спасибо за отзыв! Вы, я думаю, знаете, что в ютьюбе так происходит постоянно ;)

@@Hmath Знаю, конечно) У меня у самого канал по математике, и почти все мои видео до сих пор остаются без внимания

я смотрел ваш видосик, где вы про это рассказывали ;) во многом согласен.

Мало просмотров - потому что рассчитано на узкий круг понимающих. И, даже просмотрев его до конца, все равно не понял.

Это уже можно вывести из данных рассуждений. Тут общий подход показан

уже писали это в комментарии, и я там отвечал :) у вас получается: как бы мы ни изгибали цилиндр - объем всегда будет один и тот же? :) И видео не о том, как просто найти объем тора, а как можно это сделать для любого тела вращения (а тор просто в качестве примера)

@@Hmath тор - не "как попало изгибаем цилиндр", и "изгибаем всегда на одинаковую кривизну". А значит можно порезать на дольки ортогонально оси цилиндра, а дольки потом через одну повернуть на 180, компенсируя избытки-недостатки

ох уж эти древне-античные определения интеграла :)

рад, что понравилось! :) группа в контактиках была, но толку от нее никакого совсем, за год со стартовых 100 человек осталось 98. Куча усилий в пустоту - еще хуже, чем на ютьюбчике :)

@@Hmath Там аудитория сможет с вами больше общаться) Для того, чтобы развиваться дальше, все равно придется делать

Я тоже смотрю обычно на английском: на русском по математике либо егэшечки, либо пустое словоблудие с летающими фракталами (в лучшем случае), либо 3 часовые лекции в каком-нибудь вузе, снятые в темноте, дрожащими руками.

хаха, а я как раз думал сделать что-нибудь с "летающими фракталами" :)

@@alx1984 Да, к сожалению у нас такого материала пока нет. Единственное -- Wild Mathing довольно близко подошел к похожему стилю изложения, к тому же его видео сделаны при помощи Manim (скорее всего) -- того самого, которым Грант с 3b1b делает свои знаменитые ролики.

а это как раз по сути и есть "2ой способ" в этом видео :) просто я в терминах этой теоремы не стал здесь рассказывать. Есть идея когда-нибудь позже сделать более интересные примеры и там про эту теорему упомянуть.

Нет!

Я почитал комментарии, оказывается эта аналогия с цилиндром действительно верна, но насчёт горизонтального интеграла никто ничего не писал. Я заострил на этом внимание, тк это не стандартная интерпретация для интеграла. А вот например интегралом лабега легко интегрировать кусочно-заданные функции именно горизонтальной разбивкой

нет, это точно такой же интеграл Римана, как и "вертикальный", просто другая переменная интегрирования. От того, что переменную обозначили буквой y, а не буквой х - ничего не поменялось.

Я не знаю другого объяснения, чем: "так получается из вычислений". Ну или можно сказать, что тор "со всех сторон круглый" - такое вот интуитивное объяснение :) Может кто-нибудь придумает лучше. Так же и с n-мерными шарами: почему для 2 и 3х измерений - пи в первой степени, а для 4 и 5 - во 2ой и т.д? В моем варианте объяснения: "так получается из вычислений" :)

​@@Hmath как вариант, но должно быть какое-то объяснение....

@@airatvaliullin8420 в шаре, цилиндре и конусе одна окружность, поэтому там pi в первой степени. А тор - это по сути декартово произведение двух окружностей -- в центре одной находится "дырка", а другая непосредственно представляет из себя "толщу" тора.

Думаю, наиболее просто это можно объяснить тем, что разрезая тор как тортик, на кусочки, вращениями этих кусочков тор переходит в цилиндр и одно пи идëт из площади основания, а второе из длины цилиндра, равной длине окружности

А как это можно объяснить исходя из теории информации? Как одни формулы переходят в другие? Например точка в линию, линия в круг, круг в цилиндр или сферу и всё это замыкается на себя в том? А если дальше продолжить, вращать тор вокруг некоторой удалённой точки? Что получится?

да, это же как пример, по такому же принципу можно с любой другой функцией (главное, чтобы функция интегрируемой была :) сделаю еще когда-нибудь другие примеры.

@@Hmath у вас реально классный канал) Я буду смотреть вас, люди тоже) Желаю вам, чтобы у вас было много подписчиков)

@@Hmath у меня был способ сложнее. Я думал это представить в виде тела вращения. Берём круг, поворачиваем его на очень маленький градус, потом вычисляем площадь поверхности этого бесконечно малого поворота. И так далее, потом суммируем. Как круг поворачиваем, но только по окружности, а не вокруг своей оси. Ваши способы гораздо проще моего)

это ж не мои способы, люди же веками разрабатывают разные методы. Так что каждый раз прежде, чем изобретать какое-нибудь колесо, нужно проверить, может быть его уже кто-нибудь изобрел лучше :)

@@Hmath все равно, спасибо, что распространяете их) Согласен с вами, не нужно изобретать колесо, нужно смотреть)

если это n-мерный объем, то и интеграл должен быть тоже n-мерный.

@@Hmath нашёл. Там параметризация n мерного объекта и вычисление интеграла пуассона.

именно так! Представьте, что у вас тор был мелко-мелко порезан как колбаса на кружочки, а теперь возьмем и повернем каждый второй кружочек на 180, так что на место толстого края ляжет тонкий. Получится цилиндр того же объема (естественно, в пределе)

@@MichailLLevin Очень доходчиво, когда про колбасу! Я тоже мысленно сворачивал цилиндр в тор, но разворачивать кусочки на 180° не догадался. А как это красиво! *Спасибо!*

ну так это же как раз то, что у меня в "1ом способе", только сразу с формулы для вычисления объема начинается и тор расположен вдоль другой оси :)

можно. только откуда у вас такая уверенность, что всегда, если "выпрямлять колбаску", то объем при этом не изменится? :)

​@@Hmath Потому и спрашиваю "чего здесь "не так"? Я на бумаге, (в смысле- на чертеже) разрезал колбаску, выпрямил.... " Разрезал"мысленно вдоль. Получилась трапеция. Ну и что? Площадь трапеции мы ведь ищем по средней линии... А средняя линия здесь=r. Если я неправ, то где????

я же не говорю, что у вас там неправильный ответ где-то получится. я из этого описания даже не очень представляю, что там куда разрезается и выпрямляется. Я слово "выпрямление" представляю, как "искажение" исходного тела. Почему вы уверены, что при таком "искажении" не меняется исходный объем?

@@Hmath Ну представьте себе колечко "краковской колбасы". (кончики, которые завязанные, обрезаем и замыкаем её, т.е. превращает в ТОР. Кто нам мешает эту колбаску сначала разрезать, потом выпрямить, т.е. превратить в цилиндр. Объем её поменялся? Нет. Цилиндр получился, конечно, не совсем красивый. Не геометрический. Ну и что? Основание и направляющая не перпендикулярны. Сверху и снизу- одинаково, симметрично не перпендикулярны. Потому, что внутренний диаметр колбаски(когда она была ещё в виде тора) и внешний не равны. Один. r-a. другой. r+a Отрезаем снизу ровненько так кусок колбаски и переносим его вверх. Ориентируем.... Все! Получился идеально- геометрический цилиндр. Основание- πа^2 Высота- 2πr... Как то так....

я же не запрещаю вам разрезать "колбаски". В первом же сообщение написал: "можно". Кроме того, вы бы почитали комментарии здесь, уже кучу раз тут "колбаски" обсуждали :)

в первые минуты объясняется зачем. Можно еще другие числа между собой умножать и тоже получать такой же результат.

​@@Hmathну короче Вы обиделись, что показали долгий способ, а зачем именно его/их - объяснить не можете. Речь про поверхности вращения? Общий способ - найти площадь сечения и умножить на длину окружности, получающейся при вращении. Можете привести пример, где этот метод не будет работать?

в первую минуту говорится: "показать на простом примере, как находить объем тела вращения." Вы сейчас говорите: "общий способ...." - откуда вы его взяли? просто так решили и все? и я должен его опровергать? :) а почему я должен его опровергать, а не вы доказывать, что он работает? Кроме того, что за "длина окружности"? длина какой окружности? их можно бесконечно много нарисовать и у них у всех будет разная длина. Да тут уже куча раз это все ниже в комментариях писали, можете не утруждаться повторять. Я же не спорю с тем, что какой-то метод работает. вы же не с этого начали. Вы написали: "зачем так сложно"? Чтобы было еще менее сложно, можно просто нагуглить формулу готовую для тора и всё - ничего не нужно будет находить.

@@Hmath ну Вы же тоже как-то пришли к тому, что нужно окружность вращать вокруг оси Оy ) аналогично в каждом случае становится понятно, какая именно окружность вращения нужна)

так какая нужна окружность? можно нагуглить и узнать, что та, которая через центр масс сечения проходит. Но почему именно так? Вы же просто фактически взяли уже полученную формулу и говорите: смотрите можно просто подставить в нее числа :) очевидно, что так проще, когда это уже получено кем-то и доказано, что работает.

Здесь глваное подход к решению, а не сам результат.

Нельзя так просто разрезать Тор и превратить его в цилиндр. Это тоже самое, что и цилиндр превратить в прямоугольный параллелепипед. Длина поверхности на внутренней части отличается от таковой на внешней. Если ты так преобразовываешь фигуры, то нужно доказать, что они получатся эквивалентного объема.

тогда мб можно взять длинну оси образованной движением центра окружности во время формирования тора типо 2*3,14...*(r+a) и уже использовать её. *хотя хз, правильно ли я сейчпс думаю, пишу это в 6 утра и ночь не спал

кста, если развернуть тор то выйдет что-то на подобие стопки дисковидных клиньев их можно "дополнить" такой же "стопкой" и тогда выйдет цилиндр как в изначальном комментарии, но объем тора будет в 2 раза меньше

​​@@hilight3rдлины внутренней поверхности и внешней поверхности нивелируются, превращаясь в среднюю поверхность, которая соответствует поверхности цилиндра. И это не то же самое. В результате вращения прямоугольного параллелепипеда мы получим цилиндр, а в результате вращения цилиндра мы не получим тор.

в большинстве видео я крайне серьезен и совсем не шучу :) а что за Низовцев?

@@Hmath ведущий один на ютубе. Его шутки, скажем так, не всем понятны. Но не переживайте, у умных людей своеобразное чувство юмора. Я это связываю с тем, что вам просто некогда заниматься ерундой. Еще раз спасибо за ваши труды по образованию таких неучей как я.