Спасибо за видео.

Отлично!

Мой вариант. Уравнение окр. X^+Y^=R^. Для окр. R=8 при значении Y=1 X=^ из 64-1 и равно 3* на^ из 7 . Для окр. r=4 (точка отсчета от ее центра, он находится , как бы, головой вниз) и y =3 для малой окр. Это Y=1 для большой окр. При Y=1 X=^ из 64-1=63 и равно 3* на ^ из 7 . Длина всей хорды АВ=6* на ^ из 7 . Для малой окр. при y=3 x=^ из 7 , МК=2* на^ из 7 . Извините - повторился.

теоремой Пифагора решил. От центра малой окружности построил прямоугольный треугольник к кусочку хорды внутри малой окружности. 16=a^2 +0.25x, от центра большей к большему кусочку хорды 64=(4-a)^2+2.25x^2. Через систему уравнений если высота малого треугольника равна a, то a*(a+1)=12 ; х^2=16+4*a. первое решил подбором, a=3, ну а x=корень из 28, около 5,29. задача интересная.

То, что вертикальный диаметр - это серединный перпендикуляр к центральному отрезку - это прям мощная подсказка. Доказывается без труда: центр большой окружности равноудалён от концов отрезка длиною 3x, значит, основание перпендикуляра на этот отрезок делит его пополам: слева 3x/2. x забрали, осталось x/2 и так же справа. Этот перпендикуляр обозначим y. Далее я рассмотрел два равнобедренных треугольника: снизу, с основанием 3x и высотой y и сверху с основанием x высотой 4 - y. Боковые стороны первого и второго треугольников - это радиусы окружностей: 8 и 4 соответственно. Дальше два Пифагора: y² + (3x/2)² = 8² (4 - y)² + (x/2)² = 4² Умножим второе на 3² (12 - 3y)² + (3x/2)² = 12² И вычтем первое, тогда (3x/2)² уничтожится, останется уравнение относительно y, которое после раскрытия скобок и прочих простых преобразований примет вид: y² - 9y + 8 = 0 Корни легко найти по теореме Виета: 8 и 1. Первый корень, очевидно, не удовлетворяет условию задачи, но он имеет тот смысл, что при нём отрезок сжимается в точку (x = 0) в верхней части большой окружности, которая отстоит от её центра как раз на расстояние 8. Второй корень вполне рабочий. Подставляя его, к примеру, во второе уравнение, получаем: 3² + (x/2)² = 4²; (x/2)² = 7; x/2 = √7; x = 2√7. Это ответ.

Здравствуйте, Я решила через хорды в большойи малой окружности❤

как-то ничего в голову не лезет... ну можно маленький отрезок OE обозначить за t... и выписать хорды для обеих окружностей... t(8-t)=x^2/4 (8-t)*(8+t)=(9/4)x^2... ну и домножив первое ур-е на 9 и вычев из второго первое, получим t^2-9t+8=0... корни 1 и 8... выбираем 1...x=2√7

Очень красивое решение! А я не стал заморачиваться и просто через пересечение хорд решил. С научным калькулятором😂 (нуууу, чтоб не ошибиться)))

Так, стойте. Я использовал метод умножение хорд 4.5*3.5=1.5*1.5*х*x 7=x*x. Корень из семи. Откуда двойка взялась??? Аааа радиус 8, а не диаметр)))

Обозначил кусочек диаметра меньшей за А, составил уравнение, связывающее А с Х и диаметром 8. Но оно не уменьшает неопределённость, так как для любого случая подойдёт. Выразил уникальность случая через второе уравнение, чтобы эта хорда была равна трети той хорды. x/2 * x/2 = a*(8-a) ; a^2 + (1,5x)^2 = 64. Нашёл А = 1 (дискриминант там будет 49))). По произведению кусков хорд нашёл x = 2\|7|

Как обычно - уйма решений. Надеюсь мое не затеряется. Пусть ЕК=x (это половина x из видео). S - центр малой окружности. Тогда из △SKE получаем SE=√(16-x²) а из △OBE следует ОE=√(64-9x²). Так как SE+OE=SO=4, получаем уравнение: √(64-9x²)+√(16-x²)=4, которое вначале ужасает, но если отделить √(64-9x²)=4-√(16-x²) и возвести в квадрат, то после упрощений приходим к √(16-x²) = x²-4. И если снова возвести в квадрат, то свободный член уходит, так что получаем x⁴-7x²=0, единственный разумный корень которого x=√7, а длина каждого из отрезков в два раза больше. Кстати, у меня также решение уместилось на одном небольшом листе, только вместо апельсинового сока я довольствовался ... компьютером с чертежом на экране. А как доказать, что AB⟂PT? Понятно, что если нет перпендикулярности, то диаметр малой окружности, перпендикулярный к хорде не сливается с OP и следовательно не является диаметром (и осью симметрии) большой окружности, так что AM ≠ KB. Но можно ли такое рассуждение считать строгим доказательством?

То, что здесь диаметр перпендикулярен хорде, сама по себе хорошая задача...

никогда не решаю задачи "Доказать, что ..."

Посмотрел. Оказалось - близко Вашему решению. Правда, на 2 линии меньше😅

можно ещё теоремой синусов: sin(2a) = 3/2*sin(2b), tg(a) = 3tg(b). отсюда несложно найти sin(b) и cos(b), а значит sin(2b), x = 8*sin(2b).

Ещё одна "Звезда Смерти". )

Объясните пожалуйста, почему (1) : (2)? Не понимаю я эти моменты. Особенно есть 2 уравнения, и: "а давайте их умножим или сложим друг с другом". С чего бы их складывать или умножать?

Обозначим точку пересечения диаметра большей окружности с хордой АВ т. Р , верхняя точка диаметра Д , нижняя С , ОР=Y , из свойства пересекающихся хорд - АРхВР=ДРхСР , (3/2)Х*2х(3/2)Х*2=(2r-Y)(R+Y) , (9/4)X*2=(8-Y)(8+Y) , (9/4)*2+Y*2-64=0 (1) . Точку пересечения хорды АВ с меньшей окружностью обозначаем за К , проводим ОК и ДК , образовался прямоугольный тр-к ДКО , так как гипотенуза ДО лежит на диаметре меньшего круга . Из тр-ка ДКО по теореме Пифагора - КО*2=ДК*2=ДО*2 (2), КО*2=(Х/2)*2+Y*2 (2) ДК*2=(Х/2)*2+(2r-Y)*2 ДO*2=(2r)*2 , подставляем полученные значения в уравнение (2) : (Х/2)*2+Y*2+(Х/2)*+(8-Y)*2=8*2 после преобразования - Х*2+4Y*2-32Y=0 (3) , решая уравнение (1) и (3) получаем Y*2-9Y+8=0 , Y12=9/2+-\/81/4-8=9/2+-7/2 , Y1=8 не может устраивать условия задачи , Y2=9/2-7/2=1 , У=1 , подставляя У=1 в уравнение (3) - Х*2=32у-4У2=32-4=28 , Х=2\/7 .

ОЕ = y. Система: 1. Пифагор в тр. ОВЕ. 2. Ср. геом. в тр. ОРК. Делить почленно (1) на (2). y = 1. R = 2 корня из 7. Я в дороге, подробнее (если понадобится) - позже.

Задача симпатичная. Не понял только, кто ж её три дня решал? (Наверное, как обычно, в Оксфорде?). Я уложился в чашку чая(правда к ответу уже остывшего). Итак, имеем две пары пересекающихся хорд. Пусть ОЕ--пересеч. диаметра и синей=у. Отсюда: (8-у)*(8+у)=(3/2x)^2 (8--y)*y=(x/2)^2 у=1, х=2\/7

Обозначим у расстояние от О до хорды. По свойству пересеч. хорд ииеем (1.5х)**2=(8-у)(8+у) х**2/4=у(8-у) у=1 х=2√7

А откуда знаем что три отрезка хорды равны?? 😢

Причём волшебно получается, что угол OBK в три раза меньше угла KPO. (примерно 7 и 21 градусов)

Достаточно провести только диаметр и применить теорему о пересекаются хордах для обеих окружностей. Больше ничего не надо строить.