Найдите наибольший объём конуса

No video

Найдите наибольший объём конуса

Рет қаралды 11,884

Күн бұрын

Найдите наибольший объём конуса, образующая которого равна 3.
Предыдущее видео: • НОВАЯ задача из ЕГЭ пр...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru

Пікірлер: 50

@vkr122 4 ай бұрын

V=1/3π*r*r*h, выразим все через высоту V=1/3πh(9-h*h) величина 1/3π постоянная и на максимум не влияеет, значит нас интересует мах h(9-h*h)=9h-h*h*h его производная 9-3h*h, корни y=+-√3 ветви функции обращены вниз, значит исходная функция возрастающая до значения н=√3 , которая соответствует данным задачи (0

@AlexeyEvpalov 4 ай бұрын

Нахождение максимума функции с помощью производной. Спасибо за полезное видео.

@hkleiser5848 4 ай бұрын

можно еще r^2 на 9-h^2 заменять, тогда производную считать проще

@palhegedus8960 4 ай бұрын

По теореме Пифагора х^2 = 9 - h^2, значит надо найти максимум функции h*(9-h^2)= 9h-h^3. Легче, чем возиться производной всяких корней!

@katajator4114 4 ай бұрын

Это общий метод и очень удобный. Главное, уметь находить производные

@katajator4114 4 ай бұрын

Да, я также нашла наибольшее значение. Спасибо

@sergeyserebryakov3330 3 ай бұрын

Через высоту решать проще. Выкладки проще, ошибиться труднее. А так ответ конечно правильный.

@praleks 4 ай бұрын

А если вместо h выражать R то будет проще

@user-op2qp5sj5w 4 ай бұрын

Большое спасибо за вашу работу для всех нас. Объяснение высший класс.

@technodom4410 4 ай бұрын

Спасибо, всё доходчиво, понятно, выбор того способа, который считаете для вас более нужным.

@user-lh7xc1vr2y 4 ай бұрын

Нажал паузу. И вот, что скажу. С точки зрения алгебры это фигура вращения вокруг оси h. И находится она как интеграл от формулы наклонной пррямой, которой и есть образующая. А по сути интеграл это площадь фигуры ограниченной линиями (в данном случае это треугольник со сторонами 3, х, h). И чем больше площадь этого треугольника, то и напрямую и будет больше объём конуса. А это достигается при условии, что x=h. То есть мы имеем равнобедренный прямоугольник. А у него 3 это гипотенуза. Следовательно x=(3*scrt(2))/2 и h=(3*scrt(2))/2. Т.е. x=h~2,121.

@serferinterneta 4 ай бұрын

нашел через максимум выражения 1/3пи*(9h-h^3) методом подбора (1,73 высота и 10,88 соответственно объем), спасибо за способ решения через производные.

@kosyakovy 4 ай бұрын

График G1 квадратного трехчлена y = px2 + qx + r с веще- ственными коэффициентами пересекает график G2 квад- ратного трехчлена y = x2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Ока- залось, что точка C лежит на графике G1 . Найдите все воз- можные значения p.

@user-pb2sx9xq5g 4 ай бұрын

получается при максимальном объеме радиус основания и высота относятся как 2:1. Еще бы понять откуда двойка вылезает, может в производной формулы объема из квадрата радиуса?

@ValeryVolkov 4 ай бұрын

Нет, отношение равно корню из 2.

@user-pb2sx9xq5g 4 ай бұрын

@@ValeryVolkov да, корни забыл, но откуда корень из двух берется?

@pro100SOm 4 ай бұрын

як корень з 2 до 1...

@user-er6zr1tm3i 4 ай бұрын

Через тригонометрию производная проще. h = 3*sin(a), r = 3*cos(a) и далее ...

@zawatsky 4 ай бұрын

По определению конуса, наибольший получится поворотом треугольника с наибольшей площадью (его поперечного сечения). А это прямоугольный треугольник, в нашем случае - равнобедренный.

@user-mu7zw7kj9l 4 ай бұрын

Нет, совсем не так

@zawatsky 4 ай бұрын

@@user-mu7zw7kj9l ну а как ещё? Нет, я понимаю, что у кого-то и 5+7 это не то же самое, что 6+6...🤭

@kara6as 3 ай бұрын

в нашем случае объем будет равен произведению площади упомянутого вами треугольника на длину окружности, описанной его центром масс при повороте. это справедливо для любого объема, полученного несамопересекающимся движением плоской фигуры (емнип)

@zawatsky 3 ай бұрын

@@kara6as то есть максимальным объёмом треугольника, как я и сказал. При сужении угла уменьшается и площадь, и окружность. При расширении длина окружности увеличивается, но площадь уменьшается. Т. е. рассматриваем только второй, спорный, случай. При увеличении основания на условную единицу ▫R²=h₂²+(r+1)²; ▫R²=h₁²+r². Решаем систему, считаем изменение высоты: ▫h₁=√(R²-(r+1)²); ▫h₂=√(R²-r²); ▫Δh=h₂-h₁=√(R²-r²)-√(R²-(r+1)²)>0 (уменьшается); Изменение длины окружности Δl=l₂-l₁=2π(r+1)-2πr=2π(r-r-1)=2π>0 (увеличивается). Изменение объёма. ▫ΔV=ΔS*Δl; ▫ΔS=Δh(r+1); ▫ΔV=Δh(r+1)Δl, отрицателен должен быть один либо все три множителя; ▫r+1>0, Δh>0, Δl

@ЧувакИзКосмоса 4 ай бұрын

Благодарю за здравое решение. Сам думал, что угол меж R и l должен быть до предела приближен к развёрнутому, оттого вырастет радиус, а вместе с ним и объём, но не учёл, что высота окажется слишком маленькой, отчего это с лихвой перекроет возрастание радиуса. Так что мой "способ" годится только для нахождения наибольшей площади основания конуса. К слову, проверил угол меж R и l через арки. Синус равен корень(3/6) = корень(1/2) = корень из двух пополам. То есть угол равен 45°.

@Prezident_maktab_testlari 4 ай бұрын

Привет! Какую программу вы пишете на графическом планшете? пожалуйста, скажите мне

@wehg602n 4 ай бұрын

Я бы, для таких как я, которые сразу уже не могут по ответу разобрать, как получился ответ от взятия производной сложной функции, расписать, как он получился) А так, конечно же спасибо

@user-zy5tt8nu9h 4 ай бұрын

Проще, если высоту обозначить через х, тогда удобнее брать производную.

@Mordorian_Orque 4 ай бұрын

можно выразить всё через угол между образующей и высотой. Но не уверен, что там очень простое дифференцирование. Надо, в общем, брать ручку, бумагу и составлять функцию.

@user-zz5wx4xw1f 4 ай бұрын

R=3cos(x); h=3sin(x) V=1/3*π*R^2*h=9π*cos(x)^2*sin(x) dV/dx=9π*(-2cos(x)sin(x)*sin(x)+cos(x)^2*cos(x))=0 2sin(x)^2=cos(x)^2 tg(x)=1/√2 x=arctg(1/√2)

@user-zz5wx4xw1f 4 ай бұрын

А также особые случаи sin(x)=0, cos(x)=0. Но они явно неинтересны.

@user-pi6fe7sg7o 4 ай бұрын

Можно взять за базу угол между образующей и радиусом .Найти угол и соответственно радиус с высотой

@user-dc3su1yh6f 4 ай бұрын

Это общая формула при известной образующей? Высота всегда корень из образующей, а радиус корень из двух образующих?

@user-zz5wx4xw1f 4 ай бұрын

Нет.

@wehg602n 4 ай бұрын

"Обозначим радиус через "x". Нет, "х" мало, пусть будет "z"

@SS_Serge 4 ай бұрын

Как давно это было

@benduolo 4 ай бұрын

Почему такие границы у радиуса? Типа проекц. всегда не больше проецируемого отрезка (как здесь)? Это не вполне очевидно. с первого взгляда, наверное ))

@pro100SOm 4 ай бұрын

навіть в пісні з "пригод Електроніка" це можна дізнатись. Там такі строки є: А нам говорят, что катет Короче гипотенузы

@benduolo 4 ай бұрын

@@pro100SOm Ну, да. Но не сказано, какой это конус, тень - все же, бывает больше объекта )))

@pro100SOm 4 ай бұрын

@@benduolo в шкільному курсі конус проходять, як "тіло обертання" :))) не треба ускладнювати :) тим паче, що в умові є "твірна", а вона сенс має тільки для "прямого кругового конуса"... який власне з прямокутного трикутничка і народився :)

@galinawesseler1586 4 ай бұрын

Лайк👍!

@AleksejsSitnovs 4 ай бұрын

А что делать если ничего почти не понял, но выглядин прикольно? Гипотеза Пуанкаре конечно посильнее, но мир не может быть одновременно бесконечным и конечным.

@pro100SOm 4 ай бұрын

А нахіба стріляти собі в ногу? Якщо виразити не h(r), а навпаки: r(h), то отримаємо простіший вираз: S(h) = pi (9 - h^2) h / 3. Де 0 < h < 3. S'(h) = pi (3 - h^2) звідки отримуємо h_0 = sqrt(3) зростає/спадає нам не цікаво, бо очевидно, що у крайніх точках S(0) = S(3) = 0, а у проміжній -- ні. Тобто це і є гарантовано максимум

@SKLope-bp7wt 4 ай бұрын

Задача несложная, а решение получилось некрасивое - муторное и трудоемкое. Зачем по dR дифференцировать, когда и в формуле объема конуса, и в теореме Пифагора есть R^2? Квадрат радиуса в формуле объема следует подменить на 9-h^2, а дифференцировать полученное выражение по dh, в этом случае решение получится простое, короткое и быстрое.