"Самое сложное на мой взгляд - это Теорема Пифагора" до слез))))

Как же это круто! Борис Викторович, вы просто гений! С Вами я действительно понял, что математика именно про мышление, а не про тупую зубрёжку формул и фактов.

Здравствуйте, Борис! На 23 минуте Вы получили формулу, в которой квадрат биссектрисы равен: l^2 = ab - xy. Теорема косинусов, конечно, мощный инструмент. Но, как альтернатива, - можно было описать около данного треугольника окружность. И продолжить биссектрису, из вершины С треугольника, до точки К пересечения биссектрисы с описанной окружностью. И соединить получившуюся точку К с вершиной треугольника, что напротив стороны b. Возникает несколько подобных (по 2 углам) треугольников. Соответственно, из получившейся "бабочки треугольников" можно выразить отрезок от точки К до точки пересечения биссектрисы со стороной с: из подобия этот отрезок получается равен = ху/l. А из подобия других двух треугольников отрезок CК = аb/l Тогда длина биссектрисы: l = CК - ху/l = аb/l - ху/l, и домножив обе части равенства на l, получим: l^2 = аb - ху.

Люблю такое "баловство" с цифрами, углами и сторонами. Чувствуешь себя повелителем Вселенной, когда выведешь таки какую-нибудь формулу)

Всегда восхищаюсь Трушиным, какой умница.

Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.

идея для видео: в чем секрет крутости золотого сечения? почему оно возникает то тут, то там, хотя никаких предпосылок как правило не видно? Было бы очень интересно послушать!!!

Хочу выразить вам, Борис Викторович огромную благодарность за всю вами проделанную работу на этом канале , вы по-настоящему привили мне любовь к математике, я даже перевелся в мат.класс ,Спасибо огромное

Господи, вы спаситель! Особенно благодарна за Менелая с Вариньоном!🙏🙏

Классная нарезка в начале, как всегда :D

Привет. В одном видео показали простую формулу для биссектрисы. В обозначениях автора Lв квадрате равна a*b - x*y. Помучился с выводом. Полчилось. Ну красивый способ - нашёл сам. Не зная готовой формулы так придумать - это гений делал когда-то.

Борис Викторович,Вы просто гений! На многие вещи открываете глаза даже учителям.

Спасибо за ваш труд! Всегда парился именно по этому поводу, особенно с медианами

Длину биссектрисы проще и красивее выводить через подобие треугольников вписав исходный треугольник в окружность и продлив биссектрису до пересечения с окружностью. Тогда формула длины биссектрисы выглядит компактно и легко запоминаемой.

Всегда был интересен факт про биссектрису, спасибо вам большое

Спасибо большое))

Шикарно!

Спасибо за объяснения, никак не мог запомнить эти формулы, как и фоомулы по тригонометрии. Благодаря Вашим объяснениям теперь могу сам на экзамене их вывести.

Заботано. Спасибо, очень уверенно, про параллелограмм соотношение не знал, впечатлило .

Боря, Ты лучший!

Понравилось... ) Лаконично, просто.

Самое сложное для меня - это теорема Пифагора 😂😂😂😂😂

Расскажите , пожалуйста, про метод симметричных корней для решения параметра

Борис Викторович, если в ур-ие, получившееся от вычитания двух предыдущих (для избавления от косинусов) подставить вх = ау (из х/у = а/в) , то левая часть преобразовывается: вхх - ауу = аух - вху = ху(а - в). Обе части ур--ия сокращаем на (а -в) и получаем квадрат длины бисс. равен: ав -ху, а длина биссектрисы: корню квадратному из ( ав - ху ).

Спасибо большое, даже не думала, что так легко доказывать и можно не только учить

Такими темпами можно заботать геометрию до ЕГЭ

Блин, как же я ржу с нарезку в начале 😂 Лучший ❤️

Thank u so much 😊

Спасибо

Еще можно для биссектрисы d^2=ab-xy, где x и y - отрезки, на которые биссектриса d делит противолежащую сторону.

А если у нас есть треугольник ABC: |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b; задача - найти длину биссектрисы угла, внешнего к углу ACB, то длина этой биссектрисы равна sqrt(ab(c^2 - (a - b)^2)) / |a - b|

Мне кажется, что можно было сначала получить формулу l^2=ab-xy... Продолжить биссектрису до пересечения с описанной окружностью, z будет тогда расстоянием от основания биссектрисы до точки пересечения, записать подобие треугольников: a/l=(l+z)/b => ab=l^2+lz По теореме о пересекающихся хордах lz=xy. Чтд. ...а потом подставить значения для x и y, если надо. Просто в меньше ходов получается.

Замечательное видео! Как еще один вариант, формулу для медианы можно вывести и с помощью векторов :)

Есть ведь ещё проще формула, где квадрат биссетрисы угла равен разности между произведением прилежащих к углу сторон и произведением высекаемых этой биссетрисой отрезков, лежащих на третьей стороне

можно ли не выводить эти формулы на региональном этапе ВСОШ ?

Спасибо большое ты крутой

КРУТО! А ещё, ваше произношение l, получается очень испанским!

Теорема косинусов - это мощь

Поговорите о симедиане.

Скоро не Саватеева будут знать как главного популяризатора страны, а Трушина

Спосибо , я из Узбекистана 👍✊

Тот момент, когда можно применить теорему Стюарта. Она, конечно, не знаю как выводится. Но доказывается она через две теоремы косинусов. Позволяет найти, например, биссектрису.

Найти площадь треугольника, если две его если медианы равны 9 и 12 и площадь четырехугольника образованный отрезками медиан после пересечения и сторонами треугольника равна 16.

Рационально ли выводить формулы на ограниченном по времени экзамене, по типу егэ?😶

А получается ли красивая формула биссектрисы (медианы), если её выразить через высоту и медиану (биссектрису)?

Если для биссектрисы теорему косинусов записывать через смежные углы между биссектрисой и основанием - получается поизящнее. Заодно и теорему Стюарта докажем между делом )

19:56 почему х=ка , у=кв ? Что-то я не попал в рассуждения. Вывод без "к" понятен , а как эти равенства получились ?

спасибо

Интересно! А можно ли тут высоту найти через проекции сторон на основание треугольника, как четвертый способ нахождения высоты, спасибо за видео самый лучший контент для школьников и абитуриентов!!!

С бисектрисой чё-то сложно. Попробовал найти альфу из т. косинусов(нашёл 2 альфа и поделил), из системы нашёл Х и У и воспользовался только одним треугольником(со сторонами х, а, l), из т. косинусов выразил бисектрису, решил квадратное уравнение, и да, такой способ не проще. Но чем больше способов, тем веселее.

Орнул конечно на словах: "самое сложное это теорема пифагора"XD

16:15 биссектриса

Добавьте, пожалуйста, геометрии!

У вас очень точно выходит. К сожалению не могу понять, когда вы выводите алгебраические соотношения, переходя 3-4 шага. Трудновато.

поставил лайк со второго аккаунта за нарезку вначале

Здравствуйте! Большое спасибо за разумное видео! Есть еще простая формула для длины биссектрисы: l=sqrt(a*b-x*y). Подскажите пожалуйста как ее вывести ?

Здравствуйте, Борис Трушин! Хочу показать еще одну формулу: Мы же знаем, что x = (ac)/(a+b) и y = (bc)/(a+b) . Теперь, если умножить x*y, получим x*y= (a*b*c^2)/(a+b)^2, и это равенство можно подставить в равенство, показанное здесь 22:50 , и получить , что l^2 = a*b - x*y.

25:20 А в математике часто так бывает, что сократили (значит а не равно б) а потом раз, и для этого случая тоже работает?)))

TEOREMA Синусов, косинусов, некоторые условия, теорема пифагора = 90% планометрии? Невероятно..)

В конце вроде (4а^2 - с^2) /4 Это уравнение должно быть под корнем

В самом начале можно было рассмотреть большие треугольники, там тоже уголочки в сумме 180. Зато никаких Дэ/2

Формула Стюарта?

Длину биссектрисы можно было найти так: Расписать площадь треугольников через синус(al*sin)

Борян

Согласен! Но это касается детей более продвинутых в математике... , а это очень маленький %

Задача: найти биссектрису/медиану/высоту. Теорема косинусов: been spendin' most their lives living in a gangsta's paradice

Есть пару простых формул для биссектрисы. Одна формула: l^2=a*b-x*y , или с учетом x=ka, y=kb => l^2=ab(1-k^2). Вторая формула l=2abcos(альфа)/(a+b)

Такое ощущение как-будто вы это придумали

теорему пифагоры можно даказать без тригонометрий

Я бісектрису за такими рівняннями:

Как найти сторону бисектрисы?

Всегда ору с этих вставок в начале

5:00

На ЕГЭ нужно их выводить? Формулы

Борис Викторович, выводить формулу для биссектрисы как-то сложно и неприятно. вот медиана и высота просто и уже освоено, не так страшно. а вот биссектриса там букв много... и не понятно в какой последовательности... может есть способ проще вывести эту формулу? буду рад, если ответите

Нарезочка СЮДЫ!

К примеру, если взять и применить теорему Менелая, то ведь могут и не засчитать решение, сославшись на отсутствие доказательства, а сидеть и выводить саму теорему себе дороже, ведь под конец экзамена времени остаётся совсем мало, тогда спрашивается зачем ребёнку эта теорема нужна....

Т.к. л^2 = а^2 - (с/2)^2 Подставляя значения для а = 3 с =4 это будет корень из 5 (4а^2 - с^2) / 4 = 5 Видимо в каком-то уравнении ошибка

Комент спустя пять лет) 22:35 как сократили? ведь (б-а) остаётся

Как же так получается, что мы как будто делим на ноль, но в итоге от этого ничего не страдает..

С выводом формулы длины биссектрисы нехорошо получилось. Две доски формул +7 минут времени на то, что выводится в 2 строчки и за 30 секунд. Теорема косинусов там совсем не нужна(

Нас учил учитель правило про биссектрису , биссектриса это крыса делит углы пополам

Борис, без обид, но эта болтовня первые 40 секунд, оно может и прикольно иной раз. Но когда в каждом видео...

Очень бестолковое решение

Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.