Действительно устная. Перегнул по АС. Получили прямоугольный В1СД и табличный тангенс. 30.

Можно перегнуть плоскость по отрезку АС, сторона АД пойдет по стороне АВ -- в отрезок АД1. Тогда ВД1 = 4 - 3= 1. Из треугольника ВД1 : ВД1^2 + ВС^2 = Д1С^. Значит треугольник ВД1С прямоугольный, зачит угол АВС = 90 градусам. Из прямоугольного треугольника АВС тангенс искомого угла = корень из 3/3, т.е угол равен 30 градусам.

Такого, кажется, ещё не предлагали: после обратной т Пифагора угол В₁СD = 30°, но ▲ В₁СD ~ ▲ АСD по пропорциональным сторонам и общему углу между ними. Поэтому α = 30°.

Гипотенузу-то в принципе искать было не обязательно, для нахождения тангенса угла достаточно и катетов, а у 30 градусов тангенс такой же табличный, как и синус. Площадь ищется наиболее просто - есть два треугольника, у которых мы знаем высоту (специально в единственном числе, потому что она одинаковая) и основания. BD можно найти по теореме косинусов из треугольника ABD, а кто её забыл, может использовать метод координат - в любом случае получится довольно корявый радикал sqrt(13). Угол между диагоналями можно найти, сложив углы CAD и ADB, один из них известен, а другой можно найти из треугольника ADB по теореме например синусов, впрочем, косинусов тоже подойдет. А если вы забыли их обе, придется искать скалярное произведение векторов AC и BD, косинус угла получится довольно дрянной и вряд ли табличный (sqrt(39)/26, что в общем бьётся с тем, какой в комментариях выше нашли синус этого угла)

Решала почти также, симметрией не пользовалась, просто мне показалось , что так будет проще: отложила отрезок AB1=AB и доказала равенство треугольников ABC и AB1C. Диагональ BD нашла по теореме косинусов, BD=√13. Площадь ABCD нашла как сумму площадей двух прямоугольных треугольников: S(ABCD)=S(ABC)+S(ACD)=7√3/2. Пусть угол между диагоналями равен β. Тогда S(ABCD)=1/2*AC*BD*sinβ. Отсюда нашла sinβ=7√13/26. Надеюсь, что не ошиблась в арифметике.

Благодарю. Примерно так же решил.

ДЗ. BB1D=120°, cos120°=-1/2. По т. косинусов BD=√(9+1-2×(-1/2)×3×1)=√13. Площадь это 2 треугольника ABC и треугольник CB1D, S=2×3√3/2+√3/2=3,5√3. Через диагонали S=1/2×d1×d2×sina, подставив числа получим 3,5√3=1/2×2√3×√13×sina, откуда sina=3,5/√13, угол между диагоналями a=arcsin(3,5/√13)

Можно по теореме косинусов. Расписать ее для двух треугольников, потом решить системку и должно получиться, что cosa=√3/2, а это 30°

С ДЗ меня опять опередили, хотя ничего сложного. "Для особо одарённых" - это шутка такая?

Существуют два вида симметрии - осевая и центральная. Третьего нет, поскольку все вытекает из двух видов

Продлим АВ на 1. Получим тоску К. Тогда АКС и АВС равны по дум сторонам и углу. Тогда СК=2. По обратной пифагора СВК прямой. Тогда АВС прямой . Вот и все

Товарищ Казаков, наткнулся на англоязычную задачу: Малая окружность диаметрально касается двух точек и диаметра большой окружности, деля его на отрезки a и b. Найти площадь сегмента большой, отсекаемого диаметром малой. Ответ элегантен.

Здесь можно применить теорему косинусов. АС^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos a; AC^2=DA^2+CD^2-2*DA*CD*cos a. Получена система 2-х уравнений с 2-я неизвестными: стороной АС и косинусом угла.

Спасибо!

По теореме косинусов: 3=9+АС²-6×АС×cosα 4=16+AC²-8×AC×cosα Вычтем из верхнего нижнее: 6=2×АС×cosα cosα=3/AC Значит, по определению косинуса, АС - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС. По т.Пифагора найдем её длину, найдём cosα и получим α=30°

Красивая задача и множество вариантов решения. Можно например соединить середину отрезка АД с точкой С и доказать что ACD прямоугольный треугольник. Центральный угол опирающийся на СД - равен 60 градусов из равностороннего треугольника, а угол альфа - вписанный угол и равен его половине. Или же провести из точки С отрезок параллельный АД - и рассматривать трапецию, которая окажется равнобедренной с верхним основанием равным боковым, что тоже сразу даст ответ в 60 градусов. Также можно продлить СД до пересечения с АВ - получить равносторонний треугольник со сторонами 4 и углами в 60 градусов

ДЗ Используя теорему косинусов, ф-лу площади треуг через катеты и ф-лу площади 4-ёхугольника через диагонали и синус угла между ними , находим ВД, Sавсд и угол между диагоналчми АС и ВД. Этот угол равен arcsin (7\|13)/26 = arcsin 0,9707 = 76⁰6'. Знаки "равно" заменить на "приблизительно" равно.

ну навскидку - теорема косинусов два раза... для верхнего и нижнего треуга... а над более красивым решением надо подумать

У меня концовка решения была такая же, но я иначе доказывала, что углы АВС и АСД прямые. Тоже обратной теоремой Пифагора. Я предположила, что угол АВС прямой и нашла АС =√12. Потом предположила, что угол АСД прямой и нашла АД=4 сошлось, значит углы действительно прямые. Потом АС перевела из √12 в 2√3, а дальше, как у вас.

Я на АД от точке А отложил отрезок АМ равный 3. Получился треугольник АСМ равный треугольнику АСВ. И треугольник СМД со сторонами 2, ^3 и 1. Выполняется теорема Пифагора, значит угол М прямой. Всё, задача решена. Дальше через синус находим что угол равен 30 градусов.

Продолжим прямые АВ и CD до пересечения в т. М . Рассмотрим 2 тр. АМС и АСD . Примем в тр. АСD угол В= ¥ ,угол С =180-@-¥ , аналогично рассмотрим тр. АМС и по т. синусов сравним соотношения сторон к углам тр-ков. Получим , МС=СD , AМ=АD , угол АМС=¥ , откуда угол С=90 ,sin@=0,5 , @= 30.

Красивая задача. Я так понял, что легкое движение--это СР(АР=АВ). Тр-ки АВС=АСР. Отсюда: тр-ник АВР--равнобедренный, АО--высота, биссек., медиана. Отсюда: тр-ки АОР и АСД подобны, АСД--прямоугольный. а=30

А зачем в конце переходить на треугольник ABC, доказывая что угол B прямой, если уже есть треугольник AB1C?

Опустим из точки С лежащей на биссектрисе перпендикуляры на стороны АD и АB. Основания перпендикуляров равноудалены от вершины угла, пусть это расстояние равно х. Тогда по теореме пифагора 3-(3-х)^2 = 4-(4-х)^2, откуда находим х =3, т.е. треугольник АBС прямоугольный и тангенс угла альфа равен единице деленной на корень из трех, т.е. угол альфа равен 30 градусам (для тех, кто это не помнит, можно продолжить, и по теореме Пифагора посчитать гипотенузу и убедиться, что она вдвое длиннее катета противoлежащего угла, и угол равен 30 градусам)

Сложим по биссектрисе и увидим 30°

Если угол В прямой, то угол @ равен арктангенсу √3/3

Применяя теорему косинусов два раза. Получаем АСcos(a)=3. Тодгда угол В=90°.

Понял приведеное решение.Но видимо можно решить тригонометрически хотя и немного дольше

Вообще-то движение фигур, к чему относится симметрия относительно точки и относительно прямой изучается в 8 классе. Спасибо за решение.

ДЗ, Опустим высоту ВН на AD , ВН=√3*3/2, HD=2.5 применяем т. Пифагора в треугольнике BHD , BD=√13. площадь вообще легко (4+3)*√3/2=7√3/2, обозначим пересечение АС и ВD точкой К а пересечение АС и ВВ1 точкой Х, тогда ВК/КD=3/4(по свойству бисектрисы) ВК=3/7√13 , ВХ=1,5 тогда sin угла между диагоналями =ВХ/ВК=7√13/26 и угол = arcsin7√13/26!

Проверила, равны ли угол В и угол АСД 90° , оказалось да, а дальше катет сд равен половине гипотенузы ад, значит угол альфа равен 30

На том же основании , что угол СВ1Д прямой , можно заключить - угол АСД - прямой , а следовательно и искомый угол = 30* .

Сегодня пошел этим путем. Хороший способ, когда дана биссектриса.

Знаем мы ваши лёгкие движения )))) Сгибать будем?

Ну вы там и нарешали😂😂😂😂 Ну хотя для построения логичного мышления полезно, Все как бы проще- видно что это равносторонний треугольник со сторонами 4 и углами 60

Я проще сделал, приложил транспортир к экрану.

Сторона СД равна 2, сторона АД 4, подсказывает что угол альфа 30 град.