv2px2hf7u 3 жыл бұрын

素晴らしい講義ですね！わかりやすい、ありがとうございます！

@user-ky1xh7hp9k Жыл бұрын

剰余類の概念から、"違う"ものを"同じ"ものとしてみるという曖昧な日本語を数学的に厳密に説明できるということに気づいた時は痺れました。なので代数学が大好き。

@user-qw2pm6ok2y 5 жыл бұрын

ちょうど今度のテストの範囲なので助かる！ありがとうヨビノリ！

@user-iu5fd9qb9q 5 жыл бұрын

学校であんまりやらなかったんで助かりました。高評価2n回押しました！

@maichikun1 5 жыл бұрын

n=0.5

@user-hc1st5tq5g 5 жыл бұрын

結果nが自然数の場合は何もなしとwww

@user-wc4vc7jq8j 5 жыл бұрын

僕は低評価を2n+1回押しときました(n:0以上の整数)

@user-hc1st5tq5g 5 жыл бұрын

@@user-sp3km4yv9l それ美しいって言われてるけどなんでそうなるのかわからないやつ。

@user-wc4vc7jq8j 5 жыл бұрын

ぬべぢょんぬ 1人だけレベチの返信すな笑笑じゃあ俺はsinx/xのxを極限まで0に近づけた値で

@Brave-PaffPaff 5 жыл бұрын

「…法律というのは社会の基準であり、今はaを基準として考えているということです。」(安田亨著　『2週間で完成!整数問題入試対策編』東京出版 p32 より引用)

@__-st8jk 4 жыл бұрын

2次に向けてmod勉強し始めたけどこんなものがあったとは整数問題に対するアプローチの仕方が大分変わってくるな

@Aki-um6ch 3 жыл бұрын

modをふんわりとしか覚えてなかったからありがたい😭

@yaechi0527 5 жыл бұрын

この動画作りの準備見てからずっと楽しみにしてました

@yobinori 5 жыл бұрын

おまたせ！

@user-xj1si6xr2y 5 жыл бұрын

わかりやすかったです！ありがとうございました！

@user-ps3bz2jo8c 3 жыл бұрын

やっとヨビノリさんの動画の内容が分かる年になってきた…！

@tangerine8029 5 жыл бұрын

とてもわかりやすくて楽しみながら学べました！

@YouTubeAIYAIYAI 5 жыл бұрын

備忘録(見直し) 【 modulo (測定,尺度) 】 ☆ 無限の整数→ mod p で有限個 ( 0, 1, 2, ･･･, p-1 ) ( たったの p 個にすることができる ) ☆ 合同式の定義 ( pを *自然数とする ) 整数 a を pで割った余りと、整数 b を pで割った余りが等しいとき、 pを法として、a と b は合同であるといい a☰ b ( mod p ) で表す。【重要公式】 a☰ b かつ c☰ d であるとき、 ( mod p ) ○ a＋c☰ b＋d， ○ a－c☰ b－d， ◎ a・c☰ b・d, ∴ aⁿ☰ bⁿ ( ○◎ 等式と同じ操作をしてよい→ 多用する ) 〖割り算だけ要注意〗 m・a☰ m・b ⇒ a☰ b ( 💢ただしこれは、mとpが互いに素のときに限る )

@cobalt_chloride_paper 4 жыл бұрын

メモのクセが強い

@pp5492 4 жыл бұрын

情緒不安定なメモだな

@user-kq3ur2fs2r 2 жыл бұрын

突然ブチギレるの草

@YouTubeAIYAIYAI 2 жыл бұрын

mod p で、整数 a☰ r ( r＝0,1,･･･,p-1 ) のとき、－∞ < a < ∞ でよいことに注意する ■

@icutmyfinger 9 ай бұрын

備忘録きもwww

@user-wc4vc7jq8j 5 жыл бұрын

modって整数の性質でよく使えるよね小樽大とかでもこの解き方できるし。考え方が好きです。

@user-jn1fe6ob6k 5 жыл бұрын

これ学校で習わなかったから、めっちゃ嬉しい

@yobinori 5 жыл бұрын

えへへ

@since-dj4wl 5 жыл бұрын

ヤバイほど分かりやすい

@user-cn8un9dd3p 5 жыл бұрын

mod眼鏡のアマゾンのリンク貼ってくれませんか？

@yobinori 5 жыл бұрын

はりわすれた！

@user-fu9jm6su6v 3 жыл бұрын

ス〇サプに合同式の動画が一切なかったからありがたい…！！

@user-vy6pr6xt3h 3 жыл бұрын

それな

@user-mb7mo4tk5n 3 жыл бұрын

まじか

@user-qy6ic5iv8r 5 жыл бұрын

授業でもさらぁーっと流されたところなので、ほんっっっとに助かります。続きが楽しみです

@yobinori 5 жыл бұрын

お楽しみに！

@いださいとう Жыл бұрын

mod取り扱ってるKZfaqrの中でダントツでわかりやすい

@user-rc6cr2py8n 5 жыл бұрын

合同式を基礎から丁寧に教えていただく機会がなかったので、とてもありがたいです。②も楽しみにしてます！

@yobinori 5 жыл бұрын

お楽しみにー！

@sasoribi 5 жыл бұрын

気になってた単元なのでとても嬉しいでござる！

@yobinori 5 жыл бұрын

よかた！

@user-rn5pg9dp5w 5 жыл бұрын

modは教わってないな続きを早めに頼みます！

@user-uu9gm1se9z 5 жыл бұрын

なるほどだから木こりmod入れると木が一瞬で割れて楽なのか

@asaokirenai____ 5 жыл бұрын

山田太郎そういうことだね

@HOSIHOSI999 3 жыл бұрын

マイクラ草

@w1618 5 жыл бұрын

中１です合同式が難しいと思ってたのですがこの動画がわかりやすくて理解できました！ありがとうございます

@user-qm9rx2gg1s 4 жыл бұрын

めっちゃわかりやすい！！

@shima4518 5 жыл бұрын

モッドさん『俺の眼鏡とったの誰だよ!!』

@themrpsychodragon 5 жыл бұрын

modは便利で凄いですが、整数問題を大量に扱いながらmodを一度も使わない鈴木貫太郎さんの解き方も好きです。

@user-xe1ej8ic6w 5 жыл бұрын

サイコドラゴン先生信念貫いてる感じがしてすこ

@yobinori 5 жыл бұрын

あのこだわりすごい

@offihak8751 5 жыл бұрын

これ授業で意味わからんかったから助かった。ありがとうタクミくんよ

@yobinori 5 жыл бұрын

どうもん

@user-bq4fl3pu9y 4 жыл бұрын

jjmoにとても役立ちました。ありがとうございます

@user-mb7mo4tk5n 3 жыл бұрын

jmoも出よう

@user-uo4ci5sn3i 4 жыл бұрын

めちゃくちゃ分かりやすい

@user-yf6xt4nm9s 3 жыл бұрын

合同式使うと何してるか見えなくなるので嫌いなんですが使うと便利なんですよね

@user-jm3hl6vh9b 5 жыл бұрын

これ本当にわからなかったからホンマに嬉しい

@umikuro735 5 жыл бұрын

a－b≡0(modp)と定義すると合同式の性質の証明が少し楽になる希ガス

@user-uq3tl5yz4w 5 жыл бұрын

丁度知りたかったから有難い面白いから必修にすればいいのに

@user-do7wu3oj1b 5 жыл бұрын

めっちゃ分かりやすい説明ありがとうございます！

@vhpf1699 4 жыл бұрын

modは時計以外にも例えば、曜日や、音楽の全音階とかは7を法としていますよね。 10を法としたものは、整数の1桁部分、あとは、十干(甲乙丙丁戊己壬癸庚辛) 12は、時計、月、音楽に出てくる12平均律、子丑寅卯辰己午未申酉戌亥の干支などに出てきますよね。

@user-zx6er3cb2u 3 жыл бұрын

黒板の内容が状況に応じてクリアされるの便利

@user-cm4sm3ec8g 3 жыл бұрын

今回のテスト範囲に入ってて全く分からないので(笑)、この動画見て問題集解いてがんばります！

@laytooooon9281 5 жыл бұрын

インスタの授業準備の投稿見てからずっと楽しみにしてました！ありがとうございます！

@yobinori 5 жыл бұрын

おまたせ！

@kurobus2869 5 жыл бұрын

証明からやってくれるのがすごい助かります

@yobinori 5 жыл бұрын

えへへ

@user-sf2sw9vb1y 5 жыл бұрын

Hotto mod

@user-zh8sh6hb3j 5 жыл бұрын

ちなHot

@user-tb3yg2kg7w 5 жыл бұрын

ここのコメント臭い

@user-mz3et5so8v 5 жыл бұрын

動画内にある合同式の性質①,②の証明について少し言及させていただきます. 整数a,bを自然数pで割ったときの商をそれぞれq,q'とし, 余りをそれぞれr,r'とします: a=pq+r, b=pq'+r'. このときq+q',r+r'がそれぞれa+bをpで割ったときの商, 余りなるとは限りません. 例えばa=b=3, p=2とすれば q=q'=1, r=r'=1 ですが, a+b=6をp=2で割ったときの余りは0であって, r+r'=2ではありません. 差についても, q-q', r-r'がそれぞれa-bを割ったときの商, 余りとなるわけではありません.