この問題を作成したものです！解いてくださってありがとうございました！

今まではほんとに何もわからなかったけど、ついこの前Cを使う計算を習ったからノリノリ実験一緒にできて嬉しい、、、！！！！！

こういう系の動画まじであと45本くらいほしい

たぶん、一番シンプルな解法は以下のものかな 一般に整数nに含まれる因数2の個数をord2(n)と定義する。 pを0以上の整数として2^p≦n

見てても何にもわからないけど悩んでるこの二人をいっぱい見せてくれて東工大サークルありがとう

数学勉強してて問題自体よりは定義とか条件に詰まって泣きそうになるけど、当たり前かもだけどでんがんさん達は当然のように武器として使えてて本当に凄い。自分は受験生なのにそれに迷ってるせいでペースが遅すぎる…

キムの途中のガウスの証明めっちゃサラッと綺麗よな

n!に含まれる2の因数の個数を求める関数g(n)を考えると nが偶数のとき g(n)=n/2+g(n/2) という性質がある これを使うと g(2n)-2g(n)-1=n-1-g(n) となって自然かつ結構簡単に求めたい条件がn-1=g(n)と同値だとわかる

キムさんの計算用紙の書き方きれい。

nCm (mod p) 【≒nCmを素数pで割った余り】に関する議論としてはLucasの定理、v[p](nCm)【≒nCmが素数pで何回割れるか】に関する議論としてはKummerの定理が知られています。この問題解いた後にKummerの定理の証明を眺めるとめっちゃ世界広がるからおすすめです！

このシリーズ大好きだから終わらないでほしい…🥹🥹

方針として出てきたn！の素因数の個数に関する式はしばしばルジャンドルの定理と呼ばれているものですね。 ちなみにこの定理にガウス記号が登場していますが、ガウス記号には天井関数版と床関数版が存在し、今回は床関数を用いた定理となっています。

完全にシリーズ化ですなぁ。 タイトルにPart.いくつとかつけても良いんじゃないでしょうか?😊

nを2進法で表した時の1の数をf(n)とするとn!が2で割り切れる回数はn-f(n)なので2nCnはf(n)回2で割り切れる f(n)=1よりn=2^k

₂ₙCₙ=2n(2n-1)…(n+1)/n(n-1)…1 と表せる、ここでn=2ᵏのときmodnで 1≡n+1、2≡n+2…n-1≡2n-1が成り立つので、それらは2の素因数に関して打ち消しあい（2進数で考えてもらえば分かりやすいと思います） 残った2n/n=2となるので₂ₙCₙは素因数2を1つしか持たないことが分かる

普通に2の乗数で割った数を整理するだけで出来ましたよ！ nを2^m < n < 2^(m+1)を満たす数と仮定すると n = 2^m + K (K < 2^m) とおける。 ここで、Kを2でL回割れる数だと考えると 2nを2^(L+1)で割った数とnを2^(L+1)で割った数のガウスを2倍した数とで、数値が1ズレる。 2^(m+1)で割る時も同様のズレが生じる為2で割れる回数に2回ズレが生じる。 この結果はLの値によらない為、 nが2^m < n < 2^(m+1)を満たす数である時 2nCn/2は偶数となる。 nが2^m の時は2^(m+1)で割る時しかズレが生じないので奇数 これで出来てると思います！

パスカルの三角形を偶奇で色分けするとシェルピンスキーのギャスケットが出てきて、2n=2^k(kは自然数)以外の時はその幾らか上に１～n-1まで全部偶数の段があるから生成される2nCnは偶数の二倍、つまり4の倍数だな、という直感が働いた（分かりづら）

整数問題、解くのはハチャメチャ難しいけど回答は割と理解できるから見てて楽しいです

2nCnに関する整数問題って東工大でちょっと前に出題されてたよねたしか！

東工大模試研究会の人に連絡取って、出題者に設問の意図を説明してもらうとかのコラボしてほしい。

14:32ぐらいのとこのキムの仕草可愛い

解く過程がわかるかつ新しいこと、今回はルジャンドルの定理、を知ることができて気持ちいい！次回も期待しています！

n を2進数表記してルジャンドルの定理を使えば n! が2で割り切れる最大回数が n - (nを2進表記したときの各桁の和) になるので そこから (nを2進表記したときの各桁の和) = 1 が必要十分とわかります

6:45 のでんがんさんが問いかけてキムさんが証明してた数式 僕自身が受験した、岡山大学文系数学2014の大問3で出てきました笑笑 当時、この大問完答できて全完できたかも！！！！と思ったら、 大問2のベクトルの序盤で計算ミスしてた＆大問４の確率ちょいミスで 200点中150点くらいだったのいまだに思い出（教育学部合格できました）

動画を見る前に自分なりに解いてみました。 2nCnに2の素因数がただ1つ存在するとき、2nCn/2は奇数になる。 2nCn =2n!/n!n! =2n(2n-1)(2n-2)…(n+1)/n! ・・・① ①式から偶数の因数のみを取り出したものをf(n)とする。奇数の因数には2の素因数は含まれない為、f(n)に含まれる2の素因数の数と、2nCnに含まれる2の素因数の数は等しい。 n=1の場合、2nCn/2=1となり、題意を満たす。 nが偶数の場合、n=2k(kは任意の自然数)として、偶数の因数のみを取り出すと、 f(2k)=4k(4k-2)(4k-4)…(2k+2)/2k(2k-2)(2k-4)…2 =2k(2k-1)(2k-2)…(k+1)/k! =2kCk となる。 2kCkとf(k)に含まれる2の素因数の数は等しい為、2nCnとf(k)に含まれる2の素因数の数は等しい。 同様にして、n=m･2^i(mは任意の奇数、iは任意の自然数)とすると、2nCnとf(m)に含まれる2の素因数の数は等しい。 nが3以上の奇数の場合、n=2k+1として、同様に偶数の因数のみを取り出すと、 f(2k+1)=(4k+2)・2kCkとなる。 2kCkは必ず偶数になると仮定する。 nが3以上の奇数の場合、f(n)は2の素因数を2つ以上含むため、題意を満たさない。 nが偶数の場合、mが3以上の奇数のときに題意を満たさない。m=1のときに題意を満たすため、m=1のときにのみ題意を満たす。 よって、この仮定が真ならば、n=1, 2^iのときに題意を満たす。 2nCnが必ず偶数になることを数学的帰納法で証明する。 n=1の時、2nCn=2で偶数となる。 n=kのとき、2nCnが偶数であると仮定すると、n=k+1のとき、 2k+2Ck+1={(2k+2)(2k+1)/(k+1)^2}・2kCk =2(2k+1)2k!/(k+1)!k! となり偶数となる。 よって、2nCnは全ての自然数nに対して、偶数となる。 よって、n=2^a(aは0以上の整数)のとき、2nCn/2は奇数となる。

今回は☆8の中では結構易しめだと思う。試験時間が長いなら出せる問題。

今回の証明の考え方は、チェビシェフの定理の証明の不等式評価でよく用いるようなものが多いですね！

二項係数関係の問題って色々あって、例えば ₂ₙCₙ=Σ[r=0,n]ₙCᵣ² とか。 まぁ色々楽しんでみて。

安定のでんキムペア！！

分子を偶数の積と奇数の積に分けると、計算途中で2^nが出てきて解きやすかった

キム氏のノートすごく綺麗。将来はでんがんさんの予備校のカリスマ講師になるのかなあ？

2n!/n!=2のn乗*(奇数)になるからn!が持つ2の因数が(n-1)コになるものを探しにいく視点から入っても良さそうな感じがする、、 シンプルでかつめっちゃいい問題でした！ガウスの考え方参考になります！

任意の自然数nに対してあるkがあって、2^(k-1)≦n

問題がシンプルで、答えもカッコイイ！

このシリーズは面白すぎる

n=2^kで成り立つのは割と簡単に証明出来て、 素因数の2の個数は、n以下の2の累乗で割りきれるから Σ_{i=1}^{k} 2^{i-1} で2^k-1になるから、分母がこれの2倍で分子がkを2kに置き換えた奴になって、2が一つ余るので奇数になる。 次に1

この東工大作問げんげんに解いてほしい

nを2進数で表したら一瞬で解けたよ。2進数で表したときの1の数が2nCnを2で割れる回数になるから2^kのときだけ2で1回しか割れない。証明も割とかんたんだった。

2nCn = (2n)!/(n!)^2 n! が2を素因数にもつ個数を f(n) とすると, 2nCn/2 が 2 を素因数に持つ個数は (n + f(n)) - (2f(n) + 1) = n-1 - f(n) ルジャンドルの定理より f(n) = [n/2] + [n/4] + … ここで 1 + 2 + 4 + … + 2^k = 2^(k+1) - 1 であることを思い出すと, n = 2^k 以外のときは切り捨ての影響で n-1 より小さくなるということが考えられて, 実際そう

東工大オープン受けてほしい

6:04 この式変形したら①\sum_{k=1}^m [n/2^k] = n-1 になり、ガウス記号の定義に従って①の値を不等式評価したら、n

クンマーの定理が強すぎる･･･

6:48 証明しました、好きですw

パスカルの三角形の全ての数を2で割ったあまりに書き換えれば良いですね。 東大の過去問に同様の問題があるのでそれを参考にしたのでしょう。

なのでさっき僕は証明しました みんなで数学やってる時に一度は言ってみたいセリフですねぇ・・。

13:00位からとうとうパンクしてついていけなくなった...

(2n)!に含まれる約数2の数は2n自体を半分にして切り捨て、2以上であれば半分にして切り捨てを繰り返すだけで良く、nが2^mとなる時は(2n)!に含まれる約数2の数は2n-1個、n!に含まれる約数2の数はn-1個で成り立つ それ以外の時は面倒なのでパス

卒業して数十年経った阪大卒業生です。最近積サーさん界隈の動画楽しく観させてもらってます。今もう一度数IAからやり直してみたくなりました。

マジで需要あるね、数学科b1的には本当に嬉しい。楽しい限りだわ。 受験生終わってからでよかった〜笑

東工大の模研の人達なんでこんな問題作れるんや、、、 東工大行く説濃硫酸ですね

この問も周期関数の問も東大で出てきたら捨て問でしょｗ

お互い同じ色のペン使ってて、なんかいい

nを二進数で考えると二進数表記でn=100....000しか成り立たないことは結構すぐわかるのでそれですぐだと思います

ずっとやってほすい

解答考えてみました n=(2^k)*m (kは0以上の整数、mは奇数)とおいてf(n)をnを2で割れる回数とするとして定義すると、 f(2nCn)=f((2n)!)-2f(n!)であり、具体的にf((2n)!)、f(n!)を考えると、 f(2nCn)=m-f(m!)となるが、ルジャンドルの定理をm!に適用し、任意の実数xに対し[x]

これ誘導ついてどっかで出されそう

今回もありがとうございました。 全くわからないのに一番好きです。 この企画に触発されて1A白チャート買いました。 月一回とか信じられない、あっという間ですね。楽しそうなお二人を何度も見てます。 いつかは理解できるようにと、白チャから継続していきます。 是非ともこの企画、無理のない範囲でどうか続けてください。 お二人と作問者に感謝と敬意を込めてコメントさせていただきます。 長文失礼しました。

キムさんの爪綺麗すぎて見とれてた、

2n!はn!より2の因数をn個多く持つこととn=2^kの予想を一緒に考えたら簡単に解けたよ！

ord_2(n)=n-popcount(n)なので、 popcount(n)=1ですね (popcount(n)はnの2進数表記時の各位の和) 他の方もおっしゃってるように、クンマーの定理の証明を知っていると方針が見えますね。(p=2の証明は結構簡単)

ルジャンドルの定理を独自に導いたってことでOK?

証明するのはよく分かりませんが、nを2進数で表した時の1の数分だけ、2nCnを2で割れるような気がしました

むずすぎる

10:54のとこ正しくはガウス記号の中のnはLが正しいんだけどね。

友達に出されて解けなかった問題置いておきます。 問。次の不等式を証明せよ e^(1-π/2)

続編まってました！😂

待ってましたぁぁぁ！

このシリーズいちばんおもろい(解説の意味はわからん)

いつかガウス記号の授業とかも出るのかな〜

₂ₙCₙ/2=₂ₙ₋₁Cₙ=奇数 mod2のパスカルの三角形を描いて₂ₙ₋₁Cₙの部分を見ればわかりますね

ちょー嬉しい

ホリエモンの東大受験企画でヨビノリが数学の魔術師として出てきた時にキムさんが行ってた問題を見た記憶がありました。

これって漸化式的に解けそうやな

3:19きむかせつなんちゃらのすけ

ふむふむ、、、。 なるほど、わからん。

東工大生なのに模試研究会の存在を初めて知った、、

いやむずい

2015東大のと確かに似てはいるけど難易度が違いすぎる

N=2^k+aと置くと、aが0でないときは必ず分母の2の数が分子より2つ以上多くなる。a=0なら2^k+1の１つ分だけ多くなる　でどうでしょう？

頭良すぎて理系だけど全く着いていけないw

もうルジャンドルやん笑

11:24の式の右辺にあるnってlの間違いではないでしょうか、、？

今回は比較的簡単でしたね

おもろすぎるw

東大後期に似た問題あったようななかったような

受験期に見てたらどんだけ学びがあっただろうか、、、3年遅かった(*^^*) まぁ、オーバーワークやけどね

パスカルの三角形書いて2ᵏにはすぐ気づけて気持ちよくなってたけの、結局証明難しかったw

九大(旧帝底辺)でこれ出たら発狂するわ笑

この企画に河野玄斗呼んでほしい

Tシャツちっちゃ！

東大文系の過去問かと思ったわ

キム、小山功に見えてきた

うぽつです ＿ |＼○＿ .ᐟ.ᐟ

この問題に実際に入試で遭遇したらどこで見切りをつけるかがポイントになりそう

いつまで数学の勉強してんねんww

ヨビノリがルジャンドルについてやってたなー

久本さんて整体があまり近づかないよね

この東工大作問げんげんに解いてほしい