ABCD - квадрат, AM=MD, AK перп. BM, AK пер. BM в т. P. Найти BK, если KD=1.
Пікірлер: 108
@user-zo8zo3cg9b2 ай бұрын
Решил за считанные секунды. Продлить отрезок в центре, он пересечёт сторону квадрата в точке, делящей её пололам (доказывается через равенство треугольников) общий угол 90-a. Два подобных треугольника у которых соответствующие стороны соотносятся как 1 и X. пусть половина стороны это A, тогда 1:a = x:2a . Да да, делится на произведение). Отсюда x = 2.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично.
@user-yp9od7ot6y2 ай бұрын
Спасибо, Валерий! Ребята молодцы!👍🏻
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Согласен.
@ndpsguАй бұрын
Мудрёное построение. Можно я попроще? Продлим АК до пересечения с CD (назовём, например, AG). Она, кстати, делит CD пополам. Затем соединим середину АВ с углом С. Получим прямую (например QC), параллельную АК, которая, заодно, является средней линиейтреугольника АВК. Из условий видно, что треугольники QBC и AGD равны между собой, а значит средняя линия не только делит ВК пополам, но и отсекает ровно единицу. Ответ готов.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо. Отлично. Я мудреное называю "гениальное". Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
@vladbulgakov21042 ай бұрын
Валерий, вот эта задача - устное решение за 30 сек, достаточно достроить AK до пресечения с CD и получить два подобных треугольника 2 к 1. Вам спасибо за задачу, Катя и Никита справились блестяще конечно)
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Да, придется правда доказать, что мы попадем в середину!
@vladimirkhomutov10532 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Доказывается, очень, просто - нам по условию дан угол 90 гр. при пересечении прямых ВМ и АК следовательно тр. АВМ и рт. АЕ1Д равны по стороне и двум углам прилегающим к ней.
@vladbulgakov21042 ай бұрын
@@vladimirkhomutov1053 да, середина следует из равенства треугольников по второму признаку
@user-yr2jg7cm5r2 ай бұрын
@@vladimirkhomutov1053, треугольники доказали . А где ВД=2КД ? ( для не очень понятливых) . Сделайте , пожалуйста , математические выкладки .
@XoTTa6bi42 ай бұрын
Когда Никита доказал первое подобие., можно не строить треугольник ТВF, а рассматривать подобие треугольников AKD и FKB. AD относится к FB 1:2; так-же как KD к KB, т.е. KB=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Можно. Его идея была - доказать, что K - точка пересечения медиан. Сразу придумываем идею - потом движемся к ней. Так он обучен!
@user-yf1zt2dg8m2 ай бұрын
Продлим зелёную до правой стороны квадрата. Созерцаем два подобных треугольника. Ответ 2
@AlexeyEvpalov2 ай бұрын
Продлив AK до пересечения с CD, получим треугольник KK1D подобный KAB (по 2 углам: 45° и K вертикальные). Тогда AB/K1D=BK/1, так как треугольник ABM=ADK1 (по стороне (сторона квадрата) и двум прилежащим к ней углам), то AB=2AM=2K1D. Подставив AB получим 2K1D/K1D=BK/1, откуда BK=2.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Да, еще равенство тр-ков нужно по ходу доказать, чтобы K1D=AK
@mikhailkadomtsev48862 ай бұрын
Я как раз сижу сейчас в Будапеште. Очень жарко и мозги работают плохо. Но по,тараюсь решить как всегда, т.е не заглядывая в ответ и без бумаги и ручки.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Супер!
@user-nq2mj6rz9qАй бұрын
Лучше всего задачи решаются с туалетной бумагой в руках 😁
@zawatsky2 ай бұрын
Можно через подобие, проведя вниз высоту КН и влево основание КЕ. Видно, что ΔВЕК составляет 2/3 от BAD. Через перпендикуляры доказываем также, что ΔАНК~ΔВАМ. Коэффициент подобия нам не нужен, достаточно знать, что это тоже катеты 2 к 1. КН=KD=1/√2. Тогда АН=2/√2, а вся AD=3/√2. Множим на коэффициент подобия, чтобы получить катеты ΔВЕК: ВЕ=ЕК=(3/√2)*2/3=(3*2)/(3√2)=2/√2=√2. Дальше тупо считаем гипотенузу равнобедренного 90/45/45°, она же - диагональ достроенного квадрата. √((√2)²+(√2)²)=√(2+2)=√4=±2, -2 нас не интересует. )
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@user-vm4sz1qn2s2 ай бұрын
Пусть сторона квадрата равна а. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А. Уравнение прямой АК: y=x/2 , уравнение прямой BD: y= a-x Отсюда точка пересечения (2а/3; а/3) КD= (a√2)/3=1 BD=a√2=3 ВК=3-1=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично!
@user-pw2nm4hc3zАй бұрын
Задача становится тривиальной, если перевести ее в термины аналитической геометрии: Точку A принимаем за начало координат. AD -- ось абсцисс, AB -- ось ординат. Записываем аналитические выражения для прямых AK и BD. Они простейшие: y=a-x и y=x/2, где a -- сторона квадрата Находим координаты точки пересечения AK и BD, решая эту простейшую систему двух линейных уравнений. Получится K(2a/3, a/3). Из соображений подобия выводим |BK|=2|KD|, т.е. x=2. Методы аналитической геометрии -- это регулярный подход к решению таких задач. И не надо никакой эвристики построений/достроений (и, не приведи, господь, синусов). Порядок бьет класс.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Очсень хорошо, что вы аналитическую пропагандируете. Спасибо.
@valerykamaev89312 ай бұрын
АК продлить до середины СД (Точка Ф). Соединить С с серединой АВ (Точка Е). АФ и ЕС параллельны и по Фалесу делят ВД на три равных куска. Каждый по 1. Откуда получаем Х длиной в 2 куска по единице каждый. Х=2...
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Да. Просто продлить и доказать, что попадем в середину. Отлично.
@user-ik4ch7wl3l2 ай бұрын
От 10 чашек кофе у среднестатистического человека может остановиться сердце, а раз тот математик не попадал в реанимацию, стало быть каждая из 90 его чашек была размером с напёрсток
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
не специалист. Пью три больших латте с Лаваццей зерновой.
@dronkozkov58042 ай бұрын
Имеет значение и концентрация
@user-nq2mj6rz9qАй бұрын
Одна порция эспрессо - это 30 мл, соответственно 90 порций - это 2,7 литра. Из-за подобного приёма, который в логике называется "подмена понятий" (в данном случае "чашечка эспрессо" заменяется на "чашка кофе"), и происходит путаница.
@Snuryus2 ай бұрын
В треугольнике АСД, АК (и его продолжение до стороны СД) и ДВ - это медианы, которые точкой пересечения делятся 1:2. Тогда половина диагонали квадрата 1,5. Целая диагональ - 3, а ВК=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@user-yr2jg7cm5r2 ай бұрын
Проводим КМ - получился четырехугольник АВКМ с пересекающимися диагоналями АК и ВМ под прямым углом . Для такого четырехугольника - суммы квадратов противоположных сторон равны : а*2+с*2=в*2+р*2 (1) , где АВ=а , ВК=в , КМ=с , АМ=р . Принимаем а=а ( сторона квадрата ) , в=ВД-КД=а\/2-1 , в*2=2а*"-(2\/2)а+1 , с*2=(а/2)*2+1*2-2(а/2)х1хCos45*=а*2/4-(\/2/2)а+1 ( по теорема косинусов ) , р=а/2 , подставляем в уравнение (1) : а*2+а*2/4-(\/2/2)а+1=2а*2-2\/2а+1+а*2/4 , а=(3\/2)/2 . ВД=а\/2-1=((3\/2)/2))х\/2 -1=2 .
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Супер!
@vkr1222 ай бұрын
Продлим АК до пересечения с CD (в середине (CD) и из С построим паралельную АК( попадет в середину АВ) и совершенно законно ( по т. Фалеса) обявимм х=2!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Верно. Только почему попадем в середину?
@vkr1222 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Раз луч под углом α проведенный из вершины квадрата попадает на середину другой стороны квадрата (по данным задачи) , то луч проведенный из другой вершины квадрата под таким же углом тоже попадет в середину другой стороны квадрата
@user-ht7mu6bp9dАй бұрын
Олимпиадной задачей надо было поставить задачу, найти максимальное число решений данной задачи, ибо их здесь множество. Но вот то, которое первым пришло на ум. Очевидно, что сторона квадрата х+1/sqrt(2), AM = MD = х+1/2sqrt(2). AP = sqrt(BP*PM), соответственно, AP^4=BP^2 * PM^2. По Пифагору: BP^2 = (х+1)^2/2 - AP^2, PM^2 = (х+1)^2/8 - AP^2. Перемножив и приравняв к АР^4, выразим эту высоту через х. АР = х+1/sqrt(10). Тогда ВР = sqrt(2/5)*(х+1), РМ = х+1/sqrt(40). Достроить МК. По теореме косинусов: МК^2 = (x^2 - 2x +5)/8. Отсюда РК^2 = МК^2 - PM^2 = (x^2 - 3x +6)/10. Но также РК^2 = x^2 - BP^2 = (3x^2 - 4x - 2)/5. Приравняв, получим уравнение: x^2 - x - 2 = 0. Откуда х=2.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Спасибо.
@alexnikola75202 ай бұрын
катя молодец... любит тригу, как и я) а у никиты, кстати, очень хорошая идея с достроением справа вверху... но на этом можно было и закончить - поскольку треуги АКD и ВFK подобны... поэтому 1/а=х/2а... но все-равно молодец... будущий Казаков
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Можно. Передам.
@adept74742 ай бұрын
Продлить АК до пересечения с СD в т. Т. ▲АТD = ▲АВМ (по катету и углу), Т - середина СD. ▲АВК ~ ▲КТD. ВК = 2. Ждём олимпиаду Зимбабве!😁
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отличная идея!
@vladbulgakov21042 ай бұрын
Также решил.
@adept74742 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov 😄😁
@user-ft7vs6my5l2 ай бұрын
1. Проводим КМ. S(AKM)=S(MKD). 2. S(ABK) : S(AKD) = x:1; S(ABK) : 2S (AKM) =x:1 ; S(ABK) : S (AKM)=(2x):1. 3. Так как треугольники АВМ, АРМ и АВР подобны, то отношение большего катета к меньшему будет одинаково. ВР=2АР и АР=2РМ. Или ВР=4РМ. 4. Так как треугольники АВК и АМК имеют общее основание АК, то АР : РМ = S(ABK) : S (AKM). Или ВР : РМ =2х. Используя равенство из пункта 3, получим 4РМ:РМ=2х, 2х=4, х=2.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@sparkling-cyanide-au2 ай бұрын
Вряд ли стоила фото Эрдеша помещать рядом с такой задачей, ибо венгерские математики, мягко говоря, способны на гораздо большее. Вот решение без иксов и синусов. Проводим перпендикуляр KG на АD. Получаем равнобедренный прямоугольный тр-к DKG, откуда KG=AD/√2=√2/2. Далее из подобия треугольников AMB и AKG, находим AG = 2*KG = √2. Далее проводим перпендикуляр KF на AB. Получаем еще один равнобедренный прямоугольный тр-к BKF, в котором KF=AG=√2 и следовоательно BK = KF * √2 = 2. Ez az!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
У Никиты без иксов. В следуещем ролике решили поворотом.
@xgx899Ай бұрын
Let a be a size of the square, (u,v) - Cartesian coordinates. Then equation of the red line is v=a-2u. Hence the green line is described by v=u/2. Blue line: v=a-u. Intersection of the blue and green lines is at u=2a/3. Evaluating the cosine of the relevant angle, (a/3)/1=(2a/3)/x, or x=2.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Great. A very good solution. Thank you.
@user-bu1mp2mk9e2 ай бұрын
После построения точки F (из второго способа) рассмотрим еще одну пару подобных треугольников AKD и FKB. Они подобны по двум углам. BF/AD = BK/DK = 2/1. Мальчик Вова 54 годика - 7 класс.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Можно и так.
@alexnikola75202 ай бұрын
из тчк К проводим перп вниз а АD, обозначим тчк О... КО=√2/2... треуги АВМ и ОКА подобны с тангесами соответствующих углов 1/2... значит АО=√2... тогда сторона кв-та AD=√2+√2/2=(3/2)√2... тогда диагональ кв-та=3... ну и она же у нас х+1... х=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
@8spase2 ай бұрын
Ойкак сложно (про решения)!😂 АК то перпендикулярно жэж ВМ! Продлеваем до квадрата и она из-за этого приходит в середину СД (допустим в У! А по подобию∆∆ АВК и КУД, х=2/1 от КД. Уотакуот😊
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
А вот решите поворотом!
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
На самом деле, пока такое (ваше) решение самое короткое. Построено на олимпиадной теоремке об перпендикулярных отрезках в квадрате (мы их крутили недавно в 5 роликах подряд).
@8spase2 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Дак наскоряк. Лень матушка! Я уже давно самого Паганини пережил и время так быстро течет, неохота долго расписывать. *-хотя б поворотом😁
@8spase2 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov помню😁
@Vanson_Rad2 ай бұрын
Я только сейчас заметил, что отношение, в котором высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу, равно квадрату тангенса острого угла
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Во как!
@rv73652 ай бұрын
А вот еще в копилку: АМ:АВ = 1:2, АР - высота в АВМ, откуда следует подобие АВМ, АРВ, АРМ => ВР:РМ = 4:1. Итого АМ:AD = 1:2, ВР:РМ = 4:1 и по т. Менелая сразу находим DK:KB = 1:2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
О-о!" Мненелай. Круто!
@zawatsky2 ай бұрын
Есть ещё один хитрый способ. Попробовать доказать подобие ΔDMK и ΔАВК. Тогда, по основаниям, ясно виден коэффициент подобия 2, 1*2=2.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отличная идея!
@user-fn7li8kx9t2 ай бұрын
Я первый,ура! Славик.(55лет) и лайк мой 1
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отл. Дневник!"
@tsaiis2 ай бұрын
Очень интересная задача! Мадьяры вообще уникальный народ. Это надо же быть генетич. родст-ми одновременно эстонцам, удмуртам, хантам(!) и ещё многим россиянам! Итак: тчк Р--пересеч. ВМ и АК, МТ|_BD. Тр-ки АВМ, АВР и АРМ подобны(очевид.). Пусть АВ=ВС=...=у. АМ=у/2. ВМ=у/2*\/5, ВР=у*2/5*\/5, РМ=у*/10*\/5(из трёх подобных). МТ--ср.линия, КТ=1/2. Тр-ки ВМТ и РВК подобны. Отсюда: х=у*\/2 --1 из (2y^2=(x+1)^2) (у*\/2--1/2) : у*\/2--1)=у/2*\/5 : 2у/5*\/5 у=3/2*\/2. х=2
Продлим АК до пересечения с СД в т.К1. Треуг АВМ = АК1Д по стороне и двум углам => АМ=К1Д. С т.С проведем отрезок СС1 до пересечения с АВ в т.С1, КВ в т.В1 паралельний АК1=> С1А=К1С =К1Д . По теореме Фалеса из треу ДСВ1 и АВК следует КД=КВ1=В1В=1 => КВ=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично!
@user-so3nu5rl9x2 ай бұрын
Сказал бы, что первое решение чисто техническое. А вот второе явно олимпиадное. Интересно, а каково авторское решение, если оно известно.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Думаю, это не авторская задача, а очень-очень давно известная. Поэтому автоского нет. Координатка, векторы, иснусов-косинусов и т.д. - множестово. Есть еще повороты и симметрия.
@constantinfedorov23072 ай бұрын
Я опять прошу прощения, но я тут напишу, а вы уж потом решайте, за что я извиняюсь. Единственно, что придется сказать прежде - точка Q это середина CD. Ну разумеется, продолжение AK пересекает CD именно в этой точке Q. А вот теперь следите за руками. BK/KD = AK/KQ = AD/DQ (ну, я поясню, а то вдруг... DK - биссектриса...) = 2 Ну, вроде все.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо. А почему "ну, разумеется Ну разумеется, продолжение AK пересекает CD именно в этой точке Q". Это вообще доказывать нужно равенством тр-ков ABM и AQD. А это главный шаг решения. Дальше все отлично.
@constantinfedorov23072 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Поворот на 90 градусов сразу доказывает, и это более старшее доказательство, так как опирается только на определение равенства фигур. Кстати, это очень важный момент - в школе это почему-то забывают объяснять.
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
@@constantinfedorov2307 Согласен. См. сегодняшний ролик, я там даю поворот.
@user-qg7ms9qe4yАй бұрын
А вы решите такую задачу такую. Дан треугольник, известны периметр Р и все углы , найти площадь.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Нет, сдаюсь.
@user-lq9tn3lg6bАй бұрын
Когда Никита решает на рисунке надо обозначить, что FD= 1, иначе полный бред!
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Я передам. Хотя все это "бред" судя по комментам, поняли. Вы единственный.
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Я посмотрел еще раз. У Никиты все идеально, он решает задачу в общем виде, в конце подставляет значения KD=1, данной по условию. При чем здесь " ...FD= 1, иначе полный бред!"
@user-rh6mm6mz9d2 ай бұрын
Проведем диагональ АС , отложим отр. К1С=КД=1 . Стороны квадратиков=^из 2/2 . Построим такие же квадратики в углах А и В , получим 9 равных квадратика ( кубик Рубика ) . Искомая диагональ имеет катеты 2*на ^ из 2/2=^ из 2 , откуда X=^ из 4=2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
@user-is8pj2rt8q2 ай бұрын
ВР:РМ = (ВР/АР)*(АР/РМ) = (АВ/АМ)^2 =4. Если провести среднюю линию МЕ в тр. АКД (до пересечения с КД; КЕ=ЕД)), то ВК:КЕ = ВР: РМ =4:1, а ВК:КД = 2:1...
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Спасибо.
@user-zv9si6lk7gАй бұрын
я нашла решение попроще 1. из т.К проводим окружность r=1. Назовем т.Р пересечение окружности и BD 2 из т.P проводим окружность r=1. Назовем т.O пересечение окружностей (справа вверх) 3 тр POK равносторонний ( все углы 60) 4тр BOD равнобедренный ( углы 30-120-30 ), основание BD=3 ( три раза по r=1) 5 Х=BD-KD=3-1=2 Всьо- чему вас в школе учат? Городите заборы .
@GeometriaValeriyKazakovАй бұрын
Не может быть!!! Точно! Позор мне.
@youtubeuser68952 ай бұрын
Наложить на квадрат сеточку 3×3 (как в крестиках-ноликах), сразу всё видно
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
Отлично. А если KD = \|3?
@user-fn7li8kx9t2 ай бұрын
Ошибся.Мой 3 лайк.😂
@pojuellavid2 ай бұрын
Евклид завещал все на свете решать подобием Упираем АК в середину СД (т Е). ∆∆ АКВ и ДКЕ подобны с линейным отношением 2:1 Ответ: 2
@GeometriaValeriyKazakov2 ай бұрын
А ЧО сразу "в середину?"
@pojuellavid2 ай бұрын
@@GeometriaValeriyKazakov Просто не стал возиться с прямиком, а вашем любимом ад абсурдум, вернее в "обратке" сознаваться не хотелось. Строим треугольник. АЕД, где Е-- середина СД. АЕ и ВМ пересекаются под прямым углом, так как катеты обоих равных треугольников взаимоперпендикулярны..... О том. Что из одной точки к данной прямой можно опустить лишь один перпендикуляр -- тоже писать?
@rv73652 ай бұрын
Я популярно объясняю для невежд… :)
@8spase2 ай бұрын
Это цитата? Или что это🤔🤔🤔
@rv73652 ай бұрын
@@8spase ну конечно :)
@8spase2 ай бұрын
@@rv7365 ну конечно цитата, или ну конечно что-то? 🤣🤣🤣