Gerne!

Dies ist keine Schulmathematik mehr! x(t) ist die Bahn des einen Luftpakets, das ich betrachte. de.wikipedia.org/wiki/Substantielle_Ableitung

@@JoernLoviscach Aber der Nabla Operator besteht doch selber auch aus partiellen Differentialoperatoren 😅 Ich verstehe nicht ganz wie man x(t) (also eine Funktion mit einer Variablen) ableiten kann und dann eine Funktion mit 2 Variablen rausbekommen kann 😕

@@back2back135 Die Funktion x(...) soll hier die Trajektorie des Luftpakets sein, das zur Zeit t am Ortsvektor x ist, also x(t) = x. (Vorsicht: x hat hier zwei verschiedene Bedeutungen und t ist eine vorgegebene Zeit.) Das müsste man streng noch in die Klammern reinbasteln, dann wirds aber unübersichtlich. Für Genaueres siehe die Herleitung auf der schon verlinkten Wikipedia-Seite.

@@JoernLoviscach achso. Das ist dann so ähnlich wie bei der Differentiation nach einem Parameter oder? Also in der Form x = x (t), y = y (t) z = f (x (t) ; y (t)) und abgeleitet dz /dt = 6z/6x * dx/dt + 6z/6y * dy/dt Die "6" für die partielle Ableitung

@@back2back135 Ja, analog dazu.

Warum ich nicht die Dichte ableite? Ich nehme ein Fluidpaket konstanter Masse m (also mit variablem Volumen), bestimme dafür die Kraft m dv/dT und teile dann beide Seiten durch das Volumen. Man kann alternativ auch ein Fluidpaket mit konstantem Volumen nehmen; dann steht die Dichte mit in der Zeitableitung, aber muss man auch die Dichte als solche ableiten, weil sich ja die Masse des Pakets ändert. Man sieht die Gleichung auch in dieser zweiten (mathematisch äquivalenten) Form.

Jörn Loviscach Ach so, danke. Noch etwas: Warum leiten Sie z.B. bei 22:46 nach x ab? Es ist ja eine Zeitableitung gefordert (analog bei 23:03 und 23:16). Bei der Kontinuitätsgleichung (14:30) habe ich die selbe Frage.

Nochmal eine Frage: 12:46, Müsste man nicht auch vergleichen, wie viel z.B. links mehr reinfließt als oben rausfließt, oder unten? Muss man da nicht alle Möglichkeiten betrachten?

PLP LPL Deshalb die Ableitungen auch nach y und z (wieviel fließt hinten raus, oben raus, vorne rein, unten rein).

PLP LPL Totales Differential (siehe mein Video dazu, www.j3L7h.de): Df = df/dx * dx + df/dy * dy + df/dz * dz + df/dt * dt

Matrix Tensor Möglichst möchte man _gar_ nichts als Fluid modellieren, weil das so rechenaufwändig ist. ;-) Lieber die Gegenstände lassen, wie sie sind und mit dem Wasser tricksen, so wie hier: www.cemyuksel.com/research/waveparticles/

Thomas Lorenz Der Trick in dieser Herleitung ist, mit einem Paket konstanter Masse (aber variablem Volumen) zu arbeiten, z.B. 1 Million Moleküle. Damit fällt dm/dt weg. Man kann die Gleichungen aber umschreiben, dass rho v statt nur v innen steht. Interessanterweise heben sich die Korrekturterme, die man dafür braucht, gegenseitig weg.

Ich hoffe, ich habe überall v(x_mit_Vektorpfeil) geschrieben.

Ich war etwas verwirrt darüber, dass wir v(x,t) partiell nach y und z ableiten. Nochmals vielen Dank für die schnelle Antwort.

Nein, hier ist ja kein Raum gekrümmt. Es ist die "totale Ableitung" (statt der partiellen).

Weil ich kg pro m² und Sekunde haben will, nicht m/s. Die Masse ist erhalten, also muss ich wissen, was an Masse fließt.

Die Ableitung ist rechts rausgehend (positive Richtung = nach rechts) minus links reingehend (positive Richtung = nach rechts).

Jörn Loviscach Ach so, jetzt!! Masse*Geschwindigkeit wäre der Impuls, aber hier ist ja nur nach der Änderung der Dichte gesucht, also durch das Volumen geteilt und die Ableitung des Impulses ist die Masse.

PLP LPL Hört sich richtig an.

Der Druckgradient ist eine der diversen Kraftdichten, aus denen sich die gesamte Kraftdichte zusammensetzt. Er beschreibt die Kollisionen mit den anderen Teilchen. Hinzu kommen Schwerkraft, vielleicht auch Elektromagnetismus usw.

Jörn Loviscach 30:10: Warum ist der Gradient eigentlich schon die Kraftdichte? Es wurde doch da noch nicht durch das Volumen geteilt, oder?

PLP LPL Druck = Kraft pro Fläche. Gradient = Ableitung nach der Position macht daraus Kraft pro Fläche*Länge, also Kraft pro Volumen.

Es wird der gesamte Vektor nach x abgeleitet, nicht nur die x-Komponente.

Fast. Richtig: (v . ∇)....., denn das vordere v soll nicht abgeleitet werden.

Jörn Loviscach Hmm genau das verstehe ich noch nicht wirklich... In meinen notizen ist es nämlich genau so wie Sie es jetzt geschrieben haben... aber ich versteh nicht genau, wieso der nabla operator und die geschwindigkeit vertauscht werden können...

@@semimathi6018 Sie können gerade nicht vertauscht werden. Eines der beiden v muss vor den Nabla, denn sonst wird es ebenfalls abgeleitet. Das darf es aber nicht, siehe die besagte ausgeschriebene Gleichung in diesem Video. Siehe auch hier: de.wikipedia.org/wiki/Euler-Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)