Задача интересная, как и предложенное вами решение, но кликбейтное название лично меня отпугивает.

Один катет равен4×sina, другой -4×cosa. Площадь равна полупроизведению катетов. Откуда следует, что sin 2а равен 0,5.откуда а равен 15 градусов. Очевидно, что другой 75

Есть решение с привлечением тригонометрии: обозначить гипотенузу как а, один из углов как α. Тогда катеты будут равны a*sin(α) и а*cos(α). Соответственно площадь треугольника, выраженная через катеты, будет равна: S=a²sin(α)cos(α)/2. Подставляя значения а и S, получаем: 16sin(α)cos(α)/2=2 8sin(a)cos(a)=2 2sin(α)cos(α)=1/2. Сокращение обеих частей именно на 4 было не спроста - ибо таким образом мы получили в левой части уравнения формулу синуса двойного угла. То есть равенство выше можно записать как sin(2α)=1/2. На промежутке от 0 до 90° существует только один такой угол: 2α=30°; α=15°. Ну и соответственно второй находим вычитанием α из 90° (капитан очевидность). Таким образом задача решена, получаем в ответе пару α=15°, β=75°.

Достроил такой же треугольник и решил за минуту (sin(2a)=1/2), что-то не верится, что только 1% (людей?) может это решить. Простая задача.

Классная задачка! Я решил так. Пусть верхний острый угол α, нижний β. Достроим слева такой же треугольник. Получится большой р/б треугольник с боковыми сторонами 4 и площадью 4. Тогда по формуле 4*4*0.5*sin(2α) = 4 ⇒ sin(2α) = 1/2 ⇒ α = 15° и β = 75° либо α = 75° и β = 15°.

А не легче дорисовать второй такой же треугольник, чтобы получился прямоугольник и получить за формулой площади синус острого угла между диагоналями: S=1/2 d^2 sinO (Угол между диагоналями). Тогда в получившемся равнобедренном треугольнике получаться углы 30,75,75 градусов. Поскольку угол прямоугольника 90 градусов, то 90-75=15 - ПЕРВЫЙ УГОЛ. За суммой углов треугольника 180-90-15 =75 - ВТОРОЙ УГОЛ. Но спасибо и за Ваш вариант)))

Можно было решить так: Треугольник можно было доделать до прямоугольника => S прямоугольника =2+2=4. По формуле S прямоугольника =1/2 × d1 × d2 × sinА; 4 =1/2×4×4×sin ;4=8sinA Sin A=1/2; A=30°(угол между диагоналями) Зная этот угол можно легко найти неизвестные углы.

Приятно входить в 1% :)

1:14 а не легче сказать, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине?)))))

Решил устно, взяв меньший угол за α и выразив катеты через α и гипотенузу. Тогда S = 1/2 * (4*sinα) * (4*cosα), отсюда 2sinαcosα=1/2, sin2α = 1/2, 2α=30°, α=15°

Читаешь комментарии видишь,что я не одинок в отрицательном отношении к заголовкам. К чему эта дешевая сенсационность? Похоже, что работа в сети делает с людьми то же ,что и торговля на рынке.

Что сложного в этой задаче? Не нужно так называть видео. Получается обман.

До чего же здорово! В школе геометрия был НАИЛЮБИМЕЙШИМ предметом из-за наличия визуальной составляющей - всё можно увидеть, "пощупать" - всё поддаётся измерению.

Обозначим катеты за a,b система: a*b=4; a^2+b^2=16 1)a^2+2ab +b^2=24 (a+b)^2=24 a+b=2√6 2) a^2-2ab +b^2=8 (a-b) ^2=8 a-b=2√2 a=√6+√2 b=√6-√2 только надо пару слов сказать про то, что a, b - натуральные числа очевидно, что a>b, а значит если мы возьмём больший угол, то к нему будет прилежать меньшая сторона и гипотенуза. Тогда обозначаем больший угол как w, тогда площадь треугольника можно найти как полупроизведение синуса угла и сторон, прилежащих к углу, т.е. sinw*2*(√6-√2)=2 => sinw=2/(2*(√6-√2))= 1/(√6-√2)= (√6+√2)/( (√6-√2)(√6+√2))= (√6+√2)/4 лично я просто помню, что синус 105(а значит и 75) =(√6+√2)/4, но можно и в интернет залезть. тогда раз углы в прямоугольном треугольнике ≤ 90 градусов, то w=75 градусов. Соответственное меньший угол равен 15 градусам. Я решал так

Это как входить в дом через окно. Через синус и косинус гораздо проще

Зеркалим треугольник вниз и для полученного равнобедренного треугольника записываем уравнение его площади: слева 2+2, справа половина произведения двух четвёрок на синус удвоенного искомого угла, откуда синус двойного угла равен 1/2, а сам угол равен 15 градусам. Соответственно второй угол 75 градусов.

Названия роликов - вот это "Супер ЖЕСТЬ"... Не справляюсь с эмоциями, придётся отказаться от интересного контента. Спасибо, с вами было интересно!

ЗАМЕЧАНИЕ! - Можно ли при решении руководствоваться (как это сделал автор ролика) утверждением, что "середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной вокруг него окружности", как непреложной истиной? - Это свойство явно не относится к краеугольным в геометрии. Многим оно неизвестно. Во всяком случае, представляется, что подобное утверждение надо сначала ДОКАЗАТЬ в рамках данной задачи, а уже затем ему следовать. Однако в этом случае решение будет очень громоздким и едва ли более предпочтительным, чем очевидные варианты (первый предложил сам автор. Его вариацией также является выражение катетов через гипотенузу и синусы противолежащих углов). - При этом желания усомниться в правомерности применения соотношений, формул ни у кого не возникнет. Модно сказать и проще. - Способ решения, выбранный автором - это, по сути, "выпендрёж", или, если угодно, "понты"....Как ни прискорбно, дизлайк!

Спасибо,Вы очень ясно обясняете💥

Огромное спасибо, Валерий! Просто, глоток свежего воздуха!

я решал первым способом, дальше лень стало, когда катеты нашел

Решено в уме. Длина одного катета равна 4sin(a), другой 4cos(a) (a - один из углов). Площадь достроенного прямоугольника равна 4, она же равна произведению длин катетов. Сократим всё на 4. Получается 4sin(a)cos(a) = 1. Поскольку sin(2a) = 2sin(a)cos(a), а sin(a)cos(a) = 1/4, то получается, что sin(2a) = 1/2, значит, 2a = 30 градусов, и a = 15 градусов. (Как уточнено в другом комментарии, или 2a = 150 градусов и a = 75 градусов, это второй угол.) Вывод: заголовок не соответствует действительности, коли задачка щёлкается как семки.

1. Построил медиану 2. По теореме Пифагора записал АС и ВС 3. Из формулы площади треугольника нашёл угол альфа= 15°, затем из суммы углов треугольника - угол бетта= 75° У меня получилось длинно и сложно

Тригонометрия. Синусы и косинусы. Формула 2 sinx*cosx=sin2x и ответы: 15град и 75 град

Я предлагаю отразить треугольник таким образом, чтобы получился равнобедренный треугольник с бок.сторонами 4. Потом можно представить его площадь через синус угла между боковыми сторонами, тогда получится что sinA=1/2, тогда А= 30, тогда изначальный меньший угол в треугольнике равен 15. Через сумму углов Торой угол равен 75❤

Самое очевидное решение: S=ab/2=c^2 sin(alpha)cos(alpha)/2=c^2 sin(2alpha)/4 ; sin(2 alpha)=1/2; alpha=15°.

Достроим до прямоугольника с S=4, диагонали d=4. Формула площади через диагонали и угол между ними S=0,5ddsina, то есть 4=0,5×4×4×sina, sina=1/2, угол между диагоналями a=30°, основанием и диагональю 30°/2=15°, верхний угол 90°-15°=75°

Пусть угол x, тогда катеты 4sin(x) и 4cos(x), а площадь 1/2*4sin(x)*4cos(x)=4sin(2x)=2, sin(2x)=1/2, 2x=30 или 150 градусов, x=15 или 75 градусов. Поэтому ответ 15,75,90 градусов

Задача легче не придумать. Если стороны обозначить, как b=4sina, c=4cosa, то, используя формулу вычисления площади прямоугольного треугольника s=1/2bc, получим 1/2(4sina×4cisa)=2. Для решения равенства используем тригонометрическую формулу sinx×cosy=1/2(sin(x-y)+sin(x+y)). Тогда sin2a=1/2 ➡️2a=30° ➡️ a=15, противоположный угол равен 75°.

Как всегда очень интересно, спасибо!

треугольники АОС И ВО равновеликие у них одинаковые основания по 2 и одна и та же высота .Площадь каждого равна 1 Выразим площадь треугольника АОС через синус угла АОС И НАЙДЕМ ЭТОТ СИНУС , А ЗНАЧИТ И САМ УГОЛ И Т Д

Ответ неверный, - ещё два угла соответствуют условию.

Простое решение без тригонометрии. Зеркально отобразить треугольник относительно длинного катета. Из верхнего угла установить перпендикуляр на на гипотенузу отзеркаленного треугольника. Длина перпендикуляра определиться, из удвоенной площади заданного треугольника и длины гипотенузы h=(2*2*2)/4=2. Угол прямоугольного треугольника, лежащий напротив катета, в два раза меньшего гипотенузы, равен 30°. Искомые углы: 15° и 75°.

Можно решить достроив прямоугольник. Площадь прямоугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Между диагоналями получится угол 30 градусов, соответственно первый искомый угол 75, а второй 15

Жесть была бы, если бы здесь использовалась тригонометрия. А так просто геометрическая задачка.

Спасибо за красивое решение.

Площадь в прямоугольном треугольнике еще можно найти так - S = 0,25 * c2 * sin(2α), где c - гипотенуза, α - любой из прилегающих острых углов (гипотенуза в квадрате, если что). - отсюда получим что sin(2a) равен 1/2 - т.е. 2a=30 - a=15 ну а второй угол 90-15 = 75

я нашел высоту и отрезки гипотенузы ан и нв, aн= 1/(4-ан) далее через тангенс нашел углы

я достроил до ромба, со стороной 4, получится площадь 8, которая выражается через квадрат стороны и синус угла, откуда мы получаем синус угла ромба = 1/2, следовательно тупой угол в ромбе = 150, острый = 30, а углы треугольника - половинки этих углов, следовательно у изначального треугольника углы 15 и 75

При решении через катеты получим, что они равны корень(6)-корень(2) и корень(6)+корень(2). А синус искомого угла равен (корень(6)-корень(2))/4. Следовательно, этот угол равен 15 градусам. Также можно запомнить, что sin(18 градусов) = (корень(5)-1)/4.

Есть еще вариант через теорему синусов: S=ab/2 sin(a)=b/c; c=4 S=ac*sin(a)/2 => 2=4a*sin(a)/2 a*sin(a)=1 cos(a)=a/c => a=4cos(a) 4cos(a)*sin(a)=1 2sin(2a)=1 sin(2a)=1/2 2a=pi/6 при a ={0;pi/2} угол (а) = pi/12

Да уж, жесть супер-пупер:)

Катеты А и B. A*b=4. Сумма квадратов А и B =16 Решаем систему уравнений любым методом и получаем катеты. А потом углы через тригонометрию.

Толково! Я пошел прямым путем и пришел к тому же, но у Вас решение изящнееееееееее! Спасибо!

Че то дофига всего), площадь параллелограмма 1/2 ахb sina. Оттуда найдём что sina =1/2 т.е 30 градусов( это угол между диогоналями). Дальше дело техники..

Мне показалось или теперь решение сопровождается графическими правками на рисунке более подробно? Если не показалось, то очень годно.

Решил практически также. Провёл медиану, и получил два треугольника у которых площадь равна 1. По формуле площади треугольника 2*2*1/2*sina=1=>sina=1/2. То есть угол COB=30°. Тк треугольник равнобедренный, то угол OCB=углу B=150/2=75°. А угол A=90-75=15° Ответ: 15°;75°

Спасибо 👍🏻

Можно ещё сложнее решить ! Надо повернуть АВС вокруг оси используя равность объемов ... далее понятно !

Решение получилось очень похожее, но сначала определил угол В, как лежащий в основании в равнобедренного треугольника, а затем угол А. Главное - это решение без привлечения тригонометрии (где достаточно провести лишь высоту к гипотенузе и решить квадратное уравнение, кое решение и является наиболее универсальеым, при наличии таблиц Брадиса☺, но при данном условии задачи лучше...), чисто геометрическое. Ps. Хотя начал с проведения и определения высоты, согласно условия задачи ☺.

Из формулы площади ромба, составленного из четырех исходных треугольников, легко найти соответствующий синус удвоенного угла.

Я был уверен,что щас теорема синусов будет

(4sina*4cosa)/2=2; 2sina*cosa=1/2; 2a=30°

Можно решить через систему уравнений, в итоге получим квадратное уравнение. Решив уравнения найти катеты, а затем вычислить арккосинус угла альфа))))))))

Превосходно!!! Только я вычислила углы из суммы смежных, остальное из суммы углов треугольника.....

Finding edges is quite easy: sqrt(6)+sqrt(2) and sqrt(6)-sqrt(2). But geometrical solution by Valery is much more elegant

Отобразить симиетрично относительно АС. Провести высоту А1Н. Она оказывется рагвной 2. Получаем катет равен половине гтпотенузы. Тогда 2*А=30°. Дальше понятно.

Просто и понятно! Очень остроумное решение!

В наше время кликбейт это не просто дурной тон, а прямое оскорбление подписчиков.

Какая красота. Но как додуматься до "давайте проведём медиану из прямого угла"?!

Благодарю

Решил аналогично, с косинусом 30 и описанной окружностью в уме перед сном. Про название согласен, но уже давно их не читаю, потому что очень заметные обложки роликов сразу выделяют ваш интересный канал.

А пока искал углы в треугольнике, забыл зачем это нужно, пошел по углам, как по рукам и зашёл в лабиринт углов.

Задача интересная. Но невозможно предположить, что катет будет равен половине гипотенузы после построений т.е. задача решается не логически, а случайно.

Дочерчиваем прямоугольник и вторую диагональ. Используем формулу S = 1/2 d x d x sin a. Находим sin a , потом arcsin a - он равен 30, это угол вершины левого равнобедренного треугольника, ну а дальше дело техники. Все правильно: 75 и 15. p.s. Ленивый хочет легких путей, но он их не ищет, потому что ему лень. 🙂

Если мы хотим вычислить острые углы А и В аналитически, то не надо составлять никаких систем уравнений и биквадратных уравнений, как предлагают некоторые комментаторы. В задаче даны угол С (прямой), гипотенуза с (равна 4), площадь S (равна 2). Запишем площадь через гипотенузу с, катет b и синус угла А между ними в виде формулы S = 0.5*b*c*sin А = 0,5*(c*cosA)*c*sinA = 0,5*с*с*(cosA*sinA) = 0,5*c*c*0,5*sin2A = 0,25*c^2*sin2A. Откуда sin2A = (4*S)/(c^2) = (4*2)/(2^2) = 1/2. Следовательно 2А = arcsin(1/2) = 30 градусов, либо 2А = 180 - 30 =150 градусов, то есть А = 15 или 75 градусов.

Катет АС выражается через 1/sinx и через 4cosx. Решая уравнение 1/sinx минус 4cosx равно нулю, находим sin2x=0,5 или 30 градусам, а x = 15 градусам. Второй угол: 90 минус 15 = 75 градусам. Такие задачки в 1975 году мы решали в вечерней школе рабочей молодёжи в уме, после тяжелого рабочего дня у станка.

Очевидно, что задача хитрая, раз ни один человек ее не решил. И даже среди процентов нашелся только один. Сообразительный.

Быстро (в уме) найдешь углы, если начертишь прямоугольник с накрест диагоналями и по свойству вертикальных углов.

Есть формула площади прямоугольного треугольника. S = 1/4 * c^2 * sin (2 alpha). Из нее получаем sin(2 alpha) = 1/2. Дальше понятно, что 2 alpha это 30 градусов, значит alpha = 15. Beta = 90-15=75

Использовалось такое: "Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы."

Изначально неверное предположение, что СО будет равно АО и ОВ. И решение верно только ко при определённых углах. А углы и катеты неизвестны.

А я пошел сложным путем зачем-то... Нашел стороны из системы уравнений из формулы площади через высоту с основанием и теоремы Пифагора. Затем провел медиану в гипотенузу, откуда по теореме косинусов нашел косинус угла АОС. -(3^0,5)/2. Ну и угол АОС, соответственно, 150 градусов, откуда всё ясно =)

если не вдаваться в вопрос о существовании такого треугольника (а он , как ни странно, существует), то задача решается БЕЗ тригонометрии в одно действие , да и еще в уме, что и показано в задаче

Получится формула двойного угла, а с другой стороны, подставив формулу площади получить 1/2, откуда выходит, что один угол 15°, а второй 75°

Гениально!

У меня, глядя на те единицы, в которых изображен рисунок, получилось, что угол альфа при вершине А равен 27 градусов! 😁

Для советской школы была типовая. Сводится к стандартной системе уравнений, кода известны сумма и произведение двух неизвестных. А что до дополнительных построений, то могу дать совет восторженным слушателям. Возьмите характерный угол вроде 180 или 90 градусов. Поделите его на 19, умножте на 7. Потом воспроизведите этот угол геометрически, городя друг на друге равнобедренные треугольнике. В получившейся фигуре сотрите такие отрезки, чтобы оставшаяся часть выглядела простой. Выбор для того, что назначить данными, что неизвестными будет широким. Вот Вы и родите задачу, решение которой и способ решения будете знать заранее. Можете с ней прослыть великим умником.

Красивое решение!

Спасибо Пришлось потрудиться( с вашей помощью)

Уголы равны арктангенс (2+корень из 3) и арктангенс (3- корень из 3)

Из формулы лица S=1/2.c.h получаем, что h = 1; следовательно, h = 1/4 гипотенузы; следовательно, острые углы равны 15° и 75°.

15 и 75. Для того чтоб решить эту задачу, надо помнить решение другой задачи где известны угла, а найти надо площадь)

Спасибо... решала двумя способами... ваш веселее

Дорисовать внизу еще один такой же треуг. Получим, равнобедреный с бок. стороной 4 с площадью 4. 1/2*4*4 * синус a =4. Угол а=30 => 15 и 75

Можно было выразить синус и косинус одного угла, затем использовать то, что площадь равна половине произведения катетов, затем перемножить синус и косинус

С одной стороны cos alfa=AC/AB=>AC=4*cos alfa С другой стороны sin alfa=CH/AC=>AC=1/(sin alfa) Приравниваем 4*cos alfa=1/(sin alfa) 2*cos alfa*sin alfa=1/2 sin 2alfa=1/2 alfa=15°

Теорему Пифагора и формулу площади треугольника объединил в систему из двух уравнений, нашёл две неизвестные стороны прямоугольника. А далее по тригонометрическим формулам нашёл неизвестные углы.

Класс!

Достроим треугольник до прямоугольника. Его площадь 2*S=4. Но 2*S=4*4*sin(a)/2, где a - угол между диагоналями прямоугольника. Отсюда sin(a)=0,5 и a=30 градусов. Так как треугольник, образованный "вертикальным" катетом и отрезками диагоналей, равнобедренный (потому что у прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам), то угол между этим катетом и гипотенузой равен (180-30)/2=75 градусов. И тогда третий угол (между "горизонтальным" катетом и гипотенузой) равен 180-90-75=15 градусов. Ответ: 75 и 15 градусов.

Есть же готовая формула S=1/4 * c^2 * sin2a, задача в одно действие

Nagyon jó példák.

Намудрил, решить можно гораздо проще. Мне понравился вариант через S параллелограмма.

Я решил гораздо проще, создаём такой же треугол с общ стороной в .получается равнобедренный треугол двс.. площадь дв*ас делим на два. И площадь того же вс*ДС*Син угла ВСД...итд..я решил легче))

Я решил так: B |\ | \ c |__\ C A S = 1/2*c*h, где h - длина высоты, падающей на гипотенузу, длина которой равна c = 4 S = 2 = 1/2*4*h Получаем: h = 1 sin B = h/b = sqrt(1 - b^2/c^2) 1/b^2 = 1 - b^2/4^2 1/b^2 = 1 - b^2/16 (*16b^2) 16 = 16b^2 - b^4 b^4 - 16b^2 + 16 = 0 Замена: b^2 = t >= 0 t^2 - 16t + 16 = 0 Совокупность: t = 8 + 4*sqrt(3) t = 8 - 4*sqrt(3) Можно не рассматривать 2 случая, поскольку два корня данного уравнения - это квадраты длин 2-х катетов, поэтому неважно, какую длину катета мы выберем. Пусть: b = sqrt(8 - 4*sqrt(3)) sin B = 1/sqrt(8-4*sqrt(3)) sin B = 1/(sqrt(2)*(sqrt(3) - 1)) sin B = sqrt(2)*(sqrt(3) + 1)/4 => угол B = 75 => угол A = 15, поскольку треугольник прямоугольный Ответ: 75; 15

Сразу лайк

Легко получить общую формулу: квадрат гипотенузы , помноженный на синус удвоенного угла, равен площади четырёх треугольников. Легко в тригонометрическом круге при болтающемся радиусе, равном гипотенузе.

Я в уме решила...65 лет!

Я решал через достроение прямоугольника. Затем провел вторую диагональ и нашёл синус угла между диагоналями. Это оказалось табличное значение. Решать можно по-разному!

1) 0.5ab = 2 2) a^2 + b^2 = 16 From: 1) a = 4 / b To: 2) (4/b)^2 + b^2 = 16 16/b^2 + b^2 = 16 16 + b^4 = 16*b^2 b^4 - 16*b^2 + 16 = 0 b^4 - 16*b^2 + 64 - 64 + 16 = 0 (b^2 - 8)^2 - 48 = 0 (b^2 - 8)^2 = 48 (b^2 - 8) = √48 b^2 = 8 + √48 b^2 = 14.92 b = 3.86 a = 4 / 3.86 = 1.036 arctan(1.036/3.86) = 15° Один угол: 15° А другой: 75°