Замена х=3+t. Раскрывая скобки получаем биквадратное уравнение t⁴+18*t²-19=0. Корни t²=1, t²=-19. x=2;4;3±i√19

Решение конечно прикольно, но это как апендицит вырезать со спины

Сдаю информатику, у меня прям рефлексом было разбить 1056 на 1024 и 32. Ну а дальше я думаю все видно...

Супер ЖЕСТЬ для продвинутых: Перед началом попробуйте его решить. Класс👍

Если сразу сделать замену y = x-3 и раскрыть степени, то получится намного быстрее и красивее

Можно проще. замена x = 3-y Получаем f(y) = (3-y)^5 + (3+y)^5 = 1056 Очевидно что f(y) = f(-y). Если y0 - решение, то -y0 - тоже. Будем искать решения при y > 0 (y=0 не подходит) (3+y)^5 - 1056 = -(3-y)^5 = -(y-3)^5 - слева возрастает, справа убывает => решение одно 2^5 = 32; 3^5 = 243; 4^5 = 1024. 1056 - 4^5 = 32 = 2^5 1056 = 4^5 + 2^5 => y = 1 (и y = -1) x = 2 и 4

Это тот самый (редкий) случай, который решается простым подбором за 1 мин) два в пятой = 32, четыре в пятой = 1024, 32 + 1024 = 1056

Огромное Спасибо за решение.

По-моему, это жёсткий троллинг подписчиков, со стороны уважаемого Валерия. Ясно, что исходное уравнение -- уравнение четвертой степени, потому что х^5 после раскрытия скобок сократится. А если сделать замену х=t+3, то оно получится и биквадратным, потому что члены при нечётных степенях t сократятся. А чему может научить математическая эквилибристика, я не очень понимаю)) Будет ролик с простым решением?)

У нас в Сербии есть множество умных математиков, но нет такого методичества как у вас. Это удивительно. Просто поэтического. Жаль что у меня нет авторизации для учения нашей детей на том уровне. По моему мнению наша литература по математики и классической механики енигматическая и по тому большинство нашей тальентнвой детей попадает. Большое спасибо уважаемый господин Валерий Волков (Прошу прощения за долгий ком.)

Как по мне , замена x=t+3, дальше раскрытие (t+3)^5 и использование этого для раскрития (3-t)^5 дальше сложив получаем биквадратное уравнение. Даже не зная бинома Ньютона легко возвести в 5 степень

Шикарно. Большой лайк и подписка. Решение точно. Но есть еще вариант решения в комментах. Думаю, эта задачка вовсе не жесть -- просто красива в плане симметрии :)). Ее здесь многие так и решили, а именно (вставляю решение): замена t=x-3; замена именно такая, чтобы была симметрия и взаимные сокращение после раскрытия по биному Ньютона; далее получаем после раскрытия по биному: (5t^4*3+10t^2*3^3+3^5)*2=1056; остальные слагаемые взаимно сокращаются; делим на 6: 5t^4+90t^2+81=176 или t^4+18t^2-19=0; D/4=9^2+19=100; t^2=-9+/-sqrt100=-9+/-10; t^2=1; (комплекс. корни отбрасываем); t=+/-1 и, наконец, x=t+3=4;2. Задачка всё же красивая, но вовсе не жесть. Уровень ЕГЭ. И еще простой вариант решения: легко видеть корни 2 и 4. Стало быть, делаем замену на t=x-3 и делим многочлен после замены на (t-1)(t+1), ибо делить на (x-2)(x-4) исходный многочлен чуток муторнее. Короче, делим t^4+18t^2-19 на t^2-1 (по сути, такое простое деление в уме можно сделать) и получаем t^2+19=0. Т.е. больше корней вещ-х нет. [Если комплексные нужны, то находим и их: x=t+3=3+/-(sqrt19)i]

Спасибо ! Очень наглядно и доступно для учеников средней школы. Именно пошаговое преобразование для решения очень важно ,чтобы успешно работать с подобными заданиями.

1.В исходном уравнении переносим всё в лево раскрываем скобки приравниваем к нулю. 2. Разложим на множители, получаем: 30(x-2)(x-4)(x²-6x+28)=0 3. Скобки приравниваем к нулю, получаем x=2, x=4, третья скобка корней не имеет.

Блин, из простой задачи сделали такое сложное решение... Можно было сразу заметить, что левое выражение симметрично относительно x=3 и сделать сдвиг туда, таким образом симметризовав уравнение. Получится биквадрат с очевидным решением. P.S. Судя по комментариям, многие решали таким же способом. Молодцы!

Я знаю математический лайфхак связанный с 5 степенью поэтому 6^5 не подходило. Перебором дошел до 1024+32. А это пятая степень .значит подходят только два числа 2 и 4

У меня есть решение попроще и оно вроде бы даже правильное. Можно 1056 представить как 1024+32=1056 2^10+2^5=1056 4^5+2^5=1056 x^5+(6-x)^5=4^5+2^5 Отсюда можно сказать, что (x=4 и 6-x=2) или (x=2 и 6-x=4). В первом случае x=4, во втором x=2 P.S x=3 - стационарная точка. До неё функция убывает после неё возрастает, при x=3 f(x)=3^5+3^5≠0 значит уравнение имеет два различных корня, которые можно найти выше описанным способом.

Много терпения и изобретательности надо на решение. 2 подставы. Жестяная жесть!

Решила по Вашему принципу: что не нравится - заменяйте! Итак, a= x; b=6-x. Получаем систему {a+b=6 и a^5+b^5=1056. Находим (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=6^3. Отсюда, помня, что a+b=6, получаем a^3+b^3=6^3-18ab. Далее находим (a+b)^5= a^5+b^5+5ab(a^3+b^3)+10a^2b^2(a+b)=6^5. Подставляем известные выражения на их численные значения и, обозначив ab= v, получим: 6^5= 1056+ 5v(6^3-18v)+10*6v^2. Разделим обе части уравнения на 6 и упростим, получим: 5v^2 -5*6^2v + 1120=0. Разделим на 5, получим:: v^2-36v+224=0. Решив его , получим v1=8 и v2=28. Подставим эти значения в исходную систему уравнений, получится 2 системы: 1){a+b=6 и ab=8 и2){a+b=6 и ab=28 . В системе 1) b заменяем на a , b= 6-a и решаем квадратное уравнение a^2-6a+8=0, получаем a1=x1=2 и a2= x2 =4. Система 2) решений не имеет, т.к. дискриминант получившегося квадратного уравнения отрицательный. Итак, ответ: 2; 4

Мне кажется, не все хорошо понимают, почему "будет удобно" производить те или иные преобразования. Было бы неплохо оговориться, что вы сводите уравнение к виду, где будет встречаться только xy. Тогда ваши неочевидные преобразования обретают четкую направленность и смысл.

Я её в уме решил. Я заметил, что 1056 = 1024 + 32 = 4^5 + 2^5. И всего то. Конечно это не гарантирует того, что других корней нет, но всё же оказалось правильным))0)

Ответ: 4. Цифры небольшие. Решил методом подбора. Старый, добрый проверенный метод. Как и сложные функции по точкам строить) На тестах помогает

*Комплексные корни* тоже подходят x = 3+sqrt(19)*i x = 3-sqrt(19)*i

Хотя икс тут в пятой степени и по идее корней должно было быть пять, но из-за того что пятая степень икса сокращается при открытии скобок и соотвественно корней 4. В процессе решения вроде все корни и нашли. Два действительных два комплексных.

Можно сделать замену х = 3 - t, тогда 6 - х = 3 + t. Если теперь это подставить в уравнение, получим: (3 - t}^5 + (3 + t}^5 = 1056. Или (t + 3}^5 - ( t - 3}^5 = 1056. Если теперь раскрыть скобки, то получим биквадратное уравнение.

А еще есть корни x= 3-i√19 и х= 3+i√19, комплексные корни))

Находим производную, точка экстремума: х=3, f(3) = 2 * 3^5 = 486 < 1056, значит решения ровно 2: если f(a) - решение, то и f(6-a) - тоже решение, в силу симметрии. Подбираем х=2 - решение, значит и х=4 - тоже. Вот и оба решения. Просто. Быстро. Оч стандартно

Даже забыл про поправки к конституции... Тронут

Решил буквально за полминуты. Прикинул какое число в пятой степени будет близко к 1056, это 4, отнял получил 32 тоесть 2^5 и всё

Ааа, какая сложная задача, лучше пойду пива бахну и дальше буду деградировать!

Спасибо за разбор! Графическим способом удобнее, но это не мои домыслы, это в принципе так есть. Найти производную функции в левой части уравнения, её нули, из этого функция имеет один экстремум в конкретном случае, и слева/справа от него убывает/возрастает на промежутках от минус/плюс бесконечности до значения в точке экстремум, вертикальных асимптот нет, что её минимум в точке экстремума меньше значения константы правой части, а значит имеет всего 2 точки пересечения с прямой y=1056. Корни можно найти подстановкой, доказав, что их ровно два. Ещё что-то забыл, ведь школу 11 лет назад окончил... Функция непрерывна, определена для всех x, ну в общем, эль класико. Но вот что я заметил: эта функция симметрична относительно x=3, и корни уравнения, если константа больше минимума, будут всегда симметричны относительно этой прямой. А как это называется? Функция вроде бы сама не чётная, но относительно x=3 чётная. Как её назвать и как это использовать вот что интересно))

Эту идею я почерпнул из другого Вашего сайта. Удивительно, что здесь Вы ее обошли. Подстановка: x = 3+y, отсюда 6-x = 3-y. Применяем формулу бинома (3±y)⁵ = 3⁵ ± 5⋅3⁴⋅y + 10⋅3³⋅y² ± 10⋅3²⋅y³ + 5⋅3⋅y⁴ ± y⁵ После сложения слогаемые с нечетными степенями y взаимно уничтожаются и получаем 2⋅3⁵ + 20⋅3³⋅y² + 10⋅3⋅y⁴ = 1056 Для упрощения вычислений делим обе части на 6: 3⁴ + 10⋅3²⋅y² + 5⋅y⁴ = 176 или 81 + 90 y² + 5 y⁴ = 1056 Переносим свободный член влево, приводим подобные, делим на 5, получаем биквадратное уравнение: y⁴ + 18 y² - 19 = 0, которое решается подстановкой t = y². Корни уравнения 1 и -19. Отсюда y² = 1 => y = ±1 или y =±i√19 , откуда x₁ = 4, x₂ = 2, x₃ =3+ i√19, x₄ =3 -i√19

Соглашусь с каментами насчет замены х=3+t, единственное что хочется добавить, это что функция симметрична относительно вертикальной прямой х=3, это видно из ее уравнения, поэтому и стоит "сдвинуть" ее заменой. Полученное биквадратное уравнение легко решается по т. Виетта.

Впринципе, я тоже угадал сразу, но прикол таких задач не в том чтобы подобрать, а по возможности решить, хотя с производной тоже понравилось) просто корни такие что можно угадать)

Очередной раз спасибо Ютуба,смотрю и наслаждаюсь,здорово!!!

Можно решить проще, если заметить симметрию и сделать замену на t+3. Откуда сразу получаем биквадратное уравнение.

Можно так: x^5 + (6-x)^5 = 4^5 + 2^5. Откуда сразу x1 = 2, x2 =4. Далее раскрываем (6-x)^5, приводим подобные. Полученный многочлен четвертой степени делим на x^2 - 6x + 8 =(x-2)*(x-4), получаем еще одно квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Его корни x3=;3+i√19, x4 =3-i√19.

1056 = 4^5 + 2^5. Ответ 4; 2 ;)

Заметим нечетная степень 1-го слагаемого больше 0, значит х>0; Правую часть 1056 представим в виде 5 степени. Не получается. Тогда берем минимальное выражение 5 степени. Это 1024 = 4^5 степени остаток тоже 5 степень числа 2 Итого 1056=1024+32 1056=4^5+2^5 Попробуем преобразовать правую часть по подобию левой части 1056=(6-2)^5+(6-4)^5 Уравняем с левой частью. Х^5+(6-Х)^5=(6-2)^5+(6-4)^5 Так как левая часть тоже состоит из двух схожих частей, значит Решения Х^5=(6-2)^5 или (6-Х)^5=(6-2)^5 То есть х=4 или х=2. Принцип решения - решения в малых числах, практически метод подбора, так как степень 5 здесь не рассматривается как реальное возведение е в степень

4! Решил ещё до просмотра ролика примерно за минуту. Просто обратил внимание что справа число подозрително близкое от 1024, являющееся 10й степенью двойки, ну и соответственно 4 в 5й. Разница между 1056 и 1024 это 32, что является как раз 5й степенью двойки. Ну и всё, ответ уже очевиден. Писал это сообщение раза в 3 дольше чем нашёл ответ.

Корни 2 и 4 находятся как делители свободного члена. Далее исследуем функцию f(x)=x^5 + (6-x)^5. Получаем один экстремум - глобальный минимум x=3. При x3 - строго возрастает, а это значит, что с прямой f(x) = 1056 может быть не больше двух точек пересечения, и мы их сразу нашли, а других решений, кроме 2 и 4, нет.

исследовать функцию на монотонность, у нее только один экстремум, и тот минимум. в точке 3. Далее слева и справа подбором корни в точках 2 и 4.

Уравнение не простое, даже слишком. Я не заметил замену, как Вы, поэтому пошел напрямик, то есть раскрыл скобки и при приведение подобных слагаемых вывел, что х⁴-12х³+72х²-216х+224=0 И как вы говорили в каком-то из роликов, что это можно решить методом неопределённых коэффициентов. Мне, конечно, повезло, раз числа оказались целыми, но я выяснил, что а=с=-6 , а b=28 , d=8 или b=8, d=28 ( тут без разницы, так как а=с) и получил х=4 или 2 . Это не считая комплексные корни. Ответ : 2;4

Спасибо! Если не секрет, Ваши ученики решают задания такой сложности, и, если решают, то чем Вы их кормите?!

Можно проще: Пусть f(x)=x^5-(6-x)^5 f'(x)=5x^4-5(6-x)^4 Надем точки экстремума: f'(x)=0 ⇔ 5x^4-5(6-x)^4=0 ⇔ x^2-(6-x)^2=0 ⇔ x-6+x=0 ⇔ x=3 f'(0) f(x) убывает на x

Очень интересное и познавательное видео! Спасибо!!!

Приведенное решение очень полезно для обучения всяким преобразованиям, решениям систем уравнений, но для конкретной задачи какое-то... скучное. Во-первых, как уже многие заметили, можно упростить преобразования сделав замену t=3-x, и раскрыв скобки. Но это тоже как-то неинтересно. А если там не пятая степень, а пятнадцатая (при другом числе в правой части уравнения, конечно), что тогда? Предлагаю такое решение. 1. За несколько секунд приходит понимание, что 1056=1024+32, соответственно х=4 или х=2. 2. Исследуем функцию - левую часть уравнения - с помощью производной. Она вычисляется элементарно и равна 0 только в точке 3. Соответственно фу-я убывает на (-оо;3] и возрастает на [3;+оо). Значит более двух решений данное уравнение иметь не может. 3. Ответ: 2, 4. P.S. Понятно, что такое решение основано на том, что корни видны сразу, а это может быть и не так. Но с другой стороны, интересно придумать более быстрое решение в конкретной ситуации, когда ответ очевиден, а возиться после этого с кучей скобок нет никакого желания.

Хочу предложить немного другое решение. Кажется, что оно более простое. Исходное уравнение поделить на 6^5. Пусть t = x / 6 Получаю t^5 + (1 -t)^5 = 1056 /(6^5) Следующая замена t = k + 1/2 ; 1 - t =1/ 2 - k Получаю (k + 1/2)^5 - (k - 1/2)^5 = 11 / 81 (по биному Ньютона видно, что останутся только ЧЕТНЫЕ степени k , то есть задача свелась просто к решению биквадратного уравнения, "подняться" до x, зная k не составит труда)

А ещё такое уравнение можно методом Гаусса решить. И имеет смысл заострить внимание на том, почему у свиду уравнения 5й степени всего четыре решения вместо пяти.

Отличная задачка!Я её немного по-другому решил, но и этот вариант отличный!! Школу закончил в 76-м прошлого века.

x^5 + (6-x)^5 = 1056 x^5 + (6-x)^5 = 1024 + 32 x^5 + (6-x)^5 = 4^5 + 2^5 ((x^5 = 4^5) и ((6-x)^5 = 2^5)) или ((x^5 = 2^5) и ((6-x)^5 = 4^5)) => => (x = 4) или (x = 2) Ответ: 2, 4

Ещё одно решение может быть и таким. Имеем алгебраическое уравнение четвёртого порядка с целочисленными рациональными коэффициентами. Предположим, что некоторые корни рациональны и пусть корень x* > 0. Тогда для этого корня имеем: x*^5 + (6 - x*)^5 = 1056. Следовательно, (6 - x*)^5 < 1056. Извлекая из обеих частей этого неравенства корень пятой степени, получим что для x* необходимо выполнение неравенства: (6 - x*) < 1056^(1/5). Заметим, что 5^5 = 3125 < 1056, а 1056 > 4^5=1024. Поэтому имеем право потребовать: (6 - x*) < 5 при x* > 0. Остаётся только проверить, что корни x1 = 2 и x2 = 4 удовлетворяют нашему уравнению. Предположим, что x* < 0. Обозначим -y* =x*, где y* > 0. Тогда для y* должно быть выполнено: -y*^5 + (6 + y*)^5 = 1056. Заметим, что если раскрыть (6 + y*)^5 по формуле бинома Ньютона, то все члены биномиальной суммы окажутся больше нуля. При этом пятые степени y* в левой части нашего равенства будут взаимно уничтожены, а свободный член левой части получит значение 6^5 = 7776. Если теперь перенести в левую часть число 1056 со знаком минус, то становится очевидно, что левая часть никак не может равняться нулю, поскольку 7776 - 1056 > 0. Следовательно, отрицательных корней здесь не имеем.

А мне было проще раскрыть по биному Ньютона, потом по схеме Горнера найти корень 2 и потом 4 :) Впрочем, Ваш метод очень красивый!

забавно, что я решил её подбором за 12 секунд.

А в чем проблема построить график функции, вместо всего этого извращения?) Очевидно, что при больших значениях x (положительных или отрицательных) график будет расходиться в разные стороны - это легко доказать.

Очень нужное и жизненное уравнение. Именно на таких уравнениях лучше всего объяснять школьникам красоту математеки и ее нужность в дальнейшей жизни.

Замена x=3+t и переход к биквадратному уравнению намного универсальнее. Заменим 1056 на 1050 - и все подбиратели корней (половина комментов) пойдут лесом. И хитрое сведение к уравнению для переменной x*y станет менее красивым. А биквадратное уравнение - оно и в Африке биквадратное, решается из любого положения.

С виду кажется, что уравнение 5-й степени. А на самом деле 4-й. Но я его решал методом подбора. Сначала подставил x=3 - не сходится. Тогда x=4 - сходится. И в силу симметрии относительно тройки подходит также x=2. Но у уравнения 4-й степени должно быть 4 корня. Попробуем подставить 3+i или сопряжённый 3-i. 6^5+5*6^4(-x)+10*6^3(-x)^2+10*6^2(-x)^3+5*6(-x)^4 = 1056 (3+i)^2=(8+6i) ; (3+i)^3=(18+26i) ; (3+i)^4=(28+96i) 7776-6480(3+i)+2160(8+6i)-360(28+26i)+30(28+96i) = =7776-19440+6480-10080+840-6480i+12960i-9360i+2880i = = 7776-19440+6480-10080+840 = -14424. Ответ не сошёлся - видимо, я где-то сбился со счёта. А может, он неправильный. Ну и фиг с ним. Странно, что мнимая часть обнулилась, как должно быть в правильном ответе.

3-х=t, x=3-t, раскрыть скобки, получится биквадратное уравнение, ответ:4,2, спасибо автору за удовольствие применить приемы, редко используемые!

Это почему нет корней от первого уравнения, что в Вашем видео? Есть. Просто они комплексные: 3 + i√19, 3 - i√19. Неужели продвинутый уровень не подразумевает знания комплексных чисел? :) Я начинал решать иначе: Раскрыл скобки и перенёс 1056 влево. Таким образом избавился от пятой степени. Получил: 30x^4 - 360x^3 + 2160x^2 - 6480x + 6720 =0 Поделил это выражение на 30 и получил симпатичное уравнение 4-й степени: x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 216x + 224 =0 ....................................................... По схеме Горнера подбираем делитель как один из сомножителей свободного члена 224. Например, подходит 4. Поэтому полученное уравнение четвертой степени делим на (x - 4). Получаем: (x - 4)(x^3 - 8x^2 + 40x - 56) =0 С полученным кубическим многочленом поступаем аналогично. Теперь подходит 2. Делим уравнение на (x -2): (x - 4)(x - 2)(x^2 - 6x + 28) = 0 ............................................... Приравниваем все сомножители к нулю, решаем новые уравнения. Первые два дадут действительные корни: 4 и 2, а квадратное уравнение два комплексных: -(-6)/2 + √((6/2)^2 - 28) = 3 + √(-19) = 3 + i√(19) и 3 - i√(19).

Спасибо за великолепный разбор!

мда, то чувство, когда решил за 5секунд, а тут надо расписывать вечность...

Слишком сложный путь, я расписал 1056 как 1024+32, затем 4^5+2^5. После есть только два вывода: 1)(6-2)^5+2^5 то есть тут можно понять что икс равен двум 2) И (6-4)^5+4^5 тут икс равно 4 Кто понял с того лайк)))

Est' prosche reshenie: Predstavit' 1056 kak 2^5+4^5. x^5-2^5=4^5-(6-x)^5, predstavit' kak raznosti 5 stepeni; vynositsja (x-2) a dal'she prosto.

Легко заметить что корни 2 и 4. А дальше дело техники

Неплохо, неплохо, хоть что-то свое( не видел у других) и не слишком простое. Лайка заслуживает

x-3=t. x=t+3. x-6=t-3 Uravneniya:x^5+(6-x)^5=1056 ili x^5-(x-6)^5=1056 ili (t+3)^5-(t-3)^5=1056... 30t^4+540t^2-570 t^4+18t-19=0 t^2=y y^2+18y-19=0 y(1)=-19=t^2 ne mojet bıt y(2)=1=t^2. t(1)=-1, t(2)=1 Toqda x(1)=t(1)+3=-1+3=2 x(2)=t(2)+3=1+3=4

Вот это экшн!!!! Лихо, адреналин зашкаливает =)))

Крутой способ замены, на экзамене обязательно подсунут

Как придумано это yравнение? Функция F(t)=t^5 выпукла при t>=0. Имеем уравнение F(t1)+F(t2)=F(k1)+F(k2), где t1=x, t2=6-x, k1=4, k2=2. Так как выполняется условие t1+t2=k1+k2, то уравнение равносильно совокупности: t1=k1,t1=k2, t2=k1, t2=k2 т.е. x=2;4. Будут абсолютно те же решения при F(t)=t^7, только число 1056 надо будет пересчитать на 4^7+2^7. Можно поменять и входящие аргументы (x+3)^5+1^5=(x+1)^5+3^5. Ответ x=0;2.

"Продвинутые" не писали би зайвого, а провели би заміну x=y+3 і отримали біквадратне рівняння y^4 + 18y^2 - 19 = 0. Тоді y^2 = 1 (y^2 = - 19 не задовольняє) => {y = 1, y= -1} => {x = 4, x = 2}

Я уверен, что 99% учеников хрен бы решили!!!! Нация тупеет с каждым днём , вот что плохо!!!!. Рассчитывают на компьютерное оборудование и интернет!!!!!!!((((

Замена t = x-3 приводит к биквадратному уравнению после раскрытия по биному

Это надо было все так усложнить 😂 Пришлось математику со школы вспомнить, чтоб понять, что меня так смущает >_

Действительно экшн. Долго, нудно, в процессе решения появляются новые условия и решения...пока доберёшься до ответа - забудешь

Valery Volkov 8:35 *Ошибка* ))) По условию задачи не указано, что ищем только действительные корни. Посему корни квадратного уравнения X^2 - 6X + 28 = 0 я вляются 3-м и 4-м корнями исходного: 3: *x=3+sqrt(19)i* 4: *x=3-sqrt(19)i*

Делаем постановку x=2*y Получаем y^5+(3-y)^5=33. Решение y=1 и y=2. Переводим x=4 и x=2. Зачем такое длинное решение?

Если знать, что 5-я степень числа заканчивается на то же самое число, что и возводимое в степень, то решается за минуту.

По-моему, можно и не в "лоб" решать, а окольными путями. Исследовав записанную в левой части ур-я функцию, определим, что её график подобен параболе с одной точкой минимума, равного нулю, при x = 3, относительно которой она симметрична (являясь при этом положительной на всей области определения, кроме точки минимума). А значит, число корней исходного уравнения - ДВА. Далее. Предположим наличие в уравнении ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ. Как можно оценить, положительным числом возведённым в 5-ю степень, дающим БЛИЖАЙШЕЕ к правой части уравнения число является 4 (1032). Подставив его в ур-е, увидим, что оно обратилось в тождество. - Ура!!! Мы почти подбором нащупали ПЕРВЫЙ корень ур-я. Но помня о симметричности функции из левой части ур-я, радостно понимаем, что и при х = 2 всё должно "сойтись". - Проверяем и убеждаемся, что это так и есть. Вот и всё. х1 = 4, х2 = 2.😀

Не надо морочить голову детям. Проще это редуцировать до x^5+(6-x)^5=1056 ----> x^5+(6-x)^5=2^10 + 2^5 ----> (x/2)^5 + (3-x/2)^5 = 2^5 +1; x есть небольшое целое число. Из (x/2)^5 + (3-x/2)^5 = 2^5 +1 несложно в уме сосчитать, что x м/б 2 или 4

зачем столько писанины, когда можно просто методом подбора решить ! бред полнейший

Посмотрев ваше решение,мой Дед сказал,что вы решили очень длинно и самое главное бесмысленно!.На вопрос почему он ответил,что тень появляется одновременно со светом

решение 2 и 4 увидел почти сразу - просто поняв что 1056 = 1024+32=4^5 + 2^5, 1056 к степеням 2 близкое число а их я помню )) а дальше можно просто разделить в столбик многочлен и найти оставшиеся решения

если сразу расписать, 1056 = 1024+32=4в5+2в5=4в5+(6-4)в5=2в5+(6-2)в5, то тот же ответ, 2 и 4 получается проще и быстрее.

А я... Подбором. Вспомним, что 5³ это 125. Умножив на 5², и получим 5 в пятой степени. Это будет более трёх тысяч. Слишком много. Берём 4 в пятой степени. Оно будет равно 2¹0. 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024. Бинго. 1056-1024=32. В нашем списке степеней двойкиьл число стоит пятым. 4^5 - (6-4)^5)= 1056. Всё просто.

Вряд ли Вы одобрите, но, все-таки, можно ли решить так? - Пусть (6 - Х)^5 = t, - Тогда х^5 + tХ^5 = 2^5х33, - Х^5(t+1) = 2^5х33 Положим t + 1 = 33, а Х^5 = 2^5 В итоге: 1) t = 32, (6 - Х )^5 = 32 = 2^5, 6 - Х = 2, Х = 4; 2) Х^5 = 2^5, Х = 2

Мы видим, что 5**5=3125, это больше 1056 более, чем в два раза. Следовательно Х не может быть больше 5 (6**5=7776, т.е. разница между 6**5 и 5**5 уже больше 1056 следовательно Х**5-(6-Х )**5 всегда будет больше 1056). Соответственно остается 5 чисел: 4,3,2,1,0. При нуле 6**5 еще больше 5**5. При Х=1:1+5**5 то же больше 1056. Для значений 4,3,2, считаем. И получаем, 4 и 2 дают правильный ответ, причем посчитать можно один раз, так как 2**5+4**5=4**5+2**5.

Во-первых, как правильно тут заметили, правая часть под натиском особо зорких биологических калькуляторов (шутка, друзья) раскладывается на сумму двух пятых степеней натуральных чисел 4 и 2. Сразу многие дают ответ x=4. Однако, эти "многие" тут же упускают, что и x=2 тоже является корнем этого уравнения :). Если теперь разделить многочлен x^5+(6-x)^5-1056 на произведение (x-2)(x-4) , {решение алгебраического уравнения представляется в каноническом виде как произведение многочленов степени не выше второй, что учтёт, кстати, и комплексные корни, если средняя школа таки продвинутая :) }, то получится после довольно нудной процедуры => 5*6*( x^2-6x+28). Квадратный трёхчлен в скобках не имеет действительных корней. Т.е. получается исходное уравнение в каноническом виде: 5*6*( x^2-6x+28)*(x-2)*(x-4)=0. И таки да, если считать, что исходное уравнение, в общем-то, четвёртой степени (пятые степени при раскрытии скобок "уничтожаются"), то корней четыре - два действительных (и даже не только целочисленных, но и натуральных!) и два комплексно сопряжённых. Однако, и я не Бог, и вполне возможно таки "потерял" один корень :). Но лень искать дальше или доказывать, что его нет ваще. P.S. С другой стороны, явно виден композиторский замысел: может поищете, граждане, решение в виде суммы двух пятых степеней чисел? Совсем здорово, если композитор таки предусмотрел "принципиальное отсутствие пятого корня". Вообще, сочинять теоремы/коструктивные гипотезы или ставить задачи гораздо сложнее, чем их решать!!!! См. в историю Математики.

Проще намного решается, за 3 минуты. x - очевидно не может превышать 4, так как уже 5^5 - это число, существенно большее 1056. Аналитически можно догадаться, что эта функция - полином 4 степени с положительным коэффициентом при x^4 (и это понимание позволяет не раскрывать скобки). Следовательно, каким может быть x? Очевидно, что от 2 до 4, так как числа меньше 2 дают во второй скобке результат превыщающий 1056, а значит уже неверный. Берем границы обозначенного контура 2 и 4 и подстановкой убеждаемся, что они и есть решения. Остальные решения невозможны в силу того, что данная функция - полином 4 степени (то есть просто парабола), следовательно, между 2 и 4 пересечений с прямой y = 1056 быть не может. Дольше это писал, чем решал.

Решение понятно! Благодарю за то, что продвинулась))

Только взглянув на превьюху, я сразу понял, что 1024+32=1056 ! И тогда я быстро определил, что x=4. 4^5=1024, (6-4=2)^5=32.

Без всяких замен и разности пятых степеней, просто решить уравнение четвертой степени: 30x⁴-360x³+2160x²-6480x+6720=0 x=2, x=4. Сложно, но можно.

Более простое решение корни угадать, при помощи производных доказать что других быть не может. А так 5-я степень в радикалах не решается по теореме Галуа

Действительно, "жесть". Сам не решил, но смотрел Ваше решение, как путь канатоходца: неужели дойдёт до конца!? Дошёл!

этот пример решается очень легко путем элементарного подбора значений х при которых х в 5 степени близко к 1056... это 4 в 5 й степени 1024... и оставшееся 32 это 2 в 5 степени... отсюда и два подбираемых ответа х1 = 2, х2 = 4.

Решается мгновенно, если догадался. Как -бы.!? 1056 представляется как 4^5+2^5, программисты это заметят сразу. Итак два корня очевидны, 2 и 4. Онлайн раскладываем полином (6-x)^5, сокращаем лишнее, делим получившееся уравнение на (x-2)(x-4). Решаем квадратуру. Получаем еще два корня 3±i √19. Но по условию задачи полином 5 степени, корней должно быть 5. И тут белочка зависла....

С удовольствием смотрю Ваши решения, очень хороший тренинг для мозга.

Х⁵+(6-х)⁵=1056 6(х⁴-6х⁴+36х⁴-216х⁴+1296х⁴)=1056 6(31х⁴+1080х⁴)=1056 6(1111х⁴)=1056 6666х⁴=1056

Помогите пожалуйста разобраться . Для концерта доступно 200 мест. Детский билет стоит 7 евро, а взрослый - 15 евро. Если сумма будет распродана, общая сумма выручки составит 2480 евро. Как составить уравнение?

Очень простая задача . Даже в уме решил . х=2. Но если надо показать математическое решение - неумею. Если эта задача по сложнее не целые числа или тригонометрия - нерешил бы.