Мой канал в VK - yellow.school Реши уравнение: х² - 5 = √(х+5)
Пікірлер: 556
@AlexeyEvpalov8 ай бұрын
Метод частичной замены переменной. Обозначим x^2-5=y (1), где y>=0, тогда y=V(x+5) возводим в квадрат и переносим 5, y^2-5=x (2). Вычтем (2)-(1) y^2-x^2)=x-y, разложим разность квадрата и перенесём всё в одну сторону (y-x)(y+x)+(y-x)=0 или (y-x)(y+x+1)=0. Подставив из (1) y=x^2-5 получим (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность тех же уравнений, Ответы те же.
@tashayakimovich74358 ай бұрын
😊
@meshokshtuka71137 ай бұрын
Да, такая замена переменной выглядит более правильной математически
@alexxey836 ай бұрын
Вообще, когда y=f(x), а x = f(y) => будет решение при x = y. Получаем тревиальное уравнение x^2 - 5 = x
@perelmanych6 ай бұрын
Изящно!
@perelmanych6 ай бұрын
@@alexxey83 Если нарисовать рисунок, то это становится очевидным. Однако, на рисунке также очевидно существование второго отритцательного корня и вот с ним как раз проблема.
@badjinda8 ай бұрын
Можно увидеть и геометрический смысл. y=х²-5 -- это парабола, смещённая на 5 вниз, y=√(х+5) -- это её левая ветка, повёрнутая на 90 градусов (перестановка осей). Тут наглядно видно ОДЗ, т.е. точки пересечения этих кривых. Далее (или, скорее, наоборот, это было не далее, а даже ранее, чем задача приняла свою финальную форму), можно задаться вопросом, как смещаются точки пересечения этих ветвей в зависимости от величины параметра сдвига, который у Вас взят за t. После чего можно осмысленно придти к более общей задаче через t или через систему, как в комментариях, и получить решение данной конкретной как частного случая
@dmxumrrk3328 ай бұрын
Первым делом увидел. И обязательно нарисовал бы перед тем, как решать. Оно нагляднее.
@eduardionovich44258 ай бұрын
ОДЗ - это не точки пересечения кривых. Пора бы знать.
@badjinda8 ай бұрын
@@eduardionovich4425 Конечно, точки пересечения кривых - это сами значения, а видно, в каких областях они лежат
@user-rw8uq5dd8w3 ай бұрын
@@dmxumrrk332 , то же самое. Если б стояла задача решить графически, решалось бы в шесть секунд.
@erdgeschoss-bf3vc2 ай бұрын
@@user-rw8uq5dd8wну нет, как вы корни в данном случае графически-то найдете?
@math-to-masses8 ай бұрын
Построив графики левой и правой части, можно сделать вывод, что эти графики симметричны относительно оси y=x. Вспоминаем, что таким свойством обладают обратные функции. А значит достаточно найти решение уравнения x^2-5 = x или sqrt(x+5) = x. Факт, что оба этих уравнения приводят к одинаковому уравнению, намекает, что мы не ошиблись, сделав вывод, что функции обратны друг другу. Решая квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0, получаем два решения, из которых подходит только положительный
@meshokshtuka71137 ай бұрын
А как-то аналитически, без графических построений можно обосновать, что уравнение сводится к x²-x-5=0?
@lukaskamin7556 ай бұрын
ошиблись конечно, т.к. решений два. Странно, если Вы построили график, чтоб определить обратность функций, неужели Вы не заметили, что точек пересечения две?!! и вторая совсем не лежит на биссектрисе y=x. Ваше предположение верно лишь для монотонных функций, вроде экспоненты и логарифма, или монотонных степенных (очевидно только нечетных степеней). В нашем случае у параболы 2 ветки, а корня квадратного только одна, и левая ветка параболы не является обратной к корню, соответственно не симметрична с ним относительно y=x (думаете не станете спорить). Еще пример графики тангенса и арктангенса, помимо точки (0;0) пересекаются еще в бесконечном множестве точек, так как у тангенса бесконечное число периодически повторяющихся веток, а арктангенса - всего одна
@lukaskamin7556 ай бұрын
@@meshokshtuka7113 конечно можно, и даже нужно, т.к. доказательство обратности графическим способом это очень странный и не совсем надежный способ доказательства. По классике нужно записать одну из частей как функцию y=f(x)? затем поменять переменные местами, выйдет x=f(y) (это и есть определение обратной функции), а чтоб получить явный вид обратной функции нужно решить уравнение относительно y, получится какая функция y=g(x) , она и будет обратной. Более простой вариант взять какую-то часть нашего уравнения, и подставить ее целиком вместо х в другую часть, вы получите х. Проблема лишь в том, что функции бывают немонотонными (то убывают, то возрастают), что мы и видим в этом случае x^2-5 - парабола, имеющая как известно 2 ветви, и каждое свое значение кроме значения в вершине принимает в 2х точках, поэтому целиком ее использовать как обратную нельзя, нужно выделить интервал монотонности (иначе одному х будет соответствовать 2 значения у), логично что в данном случае выбирают правую ветвь. Поэтому рассуждение о поиске решения только на биссектриссе 1-3го координатных углов ( у=х) НЕВЕРНО. Именно поэтому один из корней был потерян, так как график ф-ции с корнем пересекает обе ветви параболы, но обратной она является только по отношению к правой ветви, левая же ветвь в качетве обратной имеет функцию с корнем взятую с обратным знаком т.е. -корень(х+5), кстати если подставлять левую часть в правую, то Вы получите плюс-минус х, т.к. корень из квадрата равен модулю выражения под знаком квадрата (ленюсь писать формулы с корнями текстом))), эта неопредленность как раз связана с наличием у параболы двух веток
@dmitry53195 ай бұрын
да, я тоже так решил где-то за минуту
@natteft65934 ай бұрын
@@meshokshtuka7113 возьмём t = √(x+5). Тогда подставляе в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения,
@user-qn5nw3ve4t8 ай бұрын
Можно найти один корень используя свойство: если f(x) возрастает, то уравнение f(f(x)) = x имеет те же корни, что и уравнение f(x) = x. В нашем случае это будет уравнение sqrt(x+5) = x. Остальные корни можно найти разделив уравнение 4 степени на x^2-x-5
@mikola8248 ай бұрын
Беру от фонаря х=4 и подставляю в условие вроде проверки 16-5=√4+5 и 9=√9 мне кажется абсюрт
@user-od3vt8bl6f5 ай бұрын
@@mikola824 16-5 = 11)) 11=v9 ?
@mp4432 ай бұрын
Если f(x) убывает, это свойство тоже верно, нет?
@barsik54088 ай бұрын
Эта задача была для поступления в ВМК лет 20-30 назад. Ещё на форуме мехмата МГУ её решали.
@knopochka13045 күн бұрын
В обычной школе в математическом классе спокойно решали.
@nikitakoss36458 ай бұрын
чтобы решать таким образом нужно заранее знать что такой способ решения приведет к правильному ответу.
@user-ii8fg4jr7u8 ай бұрын
Не обязательно. Отрицательный результат - тоже результат. Если один способ не прокатит, можно другим. Это как метод проб и ошибок. Математика - она такая😃
@barsik54088 ай бұрын
@@user-ii8fg4jr7u Да, вы правы. Так как располагаешь временем и не влечет за собой ответственность в неправильном ходе решения. В других сферах деятельности может быть недопустимо. Например, опыты стоят времени и денег.
@Kkustm2 ай бұрын
Нет… если бы все решения можно было не решать, просто потому что ты не знаешь что это может быть правильным, то и решения не будет. Разве смысл задачи только в ее ответе?
@volodymyrbabych87618 ай бұрын
Формально ОДЗ записано с ошибкой. Там написано что x в квадрате больше 5. Но при этом учитывая правую часть под корнем, получаем что ОДЗ должно быть x больше корня с 5. В данном случае на финальный результат не влияет, но упущение ограничений в ходе решений не очень хорошо.
@user-pd7js7cy9m8 ай бұрын
Уточним. Уравнение : (1) sqrt[u(x) ]=v(x) - равносильно системе : { (2) u(x)=[ v(x) ]^2 ; (3) v(x)>=0 } . При этом , условие : (4) u(x)>=0 - выполняется автоматически для решения системы . А условие (3) необходимо для исключения корней уравнения (5) sqrt[ u(x) ]=-v(x) , которое при возведение в квадрат «передает» свои корни уравнению (2) . {заметим , что ‘-v(x)’ « ничуть не отрицательнее , чем ‘v(x)’ } . Например : (6) sqrt(x+6)=x и (7) sqrt(x+6)=-x . Из двух получающихся корней уравнения (8) x^2-x-6=0 - один : x=3 - корень (6) , другой : x=-2 - корень (7) . С уважением , Лидий
@volodymyrbabych87618 ай бұрын
@@user-pd7js7cy9m Полное ОДЗ x E [-5 ; sqrt(5) ] U [ sqrt(5); бесконечность). Ну а в данном случае допускается промежуток от минус бесконечности к -5, что ошибочно. Я не прав?
@@user-ig8de5jf6h Этот вариант не верный, я выше обьяснил почему.
@n.6628 ай бұрын
Уже и не помню этот способ, но именно тут он сам всплыл в голове, чтение мыслей. Спасибо, что напомнили
@natteft65934 ай бұрын
только этот способ далеко не самый простой, эта задача решается проще))) Странно, что у вас сложный способ всплыл)))
@user-ik4ch7wl3l8 ай бұрын
x⁴ - 10x² - x + 20 = 0 раскладывается как (x² + x + a)(x² - x + b) = 0 x⁴ - x³ + bx² + x³ - x² + bx + ax² - ax + ab = 0 x³| -1 + 1 = 0 x²| b - 1 + a = -10 x | b - a = -1 ab = 20 b + a = -9 b - a = -1 2a=-8 a=-4 b=-5 (x² + x - 4)(x² - x - 5) = 0
@user-xg9yp2cs5x6 ай бұрын
Подскажите, откуда взялось -10 в x²| b - 1 + a = -10 и -1 в x | b - a = -1.
@user-ik4ch7wl3l6 ай бұрын
В самом начале при x² было -10. - 10x²
@user-ik4ch7wl3l6 ай бұрын
И при x было -1 (как "-x").
@user-xg9yp2cs5x6 ай бұрын
@@user-ik4ch7wl3l Спасибо! А x³| -1 + 1 = 0, потому что x³ вообще не было. Теперь понятно. А как это способ разложения на множители называется?
@user-ik4ch7wl3l6 ай бұрын
@@user-xg9yp2cs5x разложение с помощью неопределённых коэффициентов
@Realalexandro8 ай бұрын
Всё гораздо проще и не надо ничего никуда возводить, и потом группировать немыслимым образом - это способ для "тугих"! С ОДЗ да тоже косяк. Оно должно быть такое, два промежутка: -5 получаем сис-му: x^2-b=a и a^2-b=x; вычитаем из 1го ур-ия второе получаем следствие из сис-мы: x^2-a^2=-(x-a); Дальше очевидно всё в одну сторону, раскладываем разность квадратов, выносим (x-a), получаем конструкцию вида (x-a)(x+a+1)=0 Отсюда либо x=a т.е. x=sqrt(x+5), либо x=-a-1 т.е. x=-sqrt(x+5)-1. Дальше решаем совокупность стандартным методом, пересекаем с ОДЗ, отсекаем в каждом случае по лишнему корню и вуаля, получаем тот же ответ! Очевидно, что найденные решения уравнения-следствия из полученной нами в рез-те исходной замены сис-мы будут и корнями сис-мы, а значит и исходного ур-ия. Что касается проверки того, нет ли у исходного ур-ия ещё каких то решений помимо найденных двух (а в теории их может быть до 4х т.к., если будем возводить в квадрат получим ур-ия 4й степени), то просто говорим, что справа строго возрастающая и положительная функция т.к. это радикал, а слева парабола, кот. на одной ветви убывает, на другой возрастает => графики функций могут иметь не более 2х точек пересечения или 2х решений для ур-ия, поскольку убывающую ветвь параболы монотонно возрастающая фун-ия с корнем может пересечь лишь раз, а вот возрастающую ветвь тоже не больше раза т.к. квадратичная фун-ия естественно растёт быстрее функции с радикалом! При желании более строго это можно доказать с помощью производных обеих функций и промежуточных значений на различных отрезках монотонности для параболы, хотя это и так очевидно по-моему.
@alvinareichert33912 ай бұрын
Класс!
@user-yp4sp8wd3oАй бұрын
С одз Вы неправы. Возводя в квадрат обе части такого уравнения, мы получаем, что подкоренное выражение равно неотрицательному числу при условии, конечно, что левая часть, в данном случае, неотрицательна. Условие неотрицательности подкоренного выражения лишнее в таких уравнениях.
@RealalexandroАй бұрын
@@user-yp4sp8wd3o, если бы мы возводили в квадрат, то ДА, но если вы не заметили (надо читать внимательнее, какое решение я предлагал), то данное уравнение возведением в квадрат вменяемыми людьми при помощи школьных методов нерешаемо или решаемо очень громоздко с большой вероятностью ошибки. Поскольку в квадрат мы не возводим и получается, что используется более сложный творческий метод решения, соответственно, ваша стандартная школьная логика поиска ОЗД тут неприменима. Ибо, если вы не учтёте ограничение x>=-5 (для подкоренного выражения), то в предлагаемом алгоритме решения не сможете отсечь посторонние корни, и получите в итоге не верное решение! Т.е. если вы не возводите в квадрат, то и преимуществом уменьшения ограничений по ОДЗ при приравнивании подкоренного выражения к квадрату левой части пользоваться не можете! Вообще тут вопрос философский как понимать что такое ОДЗ. Лично я его понимаю в расширенном виде - не просто, как область допустимых значений аргумента по ограничениям на подкоренные выражения, логарифмы и.т.п., но и как ограничения на аргумент при которых ур-ие в принципе разрешимо, ведь если левая парабола находится в своём "минусовом" коридоре, то и не отрицательному значению под корнем справа она никак не может равняться на этом промежутке! Отсюда в принципе не ошибка учесть все ограничения по ОДЗ, как это сделал я, даже если решать методом возведения частей в квадрат. Может это немного избыточно, но точно не ошибка, поскольку решения мы с таким ОДЗ точно не потеряем и сможем отсечь все лишние.
@AlexeyEvpalov8 ай бұрын
Строго говоря, ОДЗ только x+5>=0. Выражение x^2-5 имеет смысл при любом x. Неравенство x^2-5>=0 получено в ходе решения из определения множества значений квадратного корня, и ОДЗ не является. При возведении в квадрат, могли появиться посторонние корни, там необходимо указать x^2>=5. Решение уравнения относительно t=5, позволило перейти от уравнения 4 степени к двум квадратным уравнениям. Спасибо за оригинальный способ. Но это частный случай, дискриминант не обязан быть квадратом какого-то выражения. Можно решить методом неопределённых коэффициентов x^4-10x^2-x+20=(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)= x^4+(b1+b2)x^3+ (b1b2+c1+c2)x^2+(b1c2+b2c1)x+c1c2. Приравняв коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему b1+b2=0, b1b2+c1+c2=-10, b1c2+b2c1=-1, c1c2=20, откуда (можно подбором) b1=1, b2=-1, c1=-4, c2=-5. Получили ту же совокупность уравнений x^2+x-4=0 и x^2-x-5=0. Ответы те же.
@user-xc2gu5jg9n8 ай бұрын
Там суть в том, что x^2-5 равно квадратному корню какого-то числа. Если я правильно помню, квадратный корень не может быть отрицательным. То-бишь, конечно может быть, но для удобства принято считать, что корень только положительный. В школьных расчетах, так точно.
@AlexeyEvpalov8 ай бұрын
@@user-xc2gu5jg9n Согласен, неравенство x^2-5>=0 должно выполняться, как множество значений квадратного корня. Но это не ОДЗ, ведь функция f(x)=x^2-5 в правой части, без учёта левой, существует всегда. У Валерия Волкова есть ролик про ОДЗ, где это рассматривается подробно.
@Evgeny-27188 ай бұрын
@@user-xc2gu5jg9n Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа √(x^2)=abs(x). Определяется как АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА и никогда не может быть отрицательным! Это вовсе не из соображений удобства, оно здесь ни при чём. Во всех расчетах и всегда.
@cscs-zy3iq8 ай бұрын
Одз носит формальный характер. Под корнем не может быть отрицательного и квадратный корень из этого числа не отрицательный. Значит надо эти два условия записать и на время про них забыть
@user-vs6jw1zd8y8 ай бұрын
Одз к УРАВНЕНИЮ! Можно присобачить ещё ваше условие, но это лишнее. Ведь оно гарантировано после возведение в квадрат. А вот правая часть нет, а она обязана быть неотрицательной
@user-pd7js7cy9m8 ай бұрын
Именно этим методом , известный и уважаемый Валерий Волков решал именно эту задачу : (0) x^2-5=sqrt(x+5) - несколько лет назад . Уже тогда мною был предложен другой известный метод решения . (жалко не я придумал !😊) . Вводим новую переменную : (1) y=sqrt(x+5) ; (2) y>=0 . Получаем вместо (0) : (3) x^2-5=y . Возводим обе части (1) в квадрат и , после преобразований , получаем : (4) y^2-5=x . Исходное уравнение (0) равносильно системе : (2) ,(3) , (4) . Вычитаем почленно из (4) равенство (3) . Получаем следствие : (5) (y-x)*(y+x)=-(y-x) , которое равносильно объединение двух уравнений : (6) y-x=0 и (7)y+x=-1 . Тогда исходное уравнение (0) равносильно ОБЪЕДИНЕНИЮ ДВУХ СИСТЕМ : { (3) , (6) , (2) } и { (3) , (7) , (2) } . Они легко решаются подстановкой . Получаем Ваш ответ , полученный Вами НУ ОООЧЧЕНЬ остроумным методом. Разумеется ОДЗ написана неправильно : [ 1:34 ], но , в предлагаемом подходе , она вообще не нужна . Равносильность , при возведении в квадрат , обеспечивает условие (2) . В связи с развернувшейся в комментариях полемикой , уточним : как решаются уравнения вида : (8) sqrt[ u(x) ]=v(x) . Чтобы избавиться от корня « хочется» обе части уравнения возвести в квадрат . Получаем : (9) u(x)=[ v(x) ]^2 , которое содержит все корни (8) . При этом , ОДЗ уравнения (8) : u(x)>=0 для корней (9) выполняется автоматически .( на экзамене об этом надо упомянуть !!! ) Но , уравнение (10) : sqrt[ u(x) ]=-v(x) - при возведении обеих частей в квадрат «дает» то же самое уравнение (9) . Чтобы избавиться от этих «лишних корней» ( и именно поэтому !! ) , пишем дополнительное условие : v(x)>=0 . { заметим , что ‘-v(x) ‘ - ничуть не отрицательнее , чем ‘ v(x) ‘ . Пример : (11) sqrt(x+6)=x ; (12) sqrt(x+6)=-x ; после возведения обеих частей в квадрат , получаем уравнение : x+6=x^2 . Один его корень : x1=3 -корень уравнения (11) , другой - x2=-2 - корень уравнения (12) . Вот так . С уважением , Лидий
@pavlokravets70658 ай бұрын
Спасибо за развернутый комментарий. Элегантное решение! P.S. Автор видео на [ 1:34 ] как раз и написал дополнительное условие (я так понимаю, под ним подразумевается ОДЗ): v(x)>=0, но оставил его "как есть", как и упомянутый Вами Валерий Волков.
@sergponomar71605 ай бұрын
Вот по этой причине не дают Нобелевские премии Арифметикам, у них на простое решение всегда несколько ещё более сложных решений..
@user-xp6fw9gz8k2 ай бұрын
Предложенный метод выглядит подобранным задним числом, когда решения задачи уже известны. Вряд ли его можно будет регулярно применять в других задачах. Я вот сразу увидел как получить разложение в произведение двух квадратных трёхчленов. (x^2-5)^2- 5 = x Мы дважды применяем оператор - возведение в квадрат и затем вычитание пяти. В итоге приходим к тому же, с чего начинали. А что если уже после первого применения этого оператора мы возвращаемся в начало? То есть x^2-5 = x. Тогда очевидно повторное применение ничего снова не изменит. Отсюда имеем первые два корня. Останется разделить уголком многочлен четвёртой степени на многочлен второй степени x^2-x-5. Получим второй многочлен второй степени x^2+x-4, из которого найдём 3-й и 4-й корни.
@AlexeyEvpalov8 ай бұрын
Метод вложенной функции. С учётом x^2-5>=0, возведём уравнение в квадрат и перенесём 5, получим (x^2-5)^2-5=x, если f(t)=t^2-5, то получили f(f(x))=x. Пусть f(t)=t, тогда f(f(x))=f(x)=x, то есть x^2-5=x, квадратное уравнение x^2-x-5=0. Разделив многочлен 4 степени получим разложение (x^2-x-5)(x^2+x-4)=0. Совокупность таких же уравнение, Ответы те же.
@ivanovserg87954 ай бұрын
Вместо непонятных вычислений √17 и √21 надо пользоваться оценками сверху/снизу заменив их известными корнями √16 и √25
@nikut33774 ай бұрын
Да согласен, тоже не понравились эти танцы
@olgaturbasova58108 ай бұрын
Спасибо за интересную задачку.
@alexandermyasnikov70647 ай бұрын
Графики кстати красиво выглядят, становится очевидным из симметрии почему один корень лежит на y=x, правда пока не могу сообразить почему второй лежит так красиво на y=-x-1
@artyhere6 ай бұрын
Можно сделать замену z = (x - 5)^0.5. Тогда получится система из двух уравнений: { x^2-5=z; x=z^2-5 } что эквивалентно {x^2 - 5 - z = 0; z^2 - 5 - x = 0}, вычитаем второе из первого, получаем x^2 - z^2 + x - z = 0, а значит (x-z)(x+z+1)=0. А это значит, что либо x=z, либо z = -x-1. Подставляем в изначальное уравнение x^2 - 5 = z и получаем два квадратных уравнения x^2-x-5=0, что дает ответ (1+21^0.5)/2, тк z>0 и x^2+x-4=0, что дает (1-17^0.5)/2, так как должно выполняться условие z>0 => -x-1>0 => x < -1
@user-lc4ib4qb3q4 ай бұрын
У меня получилось Х = 2,79. Но я ничего не вычисляла, а просто подставляла цифры. Вначале выяснила, что ответ меньше 3 и больше 2, потом выяснила, что меньше 2,8 и больше 2,7 и в итоге получилось 2,79.
@Pablo_de_Lexandro2 ай бұрын
а где отрицательный корень?
@ivekrok37304 ай бұрын
Оба решения (оригинальная замена и метод частичной замены) - отличные!!
@user-xc2gu5jg9n8 ай бұрын
Интересная задача. Но, разве нам не нужно было в ОДЗ еще написать, что х+5>=0? То-бишь, что x>=-5. Т.к. если мы не планируем в комплексные числа ударяться - под корнем тоже должно быть не отрицательное число. В теории, ведь, мог быть корень -6 например, который бы в наше ОДЗ подходил, но давал бы под корнем минус единицу.
@user-vs6jw1zd8y8 ай бұрын
Вы абсолютно неправы. Повторите и разберитесь в понятии ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. В таких уравнениях, где одна часть корень, а в другой рац. выражение,излишне дополнительное условие. А вот требование рац. части быть больше или равной нулю обязательно! Потрудитесь открыть учебники с темой иррациональные уравнения вида f(x)=✓g(x) и разберитесь.
@dmitryavanesyan13104 ай бұрын
Мой учебник по профильной математике за 10-11 класс за авторством Алимова говорит, что нужно обозначить, что х>=-5. Тогда, если рассматривать совокупность x>sqrt(5) и x
@kripovender5 ай бұрын
Схема Горнера: «Я что, доя вас какая шутка?» Не знаю как в других школах, но у нас о ней в 9-м рассказывали, хотя школа не с математическим уклоном, а химико-биологическим…
@fireshadow49493 ай бұрын
А ничего, что для схемы горнера нужно подобрать один корень хотя бы, а здесь корни -0.5-sqrt(17)/2 и 1/2+sqrt(21)/2
@user-vr9hg1is9d8 ай бұрын
Посмотри как решал такие уравнения Андрей Щетников! Не надо делать нелогичные замены. Графический метод наглядный и логичный!
@user-tz1nd4hn6l5 ай бұрын
Графический метод неточен. Он лишь может дать подсказку в решении. Математика - это не живопись
@bim14308 ай бұрын
Шикарная задачка )
@Kukucapol_Pelmenev5 ай бұрын
если построить графики максимально точно, то можно определить примерные значения до десятых. смотря на ответ, можно сказать, что пересечения есть в точке x=~-2,6; x=~2,8.
@user-zv7dh4vh3d8 ай бұрын
Методом неопределённых коэффицентов решается очень просто
@brahamiriamshnaidman97338 ай бұрын
Это задачка наверняка из тех, что давали на олимпиаде. Могла быть у Сканави в группе В. Если не знать никаких задачников, кроме советских, то задача советская. 🙃
@erdgeschoss-bf3vc2 ай бұрын
Для олимпиада все-таки простовата
@knopochka13045 күн бұрын
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@erdgeschoss-bf3vc5 күн бұрын
@@knopochka1304 обычные школьники вряд ли такое решали. Если посмотреть вступительные на матмех тех лет, то там уравнения несильно выше по сложности. Те, кто готовился поступать на технические специальности, да, наверное, решали.
@sklishev5 ай бұрын
Если искать выражение x^4 - 10*x^2 - x + 20 в виде произведения квадратных трехчленов (x^2 + ...) (x^2 + ...) с целыми коэффициентами, но несложно получить x^4 - 10*x^2 - x + 20 = (x^2 - x -5)*(x^2 + x -4), откуда находятся все нужные корни.
@thebishop35888 ай бұрын
Прикольно) не зная математики, подгонять под ответ литературно-художественное решение на основе фантазий)) с ошибками, которые чудесным образом сокращают друг друга))
@krivega18 ай бұрын
Бля, лучше и не скажешь ))))))))))))))))))))))))))
@-mrGDV-6 ай бұрын
Ну после ОДЗ я для прикидки сделал графики л.ч. и п.ч., откуда видно, что решений ровно два Дальше я просто попробовал сделать замену самой неприятной части t=√(x+5) В итоге вышло уравнение t⁴ -10t² -t +20 =0 Но возведя оригинал в квадрат и перекинув вче влево будет то же самое x⁴ -10x² -x +20 =0 Значит корни у них совпадают, отсюда тоггда есть 2 возможных вывода 1ый x1=√(x1 +5) & x2=√(x2 +5) Тогда они объединяются в одно x=√(x+5), откуда x=(1±√21)/2 2й x1=√(x2+5) & x2=√(x1+5) Откуда у нас либо x1=x2, и снова первый вариант, либо {x1,x2}={(-1+√17)/2;(-1-√17)/2} Ну дальше проверяя корни остаются (1+√21)/2 и (-1-√17)/2 Если я не накосячил, то как-то так
@vbphysiologyexp6824 күн бұрын
Второй правильно.
@KTOTAMHAX4 ай бұрын
Не совсем понятно (забыл, что такое дискриминант и как раскладывать), но очень понравилось))
@WonderSpase2 ай бұрын
Спасибо, интересно, но хорошо бы проверить, хотя, конечно, это можно сделать и самостоятельно 🙂
@alexanderrogov37218 ай бұрын
потрясающая задача!
@user-bv3dj1zs7s8 ай бұрын
Проверка корней постановкой примерных значений это конечно да Слава богу, этому в школе реально не учат!
@igsoroko8 ай бұрын
Он проверяет на попадание в интервал. Точности в 1 знак после запятой достаточно.
@chastlyegor73058 ай бұрын
У советских школьников проблем с решением задачек быть не могло по определению(МА подтвердит))
@user-qq3qt3dj5r8 ай бұрын
ХАХПХПХПХАХАХАХХ ШАРИШЬ))))))))
@user-qq3qt3dj5r8 ай бұрын
Славные были времена :) помню, в 68-ом году сдавал вступительные в яйцеклетку матери. Там и встретил впервые данную задачу.
Ещё додуматься нужно, что именно 5 принимать за t.
@user-fg1yr1kh5k8 ай бұрын
2:18 Гениально! 👌
@kozerog755 ай бұрын
А в каком учебнике Вы нашли такую задачу?
@user-pf7ds9jc9x6 ай бұрын
какие же все в комментариях умные.я восхищена
@anagorny9 күн бұрын
Совершенно страшное решение у Вас, хотя и правильное. Эта задача проще всего решается введением параметра. Число 5 обозначаем за a, возводим в квадрат по известной схеме, и получаем относительно a квадратное уравнение с отличным дискриминантом и с отбором корней. После обратной замены получаем два квадратных уравнения (уже относительно икс), точно такие же, как у Вас. Ровно в таком виде эта задача есть в учебнике Ткачука (среди 100 задач на засыпку), она была очень давно на вступительном экзамене (устном) в МГУ на факультет ВМК, а также я лично давал её на устном туре олимпиады "Покори Воробьёвы горы!" по математике в Волгограде (выездной тур). Единственный школьник, который справился с ней (его решение было через обратные функции и графики), был нами принят в МГУ без дальнейших экзаменов (поскольку письменный тур он тоже прилично написал).
@Asterlibra5 ай бұрын
Это фактически уравнение вида: f(x) = f^-1(x), где f(x) = x^2-5. Или f(f(x)) = x, правда два корня будут лишние. Т.е. результат функции и результат обратной функции совпадают. Намекает на это то, что если корень обозначить за у, то получится такое же уравнение. Значит х=у=f(x), получаем одно квадратное уравнение, у которого положительный корень подходит. Второе квадратное уравнение получается по аналогу теоремы Виета для многочлена 4-й степени. Там удобно - коэффициент при кубе равен 0 и сумме всех 4-х корней, два из которых знаем. То же с произведением корней. Если другими словами - мы делим многочлен 4-й степени на многочлен 2-й степени столбиком. Остатка нет - значит все правильно. Решаем получившийся многочлен. Т.е. чистая алгебра. Однако признаюсь - когда решал, без читерства с графиками функций не обошлось.
@natteft65934 ай бұрын
возьмём t = √(x+5). Тогда подставляя в уравнение, получим t² -5 = √(t+5), т.е. t = x является решением исходного уравнения, отсюда x =√(x+5) получается квадратное уравнение. Но это решение находит не все корни. Остальные корни можно найти подставив найденые как корни уравнения 4-ой степени
@user-ym5wf2qi1g8 ай бұрын
Задачи по математике не могут быть советскими, православными, япоскими .... Зачем вы пытаетесь привлечь внимание такими дешёми манипуляциями. Оставьте вы уже это в прошлом.Его нет.
@user-wj7ws2wt2l8 ай бұрын
Можно было просто сказать, что задача из советского учебника. Поддерживаю
@clashfun23238 ай бұрын
вам придратьслишь бы к словам придраться, от того что человек будет яблоки называть тыблаками, они менее вкусными не станут
@user-ym5wf2qi1g8 ай бұрын
@@clashfun2323 так, а зачем мешать политику в математику?
@sacredabdulla56988 ай бұрын
@@user-ym5wf2qi1g потому что политика срёт в математику. Вы не замечаете этого?
@clashfun23238 ай бұрын
@@user-ym5wf2qi1g я пытаыслюсь донести, что когда он говорит советская задача, он не относит ее к определенной стране, он просто привык так выражаться, его фраза имеет тот же смысл, что и задача из советского союза
@user-vg5gl4nd5w8 ай бұрын
Красиво!!!
@shevaeva4 ай бұрын
Да это же легко, вторая часть ЕГЭ профиля. Часто подобное встречается
@biotel8 ай бұрын
Что-то я не помню в школе таких закидонов на олимпиадах
@0ver4ance8 ай бұрын
Да можно проще и не возводить в квадрат в начале. Переносим все в левую часть: X^2 - 5 - sqrt(x + 5) = 0 Потом делаем абсолютно нелогичный шаг, а именно прибавляем и вычитаем из левой части x: - x - 5 - sqrt(x + 5) + x^2 + x = 0 Делаем замену t = sqrt(x + 5) и получаем: -t^2 - t + x^2 + x = 0 и решаем относительно t: D = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 Меняем t обратно и получаем два уравнения: sqrt(x + 5) = -1 -x sqrt(x + 5) = x Возводим их в квадрат и получаем два квадратных уравнения: x^2 + x - 4 = 0 x^2 - x - 5 = 0 Ну а дальше дело техники)
@kot.ofsummerАй бұрын
Наконец -то не бредовая задача с неверным цсловием, а что-то действительно решаемое, да еще и не обычным способом! 👍
@maximprosv8 ай бұрын
Здравствуйте, почему бы нк разложить по формуле квадратов и сократить правую часть?
@AlexB-.8 ай бұрын
По формуле разности квадратов получится (x - корень 5) (x + корень 5), а в правой части под корнем выражение x+5
@dmxumrrk3328 ай бұрын
Сокращать уравнения на выражения, содержащие неизвестное - фигóвая идея. Даже если оно сокращается.
@user-pw2pz3hn5n6 ай бұрын
Есть похожие задачи с параметром, где степень многочлена относительно х выше второй, а относительно параметра а вторая.
@eugenestarostin15088 ай бұрын
Параболы y=x^2-5 и y=sqrt(x+5) симметричны отнoсительно прямой y=x и имеют 4 точки пересечения. Две из них лежат на оси симметрии. Поэтому один корень получаем из квадратного уравнения х=х^2-5 (больший, меньший отбрасываем из-за одз). Возводим исходное уравнение в квадрат, получаем уравнение 4-й степени, делим его на х^2-х-5, получаем х^2+x-4. Из 2-x корней последнего оставляем меньший, другой отбрасываем из-за одз. Все!
@dmitrytitov92325 ай бұрын
Интересный способ, но подходит конкретно для данного случая. В общем случае в таких уравнениях, если не решать уравнение четвертой степени "в лоб", применяя сложные формулы, нужно увидеть правильную замену t=f(x), чтобы получилось уравнение, не содержащее x, но решаемое более простім способом. Автор предложил оригинальный способ, который чаще усложняет задачу.
@user-nx5mh8kp4e8 ай бұрын
Решил методом подбора👌)
@irinav25355 ай бұрын
Необычно , но красиво!
@user-tc6yr8lx4u8 ай бұрын
Интересный метод!
@user-sq9lf6mt7g8 ай бұрын
Можно проще решить: х^2 - 5 =y x+5 = y^2 , тогда сложим и получим x^2 + x = y^2 + y первое решение x=y из которого следует уравнение x^2 - x - 5 =0, второе решение x^2- y^2 =-{x-y} y= x-1 уравнение x^2 + x - 4=0
@terspace36504 ай бұрын
Ну, действительно, можно заметить, что √(x+5) это ветвь параболы, повернутой на 90 градусов, причем вершина этой параболы (-5 0), а вершина x^2-5 это (0 -5). Очевидно, меняя -5 т.е подставляя другие числа гмт некоторых точек пересечения это прямая x=y. Немного побаловавшись с коэффициентами (подставив не 5, а 1 и 3), получим, что остальные точки должны лежать типа на прямой y=-x-1, да, действительно гмт прямая(не вся), что также несложное замечание, а т.е вместо того, чтобы решать исходную систему, мы просто найдем положительный корень x^2-5=x и отрицательный корень x^2-5=-x-1. Да, если t>1, то задача x^2-t = √(x+t) имеет решения: положительный корень x^2-t=x и отрицательный корень x^2-t=-x-1
@alikp418 ай бұрын
Можно из одного квадратного уравнения с х вычесть другое и Х^2 сократится.
@mkostya6 ай бұрын
Решил за 5 минут. Кто Сканави в свое время прорешал, тот сможет Решаем квадратное уравнение относительно пяти… И все получится 😅
@knopochka13045 күн бұрын
Подобные задачи в 90-е печатали в журнале МГУ для школьников. И очень любознательные советские учителя давали их решать обычным постсоветским школьникам. А задачи из обычного школьного учебника это всего лишь на удовлетворительную оценку. Ни на каких олимпиадах такие задачи не решали. Решали в классе обычные школьники. Загляните в современные учебники, не в те что в лицеях а в обычных школах в рамках обычной школьной программы. Складывается впечатление что учебник математики составлен для учеников коррекционных школ.
@PiterBelonАй бұрын
Благо дарю за интересное решение!!! 😀
@user-gu5dr9bx6c8 ай бұрын
ОДЗ: x>=~5, x^2>=5, т.е. x Є[~5,-sqrt(5)] или x Є [sqrt(5),infinity]. Пусть у=sqrt(x+5), тогда (y^2-5)^2-5=y. Если у^2-5=y, то уравнение удовлетворяется. Но тогда оно принимает вид (y^2-y-5)(y^2+y-4)=0.
@user-us2bg4tr1s8 ай бұрын
Можно заменить х+5=у^2...получится х=у^2-5 ....у=х^2-5
@user-wg9fw4pz6d8 ай бұрын
Подобная задача решается более просто графически и более наглядно. Строятся графики и береш точки пересечения. Это удобно когда небольшие числа. Для больших чисел можно график упростиь. Переносом запятой на несколько значений например при тысччах( 1000÷÷÷ 1,000)., Получается простой единичный график. Удачи. Приятно вспомнить детство. Графики полезно вводить в обучение они дают визуальную картинку и человеку проще понять что он считает. Интеграл для многих детей вроде сложно, а визуально это площядь кривого квадрата или прямоугольника, кусок круга,овала. Дети на математике должны играть а не мучатся. Картинка пугает ребенка меньше чем формула.
@user-ks9lt8vj2z8 ай бұрын
Странный вы человек.Графически вы увидите только две точки пересечения.Так как ответ в области иррациональных чисел о каком ответе идет речь?Или вы собираетесь строить графики на метровой кальке с шагом 0,001?Бред.
@user-wg9fw4pz6d8 ай бұрын
@@user-ks9lt8vj2z график рисуется не для точного значания , а для наглядноси правил ного решения.
@evgenyzhuravel51356 ай бұрын
@@user-ks9lt8vj2z , да, теперь школьники умные и знают, что такое octave/matcad, которому можно получить построить график с шагом 0.001... все, однако, работает...
@user-uk4nn6sx1v5 ай бұрын
видите просят не графическую
@user-ig9dy8sy5c8 ай бұрын
30 лет назад сдал экзамен по диф. уравнениям. ЗДЕСЬ НЕ ПОНЯЛ!!!!!!!!!😢
@nikname00147 ай бұрын
ну вообще подкоренное выражение не должно быть отрицательным т.е x>= -5 и x>=√5, т.е x>=√5
@user-iz5zx7lw7e2 ай бұрын
Какое практическое примение- для расчетов размера участка, вещи, их количества, предположение события и т.п. имеет эта задача и срособ ее решения, и каким обстоятельством, проблемой вызвана необходимость ее решения?
@samedy00Ай бұрын
Никакого. А что, должна?:)
@gavrielgavriel5 ай бұрын
Охренеть: в универе так не учат. Я первый раз такое решение вижу, зная, что уравнение четвертой степени в таком возрасте не решают, я сдался. Интересно.
@elenagorbunova29508 ай бұрын
Как может чему-то учить человек, который не знает, что такое ОДЗ для уравнения и делает ошибки в оформлении решения?!!!
@user-rj4qv2go8oАй бұрын
Я начертил графики функций y = x² - 5 и y = √(x + 5). Попались иррациональные корни, неповезло
@user-pk7yb2lj9uАй бұрын
В школе таких задач не решали, если это конечно, не специальная математическая школа. Уровень сложности вполне для вступительного экзамена в МГУ.
@user-bh2ct2zu1m4 сағат бұрын
Откуда вы взяли это уравнение? Примеры для олимпиады по математике? Нет такого в обычных учебниках
@mikewinny385627 күн бұрын
хорошая задачка, нам таких способов решения/замены в ЗФТШ при МФТИ не показывали (или я уже забыл :( )
@alexandrpashkovich26724 ай бұрын
Решал в школе и щелкал как орешки. Прошло 25 лет случайно открыл видео и осознал, что это бесполезные знания
@KOT_HA_KOKCE7 ай бұрын
Некогда смотреть видос и не знаю что там за задача, но у уравнения что на превью х=2,39)
@user-gx7qi7dz2y4 ай бұрын
Я пробував як на початку відео розкривати і пробувати застосовувати теорему Безу. Не зміг найти цілих коренів і вирішив подивитися на розв'язок у відео.
@Zagryzaec4 ай бұрын
Ну да, в школе зачастую такому не учат. Задача класная как и решение.
@romananufriev39098 ай бұрын
У меня проверка ответов заняла больше времени, чем у автора ушло на решение.
@Pozics8 ай бұрын
необычно
@user-fo3pk4yp5q8 ай бұрын
Уважаемый, не обращайте внимание на политические высказывания. Правильно всё написали.
@user-ht8sp1cu9v7 ай бұрын
Cтроим графики ф-ций у1= х^2-5, ОДЗ х-любое и у2=(х+5)^(1/2), ОДЗ х>-5 и х=-5; видим 4-е точки пересечения в ОДЗ х -- значит, существует 4-е решения уравнения у1=у2; поскольку ф-ция у2 обратная по отношению к ф-ции у1, то абсциссы графика у1 перейдут в ординаты графика у2, и наоборот, ординаты первого графика перейдут в абсциссы второго -- воспользуемся этим свойством: найдём координаты точки пересечения графика у1 и прямой у=х, решая простое квадратное уравнение х^2-5=х; отсюда находим первые два корня уравнения у1=у2, а именно х=2,79128..., х=-1,79128... Для определения ещё 2-х корней решаем уравнение х^2-5=-х-1, что даёт х=-2,56155..., х=1,56155... Можно показать, что пересечение любой параболы у1=х^2-const с прямой у=-х-1 даёт координаты точек обратной и прямой функций, пока const
@user-ht8sp1cu9v7 ай бұрын
исправление: графики у1 и у2 пересекаются на прямой у=-х-1, пока параметр const>0,75. При уменьшении const в область отрицательных чисел наступает момент, когда параболы у1 и у2 совсем не пересекаются, даже на прямой у=х.
@sergeyrybalko47162 ай бұрын
Координаты x точек пересечения графиков в левой и правой частях. А дальше пишем программу на компе для поиска этих x с требуемой точностью. В качестве бонуса такое более общее решение имеет некоторые возможности модификации левой и правой частей, поэтому лучше приспособлено для решения реальных, а не выдуманных и притянутых за уши, задач.
@UBAH262 ай бұрын
Страшно смотреть на иррациональные дроби😮
@leomemast6 ай бұрын
Одз с ошибкой. Единственное органичение - подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Откуда х больше или равен (-5). И все 4 найденных корня подходят. Наглядно, как уже писали, это можно увидеть, построив графики левой и правой части исходного уравнения. Это две параболы, которые имеют 4 точки пересечения, т.е. 4 корня исходного уравнения.
@user-wt5um5qk1g8 ай бұрын
Ностальгия. Мне уже 70. ОГУ.
@aleksandrrepin24908 ай бұрын
А проверку сделать ?
@user-td9kt2rj7s8 ай бұрын
И понятно, и понравилось... Но... эта "пляска с бубном" по примерной оценке корней уравнения - это ступор для большинства школьников.
@roden22088 ай бұрын
Продолбился с попытками всяких приведений, разложений и ничего не нашел. Не позволил себе проиграть и нашёл графическим методом пересечение двух кривых в точках -2,5615 и +2,7915. Очень интересно посмотреть решение математическое.
@roden22088 ай бұрын
офигеть! то есть мы сейчас найдём Т в виде ф(х), а затем подставим вместо Т? И что же дальше? )) я прямо как ребёнок перед днём рождения в ожидании подарка.
@roden22088 ай бұрын
Шикарно! Спасибо! Только вот... как я мог быть уверен в том, что при замене Т=5 у меня что-то получится в конце концов, а не приведёт к какой-то новой абракадабре, которую раскрыть будет еще сложнее? В чём хитрость подбора того, что именно нужно заменить?
@fdc_zotei522 ай бұрын
А решение то с подводным камнем. Школьник может легко оступиться, рассуждая, что если уравнение по t имеет единственное решение t=5, значит дискриминант его равен нулю. Но тогда ничего не получится.
@user-wx8do9tg6i7 ай бұрын
Красиво.
@andreyvorobyev64222 ай бұрын
может пропрбовать графики этих функций соствить и посмотреть, где у них пересечения?
@user-ix8we6ob2b2 ай бұрын
А разве ОДЗ не будет ОДЗ:х>5? Объясните пожалуйста а то не совсем понял почему квадрат икса. Просто как пример когда хотим посчитать корень 49 то выйдет же ±7 тогда почему х^2-5>=0?
@mikola8248 ай бұрын
Беру от фонаря х=4 и подставляю в условие ( для проверки методом тыка) 16-5=√4+5 , 9=√9 такого не бывает
@BaH4o3eH6 ай бұрын
Так а суть задачи найти такие Х где бывает. Вы вообще не понимаете, да?
@user-wq6ue4uo1w2 ай бұрын
делаем замену переменной t = x^2 - 5 если подставить в исходное уравнение, то t = sqrt(sqrt(t + 5) + 5) возводим в квадрат обе части t^2 = sqrt(t + 5) + 5 или t^2 - 5 = sqrt(t+5) т.е. уравнение относительно t принимает исходный вид, как для x Отсюда сразу следует, что t = (+/-) x т.е. мы имеем два квадратных уравнения и дальше как видео
@dmitrytitov92325 ай бұрын
При такой замене, если 25 записывать не как t^2, а как 5t, то будет еще более простое уравнение без лишних корней.
@alexanderbelkin59788 ай бұрын
Прошу прощения за тупой вопрос - а какое алгебраическое обоснование возведения левой и правой частей в квадрат? В том смысле, что для сохранения равенства мы можем умножить обе части на одно и тоже число, а так получается что левую часть умножаем на одно, а правую на другое?
@user-un2dm8jl3o8 ай бұрын
Левая и правая части равны-это же равенство. Поэтому равенство сохранится, при возведении левой и правой части в квадрат. Замените правую и левую части на, допустим, а. Получим а=а. Отсюда а*а=а*а
@secretsecret17138 ай бұрын
Потому что допустим sqrt(f(x)) = g(x) = a. То есть sqrt(f(x)) * sqrt(f(x)) = a*a и g(x)*g(x) = a*a, поэтлму мы можем возвести в квадрат
@user-xs8dj5jl2i8 ай бұрын
Как раз этому в школе учат. И это ИМХО очень пагубно сказывается на школьниках. По крайней мере в той части их жизни, которая как-то касается математики или логики. Людей с младых ногтей приучают хитрить и изворачиваться. Нет проблем с уравнениями 4-й степени и ниже. Лодовико (Луиджи) Феррари закрыл вопрос ещё в 16-м веке.
@user-ig8de5jf6h8 ай бұрын
Ну удачи решать корни из отриц. чисел
@ahahahahahahahahahaahahaha8 ай бұрын
Это ведь наоборот важно, уметь решать уравнение разными способами, а не только по шаблону
@user-xs8dj5jl2i8 ай бұрын
@@ahahahahahahahahahaahahaha на практике - нет. технические и другие практические задачи никогда не порождают уравнения с любовно подобранными коэффициентами. как умственное упражнение, пожалуй, ценность имеет. с этим спорить не буду.
@user-xs8dj5jl2i8 ай бұрын
@@user-ig8de5jf6h процесс давно автоматизирован вообще-то...
@JohnDoe-jw6mk8 ай бұрын
Господи, что за бред.
@MegaFranchiser8 ай бұрын
Где-то я уже такой способ решения видел
@DmitriNesterov6 ай бұрын
А мне комментарии понравились больше, чем видео😊
@1234garga2 ай бұрын
В този канал има много умни хора, много съм впечатлена. Математици ли сте, внимавали сте в часовете по математика, или обучението по математика в Русия е на много високо ниво? Интересно ми е да разбера.
@moscasanzara58564 ай бұрын
На протяжении всего невероятного решения я ждал провкрку на экран, но так и не дождался.