Сумма ряда 1/n^2. Олдскульный способ Эйлера для решения Базельской задачи

Рет қаралды 16,904

3 жыл бұрын

В этом видео будем находить сумму ряда обратных квадратов: 1/n^2. Это знаменитая Базельская Задача, впервые решенная Леонардом Эйлером. Сейчас обычно находят сумму такого ряда, используя разложения в ряды Фурье, но во времена Эйлера они еще не были открыты. Здесь рассмотрим один из способов нахождения суммы ряда 1/n^2, который предложил Эйлер, т.е будем использовать только те инструменты, которые были известны в 18 веке.
В этом видео получено разложение в ряд для (1+x)^a: • Дифференциальное уравн...
В этом видео найден интеграл Валлиса от (cos x)^n: • Интеграл (cos x)^n. Об...
В этом плейлисте собраны видео с другими способами нахождения суммы 1/n^2: • Сумма ряда 1/n^2. Базе...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

Пікірлер: 55

@drcoungrations 3 жыл бұрын

Гениальность Эйлера не знает границ хд

@M.Davit613 Жыл бұрын

Самый лучший математик в мире.

@chu6275 Жыл бұрын

воистину!

@AlexeyEvpalov 5 ай бұрын

Хорошее, подробное объяснение. Очень красивое решение. Большое спасибо.

@Ivan2 3 жыл бұрын

Фурье с автоматом впечатляет! :)

@vikivanov5612 2 жыл бұрын

Решение понятное, и не очень сложное. Но как до него догадаться, вот это загадка.

@AlexAB113 Жыл бұрын

Очень красивое решение! Так из далека зашли, что в середине ролика я забыл конечную цель, что мы ищем сумму обратных квадратов, спасибо за видео)

@user-fc7rw8qv5f 10 ай бұрын

Спасибо за видео. Когда ум сочетается с прекрасным голосом это сплошное наслаждение

@user-fk5ti9pb1h Жыл бұрын

Отличное объяснение. Спасибо. Сложное доказательство стало понятным.

@user-py1gv3kd5l Жыл бұрын

Спасибо большое, лучшее обьяснение, добавлю в избранное!!

@chu6275 Жыл бұрын

спасибо за шикарное видео!

@ilhamisgndrov6180 2 жыл бұрын

Блогадарью за все

@user-kk3el1mj7k Жыл бұрын

Прекрасно!

@turarkhafiz4977 3 жыл бұрын

Здравствуйте, вы можете подробно разобрать дифференциальные уравнения в частных производных (ур. мат. физ.)?

@Hmath 3 жыл бұрын

в ближайшее время это не планирую, может быть когда-нибудь...

@turarkhafiz4977 3 жыл бұрын

@@Hmath надеюсь что "когда-нибудь" наступит скоро, так как на ютубе мало нашел нормальных видео на эту тему.

@aastapchik8991 3 жыл бұрын

Здорово! А как догадаться до такого интеграла?)

@Hmath 3 жыл бұрын

да нужно просто было всякие разные пробовать найти, а потом раз: ооо, я где-то уже такой ряд видел :) я на него так и наткнулся, а потом в книге нашел, что это уже придумали 3 века назад :)

@user-klepikovmd 10 ай бұрын

@@Hmathна самом деле, вся современная математика уже описана в ещё не расшифрованных дневниках Эйлера. Ну или Абеля. (На самом деле нет, но близко 😅)

@VSU_vitebsk 3 жыл бұрын

Эйлер провел большую работу по исследованию разных рядов. Кто интересуется, можно почитать его известный труд "Введение в анализ бесконечных"

@Hmath 3 жыл бұрын

да, только хотя и есть издание на русском языке середины 20 века (сам Эйлер писал вроде такие книги только на латыни, как было принято в те времена), всё равно нужно быть готовым к обозначениям и изложению, свойственным 18 веку :) Я бы сказал, что это скорее интересно с исторической точки зрения, чем с математической :)

@user-xi7pp8ri5q 2 жыл бұрын

Что ни откроют, дедушка Эйлер все это уже открыл раньше)

@user-bu2ic8sh4h 3 жыл бұрын

Хорошо. А вы не хотите записать видео на какую-нибудь тему из линейной алгебры? Это было бы замечательно

@Mathematics_and_physics 3 жыл бұрын

@vintik1688 3 жыл бұрын

Если что, есть еще одно доказательство - kzfaq.info/get/bejne/d89xeMR8uK6ce6s.html. Эдакий комплексно-тригонометричски-комбинаторный микс, но в итоге все сводится к теореме "О двух милиционерах".

@user-bd6yf9ds9k 2 жыл бұрын

здравствуйте. можно еще видео суммы обратных факториалов ? в русскоязычном ютьюбе я не нашёл видео с объяснением

@Hmath 2 жыл бұрын

если такую: sum 1/n! , то у меня есть подобное. одно из самых первых видео на канале: kzfaq.info/get/bejne/odlmqpeI25y7hnU.html

@user-bd6yf9ds9k 2 жыл бұрын

@@Hmath , не увидел. спасибо

@Hmath 2 жыл бұрын

сейчас заметил, что дал ссылку не на то видео :) там в следующем нужная сумма была найдена :) коротко: используется разложение e^x в ряд тейлора: e^x=sum(x^n/n!) (n от 0 до бесконечности) => sum(1/n!) = e

@user-bd6yf9ds9k 2 жыл бұрын

@@Hmath , по вашей вчерашней ссылке я понял, что такой ряд точно сходится). через разложение в ряд тейлора я понял, но я думал есть какой-то более интересный способ разложить и найти конкретную сумму

@Hmath 2 жыл бұрын

нее, ну другому-то числу сумма не будет равна всё равно :)

@user-vr9uo3vb1w 7 ай бұрын

Ну если Эйлер и Риман не вывезли гипотезу Римана, то никто не сможет.

@user-pj2os1mr4q Жыл бұрын

Настоящие тру ищут по Эйлеру

@sacredabdulla5698 Жыл бұрын

шок контент. я бы даже сказал пздц.

@proninkoystia3829 Жыл бұрын

А ведь по такому принципу замены и ряд 1-1+1-1+... тоже находится и равен 1/2 🤔

@arsenypogosov7206 11 ай бұрын

Тут важно что мы знаем что ряд сходится. Он сходится например потому что монотонный => можно сравнить с несобственным интегралом от 1 до бесконечности от x^(-2)dx, который сходится.

@bbooss7572 9 ай бұрын

@@arsenypogosov7206ак гармонический ряд тоже монотонно убывает, однако он расходится

@arsenypogosov7206 9 ай бұрын

@@bbooss7572 из монотонности не следует сходимость, из нее следует признак сравнения с интегралом. Который в данном случае говорит что ряд сходится.

@alexandermorozov2248 8 ай бұрын

А разве не проще найти сумму обратных квадратов через обычный интеграл?

@Hmath 8 ай бұрын

не знаю, что значит через "обычный интеграл", но здесь плейлист, в котором собраны различные способы нахождения суммы этого ряда: kzfaq.info/sun/PLK_CvALNo5MdfH4FPOB0nKO697K5aWfBM

@alexandermorozov2248 8 ай бұрын

О, супер, спасибо! 👍

@elenagaranina5904 Жыл бұрын

все члены исходного ряда положительны и больше нуля. Разве это не значит, что сумма ряда равна бесконечности?

@Hmath Жыл бұрын

нет, а почему это должно быть так? простой пример, сумма геометрической прогрессии: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+... = 2

@elenagaranina5904 Жыл бұрын

@@Hmath а почему нет? Разве сумма бесконечного количества положительных чисел не должна увеличиваться с каждым новым членом? То есть, она и увеличивается бесконечно, хоть и на малую величину.

@elenagaranina5904 Жыл бұрын

@@Hmath Или иначе. Допустим, мы как-то определили, что сумма равна конечному числу. Но ведь сумма ряда будет увеличиваться с каждым новым членом. Что помешает превзойти конечное число?

@Hmath Жыл бұрын

откройте хотя бы википедию и посмотрите, что такое сумма ряда. Сумма ряда, это предельное значение, вы его никак не "превзойдете" сколько не суммируйте. Любое ваше суммирование - это суммирование конечного числа слагаемых, и эта частичная сумма будет всегда меньше предельного значения (которое и называется суммой ряда)

@ouTube20 10 ай бұрын

Не понимаю. Если количество слагаемых бесконечно, то как можно вычислить их точную сумму? Мы же не знаем последнего слагаемого?

@Hmath 10 ай бұрын

начните с изучения того, что такое предел. Может тогда станет понятнее, потому что бесконечная сумма - предельное значение суммы конечного числа слагаемых.

@ouTube20 10 ай бұрын

@@Hmath Передел - это значение к которому стремится последовательность, но не равняется ему.

@bbooss7572 9 ай бұрын

@@Hmathзачем человеку это изучать, если можно просто объяснить

@Hmath 9 ай бұрын

@@bbooss7572 Так что же тогда просто не объяснили?

@orhan771 7 ай бұрын

@@ouTube20 ravnyayetsya predel. predel...