спасибо, ваш отзыв о качестве иллюстраций особенно ценен! :) в этом смысле, смотря на ваши видео, мне еще есть куда расти. :)

рад, что понравилось! :)

спасибо за такой воодушевляющий отзыв! :)

стараюсь интересные искать :)

спасибо! рад, что понравилось! Ютьюб так работает :)

надеюсь, со временем будет таких больше

здравствуйте. не знаю, какая у вас функция получилась после первого интегрирования, я сейчас попробовал на компе посчитать - да, там синус в знаменателе, но функция не является при этом неограниченной, предел в 0 и в пи равен конечному числу. так что это при интегрировании нет вообще никакой проблемы. кстати, даже если функция была бы неограничена на отрезке интегрирования, то это еще не значит же, что интеграл расходится :) например, интеграл от 1/√х при х от 0 до 1 (функция неограничена в нуле, но интеграл равен 2)

@@Hmath хм. у меня вышла первообразная от p*√(r^2-p^2*sin^2a) такая: -1/(3*sin^2a)*(r^2-p^2*sin^2a)^(3/2). тяжко так писать, но, надеюсь, понятно, интеграл прозрачный. и вот тут, если подставлять пределы от 0 до r(пределы нашей области), окажется следующий повторный интеграл по da: -1/(3sin^2a)*r^3*|cos^3| + 1/(3sin^2a)*r^3. вот это мы интегрируем от 0 до 2pi. и вот прямо сейчас, дописав эти строки, я вдруг резко понял свою ошибку: я их разделил на два интеграла, и пытался искать по отдельности. отсюда и получал, что нужно вычислить интеграл вида 1/sin^2a от 0 до 2pi, умноженный на константу, а уж это-то должен быть действительно неограниченный интеграл. но мне нужно было их нн разделять, а подвести все под общий знаменатель и стараться преобразовывать. я не заметил, что у нас тогда в числителе будет бесконечно малая в 0 функция, которая к 0 стремится так же, как и функция в знаменателе(если 1-cos^3a раскрыть, там будет множитель 1-сosa а снизу только sin^2, предел в 0 такого отношения есть и равен 1/2). но спасибо вам за ответ, если бы вы не написали и я не попытался бы объяснить поконкретнее, наверное, вопрос бы этот не решился так быстро. очень хорошо, что вы отвечаете на комментарии, люди это, несомненно, ценят)

рад, что разобрались :) я по вашему описанию просто вбил в маткад и быстренько посмотрел, что получится. так обычно проверяю.

ага, тут уже это писали в комментах :)

совсем общей нет, там получится интеграл, который только численно и можно найти. Но при разных диаметрах, если оси цилиндров совпадают (и пересекаются под прямым углом), то скорее всего интеграл придет к эллиптическим интегралам.

Спасибо большое!

сложнее! насколько я помню, вроде, если оси цилиндров пересекаются, но радиусы разные, то это приведет к эллиптическим интегралам. А если и оси цилиндров не пересекаются, тогда вообще ничего хорошего не получится.... интегралы только приближенно численно вычисляются.

3 цилиндра могут пересекаться по-разному. Ну и думаю, очевидно, что описать какое-либо решение в комментарии невозможно.

@@Hmath по трём взаимно перпендикулярным прямым, являющимися осями этих цилиндров

Интересуют идея

en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid последний абзац. Но лично мне там не особо понятна "идея".... но формула там написана. На ютьюбе мне попадалось как-то видео (на англоязычном канале, но уже не вспомню у кого)

@@Hmath спасибо

раньше с этим сложнее было, теперь куча технических средств есть - можно построить всякие поверхности :)

@@Hmath согласен. Но все равно нужно стараться решать без техники, чтобы развивать воображение, а оно, как известно, важнейший инструмент науки

если сделать пересечения большего числа цилиндров (так чтобы у них были одинаковые диаметры, и при пересечение все оси лежали в одной плоскости), то можно увидеть, что чем больше будет цилиндров пересекаться, тем ближе фигура будет к шару :) соответственно в предельном случае, при бесконечном числе пересекающихся цилиндров, получим шар :) т.е константа как раз будет стремиться в итоге к пи. Надеюсь, что-то понятно из моего коммента :)

@@Hmath всё абсолютно понятно! Совпадение или нет, но я подумал об этом, и тут же вы ответили тем же. Спасибо)

а что при этом получится? :) вообще, например, объем можно найти, "проинтегрировав площадь сечения" (и даже тут можно таким способом воспользоваться). Т.е если мы, например, найдем площадь сечения тела, плоскостью перпендикулярной оси ОХ (понятно, что в каждой точке будет разная площадь сечения, т.е она будет зависеть от х) и потом проинтегрируем по х, то получится объем тела.

@@Hmath V' = (16/3r³)' = 16r² = S, хих)))

ааа, забавно :) интересно, для каких тел еще так работает? :)

@@Hmath для шара точно работает)

@@Hmath , а разве трюк с производной для объёма и интегралом для площади работает не только для тел вращения?

может в какой-то из параллельных вселенных это так и есть ;)

вроде синусоида должна получится, но сам что-то я не помню, как это доказывается. подумаю :) вот ролик на другом канале есть про это: kzfaq.info/get/bejne/f5xhjcSKxtDRYac.html