【訂正】(主に誤記など) 7:11 ○各成分を2"乗"したもの 11:18 後者(抽象的)のほうがより厳密に考えられます。字幕だけ間違ってます！ 25:30 cos90°=0、cos360°=1 cos0°=1 21:46 (1次)線形独立・従属の英訳は「linearly independent」でした。頭文字の"l"が抜けてます。 29:36 ウインドウにあるのはすべて計算できるパターンでした。これの前後ろが逆だと計算できません。 29:41 ✕結合法則 ○交換法則 29:53 90°回転の正しい行列は[0,-1][0,1] 31:22 ✕加速度 ○速度 でした！！ ミス多すぎて死にたい( 　´･ω･)

「一般化した定義から戻って、発想が見落とした部分を発覚する」のは生活でよく使いますよ 考え直しのやり方とも言えるでしょう

このマキマキ、ゆっくり解説にありがちな 話を進めるために都合のいい相槌（お前生徒役だけど最初から理解してるだろって感じ）じゃなくて、 予備知識のない視聴者の素のリアクションって感じだからすごく理解しやすい

自衛官の時、職種の関係で数学をとにかく勉強する必要があったんだけど高校の時の知識がまさかここまで実務で生かされるとは思わなくて結構衝撃だったのを思い出した。

各レベルの人らの動画を見た感想 数学上級者「こんな初歩的な内容は見るまでもない」 数学初級者「うんうんわかるわかる」 一般人　　「日本語でおｋ」

高校のとき、内積の授業の日に風邪で休んだ。そして、私は文系に進むことになった。

ベクトル好き 掴みどころのない図形を掴みやすくしてくれるから。

19:26 発想の起源といきなり現れた定義に違和感あったのが解消されてとてもスッキリしました。

｢4次元以上の世界も数があればイメージできる｣という部分がとても興味深かったです！応援しています！

図形（座標）でベクトル考えてて、四次元なったら座標どうなるんやってずっと考えてたら、それを表すのがベクトルって気付いたとき気持ちよかった

複素数平面ってかけ算、わり算が簡単に出来るのが便利なんですね。

高校の数学教師が「複素平面よりも行列のほうがよっぽど使う」って言うことが大学に入ってわかったことを思い出した。どうして高校で行列を教えなくなったんだろう。

線形代数って現代の制御、AI、画像処理…ほぼ使わないことないよなぁ…

17:35 の"数字が働く"はしかと胸に響きました

27:30 「数字が働く」 なるほど。 理解できたはずなのにできてないような錯覚を覚えたり、なんかよくわからないけど答えが求まったりするのはこのためか

今の学生っていいなぁ こういう動画あるし 昔は難しそうに型にハマった説明をする教師と本しかなかった 少なくとも私の周りには

制御力学で倒立振子の演習をするのに行列を使ったけど、何やっているかさっぱりだったな・・・ 3階以上のテンソルは最近AI分野でゴリゴリ使われているし、Pythonでテンソルを扱うことが多いから、勉強しようと頑張ったけど・・・ 意味不明過ぎてついてけない・・・ 勉強の大切さを思い知らされたぞ・・・

3Dアクションゲームを作る時、当たり状態を判定するために、3次元ベクトル同士の内積が必要になってくる。 そういう分野に進む方は、ぼんやりとで良いから、知っておいて欲しい。

線形代数の導入として初学者にとても分かりやすく解説されてると思います。 この動画の延長線でベクトル解析も解説していただければ個人的には嬉しいです。

学校の先生の教え方がチンプンカンプンになってベクトルは諦めててしまった（一学期の数学Bはほぼ惨敗しました　）こうやって説明されるとまた数学が面白くなる　わかりやすい説明ありがとうございます。

30:37 ？？？「ダメだこりゃw」

29:28 なんで誰もつっこまないんだ… みんな真面目に見てるって、はっきりわかんだね。

海外の先生、意外と太字より矢印ベクトル表記好みがち

主のお陰でやっとベクトル関数が腑に落ちた。ありがとうございます。

塾講師やってますが、生徒みんなこれ見てくれれば楽…

ベクトルは次元空間座標｡ 宇宙に出て行くときにに必須な航法になる｡ すべての惑星恒星はじっとしているわけではなく 動いてるので 高度な位置計算が必要 ベクトルの概念が重要になってくる｡

10分くらいまではなんとか理解できました　今日はここまで！

19:19 ここからの話は本当に目から鱗で、これまでのモヤモヤが一気に晴れたような感じです！(ただ秒数が汚ry

33:10 応用 これ解説してくれるのは個人的に親切だなと思いました。 僕が高校生の頃、三角関数をはじめて習ったとき、え、いきなりなんでこんな概念でてくるの？って足がとまりました。それが気になって気になって内容に集中できなくて、勉強がいやになりました。やる気が出ませんでした。なんのためにあるの？と気になり気になり…また当時引っ込み思案で先生にききにいくのも億劫で、ネットもあったけど、検索のかけ方も拙く、サイトも今ほど充実してはいなかったので、結局わからずじまいのまま、苦手にしてしまいました。 その後、紆余曲折を経てわかるようになりましたが、この動画のように、どこでなににどのようにして使われているのか、解説してくれる人がいると、小さなことでつまづきやすい人にはありがたいのかもしれません。

33:18　これ見てる今後大学でロボットの勉強(というより研究)したいと思ってる人へ。 数学に関してはとりあえずベクトルと行列と微分方程式(常微分、偏微分ともに)はマジで勉強しような。というかまじめに勉強して身につけないと後で大変なことになるんや…後の授業とかマジでベクトルと行列と微分方程式のオンパレードで大変だぞ…まぁそれでも各授業ごとにある期末試験は中途半端な理解でも単位取れる(ぶっちゃけ買わされる教科書の問題の解法丸暗記でどうにかなる)けど、理解してないと将来的には大学院試験で詰む…(まさに大４の俺がそういう状態。本質的な理解をしてなかったから院試の問題全然解けなくて涙目…) とにかく、本気でロボットの勉強したいならベクトルと行列と微分方程式だけは勉強しよう(高校生ならベクトルと微積分はマスターしたい)。できれば授業が終わった後(単位取れた後)もときどき教科書見直して何やったか思い出した方が良い。そうでないと…つらいぞ。(異論は正当性があれば認める)

アクセラレータはこれを完璧に理解してるのか…

こういう難しい動画を見るとき時々脳が疲れるから頭を賢者(意味深)にさせて視聴してる

図のおかげか、すごいスッと入ってくる解説で大変助かりました。

分かり易くて、「ほぇ」のタイミングがいいですね。

AIなどの機械学習にはめちゃくちゃ使います。 死ぬほど使います。 なんなら死にます。

中学で理科の力の単元でベクトルの考え方が役に立ってよかったです

男なら誰でも向きと大きさは気になる

自分の数学知識が不足しているせいで全く理解できなかった。しかし、ベクトルが役立っていることは実感しました。ありがとうございます。

29:37 これ全部計算できますが……

数学Aでつまづいたもんだからすごく難しく感じた…。これを初歩的と思える数学上級者や数学者は超人なんじゃないかと文系の俺は思った(笑) でもあまり馴染みのない分野に頭使うの楽しい

わかりやすくてとてもいい動画でした！ 改めて数学を学ぶ意欲が出てきますね… いろいろと数学関連の解説をみてみたい気がします…！

29:40 行列積は結合法則成り立ちますよ……成り立たないのは交換法則です。

テンソルと言えば、一般相対性理論を思い浮かべる 私は工学系なので、連続体損傷力学において、8階の損傷テンソルを見かけるくらいだろうか 元々、tensionから来てるテンソルは、連続体力学発祥と言えるかもしれないが、その真髄に触れるには相対性理論などの理論物理に足を踏み入れなければならない 興味深い

ベクトル、行列で微分方程式を解くようになると、面白くなってくる。

ヘッドフォンなどに搭載されているANC(アクティブノイズキャンセラ )機能やハンズフリー通話時のエコーキャンセラ機能などの 原理や追従速度や安定性などの計算方法も線形代数が必要なので、この概念がないとノイズキャンセル機能やハンズフリー通話なども出来なかっただろうと思います。 ディジタル機器での音声加工処理などもベクトルや行列の概念は役に立ちますし、 オーディオ機器関連の仕事をしているので自分の人生では線形代数も役に立っていると思います。

なるほど、だから一方通行（アクセラレータ）さんはつおいのか。

17:48 そういうことを言われると、「広さはあるが長さはない」みたいなヘンテコ空間を考えたくなる天邪鬼（できるとは言ってない）

16:50 「点はいくらいっぱい用意しても、面積には成り得ない」 ここ、厳密には違います。 線分は、無限個の点の集合です。 「アレフゼロぐらいの無限個の点では、長さを持ちえない」 くらいならおｋですが。

大変ためになりました！！ この動画のおかげで４次元と５次元までを理解することができました！！ とりあえずタイムスリップより並行宇宙へ行く方が難しいだなと勝手に納得しています

ゆかりちゃん！！好きなキャラがいると頑張れますね💪💪

高校生や大学生のときにこの動画を見たかった…。しかし、学びにおいて、おそすぎるということは決してない。

波動力学は、より抽象的な状態ベクトルを確率密度分布をわかりやすく関数空間で表現した形だから一般には行列、ベクトル表現の方が便利な印象 特に粒子の生成消滅を記述するのに必要な場の理論とかはフォック空間とそこに張る状態ベクトルを使うし

ブラックホールを勉強するならテンソルはよく使うなあ(というよりテンソルの有り難みよく感じられる)

テンソルの定義が抽象的かつ天下りすぎる…。けれど俺にも説明が難しい。 例えば、「力×作用点からの長さ」で新しい物理量「力のモーメント」を定義したように、また「電流×電圧」で新しい物理量「電力」を定義したように、これらすべての物理量は「線形性 」を持っている。新しい物理量を「テンソル積」と一般的に考えると、32:25のような諸条件が必要ってこと…なんじゃないかな？で、同型を除いて唯一性を求めるのは、単位の違いを吸収するってことなんじゃないかな？

数学って未来を予想するためにあるんだと関心を持てました!!!

仕事で構造シミュレーションやってます。その仕組みの根幹のひとつが線形代数学でして、その割に当方、算数すら怪しい始末で参っちゃってるのですが、こちらの動画のお陰で少し輪郭が見えてきたような気がしております。ホントにありがたい限りです… 何度も見させて頂き、本格学習の取っ掛かりにしたいです。ホントにありがとうございます！

細かいですが 21:46 inearlyではなくlinearlyです。

機械学習を学んでいて、何故言葉等がベクトル化できるのか、疑問に思っていましたが、抽象概念のベクトルの定義を理解して、納得しました。わかりやすく楽しい説明、ありがとうございました。これからもよろしく。

勉強になりました。 ありがとうございます。 ところで、 13:47 「Kの“数”をスカラー」 と記載されていますが、 ”元“でなく、”数”と記載されている理由はなんでしょうか？ 純粋に疑問に思いました。

一目で「あっ、これ超役に立つやつじゃん」って思った 動画の作りがうまいんだなあ　ｲｲﾈ!

内積で掛け順で結果が変わる（26:00) ・・・変わらないと思うけれども。

めちゃめちゃ分かりやすいです！ありがとうございます！！

中学生でも理解できましたー ありがとうございます！

「お金が働く」的な意味で「数字が働く」って面白いな 今目の前の箱の中でも電気と数字が働いて、結果、動画を表示してくれてるんだよな

高校で商業コースに進んだ事が悔やまれます🥺数Ⅱもまともに分からないので。 大学行っておくべきだったとつくづく思いますね〜 先日、偏微分をしないといけない場面があり、何とか時間かけて解きましたが頭フル回転してましたし😇😇

三次元空間内の我々でもベクトルの発明のおかげで多次元空間を理解できるのすごい。

ゲームは最初からベクトルで計算され、3D化すると行列化しましたね。当時は3Dゲームライブラリも充実してなかったので法線や内積とかの知識は必須でした。

グラフィックで行列必要だから助かるゾ〜

別の例として、実数全体を定義域とする連続な関数の全体なども加法と実数倍が定義できてベクトル空間になる。

内積のおかげで、cosθを相関係数（類似度）として使える。このベクトルとこのベクトルは似ているという指標。

線形代数の具体的なイメージを得られずに研究してる理系学生全員に見てほしい。かなりすとんと入ってきた

12:33 て，転置のt・・・(震え声)

分かりやすくて面白かったです！ ただ概要欄みて力抜けましたw

みんな概要欄に触れない.. 集中してるなぁ　勉強になりました・

図形を楽に解けるからしゅき

編集お疲れ様です。 わかりやすかったです。

30:29の式で右辺の右下のcosθにはyかからないんですか？

高校でベクトルやったときは空間図形に強いんだねー くらいの認識でしたし、行列計算はなぜこんなことやんの？ そう思ってました 楽しく拝見させてもらいました、少し認識が改まったかも

30:37 しゃぞー？なんすかしゃぞーって

19:35 指数とか掛け算とか虚数とか、色々と思い浮かぶな

編集お疲れ様です！ 図や例が丁寧で、もっと評価されて欲しいなと思いました(*'▽') 数学の動画となると恐らく多くの人は気圧されてしまいますが、 学ぼうとする姿勢が大事です（社会系の科目を嫌う人より） …さて、動画に関して思ったことを幾つか記しておきますね。 深いことを言える訳じゃないので、適当に流して頂ければ。 それと、最初に断っておきますが、長くなってすみません 長いのに、中身はスカスカです。（読んで頂くのが申し訳ないくらいです） まず、ベクトルの捉え直しに関して。 「矢印」を「数字の集まり」として捉え直すのは、身近（？）なところでは連立方程式でしょうか。 中高生のころはせっせと加減法を繰り返したものですが、 行列と列ベクトルの積に置き直せば、行列式の計算だけで解が求まりますからね。 一見、ベクトルとは無縁なところにも首を突っ込んできて、 本当に顔が広いんだなあと思います。 次に、行列の作用前後でベクトル空間が変わることについて。 個人的には、オイラー角を思い出しました。 Wikipediaもありますので、もしご存じなければ参考までに。 （そんなに威張って言える立場ではありませんが） x,y,z軸そのものが回転するということですね。 軸が回転すれば、その基底も回転する。 剛体の力学で使われる考え方だそうです。 質点とは違って剛体はその姿勢も大事になるので、 剛体の動きに添って軸を回転させてしまえ！ということだと思います。 とにかく、行列に回転作用があることは、 オイラー角のWikipediaにもあるGIFで感覚的に理解できそうです。 （動画内の例も充分でした！） 最後に、制御工学について。 ベクトルや行列の応用例で紹介されていて、少し嬉しくなりました。 動画内にあった通り、質量バネダンパ系の運動方程式も行列に置き換えたりしますからね。 上記の連立方程式の要領と同じです。 行列も使います。制御でお馴染みラプラス変換もちゃんと使えますし。 通常スカラーが入る指数部分に行列が入った「行列指数関数」なるものもあります。 計算が厄介なので、個人的にはあまり好きではありません（え？） これが他の分野でどんなふうに使われるのは知りませんが…。 基本的には 方程式（運動方程式など、微積を含むもの） →ラプラス変換（計算簡略化） →逆変換で解を求める（元の世界に戻す） の黄金ルートです。 数字の集まりを機械的に処理できるという点で、制御はもちろんAI技術など、 プログラムが得意な計算なのかしれませんね。 最後にもう一度…。 40分の、しかもクオリティの高い動画の編集、本当にお疲れ様でした！(*'▽')

すげぇ分かり易い

8:52 昔こういう口調で受け答えする奴同級生にいたわ

すごい動画をありがとうございます。

この動画は酒吞みながら見るもんじゃないｗｗ寝落ちしてました♫ゴメンちょ♡

大学の授業で聞いて？ってなってたけどイラストと一時停止のおかげで何を言ってるのか理解出来たわ 例えば基底の部分 色んな意見が飛び交ってるけど自分はこの動画のおかげで助かりました

おもえば小学校のころやったみちのりってベクトルの演算だったんだなって 関係ないけどボイロゆっくりすこすこ

線型写像、像、核、表現行列、固有値「線形代数やってるー？^^」

文系出身マンのワイ　理解できず瀕死 仲間探すべくコメント欄みて無事死亡 理系の方々本当に尊敬します。

20年前の大学受験で志望大学が行列出る大学だったから、行列の演算とケーリーハミルトン使う問題たくさんやったんだけど当時はただの受験のツールだった... 大人になってから全体像掴めるようになった

自分は職業高校出身だから大学入ってから心理学をやってはじめて知った。その講義の教授は「高校でやってると思うから解るだろ」みたいな感じで説明かっ飛ばして何らかの研究の結果をベクトルを求めろって言われたけど、そもそももとのベクトルを含む単元をやってない自分含めた職業高校出身の学生には全く解らなかった。同じような感じの職業高校出身の友達と話したけど、その友達も全く解らないって言ってた。

数字に仕事をさせる、この感覚に高校時代に実感を掴めない気持ち悪さを覚えたのかな…

ミンコフスキー空間は内側を時間的、境界を光的、外側を空間的という。

平面については、幾何ベクトル（座標）が無数に存在するんだから、それって無数の点（座標）から成る座標平面と言ってること同じじゃん。って事で理解した

定義ってのは曖昧に理解してる人が簡潔に表現するためにあるんだよな

ベクトルが理解できなくて数Bのテスト11点だった（マジ）

自然言語処理やり始めて線形勉強しなきゃ分からんことあって息抜きに見に来たら可愛かったお！//

うぽつです。 19:34あたりのようなことを主さんはどこで学んだんでしょうか...なかなか線形代数でこういうことは言われなかったので主さんがどこでこれを勉強したのかが気になります。 そしてすごい...

高2の文系学生ですが、非常にわかりやすくて、かつ面白くて最後まで見ました。ベクトルに対する考え方が少しわかることができてよかったです！

ぼく数弱の情報工学部生、この動画に激しく感謝する