Решил за считанные секунды. Продлить отрезок в центре, он пересечёт сторону квадрата в точке, делящей её пололам (доказывается через равенство треугольников) общий угол 90-a. Два подобных треугольника у которых соответствующие стороны соотносятся как 1 и X. пусть половина стороны это A, тогда 1:a = x:2a . Да да, делится на произведение). Отсюда x = 2.

Спасибо, Валерий! Ребята молодцы!👍🏻

Мудрёное построение. Можно я попроще? Продлим АК до пересечения с CD (назовём, например, AG). Она, кстати, делит CD пополам. Затем соединим середину АВ с углом С. Получим прямую (например QC), параллельную АК, которая, заодно, является средней линиейтреугольника АВК. Из условий видно, что треугольники QBC и AGD равны между собой, а значит средняя линия не только делит ВК пополам, но и отсекает ровно единицу. Ответ готов.

Валерий, вот эта задача - устное решение за 30 сек, достаточно достроить AK до пресечения с CD и получить два подобных треугольника 2 к 1. Вам спасибо за задачу, Катя и Никита справились блестяще конечно)

Когда Никита доказал первое подобие., можно не строить треугольник ТВF, а рассматривать подобие треугольников AKD и FKB. AD относится к FB 1:2; так-же как KD к KB, т.е. KB=2

Продлим зелёную до правой стороны квадрата. Созерцаем два подобных треугольника. Ответ 2

Продлив AK до пересечения с CD, получим треугольник KK1D подобный KAB (по 2 углам: 45° и K вертикальные). Тогда AB/K1D=BK/1, так как треугольник ABM=ADK1 (по стороне (сторона квадрата) и двум прилежащим к ней углам), то AB=2AM=2K1D. Подставив AB получим 2K1D/K1D=BK/1, откуда BK=2.

Я как раз сижу сейчас в Будапеште. Очень жарко и мозги работают плохо. Но по,тараюсь решить как всегда, т.е не заглядывая в ответ и без бумаги и ручки.

Можно через подобие, проведя вниз высоту КН и влево основание КЕ. Видно, что ΔВЕК составляет 2/3 от BAD. Через перпендикуляры доказываем также, что ΔАНК~ΔВАМ. Коэффициент подобия нам не нужен, достаточно знать, что это тоже катеты 2 к 1. КН=KD=1/√2. Тогда АН=2/√2, а вся AD=3/√2. Множим на коэффициент подобия, чтобы получить катеты ΔВЕК: ВЕ=ЕК=(3/√2)*2/3=(3*2)/(3√2)=2/√2=√2. Дальше тупо считаем гипотенузу равнобедренного 90/45/45°, она же - диагональ достроенного квадрата. √((√2)²+(√2)²)=√(2+2)=√4=±2, -2 нас не интересует. )

Пусть сторона квадрата равна а. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А. Уравнение прямой АК: y=x/2 , уравнение прямой BD: y= a-x Отсюда точка пересечения (2а/3; а/3) КD= (a√2)/3=1 BD=a√2=3 ВК=3-1=2

Задача становится тривиальной, если перевести ее в термины аналитической геометрии: Точку A принимаем за начало координат. AD -- ось абсцисс, AB -- ось ординат. Записываем аналитические выражения для прямых AK и BD. Они простейшие: y=a-x и y=x/2, где a -- сторона квадрата Находим координаты точки пересечения AK и BD, решая эту простейшую систему двух линейных уравнений. Получится K(2a/3, a/3). Из соображений подобия выводим |BK|=2|KD|, т.е. x=2. Методы аналитической геометрии -- это регулярный подход к решению таких задач. И не надо никакой эвристики построений/достроений (и, не приведи, господь, синусов). Порядок бьет класс.

АК продлить до середины СД (Точка Ф). Соединить С с серединой АВ (Точка Е). АФ и ЕС параллельны и по Фалесу делят ВД на три равных куска. Каждый по 1. Откуда получаем Х длиной в 2 куска по единице каждый. Х=2...

От 10 чашек кофе у среднестатистического человека может остановиться сердце, а раз тот математик не попадал в реанимацию, стало быть каждая из 90 его чашек была размером с напёрсток

В треугольнике АСД, АК (и его продолжение до стороны СД) и ДВ - это медианы, которые точкой пересечения делятся 1:2. Тогда половина диагонали квадрата 1,5. Целая диагональ - 3, а ВК=2

Проводим КМ - получился четырехугольник АВКМ с пересекающимися диагоналями АК и ВМ под прямым углом . Для такого четырехугольника - суммы квадратов противоположных сторон равны : а*2+с*2=в*2+р*2 (1) , где АВ=а , ВК=в , КМ=с , АМ=р . Принимаем а=а ( сторона квадрата ) , в=ВД-КД=а\/2-1 , в*2=2а*"-(2\/2)а+1 , с*2=(а/2)*2+1*2-2(а/2)х1хCos45*=а*2/4-(\/2/2)а+1 ( по теорема косинусов ) , р=а/2 , подставляем в уравнение (1) : а*2+а*2/4-(\/2/2)а+1=2а*2-2\/2а+1+а*2/4 , а=(3\/2)/2 . ВД=а\/2-1=((3\/2)/2))х\/2 -1=2 .

Продлим АК до пересечения с CD (в середине (CD) и из С построим паралельную АК( попадет в середину АВ) и совершенно законно ( по т. Фалеса) обявимм х=2!

Олимпиадной задачей надо было поставить задачу, найти максимальное число решений данной задачи, ибо их здесь множество. Но вот то, которое первым пришло на ум. Очевидно, что сторона квадрата х+1/sqrt(2), AM = MD = х+1/2sqrt(2). AP = sqrt(BP*PM), соответственно, AP^4=BP^2 * PM^2. По Пифагору: BP^2 = (х+1)^2/2 - AP^2, PM^2 = (х+1)^2/8 - AP^2. Перемножив и приравняв к АР^4, выразим эту высоту через х. АР = х+1/sqrt(10). Тогда ВР = sqrt(2/5)*(х+1), РМ = х+1/sqrt(40). Достроить МК. По теореме косинусов: МК^2 = (x^2 - 2x +5)/8. Отсюда РК^2 = МК^2 - PM^2 = (x^2 - 3x +6)/10. Но также РК^2 = x^2 - BP^2 = (3x^2 - 4x - 2)/5. Приравняв, получим уравнение: x^2 - x - 2 = 0. Откуда х=2.

катя молодец... любит тригу, как и я) а у никиты, кстати, очень хорошая идея с достроением справа вверху... но на этом можно было и закончить - поскольку треуги АКD и ВFK подобны... поэтому 1/а=х/2а... но все-равно молодец... будущий Казаков

Продлить АК до пересечения с СD в т. Т. ▲АТD = ▲АВМ (по катету и углу), Т - середина СD. ▲АВК ~ ▲КТD. ВК = 2. Ждём олимпиаду Зимбабве!😁

1. Проводим КМ. S(AKM)=S(MKD). 2. S(ABK) : S(AKD) = x:1; S(ABK) : 2S (AKM) =x:1 ; S(ABK) : S (AKM)=(2x):1. 3. Так как треугольники АВМ, АРМ и АВР подобны, то отношение большего катета к меньшему будет одинаково. ВР=2АР и АР=2РМ. Или ВР=4РМ. 4. Так как треугольники АВК и АМК имеют общее основание АК, то АР : РМ = S(ABK) : S (AKM). Или ВР : РМ =2х. Используя равенство из пункта 3, получим 4РМ:РМ=2х, 2х=4, х=2.

Вряд ли стоила фото Эрдеша помещать рядом с такой задачей, ибо венгерские математики, мягко говоря, способны на гораздо большее. Вот решение без иксов и синусов. Проводим перпендикуляр KG на АD. Получаем равнобедренный прямоугольный тр-к DKG, откуда KG=AD/√2=√2/2. Далее из подобия треугольников AMB и AKG, находим AG = 2*KG = √2. Далее проводим перпендикуляр KF на AB. Получаем еще один равнобедренный прямоугольный тр-к BKF, в котором KF=AG=√2 и следовоательно BK = KF * √2 = 2. Ez az!

Let a be a size of the square, (u,v) - Cartesian coordinates. Then equation of the red line is v=a-2u. Hence the green line is described by v=u/2. Blue line: v=a-u. Intersection of the blue and green lines is at u=2a/3. Evaluating the cosine of the relevant angle, (a/3)/1=(2a/3)/x, or x=2.

После построения точки F (из второго способа) рассмотрим еще одну пару подобных треугольников AKD и FKB. Они подобны по двум углам. BF/AD = BK/DK = 2/1. Мальчик Вова 54 годика - 7 класс.

из тчк К проводим перп вниз а АD, обозначим тчк О... КО=√2/2... треуги АВМ и ОКА подобны с тангесами соответствующих углов 1/2... значит АО=√2... тогда сторона кв-та AD=√2+√2/2=(3/2)√2... тогда диагональ кв-та=3... ну и она же у нас х+1... х=2

Ойкак сложно (про решения)!😂 АК то перпендикулярно жэж ВМ! Продлеваем до квадрата и она из-за этого приходит в середину СД (допустим в У! А по подобию∆∆ АВК и КУД, х=2/1 от КД. Уотакуот😊

Я только сейчас заметил, что отношение, в котором высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу, равно квадрату тангенса острого угла

А вот еще в копилку: АМ:АВ = 1:2, АР - высота в АВМ, откуда следует подобие АВМ, АРВ, АРМ => ВР:РМ = 4:1. Итого АМ:AD = 1:2, ВР:РМ = 4:1 и по т. Менелая сразу находим DK:KB = 1:2

Есть ещё один хитрый способ. Попробовать доказать подобие ΔDMK и ΔАВК. Тогда, по основаниям, ясно виден коэффициент подобия 2, 1*2=2.

Я первый,ура! Славик.(55лет) и лайк мой 1

Очень интересная задача! Мадьяры вообще уникальный народ. Это надо же быть генетич. родст-ми одновременно эстонцам, удмуртам, хантам(!) и ещё многим россиянам! Итак: тчк Р--пересеч. ВМ и АК, МТ|_BD. Тр-ки АВМ, АВР и АРМ подобны(очевид.). Пусть АВ=ВС=...=у. АМ=у/2. ВМ=у/2*\/5, ВР=у*2/5*\/5, РМ=у*/10*\/5(из трёх подобных). МТ--ср.линия, КТ=1/2. Тр-ки ВМТ и РВК подобны. Отсюда: х=у*\/2 --1 из (2y^2=(x+1)^2) (у*\/2--1/2) : у*\/2--1)=у/2*\/5 : 2у/5*\/5 у=3/2*\/2. х=2

Никита - красавчик!

всё очень серьёзноо!! ))

Опустим перпендикуляр КЕ. Тр-ки АКЕ АВМ подобны. КЕ=у=ЕД.АЕ=2у.Тогда (х+1)/1=3.

Продлим АК до пересечения с СД в т.К1. Треуг АВМ = АК1Д по стороне и двум углам => АМ=К1Д. С т.С проведем отрезок СС1 до пересечения с АВ в т.С1, КВ в т.В1 паралельний АК1=> С1А=К1С =К1Д . По теореме Фалеса из треу ДСВ1 и АВК следует КД=КВ1=В1В=1 => КВ=2

Сказал бы, что первое решение чисто техническое. А вот второе явно олимпиадное. Интересно, а каково авторское решение, если оно известно.

Я опять прошу прощения, но я тут напишу, а вы уж потом решайте, за что я извиняюсь. Единственно, что придется сказать прежде - точка Q это середина CD. Ну разумеется, продолжение AK пересекает CD именно в этой точке Q. А вот теперь следите за руками. BK/KD = AK/KQ = AD/DQ (ну, я поясню, а то вдруг... DK - биссектриса...) = 2 Ну, вроде все.

А вы решите такую задачу такую. Дан треугольник, известны периметр Р и все углы , найти площадь.

Когда Никита решает на рисунке надо обозначить, что FD= 1, иначе полный бред!

Проведем диагональ АС , отложим отр. К1С=КД=1 . Стороны квадратиков=^из 2/2 . Построим такие же квадратики в углах А и В , получим 9 равных квадратика ( кубик Рубика ) . Искомая диагональ имеет катеты 2*на ^ из 2/2=^ из 2 , откуда X=^ из 4=2

ВР:РМ = (ВР/АР)*(АР/РМ) = (АВ/АМ)^2 =4. Если провести среднюю линию МЕ в тр. АКД (до пересечения с КД; КЕ=ЕД)), то ВК:КЕ = ВР: РМ =4:1, а ВК:КД = 2:1...

я нашла решение попроще 1. из т.К проводим окружность r=1. Назовем т.Р пересечение окружности и BD 2 из т.P проводим окружность r=1. Назовем т.O пересечение окружностей (справа вверх) 3 тр POK равносторонний ( все углы 60) 4тр BOD равнобедренный ( углы 30-120-30 ), основание BD=3 ( три раза по r=1) 5 Х=BD-KD=3-1=2 Всьо- чему вас в школе учат? Городите заборы .

Наложить на квадрат сеточку 3×3 (как в крестиках-ноликах), сразу всё видно

Ошибся.Мой 3 лайк.😂

Евклид завещал все на свете решать подобием Упираем АК в середину СД (т Е). ∆∆ АКВ и ДКЕ подобны с линейным отношением 2:1 Ответ: 2

Я популярно объясняю для невежд… :)

Опечатка у меня: правильно: МТ|_ВМ