ощущаю себя Кантором, у меня тоже крыша поехала

На первом курсе почти забыла про этот прекрасный канал. Пока не начались очень мутные объяснения теории множеств на дискретной математике. "Не смогли смириться с поражением? И куда вас это привело? Снова ко мне." Спасибо, все опять встало на свои места!

Боже, храни Трушина

Помню когда два года назад смотрел это видео по причине интереса этой темы Тогда я посмотрел и даже не внимал всю суть Теперь я на первой курсе и мне приходится снова пересматривать это для освоения материала Спасибо вам за вашу работу!

Спасибо за видео! Когда вы работаете у доски, материал воспринимается гораздо лучше!

Несмотря на то, что мне тридцатник скоро, смотрю ваши видео для школьников с большим интересом. Увидев же уведомление, что вы стали записывать еще и университетский курс, я был просто счастлив! Спасибо вам огромное, Борис! Жду каждое ваше видео с большим нетерпением!

Вот такой формат очень нравится +++ Спасибо вам

Воу, это слишком круто. я просто поражен! Настолько базовые вещи витают у каждого в голове, но не каждый к этому приходит. Спасибо вам огромное, это открыло мне глаза на структуру данной темы!

понял со второго раза. Борис, это космос! Спасибо!

Кратко, лаконично, спасибо!

Очень крутые и полезные видео!!! Продвинаем матан для первокуров.

Спасибо вам! Наконец я поняла эту тему!

Спасибо Вам огромное! Все понятно и интересно. Очень выручает перед экзаменами

Какой вы умничка, самое адекватное объяснение, я наконец-то поняла доказательство, а ещё спасибо комментам!

Спасибо большое.!!!

Спасибо за видео)

Спасибо большое! Отличное и понятное доказательство несчетности R. У Кудрявцева в учебнике это доказательство основывалось на представлении чисел в виде десятичных дробей и я его вообще не понял, а тут все наглядно и понятно.

Огромное спасибо за летнюю разминку для мозга.

Вау. Я был просто в шоке, когда смотрел))

супер интересный видос получился

Спасибо

Спасибо! Попонятнее, чем на лекциях в ЛФИ

спасибо

ты красава

Классно, но кажется, что где-то тебя надурили...)

егэ прошел, пришел матанализ, но прекрасный борис трушин продолжает меня спасать и объяснять тему так, что даже такой дуб-дубом, как я, понимаю ее все же хотелось бы задать вопрос по диагональному методу кантора, который нам объясняли в вузе. вот у нас есть таблица, в которой мы написали бесконечные десятичные дроби и присвоили каждой из них номер. после заполнения таблицы мы возвращаемся к ее началу и пишем новую десятичную дробь, но первый знак новой дроби на единицу больше первого знака первой дроби, второй знак новой - на единицу больше второго знака второй дроби и т.д., и так мы получаем абсолютно новую дробь. а что мешает, ну, присвоить новой дроби номер, на единицу больший номера последней дроби в таблице, и занести ее туда?)))) натуральных же чисел тоже бесконечно много... где-то на интуитивном уровне я понимаю, что это работает, но внятно объяснить "почему" самой себе не могу. это работает, потому что наша таблица уже закончена, и туда нельзя вписывать новые числа? или потому что натуральные числа "кончились" на последней дроби в таблице (но это же тоже как-то странно, как бесконечные числа могут кончиться......)?? в общем, буду очень благодарна, если ответите.......

Большое спасибо за ваши лекции! Правильно ли я понимаю, что доказательство несчетности множества действительных чисел не будет работать для рациональных, так как общая точка C не обязана быть рациональным числом?

а почему нельзя применить доказательство несчётности множества вещественных чисел к множеству рациональных? так же выбрать отрезок от 0 до 1, получить систему вложенных отрезков и придти к такому же выводу? заранее спасибо

По поводу счетности рациональных чисел: весь секрет в том, как считать. Этот секрет успешно освоили экономисты и торговцы на рынке, чтобы считать индикаторы с нужным для себя результатом. Более того: торговцы оказались даже круче ибо знают не только как посчитать сдачу с выгодным результатом, но и как взвешивать.

Здравствуйте. Еду с пар в трамвае. Решила послушать лекцию. Отлично спится в тепле под ваш голос. На следующий день дома пересматриваю.

Лучший Я без тебя хрен ту математику пойму

Мне на тему бесконечностей в своё время Канторова пыль взорвала мозг.

Не совсем понял, а что мешает нам применить для рациональных чисел ту же логику, что для действительных?

Здравствуйте, Борис Викторович! Можете пожалуйста сказать, почему, если мы в последнем примере со стягивающимися отрезками вместо действительных чисел возьмем рациональные, то нельзя таким образом доказать, что рациональные так же несчетны. Мы таким же образом сможем получить точку с, которая не относится ни к какому номеру и следовательно рациональные числа несчетны. Заранее спасибо!

Объясните, пожалуйста, почему мы на каждое рациональное число навешиваем отрезочки по-уменьшению. Ведь если взять эти отрезочки любым сколь угодно малым числом, но одинаковым, мы должны все закрасить... Или нет

вот это у вас шутки.

Все четные натуральные можно пересчитать? Ну удачи

А почему доказательство несчетности отрезками не работает для рациональных чисел?

А что на счёт соотношения между действительными и иррациональными?

Борис Трушин, а иррациональные числа получается тоже не счётные или нет?

Борис Викторович, вопрос. Когда Вы считаете четные числа, Вы начинаете подсчет с числа 2. Ноль не учитывается. Не правильнее ли тогда начать подсчет с числа 0?

Можно ещё посмотреть видео Vsauce на тему бесконечных множеств, типа алеф-нуль и так далее, крайне занятно.

Почему доказательство для действительных чисел нельзя применить для рациональных? Разве можно найти отрезок в котором нет рационального числа и который не придется дальше делить на 3 части, и можно будет переходить к следующему интервалу, т.к. в этом мы все рациональные пересчитали?

10/10

Думал что множество рациональных чисел всюду плотно, и поэтому оно не счетно.оказывается нет.

Все круто, микрофон бы другой)

здравствуйте, не понял шутку, почему мы берем отрезки с длиной членов геом прогрессии с первым 1 и знаменателем 1/2 , как ето связано с рациональными числами и что значит?

Ровно три года этому выпуску

То есть действительных чисел на одно больше,чем натуральных?Или можно взять другой отрезок,который не содержит число C и так далее,и тогда действительных сильно больше натуральных?

Процентное соотношение рациональных чисел ко всем остальным стремиться к 0 с увеличением прямой)))поедет тут крыша, учитывая то, что ты 16 лет работал с почти несуществующими числами😅

БВ, здравствуйте, я кучу раз пересмотрел это видео, смотрел все предыдущие видео по матану, но никак не могу понять: вы сказали что в любом интервальчика есть рациональное число, что если мы берём рациональное число со знаменателем n, таким что 1/n меньше чем длина этого интервальчика, то точно в этот интервальчик попадёт число со знаменателем n. Как мы определяем длину интервальчика, ведь длина интервала это расстояние, значит получено вычитанием, например, одного числа из другого? Далее мы берём рациональное число и вешаем на него интервал 1, потом 1/2, потом 1/4 и т. д. Что за интервальчики, как мы определяем длину этих интервалов? И почему вешаем именно интервалы с длинами 1, 1/2, 1/4... 8:38-9:50

Почему мы не можем взять длину интервала 2,3 и тд? Как происходит покрытие рационального числа интервалом? Почему длина каждого нового интервала уменьшается в два раза(+ почему нет 1/5,ведь число тоже рациональное)? Объясните, пожалуйста.

Когда нам такие вещи на уроках рассказывал наш математик в качестве дополнения к основному курсу, всем было пофиг, кроме меня и ещё пары человек.

После просмотра видео Голосова из автомобильного канала

еще можно сказать, что если считать все дроби от 1\2 и тд, то никогда не дойдем даже до 1, а значит мы не можем их посчитать все

[omega]^cm

Т.е., доказательство сводится к установлению биекции между номером рационального числа n и отрезком вида 1/2^(n-1)? Так надо понимать?

Вопрос: Почему нельзя применить систему вложенных отрезков к рациональным числам?

#ямысмотримматан

Ого, ого

Вы поломали мою логику

4/6=1/3 Означает ли равенство этих чисел, что 2/3 и 4/6 - это одно и то же число, то есть, что они неразличимы?

А что, если покрыть прямую интервалом 1, 1/2, 1/3,1/4... ?

Подписывайтесь на канал, здесь говорят правду( вещаю истину) ;)

Борис, большое спасибо вам за интересеую лекцию. У меня после нее возник вопрос, он немножко длинный, но ответ на него я сам найти не могу. Буду признателен, если вы найдете время ответить. Вопрос касается количества способов поделить любой отрезок на три части в любой пропорции -- т.е., как я понимаю, счетного множества таких способов. Множество способов поделить любой отрезок на три части (в любом соотношении) можно представить геометрически в виде равностороннего треугольника с высотой, равной длине отрезка. Тогда любая точка внутри данного треугольника, не лежащая на его сторонах, будет представлять один из способов деления отрезка-высоты на три, поскольку «сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника» (теорема Вивиани). То есть мини-высоты, проведенные из данной точки к сторонам отрезка, будут представлять собой три мини-отрезка, на которые разделяется отрезок-высота при каждом делении на три части.Таких точек внутри треугольника будет бесконечно много, что понятно, потому что способов поделить любой отрезок на три части тоже бесконечно много. Теперь на минуту представим себе, что у нас есть два отрезка, один длиной десять сантиметров, другой - двадцать, и для каждого из них мы ищем, сколькими способами мы можем поделить его на три части. Для этого мы строим два треугольника (с высотами десять и двадцать сантиметров) и убеждаемся, что один из них в два раза больше другого. Вместе с тем, количество способов поделить отрезок на три части можно посчитать, используя натуральные числа - то есть это, как я уже сказал, счетное множество для обоих отрезков. Из этого следует, что счетные множества равны между собой, и следовательно, для обоих отрезков существует одинаковое бесконечное множество способов разделить их на три части, несмотря на то что один из них в два раза длиннее другого. Теперь, собственно, вопрос: если множество способов одно и то же для обоих отрезков, то почему геометрические изображения этого множества (треугольники) так сильно отличаются друг от друга? Или я что-то неправильно понял/нарисовал?

Которую неделю не могу сопоставить точки плоскости (вещественые) и точки координатной прямой... Помогите, пж

А почему мы не можем взять идею про отрезки для рациональных чисел? Получается, что есть рациональное число, которое мы не пронумеровали? В комментах пишут, что эта точка иррациональна. Но как это доказать?

Это самые большие бесконечности которые я знаю

Борис, а что если написал матан на 70, есть смысл записывать видео?

а нет в этой механике подсчета, некоего внутреннего противоречия, мы пытаемся считать числа другими числами, что если сама постановка вопроса не верна, ну скажем как нельзя возводить в действительную степень отрицательное число.. или что то подобное.. ?

Это не тот парадокс , что про бесконечный отель , что не смог уместить всех ?

Про Множество всех действительных чисел несчетно не понял(( И в интернете нигде не объясняют простым языком(

Пересматриваю зачем-то эти видео, возник вопрос - разве нельзя использовать метод доказательства из конца видео про иррациональные числа для доказательства, что так же нельзя посчитать и рациональные? Так то понятно, что их можно сосчитать, но вроде как таким методом можно доказать, что неьзя

Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы. Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность. Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1 1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 … 2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 … 3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 … 4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 … 5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5… ………………………………… И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто. НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1) И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты! И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?». Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора. Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет. Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4: 1 - 0, 0 0. 2 - 0, 0 1. 3 - 0, 1 0. 4 - 0, 1 1. Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице. Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части. Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам. По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает. А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта. Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел. Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.

а так возможно посчетать все действительные числа? 0.0 1.0 -1.0 ... 0.1 1.1 -1.1 0.2 1.2 -1.2 ... ... ... 0.9 1.9 -1.9 0.01 1.01 -1.01 ... ... ... 0.99 1.99 -1.99 0.001 .................

А как доказательство несчëтности дейстительных чисел противоречит несчëтности рациональных

А для каких это классов?

ААА, не понимаюю, как можно сосчитать иррационалные чилса если их бесконечно много, раз их так много значит они несчетные, нет? И почему действительные числа не счентые если их столько же?

Можете объяснить, почему когда вы сопоставляете рациональным числам интервалы (и вообще как это возможно, ведь число не есть интервал) они уменьшаются в 2 раза?

интересно, что курил человек, который построил доказ-во, что множество R несчётно ?.....

И все-таки не совсем все ясно. Вот мы, например, сопоставили всем четным натуральные. Означает ли это, что количество четных равно количеству натуральных? Если да, то как объяснить то, что в множестве натуральных чисел уже есть множество четных? И вообще можно ли говорить о количестве натуральных чисел и сопоставлении, если натуральных чисел бесконечно много? Как вообще сопоставить бесконечное число чисел? И еще, вот мы посчитали рациональные числа натуральными. Но как тогда сделать наоборот? Как посчитать натуральные числа рациональными, ведь это должно работать и наоборот? Я, конечно, доверяю математике и понимаю, что это все придумали и проверили очень умные дяди, которые гораздо умнее меня, но что-то очень много вопросов и сомнений))) возможно, я просто не способен представить бесконечность, эх...

не понимаю как получилось что мы покрыли все рациональные числа маленькими интервальчиками 9:46 , если у нас в числителе все время стоит один. Чувствую себя тупым сапожком 😩

У меня вопрос. Множество четных ведь всегда с 0 начинается, хотя везде вижу именно такой пример как у вас. И доказательства в интернете такие, что множество четных чисел = 2n, n принадлежит N, но если с 0 начинается то это неверно. Я чего-то не понимаю? Или у них неверные доказательства? А вообще мне нравится как вы все обьясняете) Все сразу понятно стало, вы крутой)

Борис Трушин, не кажется ли вам, что вы построили взаимно-однозначное соответствие не множеств натуральных чисел и рациональных чисел, а множества натуральных чисел и множества всех возможных пар целых и натуральных чисел? Множество рациональных чисел - это все-таки множество классов эквивалентности, а то у вас получается, что нулю соответствует куча номеров

а что будет если на на прямой действительных чисел мы уберем все целые и рациональные числа, то есть оставим только иррациональные? что то мне подсказывает что прямая ни чуть не уменшится. А как ответить на вопрос в контрольном а) чему равно объединение множества рациональных чисел и множества натуральных чисел? и б) чему равна мощность такого объединенного множества?

Доказательство Притянуто за уши, оно не четкое - для Школьников. Сопоставим действительным числам на отрезке 0-1 следующий ряд: сначала пересчитаем все числа у которых после запятой 1 знак - их 10. Потом добавим к ним все числа у которых 2 знака - их 100, потом 3 знака - их 1000 и так далее. Получается, что какое бы действительное число Вы не написали, я всегда смогу указать его номер. Доказательство континуальности, приведенное последним, также подходит и для рациональных чисел. Естественно идеи Кантора правильны, однако рассуждения, приведенные автором нечетки.

Пересматриваю кусок 9:18-11:07 уже третий день и не понимаю, в чем обоснование такого разделения на отрезки и почему в числителе всегда 1. Про "тыкнуть циркулем в случайную точку и не иметь шансов попасть в рациональное число" интуитивно понятно, но вот доказательство этого и такой способ вычисления "длины точек"(или что это было ) совершенно не укладывается. Было бы здорово посмотреть подробное видео на эту тему (может кто знает, где такое есть) или где-то прочесть конкретно об этом. PS Спасибо за Ваши видео!

Помогите, пожалуйста. Я придумал док-во, которое реализует взаимооднозначное соответствие между любой точкой отрезка [0;1] и множеством натуральных чисел и не могу найти противоречие: Рассмотрим произвольное действительно число из данного отрезка. Пусть оно задаётся некоторыми цифрами a0,a1,a2,a3,a4,a5,an (a0 E [0,1]), где nEN и имеет вид a0 a1 a2 ... an; Тогда любому такому числу сопоставим во взаимооднозначное соответствие натуральное число, которое будет иметь вид: an a(n-1) ... a2 a1 a0; Мы способны реализовать биекцию для непереодичных десятичных дробей неограниченно увеличивая n, т.к. если неограниченно точно проводить измерения, то мы получим не приближённое значение а настоящее значение иррационального числа и следовательно сможем реализовать биекцию с неограниченно большим натуральным числом. P.S.: я осознаю что вероятно где то ошибся но не могу найти где.

глупый вопрос, наверное - а можно преобразовать несчетное множество (континуум) в счетное и наоборот. Есть такая операция? Если да - опишете условия?

Сделайте интервальчики равными 1 или самому рациональному числу и покроете всю числовую ось ; )

сейчас 3 часа 30 минут , ночь. через 5 часов семинар по матанализу. я понял что длина всей прямой рациональных чисел равна 2. можно идти спать.... з.ы. мифистам из будущего привет :)

А давайте ещё комплексные попробуем посчитать... :-D

0:55 Но ведь есть доказательства, что натуральных, целых, чётных и нечётных чисел одинаковое количество (множества равны по мощности)

Тупо учусь на ФОПФе, спасаете, как можете. Коллок завтра.

Ничего не понятно, но очень интересно)

Почему мы рассматриваем на 12 минуте 1; 1/2; 1/4; 1/8, а куда деваются рациональные числа 2/3; 1/6; 4/9 и тд?

Можно к этому вопросу подойти с другой стороны, возможно менее строгой но наглядной. Каждое действительное число можно представить последовательностью цифр (например 0...9). Для рациональных чисел это последовательность конечная (период в скобочках...), для других, например pi, e, sqr(2)... бесконечная (счётная). Поэтому попытка пересчитать действительные числа повиснет на первом иррациональном.

А будет видео про доказательство того, что других видов бесконечности не существует?

Ждём доказательство факта, что множество алгебраических чисел равномощно рациональным

Борис, поправьте меня, где я не прав. Что-то несоответствие какое-то. Ведь стяг. с-ма вложенных отрезков определяется через натуральные числа, что найдется такое n принадлежащее N, что an-bn < eps, да и при условии что eps стремящимся к нулю у нас эта точка одна. Получается что касаемо этого примера у нас есть номер для этой точки c n-тая. Какое-то нехорошее доказательство с моей точки зрения.