Предел последовательности с факториалом по теореме Штольца

Рет қаралды 16,297

3 жыл бұрын

Из этого видео вы узнаете, как найти предел от числовой последовательности с факториалом под корнем n-ой степени. Рассмотрим 2 способа решения: теорему Штольца, которая является аналогом правила Лопиталя для последовательностей, а так же воспользуемся одним интересным тождеством.
доказательство теоремы, используемой во 2ом способе решения, можно посмотреть здесь: • 3 теоремы о пределах +...

Пікірлер: 51

@alfreddecheseaux9836 3 жыл бұрын

Какие прекрасные у вас видео! Не переставайте, пожалуйста, их делать, таких хороших каналов, тем более русскоязычных, очень мало ;)

@Hmath 3 жыл бұрын

спасибо! рад, что нравится! :)

@AlexeyEvpalov 6 ай бұрын

Подробное и доходчивое объяснение. Спасибо за интересное видео.

@chu6275 Жыл бұрын

очень красиво и элегантно! я почти 20 лет назад так и не смог самостоятельно найти решение для этого предела, а тут прямо два решения сразу! Спасибо Вам!

@IzaBella8957 11 ай бұрын

Выше всех пхвал! спасибо!

@user-mo6xm3in9i Жыл бұрын

Как полезно и интересно! Огромная благодарность!

@servictorovich2576 8 ай бұрын

Спасибо! Очень доходчиво и просто

@nataliakasasa1459 Жыл бұрын

Красиво!👍👏🙏

@Sarkicist 2 ай бұрын

Можно ещё было применить формулу Стирлинга для логарифма факториала при стремлении n к бесконечности

@renich6666 3 жыл бұрын

огромное спасибо

@stormspirit3493 2 жыл бұрын

Можно ещё формулу Стирлинга применить

@user-bq8ng3mn7b 3 жыл бұрын

всегда очень интересные задачи.просматривая видео с этого канала, с нетерпением жду, когда окажусь на старших курсах и начну во всëм этом разбираться и решать подобные примеры, а то обычно только слушаю и мало что понимаю. то ли голос у автора приятный, то ли завлекает таинственность всяких несобственных интегралов и прочего... хотя к данному видео это не относится, теорему Штольца на 1 курсе проходят

@Hmath 3 жыл бұрын

далеко не вся математика есть во всех вузах и примеров разнообразных обычно не так много, так что заходите чаще, постараюсь делать интересные задания :)

@user-po2hb3ru5j Жыл бұрын

Мне кажется мы это проходили в 1 семестре универа.

@mathbyautistdimag.9330 3 жыл бұрын

Баааалдеж

@user-vm5xu1ti3l 11 ай бұрын

Любопытное наблюдение: теорему о пределе (a_n)^(1/n), использованную во втором способе, можно в одну строчку доказать через теорему Штольца, просто прологарифмировав. Это делает оба способа фундаментально практически одинаковыми :)

@levars1 2 жыл бұрын

Есть ещё способ, где используется двойное неравенство для факториала и теорема "о двух миллиционерах", откуда легко получается ответ

@Pinokkio123 3 жыл бұрын

Добрый день, а будет задачи с оператороми, или задачи из квантовой механики, например уравнения Шредингера

@Hmath 3 жыл бұрын

квантовая механика это всё-таки физика, не математика, так что вряд ли будет когда-либо. А с операторами - если это про линейные операторы, то всё это очень узкая тема с кучей рутинный вычислений, как и всё в линейной алгебре. Пока я не вижу, как там придумать интересные задания, которые не были бы просто нудным перемножением и сложением кучи чисел. Но может быть когда-нибудь, но не в ближайшее время.

@arisu9356 Жыл бұрын

Есть ещё один способ. Можно всё это прологарифмировать и разложить логарифмы на слагаемые. У нас получится бесконечная сумма, бесконечно малых слагаемых. А это ничто иное как интеграл. Найдя подынтегральную функцию и пределы интегрирования можно легко вычислить этот предел

@aastapchik8991 3 жыл бұрын

Пользуясь формулой Стирлинга, этот предел становится вообще устным)

@Hmath 3 жыл бұрын

тут видео не совсем про конкретный предел, а про то, какими способами можно найти, а конкретно про теорему Штольца. Ну и кстати, если по формуле Стирлинга делать, то как будете искать предел от n^(1/2n), который из нее получится? :)

@aastapchik8991 3 жыл бұрын

@@Hmath можно найти по определению, а можно представить в виде экспоненты и применить правило Лопиталя)

@Hmath 3 жыл бұрын

хехе, я бы тоже делал по правило Лопиталя, если бы нужно было просто быстро вычислить :) но вы же понимаете, что правило Лопиталя для функций, а не для последовательностей, т.е это как бы нужно сначала обосновать, что предел от последовательности будет равен пределу от функции :) Т.е в итоге это всё будет не быстрее.

@airatvaliullin8420 3 жыл бұрын

Да, только хотел предложить формулу Стирлинга))

@aastapchik8991 3 жыл бұрын

@@Hmath точно, у нас же последовательность(

@zlukich 3 жыл бұрын

А как называется вторая теорема о том что lim (x(n))^1/n =lim x(n+1)/x(n), будет ли на канале её доказательство?

@Hmath 3 жыл бұрын

уже есть доказательство, вчера как раз выложил такое видео. ссылку добавил в описании к этому ролику.

@user-py9xk3sl4x 10 ай бұрын

0:30 предел положительной последовательности еще может быть равен 0 😛

@mathbyautistdimag.9330 3 жыл бұрын

Слууушай, вот ты на 6:25 изменение местами логарифма и предела как то странно обосновал, у нас же последовательности, значит в нашем случае и ln последовательность же, смысол тут говорить о логарифме? *задумчивый смайлик* Я сам себе и первакам объясняю это тем, что мы же все равно "внутри" логарифма работаем и результат вычисления предела подлогарифмического в конце оказывается в нем...

@Hmath 3 жыл бұрын

"результат вычисления оказывается в нем" - это по сути и есть изменение местами предела с логарифмом :) т.е это f(lim xn)=lim f(xn). Но такое не для любой функции f возможно, для непрерывных можно.

@bobik1291 3 жыл бұрын

Спасибо за видео! А как доказывается то самое интересное тождество?

@Hmath 3 жыл бұрын

как-нибудь сделаю видео с другим пределом, в котором докажу это тождество. там используется для доказательства эта же теорема Штольца :) только там нужно сделать несколько неочевидных шагов.

@user-nw8he4wy9c 8 ай бұрын

Здравствуйте, подскажите пожалуйста как называется вторая формула и где про неё можно почитать?

@Hmath 8 ай бұрын

в этом видео есть доказательство: kzfaq.info/get/bejne/eLqqksye0M6YYYU.html если нужно в книге: Фихтенгольц Г.М. - Курс дифференциального и интегрального исчисления (т. 1) - 2003 станица 183

@canis_mjr 11 ай бұрын

А вот это тождество, это случайно не прижнаки ли Коши и Деламбера?

@Hmath 11 ай бұрын

трудно понять о чем вопрос. Единственное, что мне приходит в голову про "признаки Коши и Даламбера", это про признаки сходимости для рядов. Но в видео не было рядов.

@canis_mjr 11 ай бұрын

@@Hmath, да, я может не совсем строго спросил, или даже совсем коряво)) Это равенство выражений под знаком пределов из признаков Коши и Даламбера.

@Yaroslav1904 8 ай бұрын

Вопрос, почему если посчитать предел отдельно для знаменатель sqrt(n!), то он стремится к n+1. Тогда предел в задаче стремится к n/(n+1) то есть к 1. В чем ошибка?

@Hmath 8 ай бұрын

www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%2F%28n%21%29%5E%281%2Fn%29+n+-%3E+inf я не знаю, как вы там считаете, поэтому не представляю, как можно найти ошибку

@Yaroslav1904 8 ай бұрын

@@Hmath, согласно формуле в видео на 7:23 предел ( n!) ^(1/n) будет стремиться к ( n+1)! /n! То есть то, что указано в знаменателе стремится к n+1. верно? Тогда предел n/(n!) ^(1/n) вроде как стремится к n/n+1 , то есть к 1. Просто непонятно почему результат разный получается...

@Hmath 8 ай бұрын

речь про конечный предел. lim ( n!) ^(1/n) = бесконечности

@ilyasakhundzada6604 9 ай бұрын

Мне легче использовать аппроксимацию Стирлинга: n!~(n/e)^n

@barackobama2910 2 жыл бұрын

когда меня вызвали к доске с этим примером то выяснилось что я просто помню формулу Стирлинга. N!=sqr(2piN)(n/e)^N (1+1/12N ...) запомнил от безделья еще в школе...

@Hmath 2 жыл бұрын

между 46 знаком числа пи и игрой в карты? :)

@barackobama2910 2 жыл бұрын

@@Hmath почти. Надо еще залезть однокласснице известно куда )))))

@barackobama2910 2 жыл бұрын

а еще я поучил препода английского. Которому показал что запомнить 80 новых слов с произношением за 8 минут это легко и без напряга. У человека был шок.

@marklappat8522 2 жыл бұрын

Кажется я ещё один способ знаю.. Хахах Можно прологорифмировать и перейти к определённому интегралу от 0 до 1

@user-kp7ci1lq9p 8 ай бұрын

Ну можно еще во 2 случае использовать формулу Стирлинга

@victor1978100 Жыл бұрын

Задача решается просто, логически и безо всяких заумных слов и Штольцев. Логическое рассуждение начинается с того, что тройка является результатом умножения двойки на единицу и одну вторую, четверка - это тройка, умноженная на единицу и и одну третью, пятерка - это четверка, умноженная на единицу и одну четвертую, и так далее. Дальше додумайте сами, я наводку дал.