Is There a Line Passing Through Exactly 2 of N Points on a Plane? [English Subtitles]

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evima lab

Күн бұрын

We will prove the Sylvester-Gallai theorem. No prior knowledge is required.
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X: / evima0

Пікірлер: 134

@Yurunao Ай бұрын

よくわからないままに論破された

@user-oo8hg1rh3h Ай бұрын

数学解説の問題とは思えないほどテンポが良くて驚き

@KeioAccelerg Ай бұрын

これこそ東大の本来出すべき問題なきがする

@zouo-from-Taikonotatsujin Ай бұрын

@@KeioAccelerg難易度が低めそして厳密に行くならめんどい

@user-sv6ep5yh2l Ай бұрын

誘導なしならむずくね

@SaeUeda-dj3gj Ай бұрын

京大っぽさの方があるかも。どんな四面体も１つの外接する球を持つことを示す京大の問題とかはこれの三次元拡張バージョン

@MuirHead-up6pf 23 күн бұрын

@@KeioAccelergこういうこと言うやつ大体東大数学知らないよね

@azmanji Ай бұрын

すごい簡潔な証明で感動すると共に背理法のイカれっぷりもよく分かる

@user-sg5wt8tp4r Ай бұрын

もっと評価されるべき動画

@user-ci4sp1nh4p Ай бұрын

とんでもなく素晴らしいチャンネルを見つけてしまった………。

@fuwakiki Ай бұрын

うおおすげえええ感動した

@ryosuke8093 Ай бұрын

最小距離のペアとなる直線は２点しか通らないという定理が成り立って、そのペアは必ず存在するから、少なくとも１つ以上は存在すると言えるということ？！

@evimalab Ай бұрын

はい。（「すべての点が同一直線上にあるわけではない」「点の個数は有限」の二つから、最小距離のペアが必ず存在することがいえます。）

@user-bd7ij9jh3n Ай бұрын

すげぇ簡潔な証明で感動した

@user-lp2zv8hy6b Ай бұрын

良い解説だった！

@user-dj4sv1km8k Ай бұрын

背理法で一瞬で察するの好き

@user-up9ig2to3y Ай бұрын

テンポ大好き

@YH-pf7cq Ай бұрын

こういうチャンネルを待っていた人は多いのでは！？

@user-ut7ch1dh8x Ай бұрын

無数にあるだろ見つけてないだけで

@user-oc4tt2fg1d Ай бұрын

@@user-ut7ch1dh8xそういう事を言いたいわけじゃないと思う

@視聴者卿ボンドルド Ай бұрын

一昔前によく広告で出てきた「試験管の色水を色ごとに分けるゲーム」はどんな順番で色水が入ってても必ず一色ずつに分けることができるのか気になるちょっと考えてみたけど自分の頭じゃ無理だった

@FFplayer_RUNOMA Ай бұрын

ハノイの塔みたいなやつですかね？

@zouo-from-Taikonotatsujin Ай бұрын

空きがどう言う感じなのかが重要だと思うなぁ

@user-se5ei8eb1u Ай бұрын

わかりやすい。こうゆうのって文章だとわかりにくいけど、視覚的にするとわかりやすい

@l__cryptograph__l Ай бұрын

中3でも分かる説明ありがとうございました！

@user-nq5ho9fb7n Ай бұрын

なんだこれめっちゃ気持ちいい

@qqum8051 Ай бұрын

これ新潮文庫の『フェルマーの最終定理』の補遺に置いてあってあまりにも鮮やかで最初読んだ時全然わからなかったな

@shinorioUW Ай бұрын

すげええええええええええええ！！！！！！！！！！！マジで声出ました。初見ではどんな風に証明するのか皆目見当もつかなかった文系なのですが、こんなにコンパクトに証明できてしまうんだと感銘を受けております。

@spaceybread Ай бұрын

This is pretty cool! It reminds of Q2 from the 2011 IMO with the lines on pivot points

@yn901 Ай бұрын

感動したチャンネル登録しました

@boku6rin 29 күн бұрын

いつの間にか背理法になってんのゾクゾクする

@matsuokenshirou Ай бұрын

おお！チルノと同じタイミングで感動したw

@user-qg4xz9zf2v Ай бұрын

無限個配置して良ければ全ての直線が3点以上通るようにできるのかな...と思ったけど考えてみれば座標平面の格子点全てに置けば当然全て3点以上(というか無限点)を通りますね最短距離のペアが存在しない(無限に0に近づく組み合わせをとれる)からこの証明が使えないと

@user-hf6ed9xx1z Ай бұрын

こういうの好き

@npsum-tm8ly Ай бұрын

これはすごお---!!!

@user-oi2dn9fc5f 16 күн бұрын

チルノの「最低でも」って言葉が分かりづらくて一瞬つまづいた。これは「必ず二点しか通らない」でいいんじゃない？でも論理が整然で纏まってて綺麗だし、その整然さや綺麗さをこの動画のコンパクトの良さと、短さがまさに体現してて見やすいし面白い。いい動画だね

@user-yk5ij7ct7g Ай бұрын

めちゃくちゃおもしろい

@user-777ntl Күн бұрын

5回見てやっと理解したけどすげぇ！これ自力で思いつく自信ないわ…

@user-qr9is3cg3u Ай бұрын

目から鱗だ…感動した👍👍👍👍

@hitsuki_karasuyama Ай бұрын

天才だろ、こんなの絶対思いつかない

@ManabuMathmath 23 күн бұрын

とても綺麗な証明ですね。ところで、この問題って数学的帰納法を用いて証明することが可能なのでしょうか

@user-kk5zd7ow1j 8 күн бұрын

n=kの時存在するとして n=k+1の時その直線上にあるような点を選ばない保証はないから無理

@user-oy6fl9ru8g 10 күн бұрын

面白いですね。次元増やしたりしても簡単に示せるんですかね？

@hitsuraba 19 күн бұрын

背理法強すぎる

@agfeecyanide2504 Ай бұрын

無駄が一切ない動画で好き

@user-ih1cf9pz2x Ай бұрын

鮮やか

@stephenbachmann1171 Ай бұрын

英語のサブタイの質も高くて良き

@user-cn1po4ox9w Ай бұрын

んにゃぴ…よく分からなかったですね

@Potoporia 7 күн бұрын

一対一対応 is 至高。

@user-mn1ud5tf6w Ай бұрын

えぐいチャンネルや…背理法か…

@user-wk2vf2te4c Ай бұрын

今回の問題について質問です。点と直線の距離が最小である点と直線について、点から引ける垂線の足に対して直線上の点が全て片側のみに存在することもあり得るのでは無いでしょうか。その場合、今回の解法は使えないと思うのですが、どうでしょうか。

@tarosao Ай бұрын

1:04 2点以上なので、偏った場合も想定されている

@user-wk2vf2te4c Ай бұрын

なるほど。少し勘違いをしていたようです。ありがとうございます。

@1z_ Ай бұрын

点との距離（緑）が最小の直線を選び出さなくても、 3点を通る直線（青）を適当に選んで、点との距離がより小さい直線（水色）を作図すればいい作図した直線（水色）が3点を含んでいるなら、より点との距離が小さい直線（水色）を作図できる点の数が無限ならこれを無限に繰り返せるが、有限だと最後に2点しか含まない直線を作図して停止する

@OooooooooooAAAAEAAIAUJOooooooo Ай бұрын

この証明をどこかで見た記憶があるのに、何で見たのか覚えてなくてムズムズするわね

@ytss554 Ай бұрын

たまってるわね　シゴいてあげる

@Mr-hs2qm Ай бұрын

何かどこかでみたことあるはずの問題なのに、どこだったか思い出せない

@user-xx3iy6nt4i 26 күн бұрын

直線が2本以上の証明はできますか？(思考力の停止)

@xero9xero Ай бұрын

無限降下法ってやつか

@pepshi Ай бұрын

おそろしくスマートな解法、オレでなきゃ見逃しちゃうね

@ossss2985 Ай бұрын

結構長い間未解決だったけど証明がシンプルでびっくりされた問題だというのを最近どこかで読んだ記憶があるが、何だったのか思い出せない

@PUYOPUYO22 16 күн бұрын

テンポが速くて無駄に長くないのがいい。よびのりとか無駄に長くって広告つけたいのか伸ばしまくりだったから。

@_-.-_lIl 7 күн бұрын

よびのりは、理解しやすいように動画を作ってるのよ。この動画は、テンポ良く進むから頭いい人には分かりやすくてコスパの良い動画なんだろう。だけど、この形式だと何度も観てようやく理解する人、何度見ても理解できない人が多数出てきてしまう。頭悪い人にはめちゃくちゃコスパ悪い動画なんだよね。よびのりは、後者の人にも一発で理解してもらえるように心がけて動画を作ってると思うんだよね。そのためにあれだけ長くなってしまう。無駄に伸ばしてるんじゃなくて、理解しやすくするための工夫だよ。きっと。

@__yuper__ Ай бұрын

すごお

@user-er5tm2km3u Ай бұрын

予備校で最後に講義受けた問題だ懐かしさ

@user-sanari Ай бұрын

こういうの図とかグラフだと分かりやすいし理解しやすいんだけど、いざ証明するってときにどうやって書けば良いのか分からないんだよな

@user-ud8gl9qk6m Ай бұрын

照明方法かしこ

@user-go3ix1mp5c Ай бұрын

またシンプルで美しい証明ですね。別の証明も考えてみました。 (証明に抜けがある状態でコメントしてしまったので、再投稿失礼します。証明できているはず…できていなかったらすみません……) ------ 有限個の点それぞれを結んだ直線のうち、直線上の点を除く全ての点がその直線によって分画された片側に存在するような直線について、それぞれの直線上の最も離れた2点を結ぶ線分によって構成される多角形を描く(以下では「上記手順」と呼ぶ)。すると、全ての点はこの多角形の内側もしくは辺上に存在する。このとき、多角形の全ての角は180°未満である。辺上に頂点以外の点が存在しない場合、その辺を延長した直線は2点のみを含む。多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在する場合、任意の頂点Bのみ除いた全ての点で「上記手順」によって多角形を描く。すると、1番目の多角形(n角形)の辺ABおよび辺BC上には点が存在するために、点Bを除いて新たに描いた2番目の多角形の頂点の数は(n+1)個以上である。 (k+1)番目の多角形の全ての辺上に頂点以外の点が存在するとき、 ①(k+1)番目で新たに3点以上の頂点ができた場合、 (k+1)番目で新たにできた頂点のうち、k番目の多角形の辺上に無い任意の頂点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。 ②(k+1)番目で新たにできた頂点が2点の場合、k番目の多角形の辺上にあるそれら２頂点のうち任意の1点を選び、その頂点を除く全ての点で「上記手順」によって(k+2)番目の多角形を描く。 ①もしくは②を繰り返し、新たにできた辺上に頂点以外の点が存在しなくなったとき、この操作を止める。多角形の頂点の数は(n+k-1)個以上となるが、存在する点の個数は有限なので、いずれ辺上に頂点以外の点が存在しない辺が生じる(そのような辺が無い場合は①②を続けられるため)。上記手順で生じる多角形は常に全ての内角が180°未満であるため、任意の辺は隣接した2辺の傾きを超えない。つまり、最終的に生じる「辺上に頂点以外の点が存在しない辺」を延長した直線によって分画される片側にのみ、①②で除かれた全ての点が存在し、この直線上には存在しない。したがって最終的に生じる辺を延長した直線上には２点のみが存在する。 ------ イメージとしては、有限個のピンがボードに刺さっていて、それらの周りに輪ゴムがかけられており、頂点のピンを抜いていく感じですが、かなり冗長な説明になってしまいました。無限個の点ならばこの限りでは無さそうですね。

@kk-sm3ws 27 күн бұрын

理解できなくて4回くらい見直した最後に2つの直線が交差するけど、後から追加されたほうの直線からするといま出来上がってるこのペアは最短距離ではない、ということでいいのかな

@tamagoegg5409 Ай бұрын

こんな証明どうやって思いついたんだ

@tetePenguin Ай бұрын

ワイが理系ではない事が証明された

@user-uz7hj9rd7x Ай бұрын

直感的には行けそう

@MS-gq4gx Ай бұрын

なんかもはや証明より問題の方が長い気がしますねw Wikipediaみて改めて見ると問題に対して使うものが高等すぎる気もしますが1発でいけるに越したことはないですね！

@user-yg4ch1kb5s 24 күн бұрын

すっげえスッキリするな

@user-ev6iw3ke8e Ай бұрын

1:26～結論が俺の頭じゃさっぱり分からなかった…。近いのが分かると何が嬉しくて、どうして3点にならないのかが理解できなかったよ……

@SaeUeda-dj3gj Ай бұрын

背理法です。点と直線のペアのなかで、点と直線の距離が最小になるものを考える。直線に3点以上点が含まれていると仮定すると、もっと距離が小さい点と直線のペアが存在することになるから、最初にした距離が最小になるという前提に矛盾する。よって、直線に3点以上点が含まれているという仮定が間違っていたことになり、そもそも直線には必ず2点以上点が含まれているから、点と直線の距離が最小となるペアの直線に含まれる点の数は2つである。どんなにランダムに点をおいても距離が最小のペアは必ず存在する(一直線に点がある場合を除く)から、直線で点が2つだけ含まれるものは必ず存在する。ということです。

@brunnhilde 26 күн бұрын

私も全く理解できないです。何をしようとして最終的に何が証明されたのかもよくわかりません。

@JD-is8yg Ай бұрын

すげー

@thomasyang9517 Ай бұрын

switching up the touhou characters every episode will drastically improve how the videos will do in the algorithm, trust

@evimalab Ай бұрын

Do you have evidence (ideally, your channel)?

@thomasyang9517 Ай бұрын

uhh *sweats profusely*

@p0utan Ай бұрын

無限遠点さえあれば…

@glunp789 Ай бұрын

九大　2024 文理共通第四問で三点バージョンが出ました。

@achamongi Ай бұрын

自分がアホすぎて逆にテンポいいのが理解できない

@user-cz1tb1yo4v 15 күн бұрын

まじで声出た笑

@user-rb1jf9hn1c Ай бұрын

1:30こっちの方が近いとか言うけど、そこの証明がほしいな。

@evimalab Ай бұрын

最初の点と直線のペアの点（明るい緑）を P、直線に P から下ろした垂線の足（暗い緑）を H、 H で分割された半直線上の二点（青+黒）のうち H に近い方を Q、遠い方を R、直線 PR に Q から下ろした垂線の足を I とします。 PH > QI (*) を示します。二つの直角三角形 PHR と QIR は相似であるため（∵∠PRH = ∠QRI）、PR > QR がいえれば (*) が示されます。任意の直角三角形について斜辺は他の辺より長い（∵三平方の定理）ため、PR > HR (1) です。 Q の定義より HR ≧ QR (2) です。 (1) と (2) より PR > QR がいえ、(*) が示されました。

@user-se1kk2xd4l 26 күн бұрын

点だらけにしてしまえば、何かしらかすめてしまう

@sakuba-na Ай бұрын

分かりやすく離してくれた線の影響か無意識のうちにミスリードされてた。注意しないとやばい俺

@YOU-ur8vo Ай бұрын

衝撃的　エレガントな証明とはこのこと

@OnlyAyushAgarwal Ай бұрын

Nice

@gussan791 Ай бұрын

どうやってこういうのを思いつくのか😅

@umehachi6 Ай бұрын

わかりやすくするために、点を●、隙間（点が存在しない空間）を◯とする。ここで、「平面上に点が有限個存在する」とは、 ●◯●◯● ◯◯◯◯◯ ◯◯●◯◯ ●◯◯◯● というように、●同士が隣接しないように●と◯を配置するということである。（隣接してしまうと、点ではなく線や面を配置したことになってしまう。線や面は、無限の点の集まりであり、有限個の点を配置することに矛盾する。）ここで、「2点間の距離」とは、●◯●や、●◯◯●のように、●で挟まれた◯の個数であらわすことができる。（◯の個数は、当然、自然数である)…① また、「すべての点が一直線には並ばない」 ⇔ 「少なくとも1組は三角形を構成する3点が存在さる」ここで、「すべての点が1直線に並ばない」かつ「平面上の点が有限個」 ⇒ 「高さが最小の三角形を見つけることができる」が成り立つ。（「三角形の高さ」とは、「点と直線の距離」であり、「点と直線の距離」とは、「2点間の距離」だから、 ①より、その距離は自然数である、◯の数で表すことができる。1より小さい自然数は存在しないので、無限に高さの小さい三角形が見つかることはないので、高さが最小の三角形を見つけることがてきる。）

@umehachi6 Ай бұрын

平面上の点の中から、高さが最小の三角形を見つけることができることがわかったので、その三角形を、底辺がBCになるように、△ABCと命名する。そして、BCの延長線上に点Dがあると仮定する。点A,B,C,Dは以下のような配置になる。　　A B　　　C　　D この図において、△ABCの高さより、△ACDの高さのほうが小さい。よって、点Dは、最初に配置した有限個の点には含まれない。したがって、直線BC上には、点B,C以外の点は存在しない。

@kaboch1114 Ай бұрын

どういうこと？

@kh_d23 Ай бұрын

2分に満たない動画でこの満足度はエグい

@user-co6mk3xb1w Ай бұрын

ウオオオオ！(まだ分かってない)

@user-xs2gr4ir7r 17 күн бұрын

図の2点を通る直線と、その直線上に無い1点のペアを考える直線が必ず３つ以上の点を通ると仮定すると、動画で示されてる通り最初のペアより点と直線の距離が短いペアが必ず存在することになるこの操作は無限に繰り返すことでき、無限に異なるペアを作ることができるしかし、点の個数が有限個なら直線の数、およびペアの数も有限個のはずであり矛盾つまり最初に仮定した直線上に必ず3点以上存在すると言うのは誤りって方法もありますね　動画の方法をちょっと言い方変えただけですけど

@user-xp8nr2zt6d Ай бұрын

デデキント切断っぽいですね証明が示す内容もそうですが直線を2つに分割するあたりのくだりも

@user-qt5vm1yu4u Ай бұрын

ずりぃ背理法だ好き！

@user-pb5kw7xd1y Ай бұрын

京大後期のやつですね

@user-vx7ki9ul2o Ай бұрын

1:31 直角三角形の対辺を底辺にしたときの高さは、他の2辺より短いってことか。確かに面積評価でいける

@zouo-from-Taikonotatsujin Ай бұрын

というか相似で行けるぞ空色青の交点で出来てる角は共有① 定義から緑青交点部分は直角空色水交点部分は直角つまり等しい② 1.2から 2つの角がそれぞれ等しいから相似緑青の交点より明らかに水青の交点のほうが近いため緑線より水線のほうが短い

@user-vx7ki9ul2o Ай бұрын

@@zouo-from-Taikonotatsujin「明らか」の部分で面積評価は使うけど、直接比較ができる点ではシンプルですね！ありがとうございます！

@zouo-from-Taikonotatsujin Ай бұрын

@@user-vx7ki9ul2oその明らかも途中の3点を分けるところで近いこと確定してたりしない？

@user-fl2cw5zy4n Ай бұрын

逆にちょうど2点を通る直線は全ての点と線のペアの中で一番距離が短い点を持つってこと？

@MS-gq4gx Ай бұрын

逆は言えないんじゃないですか？長方形の4頂点とか反例になりそうです。

@evimalab Ай бұрын

(0,0), (7, 5), (10, 7), (20, 0), (20, 5) などがあからさまな反例になると思います。

@kmish5100 28 күн бұрын

0:50 ここの言い方絶妙にややこしいなw 多分点と直線の距離を評価点のように捉えて、同じ値が出る場合のことをそう言ったんだろうけど同じ点に対して、というようなニュアンスも読み取れうるのでちょっと混乱した

@user-cc-cc Ай бұрын

神

@aft8836 11 күн бұрын

ちょうど2点を通る直線が存在しないなら点のみで円が作れなくない？知らんけど

@user-db7pz8ic1q Ай бұрын

何か面白い解説動画だったような気がするのだが、そもそも賢さが足りなかったので理解ができなかったワイ、もにょる

@user-un6qn3zk4b Ай бұрын

「2点以上通るようにひいた直線から距離が最も近い点」から垂線をおろすこれが前提条件ここで「この直線が3つ以上の点を含む」と仮定するそして、2つ以上の点のうち、垂線から遠い方と「直線から最も近い点」を直線で結ぶそうすると、今結んだ直線と、2つ以上ある点のうち垂線から近い方の点の距離は、初めに結んだ垂線よりも短くなる (直角三角形の対辺から垂直に線を引いたとき、1番長い線は直角の点への線。だけどこの線は直線三角形の3辺のどれよりも短い。つまりその1辺をなす初めの直線よりも短い) 初めの垂線より短い垂線が出てきた。垂線の長さ＝直線との距離。つまり、「直線かは最も近い点」よりも近い点が出てきた。これでは前提条件と矛盾してしまう。つまり仮定した「この直線が3つ以上の点を含む」が間違っている。ということは、この直線は2つの点しか含んでいない。

@Zab_n Ай бұрын

思いつかんなこれはw

@brunnhilde 25 күн бұрын

この動画で何をしてるのかわかる人がこれだけいることに驚く。さっぱり意味わからん。

@nekodesumaru 3 күн бұрын

鳩の巣原理

@Fubuki_Sakura2181 Ай бұрын

今チャンネル登録しておいて古参名乗るか

@user-yf5ip7qg7g Ай бұрын

「一直線上に3点並ぶ場合を除いて」の時点で3点以上重なる直線がないことが確定してるから当たり前。と思ってたけどまずまず勘違いしてたわ。全ての点が一直線上に並ばない、か。面白かったです。

@yt-wo5vw Ай бұрын

よくわからない

@user-vv2mh6xi5x Ай бұрын

ゆっくり3b1b

@cypher7707 Күн бұрын

1:30 近いと何が矛盾すんの？「直線と点のペアを選ぶこととの矛盾」て日本語がまず意味分からんあまりにも簡潔すぎてバカなワイには何も分からない参考書で解答見たら「自明なので省略」と書かれてた時みたいな気持ち

@user-eh9xm6yg7b 21 сағат бұрын

0:48 距離が1番短かったペアを選んだことに矛盾します

@user-op7ys8vp5s 4 күн бұрын

最後に結論言わないと分かりずらい…

@user-ig2mq3tj4l 2 күн бұрын

本編の冒頭 00:26 で述べられています

@user-op7ys8vp5s 2 күн бұрын

わかった上で言っています。最後に"も"言って欲しかったです。個人的にこの動画は単語や文章が所々おかしい箇所があり、理解しづらかったので。まぁ皆さんは違和感を感じて無さそうなので多分僕がおかしいだけだと思います。😢

@user-ig2mq3tj4l Күн бұрын

@@user-op7ys8vp5s すみません、「最初」に空目していました。ところで「単語や文章が所々おかしい箇所」とは具体的にどこなのか少々興味があります。もしよろしければご教示くださいませんか？

@pathblinder1245 Ай бұрын

いみわからん

@okim8807 Ай бұрын

・これから背理法を使うよ・「２点のみ通る直線がある」のを背理法で証明するから、その否定で、「２点を通る全ての直線は２点だけでなく３点目も通ってしまう」と仮定するよ・この仮定は後に否定されるよあたりの説明があっさり過ぎて脳が追い付かない。

@pathblinder1245 26 күн бұрын

@@okim8807 ありがと

@旺文社の犬 Ай бұрын

す、す、す、す、す、す、す、す、す

@旺文社の犬 Ай бұрын

すげぇまで言い切れんかったわ

@_-.-_lIl 7 күн бұрын

すまん、全然理解できない誰か分かりやすく教えてくれー

@_-.-_lIl 7 күн бұрын

あ、理解した！ 2点以上を通る直線と他の点（以降垂点と呼ぶ）の距離が1番近いやつを選ぶと、必ず2点だけ通る直線が選ばれるってこと。試しに、その選ばれた直線上に点を一つ追加すると、動画のように垂線の足から遠い方の点と垂点の2点を通る直線と、垂線の足から近い方の点との距離の方が近くなってしまう。 2点以上通る直線と他の点の距離が1番近いやつが新しく出来てしまう。だから、2点だけ通る直線は必ず存在することになる。