2023 год. Трушину пора записать ролик про возведение в степень отрицательных чисел

Прикольно получается. На множестве целых чисел уравнение имеет больше решений, чем на множестве действительных чисел))

В интернете опять кто то ждет математический анализ

Фух, наконец-то Савватеева оставили в покое!

люблю смотреть и Валерия Волкова, и mind your decisions, и Бориса Трушина. это видео прям коллаборация какая-то)))))

ура, валерий волков

Главная проблема в том, что в школе это быстро проговаривают . И у людей возникает путаница.

Обожаю эту рубрику «В интернете опять кто-то неправ.»)

Спасибо вам большое! Только недавно думал, что нужно попросить вас прокомментировать это видео, а вон оно как! Очень люблю такие ваши видео с, казалось бы, незначительными тонкостями. Потом хожу радостный и пропагандирую друзьям и ученикам.

ну это реально круто было. Я дофига чего нового узнал. Раньше даже никогда не задумывался, что так может быть. Век живи, век учись. Волков классный мужик, объясняет супер.

когда смотрела предыдущие ролики БВ по этой теме и сразу поняла, в чем подвох😎

Мама, я в телевизоре у Трушина!

Только недавно посмотрел оба этих видео, задался вопросом "а как же все таки быть с ответами?", и на тебе, Трушин уже видос выкладывает 😃 Обожаю Бориса, он всегда на волне и вовремя.

Спасибо, очень интересно! С нетерпением ждем 2023 года)

Люблю, когда БВ разрешает спор математиков

Отличное видео, только тем кто присылает подобные вопросы, следует больше смотреть видео Бориса. В прошлых роликах он шикарно ушатал эту тему!!!

Как всегда, шикарно! Ждём новых выпусков)

Без лайка нельзя! Как объяснение "определения" и почему оно такое, просто СУПЕР! Но как говориться: - по описи корова одна, одну и сдавать будем. Содержательно, корректно, убедительно.

Спасибо вам за такие подробные объяснения в ваших видео.Лучшая рубрика

Да, вот эта объяснялка, отлично получилась.

Как раз сегодня утром посмотрел эту задачу(канал Волкова), не поняв почему корней 4, а не 6, пошёл смотреть ваше старое видео об этом) Спасибо за ваши видео разъяснения!

Вы очень харизматичны. Приятно слушать

Спасибо за науку!

Очень подробно. А главное - доступно. Спасибо.

Только подумал об этой рубрике)))

Класс👍🏻. Наконец-то я услышал это объяснение, объясняющее противоречие!

Шёл 2023 год... Пора выпускать похожее видео!

изначальное видео: kzfaq.info/get/bejne/eZ1xZth3qJ2ad2Q.html solve for all real numbers x for which = решить для всех действительных чисел x, для которых

Мне нравится как Трушин объясняет,да и Волков тоже красава. А вот Савватеев говорит какие-то скороговорки себе под нос

Здравствуйте, подскажите пожалуйста. А подсказкой для области определения может служить то, что это квадратичная функция в квадратичной степени, тем самым обращая внимание, что основание должно быть строго положительным. Или это тоже самое, что в ролике, но частный случай?

Смотрю с удовольствием это в 2023 году. Борис, время пришло )))

Объяснение 🔥!! Супер

Если уж заговорили про это дело, то, может, имеет смысл сразу разобрать и комплексную степень?

Люблю "склеечки" )) , оговорка была "с четным знаменателем" , но перезаписано "с чётным числителем" ) , на 4ой минуте до конца стрима

Разложил все по полочкам👍

Шикарно

До встречи через полтора года! На этом же месте будем обсуждать эту же тему :)

Ну, Борис, спасибо! Достала меня эта задача (кто прав, Волков или Земсков?) Но явился Трушин, и всё встало на свои места!

Молодец, классно объяснил

Борис, спасибо за этот ролик! Это такой важный для понимания вопрос, и по общению со школьниками своих друзей знаю, что многие тут просто запоминают, что если показатель рациональный (позже, уже в старших классах, - вещественный), то основание степени исключительно положительное. Спрашиваешь, а почему? Отвечают один, два из десяти школьников.

Самое забавное, что в видео западного канала написано черным по белому, что решать нужно для действительных чисел :D

Мне кажется, если не оговорено иное, задачу "решить уравнение" можно воспринимать как задачу "найти все значения x, которые при подстановке в выражение дают однозначное равенство". То есть выражение можно рассматривать И как возведение в целую степень, И как возведение в действительную степень. И все подходящие значения являются корнями уравнения

Борис ты прав, как всегда))

Я ждал это видео :)

Спасибо огромное за очередной разбор этой околоматематичной софистики, можете пожалуйста ответить на такой вот интересный вопрос? Верно ли будет сказать, что если мы решаем уравнение f(x) = g(x) и хотим найти его корни, то это эквивалентно формулировке "найти нули функции F(x) = f(x) - g(x)"? Потому что многие судя по всему считают, что корни уравнений с функциями не связаны и мол поскольку у нас не "показательно-степенная функция, а уравнение" - то мы должны руководствоваться здравым смыслом, а не областью определения. Заранее спасибо если ответите!

<a href="#" class="seekto" data-time="810">13:30</a> ненене, мы же сказали, что работая с отрицательными основаниями, числитель показателя должен быть четным. 1/2 тут не катит =)

Супер!

Борис спасибо вам. С большим удовольствием смотрю все ваши видео. Очень интересно. Я понял так. Пусть ^ - действительная степень, ^^ -целая степень. Целая степень понятно как вводится. Операция возведения в действительную степень определена через предел (у нас так было). Поэтому, если под ^ понимать возведение в действительную степень, в операции a^b основание должно быть положительно.Число (-1)^1 не определено (хотя казалось бы, в целых - это(-1)^^1=(-1) ) потому что не существует соответствующий предел. Да, в целых есть число (-1)^1, но нет числа (-1)^1.000000...01 сколько нулей ни возьми, ведь это (-1)^1 * (корень дохреналионной четной_степени из(-1)). В любой сколь угодно малой окрестности 1 будут дыры. Предел не существует. Если посмотреть с практической точки зрения. Предположим, что s=x^y -это что-то осмысленное и действительное (не целое), сколько килограмм шоколада нужно для конфеты, x,y - характеристики конфеты. Пока x положительное - все хорошо, есть непрерывная зависимость массы шоколада от граничных условий, но если x отрицательное, то может (-1)^2 и определено (нет), но стоит увеличить размер конфеты на исчезающе малое d=0,000...01, и все (-1)^2.00...1 - решение совсем другое, точнее его не существует. Конфета в 2см и в 2.000(сколько угодно нулей)...01см это одна и та же конфета. Но шоколада на них нужно было бы сильно по-разному, если бы операция (-1)^2 была определена.

А нужно ли писать в ОДЗ, что основание степени больше 0? Или это ошибка?

<a href="#" class="seekto" data-time="240">4:00</a> Да! Если взять абелеву группу с множителями из кольца, и посмотреть на это со стороны неабелевых групп, точнее записи выражений в них, - мы увидим, что множитель станет степенью. То есть, в случае свободной группы, - мы меняем или прибавляем новые элементы в виде степеней других, но это уже точно не банальное количество "множителей", это иное. То есть, целые показатели - естественные, они исходят от групповых свойств.

О. Вот и пригодился мой вопрос о несократимости рационального показателя под тем видео.

На дворе конец февраля 2023года. Борис, пора готовить новый ролик по этой теме))

Спасибо за ролик. Безусловно лайк! Валерию Волкову тоже поставил :-) у него сразу идет условие, что основание степени обязательно положительное. P.S. Про (-1)^10 и возведенное в степень 1/2 и т.д., когда 1 = -1 отдельное спасибо :-))

Ещё вариант: считать возведение в дробную степень отличающимся от операции с использованием знака радикала. Потому что, используя знак радикала, мы видим, в какой последовательности идёт операция. А в дробной степени - не видим. Так получается, что под знак радикала мы можем ставить отрицательное число (например, при извлечении кубического корня из -8), а возведение (-8) в степень 1/3 будем считать не имеющем смысла. Я часто такое вижу в разборе задач ЕГЭ: корень третьей степени из отрицательного числа - допускается.

Наконец-то конец ролика 😁

Чотко

Из объяснения очевидно почему у компьютера только 4 решения

Забавно получается, решить уравнение=найти все x, при которых равенство достигается, но x=3,4 мы откидываем из-за одз, хотя равенство в этих x достигается. Порой математика заставляет задуматься..

Написал гневный пост, но затем прошел по ссылке на MindYourDecisions, и все вопросы отпали 😊

Я об этом даже не задумывался.

Вознесение в рациональную степень следуя логике вознесения в целую степень даёт разные значения для эквивалентных дробей. Оно различно на одном и том же классе равных дробей. А это плохо, вознесение в степень должно сохранять классы, так оно естественно. Иначе придётся принять некоммутативность или вообще нассоциативность кратных степеней.(когда множить показатели) Но вообще-то, можно так сделать, ради интереса.

<a href="#" class="seekto" data-time="842">14:02</a> Не, всё не плохо. -1^(1/3) же не определено, поскольку числитель у степени нечётный. Это не плохо, это ваще полный привет! А ещё, на самом деле, разрешая основанию степени быть отрицательным, мы автоматически выходим в поле комплексных чисел и вынуждены будем смириться с тем, что возведение в степень дает больше одного результата. Честно говоря, не очень понятно после этого как жить и решать подобные задачи

А если просто модуль перед сим ставить и говорить, что пусть оно будет равно модулю(решаем парадокс), чтобы работать можно было как с нормальными числами? Проблема решена или я где-то неправ?

Англоязычных надо учить, решать уравнения со многими результатами. Пусть заложат такую математику, в системы управления боезарядами. При таком их обучении, вероятность попадания заряда в цель, становится маловероятной. 🎉

на <a href="#" class="seekto" data-time="828">13:48</a> нам нельзя возводить -1 в степень 1/3, потому что знаменатель нечетный.

Пишу из 2023-го года...

Борис, здравствуйте. Спасибо за доступное объяснение. Я верно понимаю, что школьная математика и высшая математика конфликтуют друг с другом из-за этого? Ведь ответ, рассмотренный в контексте высшей математики, должен иметь единственное решение. Например, возведение в степень мы можем представить в виде формулы exp(n*ln(a)), где а - число, а n - степень. Здесь также появляется ограничение а > 0. В таком случае, разве мы не можем избавить от ограничения, используя ряды Тейлора для нахождения логарифма? Или я не учитываю какое-то новое ограничение?

Жду нарезку неудачных дублей)

Работайте в комплексной плоскости)

<a href="#" class="seekto" data-time="515">8:35</a> - "... когда просят найти все действительные решения..." Позвольте, а целые не являются действительными?)

Все правильно, и очень ясно рассказано, с замечательными примерами. [Holywar mode on] Только почему, когда вы говорите о возведение в целую степень, вы говорите, что 0 можно возводить только в положительную степень? Когда мы говорим о возведении в целую степень, как раз ноль можно возводить в нулевую степень (и получить 1). И это часто используется: например, в формуле e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+.... Это формула конечно верна и при x=0. (Кстати, в этой формуле слева и справа разные операции возведения в степень). С другой стороны, когда мы говорим о возведении в действительную степень, тогда ноль в нулевой степени таки-да не определен, потому что не определен предел x^y при x->0 и y->0.

Спасибо

А в чем проблема считать, что это возведение в целую степень при целой степени и в действительную - при нецелой? В задаче же не указано иного.

Но я так понимаю что все таки ответы 3,4 тоже верны. Просто требуется дополнительная проверка степени . Если степень целая то ответ верен.

<a href="#" class="seekto" data-time="1016">16:56</a> Борис, Пора опять делать ролик!

На дворе 2023. Где новый ролик на эту тему? 🧐

Непонимание, скорее всего, вызвано ТЕМ ПРОСТЫМ МОМЕНТОМ, что многие не осознают до конца, что данные операции РАЗНЫЕ. Это не кажется людям ОЧЕВИДНЫМ. Отсюда вытекают проблемы все, в том же видео англоязычном. Ведущий здесь отметил этот момент несколько раз, но ВНЕЗАПНО этого недостаточно (судя по некоторым комментариям). Надо было прямо через каждое предложение говорить: "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции" и т.д. Хотя даже показано было на конкретных определениях, что под этим понимаются ВНЕЗАПНО разные операции. В общем, сложность тут именно в том, что эти РАЗНЫЕ операции очень-очень похожи друг на друга, не только "значком умножения", а тем, что мы работаем с близкими объектами: действительными и целыми числами (множество целых чисел является подмножеством действительных). Отсюда вытекает проблема. Всё становится прозрачнее, когда мы рассматриваем, например, избитую операцию умножения на объектах вроде матриц. Там уже привычное людям со школьной скамьи, вдолбленное напрасно, свойство коммутативности ВНЕЗАПНО не работает. Человека это шокирует в каком-то смысле, но он начинает понимать, что эта операция хоть и называется умножением (потому что достаточно близка к привычному ему со школы умножению), но всё-таки она ДРУГАЯ. Тоже самое, например, если брать операцию конкатенации строк из программирования. Нередко она описывается "значком сложения", но ведь очевидно, что когда мы работаем со строками, то мы не получаем какую-то классическую "сумму" из этих объектов, мы их просто соединяем. В некоторых языках для этого используются другие "значки", в других - привычный "значок сложения", ибо чем-то там отдалённо напоминает сложение и это как бы интуитивно и как бы проще и т.п. Таким образом, когда человек осознает, что это РАЗНЫЕ операции, то его не будет шокировать момент с разными ответами ровно также, как его не шокирует, что 1) 2 + 1 = 3; 2) 2 - 1 = 1; 3) 2 * 1 = 2. Ответы разные, потому что операции РАЗНЫЕ. Вот, в принципе, если утрировать, и всё. Да, надо ещё отметить, что операции сами по себе НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ. Любая операция это просто отображение. На вход поступают объекты, на выходе получается результат после некоторой работы с этими объектами. Не углубляясь во всякие дебри, этого достаточно для начального понимания. Проще говоря. операция без конкретного описания объектов, с которыми она работает - ничего не значит. Без объектов никакой работы быть не может, работа выполняется над ними. Поэтому привычного названия операции недостаточно, чтобы понимать суть работы конкретной операции. Отсюда "умножение матриц" - конкретная операция над матрицами, "умножение действительных чисел" - конкретная операция над действительными числами, "умножение комплексных чисел" - конкретная операция над комплексными числами, "умножение векторов" - конкретная операция над векторами. Ну, и т.п.

Чёт вдруг понял.

Борис, подскажите, а какого размера у вас доска?

Извиняюсь, ерунду написал, которую еще и в ролике проговорили. Разобрался. Но действительно тема крайне запутанная. Причем очень фигово гуглится. А потом еще и случайно стер свой коммент и зацепил ваш комент. Сообразил, что чушь до вашего ответа. Вы очень здорово рассказываете такие вещи. В отличие от волкова!

Ребят привет может поможете с задачей? С пунктом (б) хотя бы, а то я туплю. .. Плоскость α проходит через середины рёбер AD, CD и BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . б) Найдите объём меньшего из многогранников, на которые плос- кость α разбивает параллелепипед, если объём параллелепипеда ра- вен V.

Как мне кажется, большинство, просмотревших это видео, забыли или не знают, что такое арифметическая операция возведение в степень, а в уравнении f(x)^g(x)=1, где f(x) = x^2-7x+11, g(x) = x^2-13x+42, операция f(x)^g(x) - это операция возведения степень, где f(x) - это основание степени, а g(x) - её степень. Как определяется операция возведение в степень можно посмотреть здесь kzfaq.info/get/bejne/sMplrKWAvbbRoJs.html. То, что решение ищется в области действительных чисел означает только то, что х может принимать только действительные значения, а не комплексные. А как Вы хорошо знаете, целые и рациональные числа также являются действительными. Чем, спрашивается, числа 2, 5, 6 и 7 лучше, чем 3 и 4?

Подразумевает ли наличие квадратного уравнения в показателе степени то, что это показатель действительное число ? При поиске корней квадратных уравнений никто себя целыми числами не ограничивал и более того, сократимые дроби равные найденным корням для квадраных уравнений будут корнями, но приведут к указанным вами противоречиям с отрицательным основанием степени.

Да, это жестко

Действительно, возникает путаница. (-1)^12 как возведение в целое число, означает 12 раз перемноженных между собой -1 и это 1, а (-1)^12.0 как возведение в действительную степень, подразумевает совсем другое, и уже лишено смысла. Менять операцию на лету довольно странный ход. Мы ведь не подменяем какой-нибудь логорифм на синус для отрицательных чисел под предлогом "Логорифм тут не имеет смысла, но если подставить вместо логорифма синус, то уравнение будет иметь решение!".

А вот интересно, какой ответ ЕГЭ считает верным? Это же чисто засада и к математике не имеет никакого отношения. Корни 3 и 4 дают ЦЕЛЫЙ Чётный показатель, значит, они являются решениями данного уравнения.

О да, наконец-то разбор этой огромной манипуляции. А вот (-1)^k в тригонометрии - это весьма и весьма хороший пример, спасибо))

В случае олимпиады и не указаны тип чисел, возможно ли и необходимо ли объединять решения на иррациональных и целых числах? Т.е. когда а третьем случае Прэш Толвокар указывает минус 1 в четной степени, ведь четная степень есть целое число.

Судя по комментариям, путаница никуда не ушла, и народ всё ещё не понимает всю её суть. Поясню своими словами как программист. Операция целого и рационального возведения - разные операции. Почему? По определению. Представим каждую операцию как алгоритм. Для целых назовём её допустим PowZ(a,b), для рациональных PowQ(a,b). PowZ реальзован как последовательное умножение b раз, может принимать на вход любое умножаемое a и только целый b, при не целых алгоритм лишён смысла и сломается. PowQ реализован, допустим, через ряды, но он так же сломается, если a < 0, значение b будет совершенно не важно, до него не дойдёт. Таким образом, если мы применяем операцию рационального возведения (алгоритм) PowQ, то он не завершится успешной проверкой на PowQ(-1, 2*k) == 1, - равенство не будет выполнено. Если бы применяли PowZ, то корни, отличные от целых бы тогда не подходили (не для этого примера, но можно придумать). Само уравнение можно и нужно воспринимать как функцию проверки, тогда совершенно очевидно, что применяемый в ней алгоритм не может меняться в зависимости от значений параметров.

Математика базируется на договоренностях. Как договорятся так и будет.

Но если в условии явно не указано, что нужно решить в действительных числах, не будет ли полным решением назвать сначала 4 корня, а затем добавить "но если мы рассматриваем это задачу, как задачу над целыми числами, то вот еще 2 корня"? А еще интересно, если бы в условии вместо x стояло n, сразу бы все в целых решали и считали это очевидным?)

Тот случай, когда общее решение меньше частного) Но всё же, я считаю, что следует рассматривать объединённое решение. В самом общем случае (если приравнять ввести какой-то дополнительный параметр) основание является действительным числом от -беск до +беск и показатель является действительным числом от -беск до +беск, если рассматривать их отдельно, и решения можно вовсе не найти) Так как это голая математика, я считаю, что нам следует самостоятельно оговаривать ограничения и искать решения в условиях этих ограничений. Причём, так как в условиях задачи ничего не сказано, кроме того, что x - действительное и надо найти ВСЕ значения, то следует рассматривать все варианты.

Но ведь целые - подмножество действительных. Поэтому при подстановке 3 и 4 показатель целое число, и тождество истинно.

Тут сразу понятно, что Волков прав.

Тут всё зависит от того, как определять степень рациональную, если через корень, то тогда да. А если через решение уравнения, то всё будет почти нормально. Но, хочется, чтобы со степенью можно было работать как с числом конечно, а тут нельзя требовать чтобы всегда выполнялось (-8)^1/3 = (-8)^2/6. x^3=-8 в квадрат возвести можно, но множество решений тогда расширится.

блин теперь я спать не могу🤣)))))

ну вообще да. зашкварно, чел в начале говорит решить в real numbers, а потом сам же в 3м солушене пишет integer. и больше 2млн просмотров интересно, он просто очередной блогер или реально шарит, а тут запутался, ошибся. в "О канале" указано что изучал математику и экономику. и чето какие то книги пихает. номинант на награду каких то сборов ютуберов итд... печально конечно, что в интернете куча мутного контента на любые темы, где популярные люди учат с ошибками

А с третьей стороны, решением уравнения называется число, при подстановке которого в исходное равенство, это равенство превращается в тождество. И с такой позиции у данного уравнения 6 корней.

Вопрос по смежной теме: если мы считаем что корень это не совсем тоже самое, что и возведение в действительную степень, и он определен для отрицательных чисел, то как относиться к выражению sqrt(-8)*sqrt(-2)? С одной стороны в действительных числах решений нет, но если их поместить под один корень, то получаем ответ 4. Если рассматривать через комплексные, то, если я не ошибаюсь, ответ получим -4. Как всё-таки тут быть?

Когда рассматривали пример с четным числителем в степени, ((-1)^(2/3))^(1/2) = (-1) ^ (1/3). Но 1/3 имеет нечетный числитель. Переводим в четный = (-1) ^ (2/6) = 1. Противоречия нет.