А почему надо выбирать именно между Менелаем и Фалесом? Я решил совсем по другому. Думаю, тут ещё много способов решения есть. Я воспользовался свойством медиан делиться точкой их пересечения на части 1:2 и достроил данный треугольник вниз до такого треугольника, у которого нижняя сторона исходного есть медиана. Там тогда много чего становится видно. То, что биссектриса, кстати, будет тогда не нужно знать.

Придется поступать. Прямо из седьмого класса, без уравнений и иксов. Пораскинем мозгами. АВ = ВМ=МС, т к "биссектриссные проекции" боковых сторон на третью относятся 1/2. В АВМ ВF -- биссектриса, а значит и медиана. АF=FM. Отношение (АF*AK)/(AM*AC)=1/6. Площадь АМС=6. АМ -- медиана, площадь АВС=6*2=12 Ответ:12

как у вас все сложно опять, решение усное за минуту: проведите КМ, угол BFM прямой, тогда площадь вся = 1+1 × 3 × 2 = 12, т.к. KFM = 1, KMC = 2 AKM, ABC = 2 AMC

Все подобного рода задачи решаются однотипно в общем виде. Обозначим: AK/AC=ε, BM/BC=δ, S(AFK)=s. Тогда можно вычислить нужные нам отношения внутренних отрезков и получить красивую формулу для искомой площади : S(ABC)=s∙[ε+δ∙(1- ε)]/[ε^2∙(1 - δ)]. Желающие могут подставить данные задачи : ε=1/3, δ=1/2 и убедиться, что S(ABC)=12! При заданных отношениях 1:2 и 1:1 отрезок ВК вовсе не обязан быть биссектрисой, это совершенно лишнее данное. Отношение S(ABC)/S(AKF) в любом случае будет 12 независимо от длин сторон АС и ВС.

По свойству биссектрисы АB относится к BC, также как AK к КС. Значит AB=BM и два верхних треугольника равны. Обозначим их площадь как х, а площадь четырехугольника FKCM - y. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а AK делит на два треугольника с соотношением площадей 1/2. Тогда можно записать простенькую систему уравнений 2(x + 1) = x + y y + 1 = 2x Отсюда x=3 y=5, а S = 1+3+3+5=12

Через теорему Фалеса, как-то проще и понятнее. Спасибо за оба решения.

Круто ! Я решил через подобие при помощи доп. построения - но Менелаем намного проще !!! Да и Фалесом очень просто решается. Эх - жаль, что в школе это все не учил, скучным все казалось ...

Пусть точка О -- это пересечение биссектрисы из точки В со стороной АС: ОС = 2АО. Неважно, что ВО -- биссектриса. Удвоим сторону ВА вниз до точки А'. Точка О окажется центром пересечения медиан треугольника А'BC и нового внутреннего треугольника АМО', где О' -- пересечение луча ВО с А'С. Из этого в конечном счёте последует S(AMO') = 6, S(A'BC) = 24, S(ABC) = 12.

При решении по т.фалеса Вы не использовали условие, что проведена биссектриса

Т к биссектриса делит основание 1:2, значит АВ=ВМ=МС. => Треугольник АВМ равнобедренный, ВF -биссектриса, медиана и высота. Треугольник АFК = треугольнику МFК по 1 признаку, его площадь =1. Площадь КМС = 2 площадям АМК = (1+1) ×2 =4. Тогда площадь АМС = 1+1+4 =6. Площадь АМС = площади АМВ =6, тогда площадь АВС = 6+6 ≠12. Мне ближе этот способ, но если выбирать между Фалесом и Минелаем, то, наверное, Фалес.

По Фалесу - наглядно, понятно и просто. По Менелаю - формализовано и ещё проще, даже думать и что-то искать не надо. Поддержим канал - ещё более простое решение (для разнообразия). Проводим прямую FC. Тогда Skfc=2. Пусть Sabf=x, Sfbm=y. Тогда Sfmc= Sfbm=y. Тогда из ▲ABM и ▲ACM: x+y=1+2+y. Отсюда: x=3, Sabk=4, Skbc=8, Sabc =12. Всем удачи.

/ Задача, а будет ли чевиана ВК биссектрисой, и будет ли угол АFB прямым? По какой теореме, Фалеса или Менелая? Это для 7 класса ЗФТШ. /

По свойству биссектрисы ВК отношение АВ:ВС=АК:КС=1:2, а так как ВМ=МС, то АВ=ВМ=МС, значит биссектриса является и медианой (и высотой) треугольника АВМ. Значит, АФ=ФМ, отсюда площади треугольников АСФ=ФСМ. Но площадь треугольника АСФ складывается из площадей АФК (равный 1) и КСФ (равный 2, так как у них высота общая, а основания 1:2). Таким образом, площадь АСФ=3. Площадь ФСМ тоже 3, так как у АСФ и у ФСМ высота с вершины С одна и та же, а основания равны. Поэтому площадь АСМ=6. Но площади АВМ и АСМ также равны по тем же причинам (равны и высота и основания). Таким образом, площадь АВС=12.

Я дублирую пост в корне чата, это не спам, а чтобы видно было всем. Условие про биссектрису НЕ лишнее, из него следует, что BK ⊥ AM. Если это увидеть, то площадь считается очень просто. Площадь KFM Skfm =1, Same = 4; Skme = Scme = 2; Samc = 6; Sabc =12; точка E - середина KC Это все решение. Что касается перпендикулярности, то проще всего сделать так - продлить BA за точку А на свою длину, пусть конец - точка G (ну, AG = AB). Тогда CA - медиана треугольника GBC, а точка K - точка пересечения медиан этого треугольника, то есть BK тоже медиана тр-ка GBC. Ну, а раз BK еще и биссектриса, то она и высота, GB = BC. AM - средняя линия и так далее. Прием этот настолько красив сам по себе, что заслуженно встречается, например, у Тригга в "Задачах с изюминкой".

Решил проведя параллельную МЕ к ВК. Она делит КС на равные части. Только вот к чему тут слово биссектриса. Ни Вы, ни я этим не воспользовались

По свойству бис-сы, отрещки стороны, которую она делит, относятся так же как стороны, между которыми она опущенаа значит левая и правая относятся друг к другу как 1/2 А значит 2 верхних равны и прямоугольны Соединим нижн и правую точки Получим 2 трерка по 1 Правый относится 2/1 по устовию, значит его пл 4 А верхние 2 равны сумме всех нижн т.к. осн равны И того 12

Мне метод Фалеса больше понравился, он решает задачу даже не используя свойства бисектрисы. Я решал используя свойсво бисектрисы, доказал что треуг АВМ равнобедр. BF высота и медиана, провел FC, площадь треуг KFC=2, площади треуг. AFC=MFC=MFB=BFA=3 Площадь треуг.АВС=3×4=12

Достаточно найти площадь равнобедренного треугольника АВМ = 3+3=6 Медиана АМ делит площадь треугольника АВС пополам. Отсюда S=6*2=12

странно... по св-ву биссектр у меня получ, что АВМ равнобедр... а по рисунку не скажешь, что угол BFA прямой... гляну решение лучше

По Фалеса проще решать, но по менелаю показась легче. Всто потому что менелая не было еще 😂

Но это же старая задачка из ЕГЭ (я её видел в ЕГЭ первый раз), когда медиана и биссектриса перпендикулярны! 🙂 И там есть простейший способ решения! Проще опускать из основания медианы прямую вниз параллельно BK.

Неужели культовый МФТИ так низко пал? Задача весьма заурядная. Внутри - прямой угол (по св-ву биссектрисы).АFК = FМК, АКМ = 2, АМС = 6, АВС = 12.

независимосо того является ли BK биссектрисой или нет, отношение площадей всегда S_ABC / S_AFK = 12

Удвоим медиану и достроим паралелограмм...

а-а... так все норм... я не накосячил, просто рисунок неудачный... тогда пл треугольников ABF=FBM=х... тогда из треуг АВС площ четырехугольн KFMC=2х-1... ну и в заключение, рассматривая площади треугольников АВК и КВС выписываем 2(х+1)=3х-1... выходит х=3... и так далее))

По свойству биссектрисы AB/ BC = AK /KC = 1/2, значит, AB = BC/2 = BM = MC. Треугольник ABM равнобедренный с биссектрисой BF, значит, она же в нём высота и медиана, то есть AF = FM. Проведя KM, доказываем равенство AFK и KFM, значит, их площади равны 1. Тогда S(AKM) = 2, значит, S(AMC) = 2/(1/3) = 6, S(ABC) = 6/(1/2) = 12

Вступительная задача? А разве не везде сейчас поступают по ЕГЭ?

Что-то совсем просто для МФТИ.

Чето кажется, что BK вполне могло быть не биссектрисой. Ох уж эти экзаменаторы! Вечно пытаются запутать лишними условиями!

Спрашивается, зачем биссектриса

Важко дається Менелай. В школі не навчили, а так пока не доходить.

"Не" с глаголами пишется раздельно 😉

симпатичная задача напоминает задачки из ОГЭ, пусть О точка персечения, Sabo = x = Sbom, т.к. АМВ равнобедренный получается. его площадь 2х, тогда четырехугольника 2х-1. так как биссектриса делит сторону в отношении 2:1 справа налево, правый тр-к 3х-1 левый х+1. и правый больше левого вдвое. тогда х =3 u S=12

Skfc=2Safk. Тр-ник АВМ : АВ=ВМ(ВМ=1/2ВС). Сл-но, AF=FM. Отсюда: Safc=Sfcm=3. Sabm=Samc=6. Sabc=12