맞는 말인데, 선구자들은 직관이 없으면 복잡해서 만들 수가 없는데, 대부분의 배우는 학생들에게 직관은 매우 조심해야 될 부분임.

@@myself6996 ?

@@myself6996 수학에서의 증명은, 자신의 생각을 타당하게 전달하기 위한 수단으로 중요하죠. 일단 자신의 주장을 일목요연하게 정리해서 전달하는 연습부터 시작해 보세요. 지금 간단한 말도 제대로 문법에 맞추어 구사하지 못하시는 것 보니 안타깝습니다.

@@dongwonkim5043 위에 분 말이 맞아요. 전 이해가 잘만 되는데 윗분 국어실력 걱정하지 말고 님 문해력을 키우는건 어때요?^^ 정말 안타깝네요

@@ndsudld4834 아 반성할게요 ㅋㅋㅋㅋㅠ

맞습니다. 상당히 무리(無理)한 거지요. 하물며 영어 일파벳 F를 써놓고는 15라고 그러던가 16이라고 그러던가.... 하여튼 뭐라 헛소리를 합디다.

e하하하하

이해가 한번에 되네요 😂

이런 무시기.. 모든 숫자가 무리수냐?

@@user-ghj3d8dgh 드립이잖아용..

어느 학교를 재학 하시길래 시험에 그런게 나오나요?

감사합니다!

감사합니다~!

감사합니다!

사실 저도 눈 감고 생각하다 자는 경우 많습니다..

superfactorial 인가 보네요? 3$ = 1! x 2! x 3! 과 같이 정의되는 것 같습니다.

@@12math 그렇군요! 답변해 주셔서 감사합니다!

고맙습니다!

n이 분모일때을 가정하고, 눈금단위는 더 잘게 쪼갠 n!로 사용한 논리입니다

한 핀테크 업체에서 ai 엔진개발 총괄하고 있습니다

네 한편으론 정수인데 또다른 한편으론 정수가 아니니 모순입니다

항상 가정이 참인 명제만 다루니 어색하실 수 있겠습니다만, 참인지 거짓인지 아직 모르는 명제에 대해 참이라고 가정하는 것 자체에 논리적 오류는 없습니다.

모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있고, 모든 순환소수는 유리수이기에 원주율이 유리수이지 않느냐는 질문이랑 같은 질문으로 볼 수 있을 것 같습니다.(실제로 어떤 수가 실수라고 가정한다면 무리수가 아니라면 유리수니까요) 유리수를 '분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수'로 뭉뚱그려 나타내는 경우가 많은데, 정확하게는 (정수)/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 말하기 때문에 그렇습니다. 실제로 원주와 지름이 둘 다 정수가 되느냐고 묻는다면 그렇지 않죠.

납득하기 위해 가장 좋은 비유는 문이 3개가 아니라 100개라고 가정하는 겁니다. 100개의 문 중에 상품이 한 문 뒤에 존재하고 사회자가 님이 선택한 문 외의 98개의 문을 열어서 뒤에 상품이 없다는 걸 보여줬다면, 선택한 문을 바꾸실 건가요 아니면 처음 선택한 문 뒤에 상품이 있을 거라고 믿으실 건가요?

@@xiti2834 애초에 전제가 문 3개에서 시작하는건데 문을 늘리면 전제를 바꿔버리는거 아닌가요? 문 4개이상일때는 님말이 맞겠지만 문3개일 경우는 다르게봐야죠

@@bobddOKGG 문 4개 이상과 문 3개가 왜 다른 전제가 될까요? 어쨌거나 문을 하나만 남기고 연다는 전제는 동일한데요. 이해가 안 되고 납득이 안 되신다면 다른 설명을 해보겠습니다. 몬티홀 문제의 맹점은 "바꿀 것이냐, 유지할 것이냐"라는 양자택일 질문을 이용해 마치 확률이 1/2인 것처럼 속인다는 점에 있습니다. 만일 '거짓 문을 열어주면 반드시 문을 바꿔야 한다.'는 규칙이 있다면, 이 게임의 승률은 어떻게 될까요? 이 경우 이 게임에서 이기기 위해서는 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없어야 합니다. 문 세 개 중에서 상품이 있는 문은 오직 하나이므로, 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없을 확률은 2/3이 되고, 이 확률이 그대로 이 변형 몬티홀 문제의 승리 확률이 됩니다. 즉, 반드시 문을 바꾼다는 룰이 있거나 선택자가 그런 전략으로 임할 경우, 몬티홀 문제에서 문을 바꾸는 경우의 승률은 2/3이 되는 것입니다.

@@xiti2834 아 100개라고 생각해도 이해가 안 됐는데! 새로운 규칙에 따라 무조건 바꾼다고 생각하고 확률이 몇일까 생각하니까 드디어 몇 년 만에 이해가 됐어요! 감사합니다

영상이 의미하고자 하는것은 알겠지만 오류가 있네요 뒤에있는 항의 합이 앞의 한눈금보다 작다는 것으로 증명했는데 1/4^(n-1) 수열을 예로 들자면 q항인 1/4^(q-1) 을 한 눈금으로 잡았을때 뒤의 항의 합이 1/(3*4^(q-1)) 이여서 q항보다 작지만 수열의 합은 무리수가 아닙니다. 뒤의 항의 합이 앞의 항보다 작다면 그것을 한 눈금으로 했을때 어떻게 되는지 보여야 할것입니다

무한등비급수는 무리수가 아니겠지만 그것보다 무한합이 작고, 그게 앞에 정의한 한눈금보다 작다는 논리입니다.

@@user-of8dp7xk2u 그래서 분자 q를 90으로 두어서 눈금의 간격을 1/90으로 고정한 것이죠. 나머지 항 들을 더 해도 눈금 하나를 채우지 못하니 모순이 발생하는 것입니다. 더 작은 눈금에 대해서도 설명해야 한다는 것은 처음 q=90이라고 둔 전제에 어긋나는 것입니다.

@@JSH118 분모를 무한대로 두지 않는 이상 증명은 어렵지 않나요? q를 90으로 잡고 91부터의 합이 눈금을 다 채우지 못한다 하더라도, 그만큼 작은 눈금 또한 존재하기 때문에 결국 무한대로 보내야 증명되는거 아닌가요? 영상 내용 이해는 했지만 무한대에 관한 설명은 좀 아쉬운 것 같네요

@@happiness26764 처음 90으로 예를든건 일반적인 상황을 도출하고 이해하기 위한 예시로 든것입니다 결국 마지막에는 임의의 정수 p/q를 e로잡고 q!으로 했으니 결국 무한대의개념을 도입해도 오류가발생해서 e는 무리수이죠

0.999... 은 정확히 1이고 눈금에 있는 수입니다. 점점점으로 표기하는것이 가까워지는 그 수 자체를 지칭하는 것입니다. 영상에서 말하는 논리에서도 무한등비급수 자체는 유리수입니다. 무한등비급수보다 작은 값이라 눈금위에 있지 않은 것이 포인트입니다.

+가 좀 이상하게 되어있네요

네. 결국 p/q(p,q는 정수)꼴로 나타낼 수 없다는 사실은 바뀌지 않으니까요

@@siuuuuuuu563 감사합니다

재밌는 건 무리수 진법이라는 것도 있다는 겁니다. 루트2는 루트2진법으로 1이고, 2루트2 진법으로 0.5이고, 루트3진법으로는 (루트3/루트2)죠. 이런 것도 생각해볼 수 있어요

우리 게이는 1/3도 신기 하노?

ㄹㅇ 이거네ㅋㄱㅋㄱㅋㄱㅋㄱㅋㄱ

@시그마 비슷한걸로 1+2+3+4+5+6+7+...=-1/12이 있습니다.

이것도 짝대기 그리면 수학적인지는 모르겠지만 이해되네요

모래 알갱이 무한히 쌓으면 달에 왜 도달 못해 ㅋㅋ

영상의 내용은 무리수의 통약불가능이라는 주제로 중학교 교사용 지도서에서참고용으로 다루긴 합니다. 하지만 학교에서 무리수를 이렇게 도입하지 않는 이유는 이 방식에는 귀류법 즉, 모순을 통해 unit(공통척도, 공통단위)가 존재하지 않음을 설명해야 하는데 보통 수준의 중학생들이 받아들이기 쉽지 않습니다. 따라서 모순을 보일 필요가 없는 ‘순환하지 않는 무한소수’로 도입하는 방식이 훨씬 자연스럽고 받아들이기 쉽기 때문에 그렇게 정의하는 것으로 알고 있습니다. 교과서 정의를 학습한 이후에 심화 학습이나 창의적 과제를 통해 가르치시는 분들이 계실 수도 있겠네요.

@@sunwaptaaa 감사합니다. 무리수의 이런 성질을 통약불가능성(Incommensurability)이라고 하는군요. 어릴적 수학 공부를 할 때, 새로운 내용을 쉽게 쉽게 받아들이는 친구가 있고(보통 이런 친구들이 수학 성적이 좋았습니다) 이미지나 맥락 없이는 받아들이기 힘들어하는 친구가 있었는데, 저는 후자였습니다. 제게는 '정수, 소수, 순환하는 무한소수, 순환하지 않는 무한소수..'의 설명보다 무리수의 통약불가능성을 다루는 위 영상의 설명이 실수의 연속성에 대한 이미지가 만들어지면서 압도적으로 재밌고 의미있게 다가오는데요. 중학생 수준에서 증명까지 하지 않더라도 무리수는 '눈금 사이에 찍힌다'를 소개해줬더라면 더 재미있게 수학을 배웠을 것 같습니다. 상상의 나래를 펼치면서요 ^^

정확하다기엔 애매하긴 하지만 학교에서도 무리수가 유리수의 눈금 사이에 찍힌다는 사실을 전달하긴 합니다. 수직선에 나타낼 수 있는 모든 숫자는 유리수와 무리수로 이루어져 있다는 이야기로요

5개월전의 댓글을 지금봤네요. 일단 이 설명에서도 등비수열의 합 개념 등 중학교교과서에 싣기엔 다소 버거운 내용이있어 중학교과정에선 설명할 수가 없고요. 고등학교에서도 e가 무리수라고 알려져있다고만 기술하고있고 무리수임을 증명하지 않습니다. 이유는 직관적이지도않고 너무 어렵습니다… 무엇보다도 이 설명을 이해하셨다 하시니 원래 증명도 똑같이 전개되는 같은 내용이기에 쉽게 이해하실 수 있을텐데요. (물론 12math님이 너무나도 설명을 잘해주시긴했지만요). 단지 이번 영상은 왜 증명과정이 갑자기 왜 저렇게 튀어나오나에 대한 설명이라 생각하심 됩니다.

그러겠죠? 무리수가 순환하지 않는 무한소수니까요

@@user-wb4gk8cn3c 아 맞다 무한소수엿지..

@@Snowflake_tv 무리수는 유리수의 코시수열의 극한으로 표현돼서 그렇습니다

조금만 더 고민해보셔요~!

우변 값이 정수가 아니라는 보장이 없습니다~

@@user-ee2ge8bp9v 우변에 1/(1+q) +...가 1/q보다 작으므로 우변은 정수일 수가 없습니다. 영상에서는 무한등비급수를 이용해서 보였고, 영상에서의 눈금을 이용한 증명과 근본적으로 같습니다.

무한등비급수는 뒤에 있는 무한합이 정확히 한 눈금을 차지하게 되는 q가 있게 됩니다.

이메일 주세요 :)

무한등비급수는 유리수입니다. 합이 그 유리수 값보다 작고 눈금 한칸이 채 안된다는 것이 포인트입니다.

무한등비급수와 무한급수의 정의가 모호하여 발생한 혼돈 같습니다.

이런 혼동을 겪고 있는 사람이 많은 것 같은데요, 영상 7:21부터 다시 보시면 됩니다. 쓰신 경우에서 1/128을 표현하지 못하는게 아니고, 1/128 부터 나머지 다 더한게 1/64보다 작음을 보일 수 없기 때문에(사실은 1/64 그 자체이지요.) 무리수임을 증명할 수 없습니다.

무리수도 대응되는 점이 있지만, 영상에서 말씀드린 눈금에 해당하지 않겠죠. 그리고 0.999...은 정확히 1에 대응하는 숫자입니다. 제 영상중 0.999...에 다룬 영상도 있으니 참고부탁드려요.

@@12math 제가 시간이 없어서 중반부분까지만 보고, 수직선에 대응시킬수 없어서 무리수이다 로 논리를 전개하실줄 알고 답을 달았는데... 집에와서 끝까지 보고나니 무릎을 탁 칠 내용이네요. 좋은 영상 잘 봤습니다. e는 임의의 정수의 역수에 자연수배가 될수 없으므로 유리수가 아니다라는 논리는 아주 멋진것 같아요.

저도 첨언을 하자면 0.999....는 정확히 1이랑 같은 수입니다.3-2가 정확히 1인 거랑 같이요.결국 무한등비급수는 극한의 개념인데, 고등학교 때는 극한의 허술한 정의와 무한소의 애매함때문에 혼돈을 야기하는데 일단 넘어갑니다.마치 원의 넓이를 중학교때 배우는데 증명 안하고 넘어가는거랑 같은거에요.왜냐하면 결국 원의 넓이 증명은 적분을 써야하니까요. 마찬가지로 극한의 수렴값 또한 입실론-델타 논법으로 다시 정의하게 되고 이러면 모순들이 없어집니다.극한의 수렴값은 다가가는 값이 아니라 정확히 그 값입니다. 즉 초항이 a 공비가 r인 무한등비급수의 합의 수렴값은 a/(1-r)인데 이 과정중 n이 무한대로 갈 때 r^n의 극한값이 0에 가까워지는 무한소가 아닌 실제 0입니다. 무한소는 실수체계에서는 존재하지 않아요.단순히 생각해봐도 실수가 빽빽한데 무한소가 있다는 얘기는 모순입니다.왜냐하면 무한소의 절반도 무한소이니까요🤣즉 결국 무한소는 0이 될 수 밖에 없죠. 이렇듯 극한과 무한소는 양립할 수 없어요.애초에 미적분을 만든 뉴턴과 라이프니츠가 무한소가 애매한 개념임에도 사용했던 것이고, 자꾸 모순이 생기니 나중에 코시가 실수의 조밀성을 이용한 입실론 델타 논법으로 명확하게 정의합니다. 그리고 사실 극한까지 갈 필요도 없이 0.333....=1/3의 양변에 x3 0.999....=1임이 자명합니다. 사실 수학에는 "다가가는 수"라는 개념 자체가 없어요.수는 항시 고정입니다🙂 나중에 시간 되시면 입실론 델타 논법을 봐보시면 그 정의의 테크니컬함에 무릎을 치실겁니다😆

@@Zeddy272 저분은 0.999...이 1이 아니라고 하시지 않았어요. 0.9, 0.99, 0.999, ...의 극한이 1이 된다고 하셨죠.

​@@졸지마 "한없이" 다가간다는 표현이 잘못된 표현입니다. "한없이"라는 표현은 무한소를 전제로 했기 때문에 틀린 거에요. 0.999...는 1에 "한없이" 다가가는 수가 아니고, 정확히 1 입니다. 0.333.....=1/3인데 1/3은 그냥 유리수일뿐 어느 값에 다가가는 숫자가 아닙니다. 정리하자면 "한없이 다가가는 숫자"라는 거 자체가 수학에는 없구요.극한 또한 한없이 다가가는 것이 아닌 입실론 델타 논법으로 정확히 수렴값에 대응되는 그 값을 가집니다.🙂이게 현대 표준 해석학의 논지입니다. 고등학교에서 입실론-델타 논법을 가르치지 않는 이유는 중학교에서 원의 넓이를 정적분으로 증명하지 않는 것과 같은 이유입니다. 사실 그래서 저도 입실론-델타 논법을 배우기 전에는 똑같은 오해를 했었습니다. 이런 혼란은 교육 과정의 잘못이 아니라 그만큼 수학의 엄밀성을 반증한다 생각해요.