Сходимость ряда: признак Раабе

Рет қаралды 8,595

Ай бұрын

В этом видео будем исследовать на сходимость ряд. Для этого будем использовать признак сходимости Раабе. Он обычно применяется, когда признак Даламбера не дал ответа о сходимости.
В этом видео исследуется сходимость ряда по признаку Даламбера от навороченной дроби: • Сходимость ряда: везде...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

Пікірлер: 62

@Micro-Moo 15 сағат бұрын

Задачка такая хорошая, что даже Даламбер облажался. 🙂

@AlexeyEvpalov Ай бұрын

Признак сходимости Раабе используется редко. Спасибо за серьёзное видео по этой теме.

@servictorovich2576 22 күн бұрын

Спасибо, очень-очень доходчиво!!

@MercuriusCh Ай бұрын

А можно просто воспользоваться формулой стирлинга для факториала, и почти сразу сказать, что член ряда a_n ~ 1/sqrt(n) => ряд расходится)

@slavinojunepri7648 Ай бұрын

Excellent convergence property

@user-tv6se4bt5w Ай бұрын

Забавно, только вчера ведь на самостоятельной использовал Раабе. Хорошо, что смотрел старый роилк с этим признаком. Почему то в университете на рассказывают, хотя признак довольно легкий, однокурсникам пришлось помучаться

@AdelVarlington Ай бұрын

Здесь, по-моему, проще воспользоваться эквивалентностью (все знакоположительно). Представить факториал через формулу Стирлинга и сразу увидеть, что общий член эквивалентен 1/sqrt(2pi*n), а это ряд, очевидно, расходящийся

@inbdwondowbdhzb Ай бұрын

Тоже сразу пришло в голову такой решение.

@Hmath Ай бұрын

зато так можно рассказать про не очень популярный признак сходимости. Но да, ваше решение мне тоже нравится :) А для моего не нужно знать формулу Стирлинга :)

@pskv20 Ай бұрын

Если последовательно строить теорию, то формулу Стирлинга доказать не проще, чем этот признак - та еще штучка. А вообще они из разных областей, просто в этой задаче и то и то годится.

@xfom4008 Ай бұрын

@@pskv20 Ну, формула Стирлинга необходима, чтобы хоть что-то понимать про асимптотику гамма функции.

@pskv20 Ай бұрын

@@xfom4008 Так я о чём. Гамма-функция и числовые ряды - это всё-таки несколько разные вещи. Хотя в математике всё может неожиданно оказаться взаимосвязанным.

@KalininEvgen Ай бұрын

Классное видео с неожиданным результатом, спасибо!:)

@user-ub9np4gn6m 29 күн бұрын

Хороший пример для понимания как работает признак Раабе. Рассмотрите ещё, пожалуйста, пример на признак Гаусса

@user-kk3el1mj7k Ай бұрын

Лучшее оформление!

@popitov Ай бұрын

Интересно было бы узнать про остальные признаки сходимости для сложных рядов: Бертрана, Куммера (и как на его основе свои признаки выводить), ну и самый главный, который всё решает: Гаусса.

@indar4ik 8 күн бұрын

Признак Коши соло)

@nikitakrivo456 Ай бұрын

Спасибо за хорошее детство :)

@SykrinEgor Ай бұрын

Очень ждём задачи на среднее расстояние.

@asderoookrook7002 Ай бұрын

Я просто вспомнил формулу стирлинга, всё подставил, сократил и получил 1/(√(2πn) + O(1/n)). Раз полученный ряд расходится, то и изначальный тоже

@AlexeyTsvetkov-yc7ml Ай бұрын

Из-за формулы Стирлинга иногда получается неправильный ответ. Так как в полной формуле используется добавление некоторой константы, которая нейтрализует разность между настоящий значением и вычисленным

@romanrotarmel1396 29 күн бұрын

Не знал, что Макс Раабе еще и математик)

@user-ho7pl5cm9p Ай бұрын

Мы когда проходили эту тему, нам тот же самый пример дали 😂

@user-fr4dv1pe6g Ай бұрын

Есть признак Гаусса: a_n / a_{n+1} = 1 + L / n + o(1/n) Если L

@user-tn4bo5kn9v Ай бұрын

На мой взгляд, задачу можно было бы решить проще. По формуле Стирлинга a_n ~ 1/( 2 pi sqrt(n)). Исходный ряд - знакопостоянный, ряд обратных корней расходится ( доказывается это просто). Значит и исходный ряд расходится по признаку сравнения.

@paintstory6408 Ай бұрын

было бы интересно послушать про признак Гауса или Жаме

@barackobama2910 Ай бұрын

Та ну. Формулу Стирлинга знает продвинутый шеольник. N!=sqr(2 pi N)* (N/e)^N *(1+1/12N +...) Расходимость очевидна.

@Hmath Ай бұрын

успели пока горит спичка? :)

@barackobama2910 Ай бұрын

@@Hmath с запасом.

@artemgolubkov5520 Ай бұрын

Стоит и схему Куммера напомнить.

@kptnmauzer Ай бұрын

Спасибо!

@ftorum19 Ай бұрын

Доброй ночи! Хотел у вас спросить, сколько вы тратите время на решение того, или иного задания. Взять самое распространённое - средней сложности ДУ, или решение среднего по сложности интеграла сколько вы тратите время, перед тем как записать видео?

@Hmath Ай бұрын

Если вы говорите именно про задания к видео, то я никогда не измерял время. Да и это не имеет смысла: больше времени тратится на то, чтобы придумать задание :) Или выбрать из большой кучи то, что было бы на мой взгляд интересным. Дальше еще время на то, чтобы написать решение коротко, но понятно: какие действия стоит расписывать, какие наоборот можно и нужно опустить, где формулы будут появляться, что оставлять на экране, а что убивать (на экране слишком мало места на самом деле, или нужно сильно мельче шрифт делать). А так у меня уже много решенных есть, особенно с интегралами - сотни разных :) Кто-то кроссворды исписывает или детективы читает, чтобы время скоротать, а я интегралы решаю в такие моменты :)

@user-fr4dv1pe6g Ай бұрын

Признак Раабе для гармонического ряда: a_n = 1/n; a_{n+1} = 1/(n+1) n(a_n/a_{n+1} - 1) = n((n+1)/n - 1) = 1 Гармонический ряд расходится Верно ли, что если lim (n*(a_n/a_{n+1} - 1)) = 1, то ряд расходится? Если да, то какие есть примеры, нарушающие это утверждение?

@alexandermorozov2248 Ай бұрын

5:24 - почему мы в знаменателе дроби заметили и подставили 2-й замечательный предел, а в числителе стали мудрить в бесконечно малыми? Пчм нельзя сразу взять n*(e-e)/e=0

@Hmath Ай бұрын

ну если вы до конца досмотрели, то предел не равен нулю, он равен 1/2. В знаменателе в пределе получается конечное число (е), поэтому предел от знаменателя и можно отдельно найти, а в числителе неопределенность вида бесконечность*ноль.

@boderaner Ай бұрын

Не понял, почему в появившемся на 5:19 пределе в знаменателе представили (1 + 1/n)ⁿ как e, а в числителе нет? Ведь тогда скобка в числителе и, соответственно, весь числитель и вся дробь сразу обращается в 0, предел от которого тоже равен нулю и, разумеется, меньше 1.

@viganadziratel1962 Ай бұрын

Нельзя переходить к пределу в отдельных слагаемых. А вот в множителях можно. (Следует из факта, что lim(fg)=limf*limg при условии существования обоих пределов

@boderaner Ай бұрын

@@viganadziratel1962, из ролика понятно, что "нельзя", но не поясняется, почему? Тем более что в данном случае ответ был бы одинаковый (не численно, а вообще), хоть и "нельзя".

@viganadziratel1962 Ай бұрын

@@boderaner потому что это очевидно. То, что я написал проходят буквально в первую неделю обучения в вузе. А то, что вы написали, что ответ бы не поменялся, это сущий бред. Если ответ верный это не значит, что решение верное

@user-qv3fl1ts4t Ай бұрын

Здравствуйте, я старшеклассник и хочу побольше узнать о рядах, а точнее про введение в эту тему, с производными и интегралами я знаком, а с рядами совсем чуть чуть. Посоветуйте, пожалуйста литературу хорошую по жтой теме. Спасибо.

@epsilon.sw_ Ай бұрын

Конкретно по рядам ничего не посоветую, но можно почитать книжки по анализу. Например Зорича или Фихтенгольца. Может кто зайдет и других авторов еще понаписывает. Можно зайти с более практической стороны и заглянуть в какой-нибудь задачник, например Демидовича. Вроде забил Демидович ряды и выдает в первой же строке задачник в свобоном доступе и там в пятом отделе ряды.

@user-qv3fl1ts4t Ай бұрын

@@epsilon.sw_ Спасибо большое!!!!

@user-kc9jk6sh4h Ай бұрын

Попробуйте посмотреть учебник Е.А. Власовой "Ряды". Может понравится.

@alexanderkolesnik9357 Ай бұрын

Пришла в голову идея, но нет времени проверить. Сформулируем каскад признаков: 1) lim a_{n}/a_{n+1} < 1 - расх. VS lim a_{n}/a_{n+1} > 1 - сход. VS lim a_{n}/a_{n+1} = 1, тогда 2) lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n < 1 - расх. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n > 1 - сход. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n = 1, тогда 3) lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n < 1 - расх. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n > 1 - сход. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n = 1, тогда 4) И т.д. отнимаем единицу от предыдущего подлимитного выражения и умножаем на n, и снова сравниваем с единицей... 5)... Мне кажется, что такое бы рассказывали на матане, но я не помню. У кого есть время, где у меня ошибка? может там не на n умножать, например.

@anseltisnightmare Ай бұрын

Есть признак Гаусса, у него нет случая когда признак не дает ответа

@s1cklove_ Ай бұрын

Однако, вовремя, послезавтра матан сдавать..)

@Howidog Ай бұрын

5:23 кто-то может описать почему мы можем отдельно считать предел, там лучше просто везде по Тейлору разложить и посмотреть что получится. Ход как по мне не корректный, ну или не тривиальный, это ещё доказать надо, что так можно

@mAtanmOtan Ай бұрын

Сверху получается неопределенность беск*0, а снизу конкретное число - как вариант такой ответ

@qwitey Ай бұрын

а можно было как-то подлбным образом решать? Многие уважающие себя олимпиадники знают такое неравенство: n!>(n/3)^n доказывается оно по индукции и я подумал, какую лучшую оценку мы можем получить (изменяя число 3 в меньшую сторону) по индукции, предварительно забив на базу и заменив 3 на k, получаем k>(1+1/n)^n, что очевидно из 2го замечательного предела, но база индукции прстрадала, а значит будет выполняться только при гигантских n, что и дает нам n!≈(n/e)^n при n->inf, значит и в нашем ряду при стремлении к бесконечности где-то в конце буддут в основном единицы, а это значит ряд расходится

@pskv20 Ай бұрын

Формула Стирлинга говорит, что не единицы. Общий член стремится к нулю, но недостаточно быстро для сходимости, пропорционально 1/√n.

@qwitey Ай бұрын

@@pskv20 да, вы правы, если взять мое неравенство, прологарифмировать и перенести в 1 сторону, получим разность, которая(как я предположил) должна уменьшаться, а она увеличивается

@MK_RIG Ай бұрын

Решил по формуле Пика за 3.14 секунд без использования гетеросексуального логарифма!😎

@Rexsinger 28 күн бұрын

Банановый баян. Не устал еще херню писать?

@user-ky2rt1kf3y Ай бұрын

а нельзя было сразу решить через необходимый признак, посчитать предел An и он будет равен бесконечности, следовательно ряд расходится

@Hmath Ай бұрын

предел an не равен бесконечности, он равен нулю www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%5En%2F%28e%5En*n%21%29+n-%3Einf

@user-ky2rt1kf3y Ай бұрын

@@Hmath а разве n^n на бесконечности не обгонит произведение n! и e^n или я чего-то не понимаю..

@user-ky2rt1kf3y Ай бұрын

просто я читал, что n^n растёт на бесконечности быстрее, чем показательная степень и факториал а значит n^n будет расти быстрее, чем произведение функций, которые растут на бесконечности медленнее, чем n^n или же это так не работает?

@Hmath Ай бұрын

@user-ky2rt1kf3y как видите, предел равен нулю. Значит в данном случае не так. Посмотрите на показательную функцию в знаменателе. Всё от нее будет зависеть. При 2^n, например, предел действительно будет равен бесконечности

@user-ky2rt1kf3y Ай бұрын

@@Hmath я уже перепроверил через формулу стирлинга, там предел равен нулю все равно спасибо, что ответили