Теорема Пифагора

Рет қаралды 44,792

2 жыл бұрын

В ролике рассматривается несколько доказательств теоремы Пифагора, как через разрезание и перекладывание частей , так и через подобие треугольников.

Пікірлер: 105

@user-yu2ml6zx5k 2 жыл бұрын

Спасибо. Вы проиллюстрировали этапы развития математики. От интуитивно понятно, до полного абстрагирования от предметов.

@Aleks_Alekseev 2 жыл бұрын

Шикарная книга! Да еще и с таким переводчиком!

@schetnikov 2 жыл бұрын

Книга правда очень любопытная. И я её переводил с большим удовольствием.

@TopT_For_U 2 жыл бұрын

Наконец-то норм видеоряд без заставки с бесящим музлом, которое я всегда мотал :) Объяснения мне лично тоже понравились, прям научпоп без дебрей, но всё систематезировано и улежено на свои полки, а кто хочет глубже - тот извольте лезть на полку и уже изучать непосредственно тему, на которую, кстати даны ссылки, и даже прямые, в виде конкретной книги.

@artemiakutin4907 2 жыл бұрын

Очень вдохновляюще. Ваши видео - это теорема!

@artonext Жыл бұрын

Очень хорошая подача материала и обяснение и примеры просто чёткие...вот по хорошему так и надо обяснять...Спасибо за доходчивый обзор!!

@canniballissimo 2 жыл бұрын

Огненный ведущий! С таких точек зрения я ещё не смотрел!

@iliaelbert9127 2 жыл бұрын

В детстве в журнале "Квант" в статье о теории размерностей запомнилось доказательство теоремы Пифагора, основанное на этой теории. Доказательство очень похоже на последнее, основанное на подобии треугольников и использовании площадей. Итак, замечаем, что прямоугольный треугольник определяется гипотенузой и одним из прилежащих к ней углов. Пусть он будет a . Но если это так, то и площадь треугольника можно каким то образом выразить через гипотенузу C и угол а. Т.к. площадь измеряется в квадратах длины, то формула должна быть гипотенуза в квадрате (чтобы получить размерность площади) умноженной на некую функцию от угла , т.е S=C^2× f(a). Выражаем площади маленьких треугольников соответствующим образом. Там гипотенузы - это катеты большого треугольника. Приравниваем площади, сокращаем функцию f(a) ( т. к. у всех треугольников угол одинаков ) - и получаем теорему Пифагора.

@user-py1gv3kd5l 2 жыл бұрын

Спасибо большое! С большим удовольствием окунулся во времена Пифагора, Евклида, Сократа Платона и других не менее выдающихся мыслителей древности.

@valeritchkalov3547 8 күн бұрын

Если уже мы переходим в доказательствах к алгебре, то есть и более простое. Возьмём наш "произвольный" 3-угольник и достроим конгруэнтным, так, чтобы катет, скажем, а являлся продолжением исходного в (т.е надо его развернуть на 90°), и повторим это построение еще 2 раза. Получится картинка из 2 квадратов, меньший "косо" вписан в больший. Эта картинка как раз и есть на заставке ролика. Получается, что площадь большого □ состоит из суммы малого □ и 4 "исходных"3-угольников (площадью 1/2а*в). Или S=Sм+4*(1/2а*в)=с^2+2а*в. Но эту же площадь можно получить как (а+в)^2, или а^2+2ав+в^2. Приравняв оба выражения и сократив 2ав, получим искомое равенство.

@Vulu410 24 күн бұрын

Всегда любил всё, что связано с числами, то что можно измерить, или вычислить по косвенным измерениям(Точные науки)!

@ataki2023 2 жыл бұрын

5:00 Красиво !

@user-pr5ht2ty3o 8 ай бұрын

В советской школе доказательство теоремы Пифагора проводили именно на основе геометрического подобия. 👍👍 Но вырезания мне тоже очень понравились. 👍👍

@user-xu7qs7lz9w 4 ай бұрын

Только он забыл сказать, что параллелограмм по площади равен квадрату.

@user-jb3hw7vr9e Жыл бұрын

Интересно и доходчиво

@demicraft1933 3 ай бұрын

дякую за останнє доведення, дуже допоміг)

@nikolozgunia3399 Жыл бұрын

Главный момент доказательства все-таки умолчали-равенство по площади квадрата и параллелограмма (до поворота)... Согласитесь, для ученика это не второстепенно.

@user-ph1ws9wg8v 2 жыл бұрын

Со школы ещё помню оказывается 👍

@valeritchkalov3547 8 күн бұрын

Вот я лично школьное док-во совсем немпомню, оно какое-то бестолковое, не запоминающееся было.

@mn4840 11 ай бұрын

супер! Спасибо!

@reptotv6398 2 жыл бұрын

По последней части. Вспомнилось, как пытался подобным образом решить задачу про колодец лотоса (прочитал у Казанцева).

@schetnikov 2 жыл бұрын

Это когда стебель лотоса отклоняется на какой-то угол от вертикали?

@karelalex 2 жыл бұрын

Ещё есть страшное доказательство, где рисуются тоде пифагрровы штаны, затем внутри хитрые треугольники, потом последовательно доказывается что некоторые треугольники равны, а из их равенства следует уже равенство площадей прямоугольника и квадрата. Правда, я постоянно забываю, как там правильно треугольники начальные нарисовать. 😀

@schetnikov 2 жыл бұрын

Таких доказательств очень много. Но по своей сути все они одинаковы.

@user-ku2xe6hy5i Жыл бұрын

спасибо

@zlatabunjevac4094 10 ай бұрын

Spasibo

@vladloiq 4 ай бұрын

надо бы добавить пояснение когда добавляете и отрезаете - что по это перекладывание верхней части квардрата. А то из объяснения не очевидно сначла что делает добавление и потом отрезание - что добавили площадь и параллельной прямой отрезали аналогичную площадь

@user-cv9qd4hk9h 2 жыл бұрын

понятно - не то слово!

@AlexandrBalak 2 жыл бұрын

Мне удавалось вывести доказательство через тригонометрические тождества: в декартовой системе координат строится окружность с радиусом 1. Для любой точки на окружности будет справедлива запись ее координат вида (0х; 0у), а треугольник с вершинами 0х0у0 будет прямоугольным. Из тождества sin^2(a)+cos^2(a)=1 можно доказать следующее: синус угла, лежащего на оси х, равен отношению катета, лежащего на оси х, к гипотенузе, а косинус этого же угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; поскольку гипотенуза у нас равна 1 по построению, то синус и косинус угла, лежащего на оси х, равны длинам катета, лежащего на оси х, и противолежащего катета соответственно; из вышеуказанного тригонометрического тождества следует, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна 1, то есть равняется квадрату гипотенузы.

@user-wh7or8oz4j Жыл бұрын

Вот это ты приколист. Но тригонометрическое тождество это и есть теорема Пифагора, просто гипотенуза всегда равна единице, чтоб задать определённые значения тригонометрических функций.

@user-ri5tt2id1p 10 ай бұрын

@@user-wh7or8oz4j Основное тригонометрическон тождество можно доказать через разложение синусов и косинусов в ряд, обходя теорему Пифагора.

@mrgoodpeople 2 жыл бұрын

Самое элегантное решение такое: площадь треугольника пропорциональна квадрату его линейных размеров. разделим треугольник на два высотой. получим два малых треугольника. площадь большого равна сумме двух малых. площади пропорциональны квадрату линейных размеров, например гипотенуз. гипотенузы малых треугольников - это катеты большого треугольника. следовательно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

@user-wh7or8oz4j Жыл бұрын

Тут в последнем это и есть

@user-et1bs5zk4w 8 ай бұрын

А правда-ли, что теорема Пифагора неверна, для очень больших прямоугольных треугольников. Так-как там имеет место быть искривление пространства?

@reptotv6398 2 жыл бұрын

В таком аспекте слово "теорема" отсылает к японской храмовой геометрии.

@schetnikov 2 жыл бұрын

У меня была небольшая статья в "Математическом образовании", где я проводил такое сравнение. mi.mathnet.ru/mo423

@fillhenderson8351 2 жыл бұрын

9:25 непонятно. Что это было? Мы доказали что паралелограм равен прямоугольнику, но автор видео утверждает что оно же равно квадрату вверху. Неочевидно.

@user-qz8yl1mt5n 2 жыл бұрын

Так в этом примере паралелограм же трансформируется в прямоугольник, по площади равный ему (паралелограму).

@fillhenderson8351 2 жыл бұрын

@@user-qz8yl1mt5n Без вас вижу. Если не поняли вопроса - не отвечайте.

@user-cw4wr7id3i 2 жыл бұрын

Согласен, тоже не понял этого

@izikigizik8981 2 жыл бұрын

У него квадрат не квадратный. При проведении линии параллельно гипотенузе. Линия должна была соединить противоположные углы квадрата , разделив его на два равных треугольника. И получилася бы паралелограм разделенный стороной квадрата на два равных треугольника. Из чего следовало бы что квадрат и паралелограм равны по площади.

@izikigizik8981 2 жыл бұрын

Или треугольник не прямоугольный.

@EugenJaded 2 жыл бұрын

Как прлучается коэффмциент k в видео с 16:00? Точнее, так-то понятно, что он должен там быть, но вот из "первых принципов", то есть если детально рассматривать, то у меня это соотношение не получается. Получается немного другое, из которого тоже выходит теорема. И вообще что означает этот коэффициент k, его суть? Он не равен отношению площадей треунольников, он получается из других соображений.

@schetnikov 2 жыл бұрын

Коэффициент есть отношение площади треугольника к площади квадрата. Раз треугольники подобны (и квадраты подобны тоже), значит этот коэффициент один и тот же во всех трёх треугольниках. И знать, чему он равен, нам совсем не нужно, он потом всё равно сокращается.

@EugenJaded 2 жыл бұрын

@@schetnikov о каком квадрате идёт речь?

@Darkspear1 2 жыл бұрын

@@EugenJaded я тоже сначала не понял этот момент. Речь идет о квадратах на гипотенузах. Sa/a^2=k; Sb/b^2=k - мы поделили площади подобных треугольников на площади подобных квадратов и получили один и тот же коэффициент подобия отношения площадей.

@EugenJaded 2 жыл бұрын

@@Darkspear1 так получше, спасибо.

@antonradkov 2 жыл бұрын

Здравствуйте. На 9:28 непонятно, почему площадь получившегося параллелограмма равна квадрату на катете.

@consequencesofactionscoa615 Жыл бұрын

Вырезанный треугольник в точности совпадает с треугольником в центре.

@antonradkov Жыл бұрын

@@consequencesofactionscoa615 Точно, благодарю!

@user-ng4dj1yj4d 7 ай бұрын

@@consequencesofactionscoa615 Это объяснение осталось за кадром или под ковром. А оно совершенно не очевидно.

@consequencesofactionscoa615 7 ай бұрын

@@user-ng4dj1yj4dравенство треугольников доказывается через подобие, а подобие доказывается через равенство их сторон и углов между ними. Две стороны (катета) равны т.к. являются сторонами квадрата. Основания (гипотенузы) равны т.к. они являются сторонами паралелограма. Уголы между равными сторонами (катетами и гипотенузами) равны. Следовательно, треугольники подобны. Следовательно, оставшиеся углы равны и оставшиеся стороны (катеты) равны. Следовательно, треульники равны.

@mrgoodpeople 2 жыл бұрын

В евклидовой геометрии метрика (длина) вводится как r^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2. Потому что именно такая величина сохраняет своё значение при переносах и поворотах, а также обладает рядом других удобных свойств. Получается, что Теорема Пифагора это просто следствие того, как вводится метрика в евклидовой геометрии? Отдельный вопрос конечно в том, а почему так получилось, что именно такая форма выполняется в этом случае. И ещё один вопрос, скорее физический. Известно, что во многих формулах величины падают обратно квадрату расстояния. Например силы гравитации и электрические силы. Вопрос. Это связано с размерностью пространства (с тем что оно трёхмерное), а поэтому площадь сферы пропорциональна квадрату её радиуса? Либо это как раз связано с самим свойством метрики в евклидовом пространстве (те самые квадраты в формуле), а значит это выполнялось бы при любой размерности пространства (например в "плоском мире" или четырёхмерном). Жаль проверить нельзя. Эх, что-то я расфилосовствовался =).

@AlexFolk101 2 жыл бұрын

Интересно вы рассказываете. Хотелось бы услышать, в вашем объяснении, способы выведения запоминания формул через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы, и т.д., а также таблицу с их угловыми значениями. Я в школьные годы придумал (открыл для себя) свой способ, который легче поясняется, чем в учебниках. Хотелось бы услышать ваши пояснения. Спасибо!

@schetnikov 2 жыл бұрын

Сказать честно, я нмкргда ничего специально не запоминал. Когда разбираешься и понимаешь - всё запоминается само, через понимание. Ну и ещё через многократное применение, конечно. А что касается синусов с косинусами - там всего надо запомнить тири значения: 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2. Всё прочее - на тригонометрическом круге. Фомрмул больше, конечно, но главная из них - синус суммы, и она почти очевидна:))

@AlexFolk101 2 жыл бұрын

@@schetnikov Это всё понятно. Я тоже никогда ничего не запоминал, а просто высчитывал. Поэтому и нравится как вы поясняете, т.к. я делаю также, подобным образом. На счёт синусов, косинусов, и т.д. я ещё в школе заметил, что в таблице нужно просто запомнить 0, 1, 2 и 3 в первой строчке синусов. Далее просто везде нужно дописать корень и разделить на два - это и будет ответами. В других строчках просто всё "зеркально". Вот так всё везде легко запоминается-высчитывается. На счёт формул, и т.д. там всё ещё проще. В общем, спасибо, что ответили. Кстати, я под другим видео вопрос писал о том, куда вам писать? Эл.почта не написана, а ссылка на ВК не рабочая. Я хотел вам парочку своих задач написать. Вдруг вам для канала понадобится.

@Massaraksh7 8 ай бұрын

Только забыли указать, что площадь квадрата равна площади параллелограмма.

@user-gm5ey8wp6b Жыл бұрын

В последнем доказательстве постоянство коэф в Sa a^2 * k для разных подобных треугольников следует доказывать. А это как ни странно, и есть теорема Пифагора. Те доказательство выполнено через самого себя

@user-ri5tt2id1p 10 ай бұрын

Плошадь подобных фигур пропорциональна квадрату любого линейного элемента. Никакой "тавтологии" здесь нет.

@kostya1306 2 жыл бұрын

Я не очень понял последнее доказательство. А то, что площадь треугольников пропорциональна квадрату их гипотенуз - это не требует отдельного доказательства?

@fillhenderson8351 2 жыл бұрын

Требует,но там элементарно доказывается и подразумевается что вы это уже знаете.

@user-ec3vo6zn5d Жыл бұрын

Издайте ,пожалуйста , плейлист со всеми Вам известными доказательствами Теоремы Пифагора ... можно даже их[доказательства] расположить в порядке их появления в истории математики... , а можно и вовсе ничего не делать... ... с уважением Ваш подписчик

@Vlad_Brutov Жыл бұрын

Помню в школе был рас..ем, не учил уроки. За теорему Пифагора получил оценку 2/5 за последнее доказательство. 😎

@user-yu2ml6zx5k 2 жыл бұрын

Можно ссылку на книги?

@schetnikov 2 жыл бұрын

Наберите "Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал" и поищите, я с ходу не нашёл. И с Литцманом так же, он должен ыть на mccme.

@user-yu2ml6zx5k 2 жыл бұрын

@@schetnikov Спасибо большое.

@kislyak_andrei 2 жыл бұрын

2 доказательство более красивое

@user-yc9de4ft4o 11 ай бұрын

Все это прекрасно. Но есть один тупик. Все тот же прямоугольный треугольник. постройте на его гипотенузе ступеньки со сторонами в сумме равными катетам. И из их вершин проведем к общей гипотенузе высоту. дальше без изменения условий станем бесконечно увеличивать число построенных треугольников. А наблюдать станем их вершины. Легко заметить, что они неуклонно приближаются к нашей общей гипотенузе и в конце концов должны с ней срапвнятся, превратившись в сумму точек. Что доказывает, что сумма катетов равна гипотенузе? Ну это же чушь? Докажите обратное!

@user-hn9ld3fk8z Жыл бұрын

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

@hmmm1482 2 жыл бұрын

последнее доказательство действительно - теорема🤯

@user-wh7or8oz4j Жыл бұрын

Все доказательства строгие, но в последнем используется больше геометрических фактов(которые уже считаем доказанными), поэтому оно более короткое.

@MrMrSurge 2 жыл бұрын

Надо было в конце сказать, что это частный случай и что есть формула для произвольного треугольника.

@schetnikov 2 жыл бұрын

Смысла нет это здесь говорить, слова всё равно повиснут без продолжения. Вот когда выводится теорема косинусов, там и надо стартовать с теоремы Пифагора, и спрашивать: а для произвольного треугольника кау эта формула изменится?

@user-oe4mz8gr3o Жыл бұрын

Последнее из приведённых доказательств принадлежит десятилетнему мальчику по имени Альберт.

@user-oe4mz8gr3o Жыл бұрын

Правда, фамилия мальчика Эйнштейн.

@avotini4400 7 ай бұрын

Только доказательство теоремы о площади подобных фигур опирается на теорему Пифагора. Получается как в поговорке "кукушка хвалит соловья за то, что хвалит он кукушку"

@getaclassmath 7 ай бұрын

Быть такого не может. Оно очевидно опирается на теорему Фалеса, а та, в свою очередь, на аксиому о параллельных прямых.

@avotini4400 7 ай бұрын

@@getaclassmath В школьных учебниках теорема о площадях подобных фигур доказывается сначала для прямоугольного треугольника, потом для любого треугольника, потом для любой фигуры, которую можно разбить на треугольники, потом как предельный случай на криволинейные фигуры.

@natashok4346 2 жыл бұрын

К сожалению для меня последнее доказательство осталось непонятным. Видимо сбивает с толку знание того, что отношение площадей подобных треугольников равно к^2. Хотелось бы прояснить ситуацию. Возможно, что k это sin alpha * sin betta: sin gamma и я так понимаю, что для подобных треугольников он одинаков

@schetnikov 2 жыл бұрын

Коэффициент конечно можно определить через тригонометрические функции. Но это не нужно: здесь важно лишь то, что площади подобных тругольников относятся как квадраты их соответственных размеров. Поэтому знать коэффициент нам не надо, достаточно лишь понимать, что он один и тот же.

@MarkBoldyrev Жыл бұрын

П на сфере... будет ли выполняться теорема Пифагора. Ведь Вы же специально не оговорили, что речь идёт только о плоском треугольнике. Но что произойдёт, если треугольник окажется на сфере или на гиперболическом параболоиде? Неужели это неинтересно?

@user-le6mg6rx9b Жыл бұрын

Вы математик и очевидные вещи для вас интуитивно понятны. Материал рассчитан на школьников, которым неизвестен аппарат дифференциальной геометрии.

@MarkBoldyrev Жыл бұрын

@@user-le6mg6rx9b Вы не поверите, но как-то в компании в присутствии пятиклашки я рассказывал о многомерных многообразиях... и вдруг этот пятиклашка меня спрашивает: "А может многообразие иметь размерность как дробь?". Ничего так, да? А это и есть то, что надо! Он САМ поставил вопрос, который совсем неочевиден. Понимаете - САМ! А я знаю огромное количество взрослых дядь. которые не хотят заглянуть за некий предел... а вдруг там что-то интересное?!

@otprot1347 6 күн бұрын

15:57 Автор забыл доказать, что коэффициенты k равны между собой 😅

@Aleks_Alekseev Жыл бұрын

Впервые в жизни встретил уместное использование в речи глагола "суть". Не считая, конечно, непонятной фразы "не суть важно", которая звучит везде.

@unikornking367 Жыл бұрын

А можно спросить а где это знание можно применить?

@user-xu7qs7lz9w 4 ай бұрын

Где, где, в Караганде

@Evgeny-Kasintsev Жыл бұрын

Все же Евклид рассматривал не площади параллелограммов, а их половинки - площади треугольников

@user-ww8fi2eu8s 11 ай бұрын

Млять, какой я дремучий. 🤦😱🤭

@user-ui6ws6mj5h 2 жыл бұрын

каким образом древние греки все это писали, ведь арабские цифры появились много позже Пифагора?

@faigjalilov7169 2 жыл бұрын

Вот поэтому у древних греков развивалась геометрия, а не алгебра. Алгебра стала развиваться после того, как освоили индийскую десятичную систему.

@Micro-Moo 11 ай бұрын

@@faigjalilov7169 Интересное соображение, но достаточно сомнительное. В том-то всё и дело, что алгебра помогает абстрагироваться от конкретных чисел и тем более от форм из записи. С практической точке зрения алгебра позволяет находить общие решения для количественно разных задач и откладывать оперирование конкретными величинами на самый конец работы и минимизировать это операции с конкретными числами. При желании ваше рассуждение нетрудно обратить в противоположную сторону: в какой-то культуре была слишком замороченная система записи чисел и числовых вычислений, и это стимулировало развитие алгебры. 🙂 А ваше соображение подогнано под реальный исторический факт, но в том и дело, что любое явление возникло под влиянием многих факторов, а не одного, так что это не есть подтверждение гипотезы. Вот типологически подобный факт: в мусульманских странах искусство создание геометрических узоров вышло на такой уровень, что в этих узорах (например, замощениях) находят следы позднейших математических открытий. А в качестве одной из причин этого называют мусульманский запрет на изображения людей.

@user-ng4dj1yj4d 7 ай бұрын

Вся история фальсифицирована. История математики не является исключением. Более того это самое яркое доказательство фальсификации истории вообщем.

@user-cy3me8li9w 2 жыл бұрын

Для меня, в геометрии, любые доказательсва, в конце концов, наступают себе на пятки, предположения опираются на предыдущие и все, чудесным образом, сходится. Это одновременно и объективно и субъективно, и строго доказуемо и честно нет. Как Бог.

@fillhenderson8351 2 жыл бұрын

Что значит "нет"? В геометрии все теоремы строго доказуемы. Логично замкнутые цепочки в доказательствах отсутствуют(Пример замкнутости: Бог существует ибо так написано в Библии. Почему мы доверяем Библии? Потому что ее написал Бог)

@user-zp1dp2dn6u Жыл бұрын

@@fillhenderson8351 вообще вы привели частный случай с неверным основанием. Вы поверили утверждению о Боге из Библии,хотя там нет такого вывода. Попробуйте найти основание,корни математики в Природе. Этл будкт метапрограмма из всех возможных версий только эта комплиментарна и соответствием математики от людей, с некими закономерностями в природе и также допускает возможность фантазийной математики от людей

@cherenkov196 2 жыл бұрын

Теорема Пифагора, частный случай теоремы косинусов.

@schetnikov 2 жыл бұрын

А теорема косинусов - это частный случай чего?:))

@cherenkov196 2 жыл бұрын

@@schetnikov Это ещё никому неизвестно.

@plutarcosilicone3372 2 жыл бұрын

Интересный способ показать теорему Пифагора kzfaq.info5tMA-TjDLAI?feature=share

@Micro-Moo 11 ай бұрын

Вообще никакое не доказательство. А вообще меня всегда удивляла позиция людей якобы из технических областей, которые считают «доказательством» экспериментальные доказательства, и вообще непонимание сути математики.