DÉMONTRER (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx. 2 méthodes

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DÉMONTRER (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx. 2 méthodes - 2 mondes

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Күн бұрын

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On démontre l'inégalité de Bernoulli de 2 manières différentes:
La 1ère classique avec un raisonnement par récurrence.
La seconde plus inédite en utilisant la convexité d'une fonction bien choisie et l'équation d'une de ses tangentes.
Plan de la vidéo :
00:00 Enjeux de la vidéo
00:55 On démontre par récurrence
07:30 Interlude
08:59 On démontre avec les fonctions
15:04 Morale de la vidéo

Пікірлер: 139

@philippedelaveau528 3 ай бұрын

J’aime beaucoup vos vidéos car elles amènent les élèves (ou les curieux) à se servir de leur cervelle et non pas à caqueter des formules vides de sens, et j’en tire toujours d’excellentes idées ou améliorations pédagogiques. Et tout ça avec le sourire. Encore faut-il trouver des élèves qui ont la curiosité intellectuelle de s’interesser au sujet.

@denisdeffunt2974 7 ай бұрын

Je suis d'accord avec toi : la deuxième démonstration est une pure merveille.

@isalaur1 7 ай бұрын

On ne se lasse pas de ton enthousiasme ! 😊 brillant.

@Quasar900 7 ай бұрын

: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le Dièse " ( ♯ ) !🙂

@saloo65 7 ай бұрын

Vous êtes très pédagogue ! Respect :) Ps: je suis ingénieur en informatique et vos vidéos me rappellent mes math de lycée. Bonne continuation à votre chaîne !

@hedacademy 7 ай бұрын

Merci pour ce retour 😊

@solipsisme8472 7 ай бұрын

J'ai préféré la première méthode (je trouve les suites et récurrences plus intuitives) mais c'est hyper-intéressant d'avoir les chemins différents pour cette demonstration !

@josselinbeaumont8917 Ай бұрын

Il me bluff !!! J arrive enfin a comprendre des notions qui m échappaient totalement en terminale !!!❤

@hedacademy Ай бұрын

Trop bien 😃

@julesserieux6244 14 күн бұрын

Le prof que j'aurais aimé avoir en sup! Merci pour vos vidéos.

@druzicka2010 2 ай бұрын

en fait, j'aime bien l'approche avec la tangente. c'est seulement à la fin que j'ai compris. loool c'est quand même trop fort. bon finalement la démonstration n'a guère éveillé un éventuel souvenir. restons sur une note positive. gardons cette vidéo à l'esprit pour la ressortir en cas de besoin. 😊 merci. 😉

@Joffrerap 6 ай бұрын

Super vidéo :). Il y a une troisième méthode qui utilise un outil classique, le tableau de variation : On pose f(x) = (1+x)^n - 1 - nx on a f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n Pour x > 0 , j'éspère qu'on accepte de dire que (1+x)^(n-1) >= 1 (disons par croissance de la fonction x^(n-1) et image de 1 et 1+x) donc f'(x) = 0 Le minimum de la fonction est donc en 0, et f(0) = 0, donc f(x) > 0 pour x>0 CQFD.

@RemyLuciani 7 ай бұрын

J'avais oublié ces histoires de tangentes et fonctions convexes, merci pour le rafraîchissement de mémoire !

@CJDWP 7 ай бұрын

Bonjour Merci pour vos vidéos toujours très pédagogiques en plus d'être ludiques. Je pense que le ministère de l'éducation devrait vous remettre le prix de la motivation des professeurs de mathématiques !!

@Quasar900 7 ай бұрын

Nonn , mais MEDAILLE FIELDS ! Il est encore plus fort que Mickaël Launey de " micmaths"

@pascalvaquie3273 16 күн бұрын

14:39 "T'as levé les yeux ou pas ??? " 😂😂😂 Merci pour le rappel sur l'équation de la tangente, elle était pas toute récente celle là ! 😁

@Joffrerap 6 ай бұрын

8:46 J'ai fait des études de maths jusqu'en master et je donne des cours particulier et je partage souvent ce sentiement après la démonstration d'un truc évident, surtout avec un étudiant, parceque moi j'suis content d'avoir fait la démonstration mais je me dis que je complique bien les choses pour lui haha.

@Maxw8ll 7 ай бұрын

Le développement en utilisant le binôme de Newton a pour deux premiers termes le second membre de l'inégalité les autres termes étant positifs, on montre ainsi l'égalité directement, on peut meme obtenir a second terme plus développé. Cela apporte une démonstration supplémentaire :)

@Quasar900 7 ай бұрын

C'est la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂

@Maxw8ll 7 ай бұрын

@@Quasar900 La positivité des termes est suffisante. Le résidu ne tend pas vers zéro pour n vers l'infini en revanche.

@Quasar900 7 ай бұрын

@@Maxw8ll Oh oui, j'avais en tête le développement limité de (1+x)^n au voisinage de Zéro pour x !

@xarus5944 7 ай бұрын

@@Quasar900c’est rigoureusement faux, ton reste n’est pas un o(n) car ta fonction est équivalente en l’infini à x**n

@Quasar900 7 ай бұрын

@@xarus5944 o(x) et non o(n) ! et puis je devrais dire en voisinage de zéro la formule que j'ai écrite

@laurentthommet8313 5 ай бұрын

Franchement excellent...cordialement Laurent

@hedacademy 5 ай бұрын

Merci pour ce retour

@philippedelaveau528 3 ай бұрын

J’aime beaucoup la seconde démonstration. Je ne suis pas sûr que la convexité soit étudiée en terminale. Je vais voir quel est le domaine de validité de n et s et si on peut l’étendre à l’espace des réels.

@genbu9712 7 ай бұрын

Retour en Terminale S pour moi avec cette vidéo ! La récurrence est assez évidente. Mais le coup de la convexité, c'est fort !! J'avoue avoir une préférence pour la 1ère méthode. J'ai tjs trouvé sympa d'écrire "a fortiori" sur mes copies 😊😅😂 Un grand merci.

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

la convexite est tres évidente pour le coup

@daxterburn 7 ай бұрын

Je n'ai jamais vu la convexité (même quand on a eu maths en licence) et quand j'ai vu le raisonnement, c'est vachement intéressant 😁

@jean-francoislozevis4657 7 ай бұрын

On aurait pu partir de n = 1 et même n = 0 dans la première démonstration car 1+x >=1+x et dans la première démonstration, il fallait utiliser à un moment le fait que x + 1 => 0 pour être totalement rigoureux. Très intéressant!

@desiresalia5391 3 ай бұрын

La deuxième méthode est une bombe

@nolonolox5660 6 ай бұрын

Très bonne vidéo ! Le binôme de Newton serait une autre méthode bien plus rapide ;)

@imperial9221 7 ай бұрын

le magiprof., t'es trop fort

@saiidtemouden9271 7 ай бұрын

La 1ere est directe simple claire logique à la portée de tout le monde . La 2ème purement mathématique inaccessible que pour les mathématiciens et en plus il faut tomber sur la droite tangente au point 0 au hazard en essayant plusieurs points . Scientifiquement la 1ère est beaucoup meilleure..

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

"les mathématiciens" hahaha c'est trivial

@fabricevs5293 7 ай бұрын

Tu m'as régalé sur cette vidéo ! La beauté des maths ! Merci 😊

@TheDefelgar 7 ай бұрын

Dans la limite, il manque peut-être juste le cas particulier x=0. Dans une limite, même à l'infini. Si x est strictement égale à 0 alors la limite des deux membres sera égale à 1

@bertrandr.9616 7 ай бұрын

Super vidéo comme d'hab, mais j'ai une petite remarque. n n'a pas besoin d'être strictement supérieur a 1, mais juste positif ou nul. Pour n=1 on a (1+x)^n=1+x et 1+nx=1+x, l'inégalité est respectée. Pour n=0 on a (1+x)^n=1 et 1+nx=1, l'inégalité est également respectée. Dites moi si je me trompe quelque part!

@koishi6979 7 ай бұрын

J'aime bien les trois démos. Mais, au risque de t'embéter (encore), n'oublie pas de signaler dès le début dans quel ensemble on cherche les réponses, et encore plus dans quels ensembles sont prises les différentes variables. On n'apprend que "n" est entier qu'au bout d'une minute de video et on ne le voit jamais écrit (ne pas oublier les déficients auditifs). Ça reste un superbe boulot qui ma fait très plaisir à regarder et à écouter. Continue, j'adore ta chaîne.

@Quasar900 7 ай бұрын

Petit-Pierre (ou Petite Pierre ) ! 🙂 Donc vous connaissez le Japonais ?????

@Quasar900 7 ай бұрын

la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂 Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! 🙂

@Quasar900 7 ай бұрын

Vous êtes au courant ? : Takahashi Youichi le créateur de Captain Tsubasa , va Finir l'histoire en Avr. 2024 et prendre sa retraite 🙂

@koishi6979 7 ай бұрын

Très peu, je m'y suis intéressé à une époque et j'avais étudié quelques bases grammaticales et un peu de vocabulaire. Mon surnom à l'époque était effectivement Petit Pierre et quand j'ai voulu le transcrire en japonais, j'ai découvert que le mot existait (caillou, gallet). Il ne me restait plus qu'à en faire mon inkan. :-) @@Quasar900

@Quasar900 7 ай бұрын

@@koishi6979 何年から、日本語を勉強すること？ c'était depuis quand, votre étude du Japonais ?

@mathieuend 7 ай бұрын

Super video perso je préfère la 2eme méthode (j'ai jamais trop aimé les suites 😅) D'ailleurs Est-ce que tu compte faire encore des vidéos sur les derivées ? Celle ou tu parlait du Juste Prix était géniale 👍

@ezioauditore4935 7 ай бұрын

C’est très fort .. 💪

@Quasar900 7 ай бұрын

@yoitteri1476 6 ай бұрын

o(x) est une fonction telle que o(x)/x tend vers 0 quand x tend vers 0

@Quasar900 6 ай бұрын

@@yoitteri1476 Bonjour , vous venez de vous réveillez , ? nous on est déjà à l'enigme du dimanche ! 🙂

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

c'est chaud de raconter n'importe quoi comme ca... qu'est-ce qui te dit que o(x) est positif ????????????

@Quasar900 6 ай бұрын

@@LouisLeCrack car x tend vers + ♾ donc (1+x)^n positif

@Quasar900 6 ай бұрын

@@LouisLeCrack Old School Boring AMERICAN teachers , sound and look like the following : wah wah wah wah wawawaaah 🥸🥸🥸🥸 Old School Lazy AMERICAN teachers : Ok, Watch this Video 🥸🥸🥸🥸 Strict Old school British teachers : No talking, DO WORK ! 🤔🤔

@darenfotso379 7 ай бұрын

quelqu'un sait quelle est la 3e méthode qu'il a mentionné au début?

@Kravchenko_ 7 ай бұрын

Cette assertion se démontre également en utilisant le développement limité de (1+x)^n au voisinage de 0.

@michellauzon4640 7 ай бұрын

Pourquoi n = 2 pour débuter. L'inégalité est évidente pour n = 0 ou 1. De plus, même dans le cas général, n'est-ce pas évident, si x >= 0 par la formule de Pascal ?

@abdelalihadri8320 7 ай бұрын

Je pense que la démonstration sera regureuse si vous utiliser la notion de limite pour déterminer la dérivé de f en 0 parce que votre domaine de définition doit être les réeles positives et 0 est dans la frontière de cet intervalle ce qui exige plus précisément l'équation de la demi tangente à droite de f en 0 ....

@alainreseau6777 7 ай бұрын

Pourquoi n>1 ? ca marche pour n=1 et n=0, non ?

@paulclavier4424 7 ай бұрын

5:00 ca aurait été bien de préciser que ca marche de "juste" multiplier par la même chose des deux côtés parce que (1+x) est positif sinon l'inégalité change de sens !

@francoisdipaola419 7 ай бұрын

Super exemple d'analyse et d'utilisation de a convexité 👍. Et pour info, on prononce "Bernou lit" et non "Bernou yii" même si cette seconde prononciation semble naturelle. Mes profs de physique ont trop insisté sur ce sujet pour que j'ignore ce fait désolé 😅

@Quasar900 7 ай бұрын

Alors figurez-vous qu'à França on dit encore [Gosse] pour le mathématicien allemand "Gauss" au lieu du correct [Ga-ouss] 🙂

@Quasar900 7 ай бұрын

aussi [oueistrass] pour " Weistrass" alors que correctement c'est [ Vayè-chtrass] ! Et piire : [Averroès ] pour " Ibn Rochd" ? ibn = fils de .. Rochd = attribu d'être mâture ou sage , d'où le qualificatif " Rachid" (homme) & "Rachida" (femme) donc : mâture sage etc..! biensûr pour un Sage on dira " Hakim" ! :-)

@francoisdipaola419 7 ай бұрын

@@Quasar900 A ce compte, oui on prononce mal presque tous les noms en langues étrangères ... mais je dirais que c'est par ignorance de la prononciation. Ma remarque avait du sens en ce que Jacques Bernoulli, certes suisse, a un nom en langue française. Et quant à Averroès, ce n'est pas du tout une mauvaise prononciation mais le fait franciser, ou plus exactement latiniser, un nom en langue étrangère

@Quasar900 7 ай бұрын

@@francoisdipaola419 Oui , évidemment c'est le fait de franciser les noms qui change la prononciation ! juste pour Bernoulli c'est écrit en lettre latines 🙂

@Quasar900 7 ай бұрын

: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le Dièse " ( ♯ ) !🙂

@charleszoul1952 7 ай бұрын

Bonjour, on pourrait même affirmer le résultat pour n>=1 puisque (1+x)^1=1+1x

@bouillouxyves7682 7 ай бұрын

Pourquoi faire commencer à 2? Ça marche pour 1 ( on a l'égalité et non le supérieur strict)

@user-oq5dv8wn4z 7 ай бұрын

Pourquoi vous appliquez la tangente en 0?

@jeanclaude637 7 ай бұрын

Bravo

@flight7218 6 ай бұрын

Il y a beaucoup plus rapide et c'est instantanée avec l'inégalité arithmetico géométrique, qui dit que (X1.X2...Xn)^(1/n)

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

tu veux une médaille ? tu compliques pour rien c'est trivial

@flight7218 6 ай бұрын

@@LouisLeCrack pour la médaille je suis preneur, je suis pas obligé de penser comme toi.. Et d'arriver à considerer que " c'est trivial"

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

@@flight7218 tu sais quoi je retire ce que j’ai dit ta preuve est pas mal

@ellaouihenia7506 7 ай бұрын

Pourquoi on commence à n=2 et pas n=1?

@feumeu 7 ай бұрын

Est-ce que ma demonstration est correcte? montrons d'abord (1+x)^n >= 1 on sait que x>=0 donc x+1>=1 donc (x+1)^n>=1^n=1 de plus 1

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

je vais te dire: c'est totalement n'importe quoi....

@feumeu 6 ай бұрын

Pas très constructif comme retour @@LouisLeCrack : Pourriez-vous élaborer davantage avec un support mathématique ?

@LouisLeCrack 6 ай бұрын

@@feumeu ok oui, la vous montrez que 1+nx et (1+x)^n sont plus grands que 1 mais qu'est-ce qui te dit que l'un est plus grand que l'autre ?? C'est comme si je disais a >=0 b>=0 donc a>=b. Vous voyez bien que ca marche pas ?

@feumeu 6 ай бұрын

@@LouisLeCrack merci beaucoup c'est exact

@ambroiser3192 7 ай бұрын

Je m'attendais presque à voir arriver de la géométrie..😂

@Quasar900 7 ай бұрын

@Erlewyn 7 ай бұрын

Pourquoi, en maths, le terme "convexe" (courbe en U) est inversé par rapport au vocabulaire courant, où il désigne au contraire une bosse (un creux étant concave) ?

@Quasar900 7 ай бұрын

Convexe ça veut dire que le graphe et en dessus de toutes ces tangentes !

@Quasar900 7 ай бұрын

@Erlewyn 7 ай бұрын

@@Quasar900 J'ai bien compris, mais ça répond pas du tout à la question 😅

@walter3124 7 ай бұрын

@@Erlewyn Si tu penses à des polygones convexes ou concaves (convexe : on met un élastique qui fait tout le tour sans "trous"), eh bien il y a en maths ce qu'on appelle l'épigraphe : c'est l'ensemble des points M(x;y) du plans vérifiant y>=f(x) (autrement dit, tout ce qu'il y a "au dessus" de la courbe). Cette ensemble est convexe au sens de l'élastique, et c'est une équivalence. Au sens de l'élastique, d'ailleurs, la définition de la convexité d'un ensemble E est : pour tout x,y de E, le segment [x;y] est inclus dans E (et par segment [x;y], comprendre : l'ensemble des points de la forme x*t+(1-t)*y. S'il y a un "trou" au niveau de l'élastique, c'est qu'il y a deux points de E qui se font face à face sans que le segment qui les relient soient entièrement dans E. Pour revenir à ton idée initiale : j'imagine que ta visualisation d'une bosse qui est convexe et d'un creux qui est concave vient du fait que tu visualiserais un épigraphe "inversé" par rapport à ce que j'ai dit plus haut (y

@walter3124 7 ай бұрын

Ah et j'ai oublié de dire le meme "la première idée qui m'est venu en tête envoyant l'icône de la vidéo !"

@armand4226 7 ай бұрын

Joli. J'ai préféré la seconde démonstration. Ma question : à 12:27 tu dis "n il part de 2 et il monte" .... alors que tu montre le moins1 .... pourquoi alors "il monte" ???

@Quasar900 7 ай бұрын

Et si on devient amis ? on pourra donc échanger du Savoir sur les sciences par example !

@mohammadbousnina3804 7 ай бұрын

n est strictement supérieur à 1, or c'est un entier naturel donc n est Supérieur ou Egal à 2. Quand il dit que ça monte, c'est à dire que peu importe la valeur de n choisie, (n-1) sera tout le temps positif. n-1 strictement superieur à 0 implique que n strictement Supérieur à 1. Or c'est le cas, donc on est bon. J'espère avoir été clair 😅

@Quasar900 7 ай бұрын

@@mohammadbousnina3804 Vous êtes du Maghreb ? Bonjour , et salut au Maghreb !

@mohammadbousnina3804 7 ай бұрын

@@Quasar900 Non ?! Pourquoi dites-vous ça ?

@Quasar900 7 ай бұрын

@@mohammadbousnina3804 Votre nom , n'est-ce pas ? c'est normal qu'il y est bcp de personnes du Maghreb dans les écoles de France en mathématique ! Salut au Maghreb !

@renaudlefresne7515 7 ай бұрын

J'ai préféré la seconde. Mais c'est juste parce que je n'ai jamais aimé les récurrences, même si ça remonte à loin !

@user-kd9so8yk3b 7 ай бұрын

Aurait on aussi pu comparer les deux dérivées? Si la dérivée de (1+x)n est supérieure supérieure la dérivée de 1+nx c'est qu'elle croit plus rapidement. Du coup si au point le plus bas elle est supérieure ou égale elle le sera toujours. Ce qui est le cas en 0.

@walter3124 7 ай бұрын

Les math expertes auront même une troisième méthode ... :) (indice Newton)

@Akarass193 7 ай бұрын

Si x supérieure ou Égale à 0, si on y ajoute 1, on est pas certain d'être strictement supérieure à 1. (8min 14)

@as_des_maths 7 ай бұрын

J'ai préféré la 3eme démonstration....

@sheytacbaretts8621 6 ай бұрын

Sacré « tricheur » comment t’as su que c’était la tangente en 0👀?

@bertrandbrodeau2372 7 ай бұрын

Les deux méthodes.

@NINANINA-rh9ky 6 ай бұрын

Alors l’inégalité est vérifiée

@MrManigairie 5 ай бұрын

Ouhhhhh lala autant la première démonstration c'est du petit lait, autant la 2 je ne sais même plus ce qu'est une dérivée, j'y reviendrai quand j'aurai "récupéré" ce concept

@denisbuguet4060 7 ай бұрын

7:40 J'ai les yeux qui saigne ...1+x ( n+1) sup ou égale à .1+x ( n+1) +nx² ....avec n et x dans ]1; +00 ]

@cyruschang1904 7 ай бұрын

(1 + x)^n ≥ 1 + nx On sait que c'est vrai si n = 1 ou 2 si n = 1, (1 + x)^1 = 1 + 1(x) si n = 2, (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 ≥ 1 + 2x (car x ≥ 0) si n = 3, (1 + x)^3 = 1 + 3^2 + 3x + 1 > 1 + 3x On va démontrer si (1 + x)^n ≥ 1 + nx, (1 + x)^(n+1) ≥ 1 + (n + 1)x (1 + x)^(n+1) = (1 + x)(1 + x)^n ≥ (1 + x)(1 + nx) = (1 + nx) + x(1 + nx) = nx^2 + (1 + n)x + 1 ≥ 1 + (n + 1)x (car nx^2 ≥ 0)

@Johnny-cj8uf 7 ай бұрын

c'est vrai pour n=0

@cyruschang1904 7 ай бұрын

@@Johnny-cj8uf Oui. Mais monsieur a dit n > 1, donc n = 0 ça n'a rien à voir.

@Johnny-cj8uf 7 ай бұрын

Effectivement, je te fais simplement remarquer que tu peux faire t'as rec pour n=0

@denisb.8068 7 ай бұрын

Le binôme de Newton tronqué.

@NINANINA-rh9ky 6 ай бұрын

et même si n=1

@NINANINA-rh9ky 6 ай бұрын

Si n=0

@CDANSLERE 7 ай бұрын

Si on développe (1plus x) puissance n, on aura n fois (1 plus x) multiplié par lui même, donc aura 1 X 1 n fois plus 1 X n fois plus qqchose qui est positif, donc c'est plus grand que 1 plus nx. C'est beaucoup plus simple comme démonstration.

@xarus5944 7 ай бұрын

Absolument pas rigoureux mais l’idée mieux expliquée est correcte

@CDANSLERE 7 ай бұрын

@@xarus5944 Oui c'est mal expliqué car je n'ai pas un clavier de maths, mais je peux vous faire une démonstration rigoureuse en 3 lignes.

@michelbernard9092 7 ай бұрын

BER-NOU-LI ! pas ber- nouille- i

@xarus5944 7 ай бұрын

Plus simple en posant g:x->(1+x)**n -1-nx. En la dérivant et en montrant que g’ est continue positive.=> g croissante sur R+ donc or en 0 g vaut 0 et en l’infini g est positive (équivalente à x**n) donc g est positive sur R+ donc pour tout x positif, (1+x)**n -1-nx>=0 d’ou le résultat