Мировые линии на самом деле - лучи. Если у корабля N4 и корабля N3 они расходятся, то они очевидно не встретятся, при этом если начала лучей лежат после точки пересечения соответствующих линий, то и раньше они не встречались.

условие "попарно встретились" надо дополнить "в разные моменты времени". Иначе, они могли встретиться все три в один момент, и плоскости не будет. про шар: используем проекцию, переводящую большие круги в прямые, тем самым переведем задачу на плоскость.

Какая красивая задача!

Интересная задача. Кажется, что, если для плоскости мы рассуждали в координатах X и Y, то для сферы можно решать эту задачу в радиальных координатах. И переводя их на плоскость, выглядит так, что решение такое же.

Время не может быть отрицательным. Поэтому мировая линия не прямая, а луч. И вот тут проблема, то что прямые пересекаются, не гарантирует пересечение лучей.

Ответ: Можно сказать, что 2 координаты положения на плоскости были на самом деле углами в полярной системе координат с центром в центре Земли. Я имею в виду, что при равномерном движении по окружности на сфере угловые координаты в полярной системе координат, связанной с этой сферой, тоже меняются равномерно. Таким образом в численном выражении эти две задачи идентичны. А раз имеется положительное решение в плоской задаче, то такое же точно решение будет и в задаче на сфере.

Можно решить ещё проще: перейдем в систему отсчета, например, первого корабля. В ней он - находится в точке. Траектории остальных трех - прямые, проходящие через эту точку. Поскольку у этих прямых есть и вторые точки пересечения - все они совпадают. А значит есть и шестая встреча. (По существу - это то же решение, что и "постоянный пеленг" - но на более общепонятном языке)

Здравствуйте, спасибо за ваше творчество! По иллюстрации к сегодняшней задаче: на моменте 4:58 видно, что два кораблика встречаются друг с другом, а затем один из них встречается с третьим корабликом на 5:01. В то же самое время первый из кораблей пересекает курс третьего и кажется очевидным, что они разойдутся "навсегда". Можно ли считать, что первый и третий корабли встретились на 5:01 ? Спасибо!

С шаром вы это очень хорошо придумали.

Предполагаю, что сферическая геометрия не должна особо отличаться от плоской, если дело не касается суммы углов треугольника.

Треть комментаторов вообще не всекли. Обидно. Красивое решение. С подсказкой я решил. Кстати, для наглядности надо было продолжать встречать мировые линии в 3д пространстве имея под ними проекции (курсы), чтоб треть комментаторов просекла фишку. А еще можно было бы прказать наглядно две мировые линии кораблей, курсы которых пересекаются, а вот мировые проходят одна над другой.

Блестяща задача!

Встреча попарно первых трёх кораблей не определяет порядок из встречи. Третий корабль мог быть самым медленным и стартовать первым, лишь после него стартует четвёртый корабль, более быстроходный третьего, и обгоняет первый и второй корабль, либо стартовавшие до него, либо они стартовали позднее и обогнали четвёртый корабль. Частный случай не даёт возможность доказать искомое!

Прекрасное решение!

Думаю, на сфере будет то же самое. А вот на седле - гиперболической плоскости - могут и не встретиться. Там, вроде как, могут не пересечься непаралльные прямые.

На сфере траектории кораблей замкнутая и представляют окружности одинакового радиуса, тогда появляется очевидное решение, что если соотношение скоростей кораблей не является рациональным числом, то рано или поздно они все повстречаются друг с другом

Если мировые линии отражают движение с постоянной скоростью, то они будут прямыми вне зависимости от того, по сфере движутся корабли или по плоскости. Соответственно, предложенное в ролике решение подойдёт в любом случае.

Допустим 4 корабль почти сразу после встречи 1 и 2 так же встретил, 1 и затем 2, держа курс прямо и так совпало, что ведет его курс именно в ту точку, где в это время 3 корабль проплывает. В итоге 3 корабль не встретил 4(разминулись), но пересекся чуть позже с 2 и 1. Вопрос - решение показанное в видео точно про встречу кораблей? больше похоже про пересечение курсов\траекторий.

На 2:45 в треугольнике одна из вершин(точек - моментов встреч) не может быть определена на плоскости, если скорости кораблей одинаковы. Т.е. третья встреча не состоится. Первые 2 предложения в условии задачи содержат противоречие. У меня выходит так.

Со стороны работника, регулярно работающего с координатами планеты и контурной картой - обязательно пересекутся. Все меридианы планеты придут в одну точку. У планеты их точно две - два полюса. Ну и когда разворачиваем глобус на плоскость цилиндра, эти точки растягиваются в линии.

Можно доказывать в 2D и не через мировые линии. Если принять во внимание, что для траекторий столкновения угол визирования на корабль остается постоянным, то получается, что если к4 встретился с к1 и к2, углы на них =const, но и если к3 встретился с k1 или к2, то и угол на него с них тоже постоянный. Тогда получается, что и с к4 на него тоже постоянный, что и говорит о прошлой или будущей встрече.

линии времени кораблей это не прямые и даже не лучи а скорее отрезки которые не длиннее срока жизни этих кораблей. А значит плоскоть на котрой они могут встретиться весьма ограничена. Время жизни третьего может быть весьма короткой и ограничиться пересечением с первым и вторым (с первым встретился сразу после постройки со вторым затонул одновременно). И тогда четвертый проходит сильно сбоку хотя и имеет шансы встретиться.

Спасибо за рассуждения, но все они привели к тому что Вы доказали принадлежность траекторий одной плоскости, но ведь пересечение траекторий не означает, что они встречались?

Вообще, это кажется баян, его на одной студенческой олимпиаде недавно дали, но так же там был и сферический вариант задачи, где третий и четвёртый объекты не обязательно встречаются, а вот с кораблями не знаю, они плавают по Земле, которая имеет форму примерно шара, так что на больших расстояниях третий и четвёртый корабли уже не всегда пересекаются.

У реальных мореходов есть простое решение. Если на другое судно не меняется пеленг, вы столкнетесь. Сдается мне, что таким, более приземлённым способом, рассуждать и решать проще.

А как формулируется понятие параллельности в неевклидовой геометрии?...

1:28 До этого я тоже дошёл, потом стал представлять объёмную фигуру из попарно пересекающихся прямых - это получилось, а вот как туда вписать четвёртую - это не осилил. PS. Обидно, однако. Чуть-чуть не дотянул.

Вопрос а сто значит встретидсч? Это врезолся или просто траектории пересеклись?

Справедливости ради, мировую линию, а тем более, мировую плоскость, вместить трудно. Например, если все 4 мировые линии находятся в одной плоскости, все четыре корабля находятся в каждый момент времени на одной прямой. Представить это сразу трудно.

На сфере даже параллельные пересекаются Так что пути тем более пересекутся)

Соображения такие. Я решал задачу иначе. Ввел 4 радиус-вектора положений кораблей в один момент времени, и четыре вектора скорости. Условия встречи записываются в виде векторных произведений резностей начальных положений и скоростей. Дальше простая алгебра. Стало быть, результат будет верен в любом линейном пространстве, где можно ввести внешнее призведение. Кажется, на сфере тоже можно. А если это не так, пусть старшие товарищи меня поправят.

В.Арнольд предложил в одной из своих книг задачу коллеги Н.Константинова. Два города связаны двумя непересекающимися дорогами. Известно, что два автомобиля, связанные канатом длины менее 2L, двигаясь каждый только по своей дороге, смогли проехать из города в город, не оборвав каната. Смогут ли разминуться два одинаковых автомобиля радиуса L, двигаясь навстречу друг другу из своих городов? Такая ассоциация с роликом.

Можно выбрать такие не параллельные траектории на шаре чтобы 4 не встретился с 3.

Можно сделать стереографическую проекцию сферы на плоскость, при этом все дуги большого круга перейдут в прямые и задача сведена к уже решённой

Встретился и пересек линию маршрута АБСОЛЮТНО разные вещи. Приведенное "доказательство" доказывает, что 4 корабль пересекает траекторию движения третьего, но НИКОИМ образом не гарантирует их встречу.

На первый взгляд кажется, что это решение, но.. 1. О третьей координате в условиях ничего не говорится. 2. Выводы делаются на основе двумерной проекции. Если рассмотреть мировые линии, в том определении, которое было дано, то их пересечение в проекции не означает их действительного пересечения в 3D. А значит никакая плоскость не образуется., т. к. точек может быть не три, а шесть

Если прикинуть, то условие основной задачи выполняется только в том случае, если в любой момент времени все 4 корабля находятся на одной прямой. Эта прямая перемещается (но не поворачивается) с течением времени. А так как курсы не параллельны, то 4 точки (4 корабля) на этой прямой движутся с разными скоростями. Поэтому все точки попарно когда-нибудь встретятся (или уже раньше встретились).

А если бы рядом была чёрная дыра, то всё могло сложиться иначе.

Осталось доказать, что геометрия Евклида справедлива в пространстве "плоское пространство-время". По мне так не все очевидно.

Прошу рассмотреть вариант когда пути кораблей пересекаются, но они при этом не встречаются. Как будут выглядеть на графике их "мировые линии"?

А если море закончится? Они встретятся на берегу?......

так вы ничего же не доказали. То что траектория 3 и 4 кораблей пересекуться было понятно еще с условия, ведь там сказано, что все четыре линии непаралельны. Вот только с чего вы взяли, что они пересекуться в одно время?

В сферической геометрии - не работает теорема Менелая. Так что шестая встреча будет только в особо симметричных случаях

На сфере могут и не встретиться. Например, третий и четвертый крутятся около полюса каждый по своей окружности, которые не параллельны. А первый и второй по траекториям пересекающим траектории 3 и 4 кораблей.

Простое представление геометрии лобачевского

А если 4й путь параллелен 3му? Ну и в сферическом варианте это тем более возможно.

Работаю штурманом на судне с 2008 года и о таком термине впервые слышу))

Ну, на сфере не параллельные линии не обязательно пересекутся. Так что на сфере это утверждение ложно. Достаточно третий корабль пустить пустить по короткому замыкающемуся пути, а четвертый по длнному, но под углом к третьему. Тогда даже проекции их мировых линий на сферу (они выглядят как окружности) не пересекутся, не говоря уже о самих линиях.

1 и 2 встретились и потянули.

Т.к. в сферической геометрии впринципе нет параллельных прямых, то кажется что на сфере этот факт итак очевиден)

Встретятся, или их курсы пересекутся? Все точки лежат на плоскости, значит в космосе будет тоже самое. Наверное так.

Но ведь такое решение подразумевает постоянную скорость каждого корабля, чего в жизни не бывает (течения, ветер и т.д.) так что в теории всё верно, но на практике они могут не встретиться никогда.

Так встретился или пересёк курс?

Это верно и для сферы, т.к. гнутая поверхность топологически эквивалентна плоскости

На сфере два любых "корабля" когда-то встретятся. Надо подождать.

Молодец! Быстро решил задачу. Только корабли это точки, а не бесконечные линии. поэтому их встреча в океане крайне маловероятна.

Трёхмерное пространство времени - это сильно!

Да не могут даже первые три при одинаковых скоростях попарно встретится. Не вводите людей в заблуждение. А курсы конечно пересекутся рано или поздно если они непараллельные прямые.

Есть только один нюанс, в задаче говорится о том что корабли встретились, а не о том что их курсы пересеклись. От того в одной точке первый и последний корабль могли находиться в разное время, нет?

Все равно не понятно почему корабли должны встретиться. В двухмерном представлении мировые линии пересекаются, но ведь это не значит что они пересекутся и в трехмерном пространстве. Если корабли оказались в одной точке двумерного пространства в разное время, то это значит что они не встретились.

Условие не полное

NET! Ne soglasen, chto korabli vtretyatsa i v ploskosti- da, ih KURSY- t.e. linii peresekutsa, NO konkretnye tochki, kotorie soortvetstvujut korablyam i vektora(!!) i dvizeniya, kotorye oboznachayut 1 a) NAPRAVLENIE, i b) SKOROST dvizeniya korablya, ne fakt, chto sovpadut tak, chtoby proislashla chetvertaya vstrecha. Eto daleko ne prosto i, domaju, takoe nelzya dokazatj, po skolku eto ne vzaiomsvjazanno. Ya, konechno ob etom podumaju, no seichas ya govorju, chto eto otnositsa tolko k KURSAM korabley, a ne k. sovpadaniju tochek, kotorye nahodyatsa v dvizenii..

Не получиться доказать. Возьмем два мередиана, они точно пересекуться, потом возьмем горизонтальль в сееврном поулчшарии, она точно пересечет два мереидиана. Четвертую траекторию построим так, что она будет сечение сефры плоскостью не параллельной плоскости экватора в южном полушарии (линия пересечния плоскости кватра и нащенй плоскости лежит вне сферы). Такая траектория будет пересечкать оба мередиана, но не пересечет горизонталь в северном полушарии.

Встретиться и пересеклись траектории не одно и то же.

Ну если прямые не параллельны на плоскости, то они обязательно пересекаются. Непонятно, что,тут еще надо доказывать?!🤷‍♂️